CC BY
86
УДК 629.7.07
ОБ ОДНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ АЭРОПОРТА
В. Л. КУЗНЕЦОВ, А. А. ЧЕПУРИНА
Рассматривается задача об оценке максимальной пропускной способности аэропорта с одной взлетно-посадочной полосой. Предлагается модель организации воздушного движения в зоне аэропорта, позволяющая формировать аналитические оценки на ограничение пропускной способности, связанные с пересечением траекторий взлетающих и заходящих на посадку воздушных судов. В основе предлагаемой модели лежит аналогия между максимально плотным потоком воздушных судов в зоне аэропорта и ферми-системами.
Ключевые слова: пропускная способность аэропорта, минимумы эшелонирования, квантовые состояния, принцип запрета Паули.
Введение
При растущем объеме авиаперевозок ключевым моментом становится проблема увеличения пропускной способности аэропорта. При этом следует отметить, что пока не существует единой утвержденной методики расчета пропускной способности аэропорта, а есть лишь некоторые рекомендации. Ясно, что и методики, и рекомендации требуют для своего обоснования разработки соответствующих адекватных моделей функционирования аэропорта с включением в рассмотрение и области воздушного пространства аэродромной зоны. Существующие имитационные модели, стремясь максимально точно скопировать систему управления воздушным движением (УВД) в зоне аэропорта, позволяют выработать лишь определенные, возможно, очень важные рекомендации по организации УВД, но не дают аналитических оценок для предельно допустимого числа операций взлетов и посадок в единицу времени [1]. Попытки ассоциировать пропускную способность аэропорта с пропускной способностью взлетно-посадочной полосы (ВПП) также встречают серьезные возражения, связанные с отсутствием учета возможных ограничений, возникающих в воздушном пространстве аэродромной зоны. Эти ограничения связаны с наличием пересечений траекторий взлетающих и заходящих на посадку воздушных судов (ВС) и существующими минимумами эшелонирования. Другими словами, по свидетельству авиадиспетчеров, кроме ВПП, возникает еще одно «узкое место», лимитирующее величину пропускной способности - это область повышенной концентрации ВС в воздушной зоне аэропорта. При абстрагировании от этих проблем задача о пропускной способности аэропорта действительно сводится к вычислению времени занятости ВПП для одной операции типа взлет/посадка.
Целью настоящей статьи является разработка аналитического подхода к задаче расчета потенциальной пропускной способности аэропорта, понимаемой как максимально допустимое среднее число операций взлета и посадки в единицу времени при обеспечении заданного уровня безопасности полетов. Будем далее полагать, что требования по безопасности выполнены, если пространственные интервалы между ВС соответствуют ограничениям на минимумы эшелонирования.
1. Вербальное описание модели и квантовые аналогии
Рассмотрим аэропорт с одной ВПП, работающий по пропускной способности на пределе своих возможностей. Введем понятие «квантового состояния», определяемого как область воздушного пространства, внутри которого может находиться только одно ВС. Появление в этом состоянии второго ВС запрещено, т.к. неизбежно приводит к нарушению минимумов эшелонирования [2]. Отметим сразу, что квантовое состояние может быть как заполненным, так и свободным, т.е. в нем может находиться одно, а может и не находиться ни одного ВС. Проводя аналогию с квантовой теорией можно сказать, что ВС подобны фермионам, для которых справедлив принцип запрета Паули. В нашем случае каждое квантовое состояние представляет собой прямоугольный параллелепипед, центр которого совпадает с авиалинией - траекторией планового движения ВС, взлетевшего или направляющегося на посадку. Очевидно, что эти квантовые состояния не могут накладываться друг на друга, с одной стороны, и, с другой стороны, в предельном случае реализации максимальной пропускной способности аэропорта должны плотно примыкать друг к другу в направлении авиалиний. Таким образом картину воздушного пространства в окрестности аэродрома можно представить в виде цепочек из движущихся друг за другом вдоль авиалиний параллелепипедов.
Авиалинии ВС, заходящих на посадку, сливаются, переходя в конце концов в одну посадочную прямую - глиссаду. В соответствии с этим сливаются и соответствующие квантовые состояния. Обратный процесс - рождение квантовых состояний, имеет место для взлетающих ВС. При слиянии двух квантовых состояний образуется новое, в котором может находиться только одно ВС. Следовательно, только одно из двух сливающихся квантовых состояний может быть заполнено, второе должно быть обязательно пустым. При рождении новых квантовых состояний, сопровождающем расщепление авиалиний, выполняется закон сохранения для числа ВС, поэтому при этом появляются новые свободные состояния. Из сказанного следует, что лишь немногие из параллелепипедов, описанных в картине воздушного пространства в окрестности аэродрома, заполнены ВС, большая их доля оказывается свободными. Понятно, что потенциальная пропускная способность аэропорта достигается в случае максимального допустимого заполнения квантовых состояний.
