CC BY
59
Е. А. Осипов, И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский
УПРУГИЕ СВОЙСТВА СЛОИСТОГО КОМПОЗИТА,
ОСЛАБЛЕННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ТРЕЩИН
Ключевые слова: слоистый композит, волны Флоке.
Исследована способность многослойного упругого покрытия отражать упругие волны при наличии периодической системы трещин между отдельными его слоями. Построен алгоритм вычисления потоков энергии гармоник Флоке.
Keywords: layered composite, Floquet waves.
Ability of a multilayered elastic covering to reflect elastic waves in the presence ofperiodic system of cracks between its separate layers is investigated. The calculating algorithm for energy fluxes of Floquet harmonics is constructed.
Введение
Многослойные композитные покрытия обладают особыми свойствами, которые могут существенно отличаться от свойств материалов отдельных слоев [1], [2]. С течением времени, особенно при больших механических нагрузках, в слоистом покрытии могут возникать трещины или расслоения. Нарушения технологического процесса также способствуют образованию в композитном материале дефектов различной природы [3]. Расслоения в многослойном покрытии могут быть созданы искусственно, чтобы придать покрытию новые уникальные качества.
В данной работе показано, как меняется способность многослойного упругого покрытия отражать упругие волны при наличии периодической системы трещин (или дефектов иного характера) между отдельными его слоями. При описании волнового процесса используются
квазипериодические решения системы уравнений двумерной теории упругости для комплексных амплитуд напряжений и перемещений (волны Флоке).
Исследование способности многослойного покрытия отражать электромагнитные волны при наличии периодической системы дефектов было проведено в работе [4]. Волноводные свойства многослойного упругого композита ранее рассматривались в работе [5].
Постановка задачи
Пусть на жесткое основание нанесено слоистое композитное покрытие. Если на такую многослойную структуру набегают сверху упругие волны, то в покровной среде появляются уходящие вверх отраженные волны. Предположим, что на границе раздела слоев покрытия образовались трещины. Исследуем, как при этом изменяются энергетические характеристики отраженных волн.
Рассмотрим многослойную конструкцию (рис. 1), состоящую из упругого полупространства 0 и двух упругих слоев 1, 2, размещенных на жестком основании 3. Границы раздела сред - плоскости у = ^1, у = 0 и у = -^2 соответственно. Исследуем двумерный случай, когда компоненты тензоров напряжений и перемещений не зависят от координаты
х. Пусть в плоскости у = 0 расположена р -периодическая система бесконечно тонких дефектов, в данном случае - трещин (отслоений).
J i y
hi (0)
M (1) x
0 N (2)
-h2 (3)
Рис. 1 - Слоистое покрытие с периодической системой трещин
Будем рассматривать гармонически
зависящие от времени упругие колебания,
зависимость всех компонент поля от времени примем
в виде е1Ю. Квазипериодические решения системы уравнений для их комплексных амплитуд (волны Флоке) в каждом слое в общем случае имеют вид (см., например, [6])
их(х,У) = I№па1пе|р"у +р2па2пе^2пУ -
п=-ад
- ^е-Р1пУ +Р2пЬ2пе-Р2пУКпХ, иу(х,у) =1 [РАе^ -^а^- +
п=-ад
+ РщЬщв ~РпУ + !пЬ2пв ~р2"у ]вШп*,
(1)
ау(х,у) = |£ [(рю2 - 2^п2Ке|Р1пУ -
п=-ад
-2цР2п^2пе|Р2пУ -(рю2 -2^2Ке-|Р1пУ -
- 2цР2п^2пе-1Р2пУ]е1 ^
+да
Т(X, у) = I I [2мР1п^па1пеФлп)у +
п = -те
+ (рю2 -2К)а2пе|Р2пУ + 2^^^-|Р1пУ -
- (рю2 - 2^)^-|Р2пУКпХ
(выражение для компоненты ах не приведено, поскольку она не входит в граничные условия). Здесь
Рт ^ л/кГ-^Г, *еР, > 0 или 1т р > 0,
2 2 к 2 _ РЮ к 2 _ РЮ
1 X + 2ц, 2 ц ,
р, Л, ц - плотность среды и постоянные Ламе,
бп_а + Сп, а - параметр Флоке, <3 _ 2л/ р, р -период системы дефектов.
Чтобы найти отраженные в среду 0 упругие волны, нужно подставить представления (1) в
граничные условия и условия сопряжения на границах раздела сред и получить систему сумматорных функциональных уравнений
относительно коэффициентов аП) и ЬПп ).
На границах раздела сред без трещин и на участках N границы раздела сред с трещинами все компоненты упругого поля должны быть непрерывны. На системе дефектов М потребуем, чтобы т _ 0 с каждой стороны дефекта, а
компоненты Ыу и <Уу должны быть непрерывными.
Примем следующую последовательность действий. Во-первых, сначала решим задачу