Авиалинии, по которым ВС подходят к аэропорту и, взлетая, уходят на нужных направлениях на соответствующие воздушные коридоры, имеют сложную топологию. Упростить задачу можно, введя путевые координаты, аналогично тому, как это представлено на рис.1.
Поток взлетающих ВС
Рис. 1. Распределение квантованных объемов (допустимых квантовых состояний) вдоль путевых координат взлетающих и садящихся ВС: р - расстояние от ВПП, измеренное вдоль траекторий ВС. Кружками помечены заполненные в некоторый момент времени ^. квантовые состояния, т.е. состояния, в которых находятся ВС. Другие состояния свободны
Изображенные друг над другом прямоугольники в путевых координатах удалены на одинаковое расстояние от взлетно-посадочной полосы (ВПП) и будут сливаться по мере приближения к глиссаде. Это значит, что в столбце состояний может быть заполнено только одно, точнее, не более одного ВС может находиться на данном «удалении» от ВПП. Аналогичное утверждение справедливо и для столбца состояний взлетевших ВС. Каждый такой столбец удобно описывать вектором у, компоненты которого
в основном нули, но может появиться и одна единица, т.е. либо у = (0,0,0,...,0)Г , либо это вектор вида
у = (0,1,0,...,0)г с одной единицей, стоящей на к — м месте. Необходимость существования нулевых векторов связано уже с тем, что во время взлета ВС ВПП занята, и соответствующее квантовое состояние заходящих на посадку ВС должно быть свободно.
Следующим удобным приемом, упрощающим описание потока ВС, является переход в дискретное время. Это означает, что вместо движения квантовых состояний вдоль авиалиний удобно рассмотреть дискретные переходы ВС от одного столбца к следующему через интервал времени Т , определяемый как
Т = тах|тл ,ТпоСад,|^ }|, (1)
Здесь Твзл ,Тпосад - времена занятости ВПП при взлете и посадке, Lt - значения минимумов продольного эшелонирования вдоль авиалинии, а Vt - плановая скорость ВС на соответствующем участке траектории.
При переходе от одного дискретного момента времени - tj к следующему - tj+1 вектор у в сопровождающей системе отсчета может измениться вследствие перехода ВС за это время с одной авиалинии на другую, например, следующим образом: y(t;. )= (0,1,0,...,0)Г ® у(tj +1)= (0,0,1,...,0)Г . Следует отметить, что в сопровождающей «системе отсчета», движущейся вместе с выделенным ВС, |y(t*T )| = const и не может меняться со временем: в каком-либо состоянии в следующий момент времени наше ВС обязательно будет находиться, а другие ВС в столбце появиться не могут.
Для описания сказанного удобно ввести два поля Y + (к, tj) и Y- (m, tl) для заходящих на посадку и
взлетающих ВС соответственно. Сечение поля Y + (k, tj) при t = tj = const дает описание заполнения квантовых состояний (распределение в воздушном пространстве) ВС, заходящих на посадку в момент времени tj. Это схематически изображено кружками на рис. 1. Сечение при k = const дает значение вектора
у (ts) - заполнения квантовых состояний на к — м «расстоянии» от ВПП в любой момент времени tj.
Краевые условия для полей Y+(k, tj) и Y (m, t{) определяются потоками прибывающих -Y+(k , tj) и взлетающих - Y (0, tj) ВС. Моделирование этих величин мы обсудим в этой работе позднее, ибо они, фактически, и определяют решение задачи.
2. Моделирование механизма возникновения конфликтных ситуаций в воздушном пространстве аэропорта
Обратимся к описанию проблем, возникающих из-за пересечения авиалиний взлетающих и заходящих на посадку ВС. Предложенный в работе формализм квантовых состояний и принципа запрета Паули приводит к дополнительным ограничениям на возможности заполнения состояний. Схематически эти ограничения можно понять, анализируя ситуацию, изображенную на рис.2.
Учитывая множественность точек пересечения авиалиний, рис. 1 и рис. 2 можно объединить в одну схему, изображенную на рис. 3. Пунктирными линиями соединены квантовые состояния, соответствующие взлетающим и заходящим на посадку ВС. Наклон этих линий отображает тот факт, что точки пересечения авиалиний могут находиться на разных путевых расстояниях от ВПП, т.е. расстояние, пройденное взлетающим ВС, не совпадает с расстоянием, которое должно пройти до ВПП ВС, заходящее на посадку. Математически эту связь можно описать с помощью некоторого матричного оператора
R(k, m), элементы которого равны 1, если m — e квантовое состояние для взлетающего потока совпадает с к — м состоянием потока ВС, заходящего на посадку, и нулю в противном случае. Явный вид оператора определяется, естественно, топологией авиалиний в зоне аэропорта.
Дальнейший алгоритм расчета роли конфликтных ситуаций сводится к следующему. Препятствия для потока заходящих на посадку ВС, порожденные взлетающими ВС, можно описать некоторым зависящим от времени полем в пространстве путевых координат
ф(к,tj ) = R(к,m)Y—(m, tj). (2)
Образно назовем это поле минным. Рассмотрим какую-либо из реализаций входного потока Y+(K, t,) = y (0 = (0,1A..,0)T и обозначим множество допустимых авиалиний, приводящих это ВС к
ВПП как L = {lp }, p = 1, P . Если в этом множестве существует хотя бы одна траектория, минующая ф(к,t;) , то будем говорить, что оптимальное управление для рассматриваемого ВС существует. В противном случае такая реализация невозможна.
Рис. 2. Иллюстрация ограничений принципа Паули - запрета на заполнение квантовых состояний. В точке пересечения авиалиний только одно из совмещающихся состояний может быть занято
Рис. 3. Схема для расчета ограничений воздушной зоны аэропорта на его пропускную способность
До сих пор наши построения касались различных реализаций (траекторий), вообще говоря, случайного процесса. Поскольку в зону аэропорта ВС поступают в случайные моменты времени, то мы можем говорить лишь о вероятностях различных реализаций случайного вектора ¥ + (К, ti). Другими словами,
если число входных авиалиний - N, то заданным можно считать вектор Р = (р1, р2,..ры). Это означает, в частности, что описанный выше пример реализуется с вероятностью р2. Конфигурация минного поля , как следует из (2), зависит от потока взлетающих ВС с учетом направления их рейсов - ¥ - (0, tр). Аналогично входному потоку, для ¥-(0, tp) будем задавать вектор Р' = (р,р'2,...,рЬ! ), описывающий распределение потока взлетающих ВС по соответствующим авиалиниям. Это позволяет рассчитать вероятности реализаций различных конфигураций минного поля Q = (^, ^2,.., ). Если X - полное число пересече-
ний авиалиний, то число различных конфигураций минного поля (число различных заполнений взлетающими ВС квантовых состояний, предназначенных для ВС, заходящих на посадку) будет равно Z = 2х . Если, например, для ВС, вошедшего в зону аэропорта по 2-й авиалинии, пятая и седьмая конфигурации минного поля окажутся непреодолимыми, т.е. для них не найдется оптимального управления, то ВС, прибывшее с вероятностью р2, совершит посадку в аэропорту с вероятностью р2 (1 — ц5 — q1). В общем случае можно записать следующую формулу для вероятности посадки ВС в момент времени tj+K
I \ N
Р(^+К )= Ё Р
П=1
zeZ„
(3)
Здесь Хп - множество реализаций минных полей, не проходимых для ВС, прибывших в зону аэропорта по п - й авиалинии.
Нетрудно видеть, что при отсутствии пересечений авиалиний вероятность реализации посадки равна р(^+к ) = Ё Рп = 0 5. Нормировка на 0.5, а не 1 связана с предположением о стационарности работы
п=1
аэропорта, предполагающей, что среднее число взлетающих ВС совпадает с числом совершающих посадку. Последнее означает, что квантовое состояние, связанное с ВПП, занято садящимися ВС в среднем с вероятностью 0.5.
п
Из изложенного понятно, что пропускная способность аэропорта С, определяемая как максимальное число операций взлета/посадки за единицу времени Т, может быть найдена по формуле
С = 2
n=1
1 -1 чг
ztZn
\
(4)
Заключение
П
В работе развивается подход к задаче об оценке максимальной пропускной способности аэропорта, базирующийся на аналогии между максимально плотным потоком ВС в воздушной зоне аэропорта и ферми-системами. Минимумы эшелонирования определяют объемы, интерпретируемые как квантовые состояния, в которых, подобно Ферми-системам, не может находиться более одного объекта.
Предлагаемый подход направлен на вычисление максимально достижимой пропускной способности аэропорта, но не указывает путей достижения этого максимума.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ускоренное моделирование процессов организации потоков и управления воздушным движением: современные и будущие возможности / под ред. Е.А. Федосова. - М.: ГосНИИАС, 2008.
2. ICAO, Manual on Airspase Planning Methodology for the Determination of Separating Minima (Doc 9689) First Edition,1988.
ABOUT ONE ANALYTICAL MODEL OF THE AIRPORT THROUGHPUT
Kuznetsov V.L., Chepurina A. A.
The problem of estimation of the maximum airport throughput with one runway is considered. The model of air traffic organization in the airport zone is offered. It allowing to form analytical estimations for the throughput restriction, connecting a trajectories crossing effects for flying up and sitting down aircrafts. Some analogy between a much as possible dense stream of aircrafts in a zone of the airport and fermi-systems lies at the heart of offered model.
Key words: airport handing capacity, separation minima, quatum state, Pauli exclusion principle.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных, случайных и периодических средах, безопасность полетов.
Чепурина Анна Александровна, студентка кафедры прикладной математики МГТУ ГА, область научных интересов - моделирование задач УВД, безопасность полетов.
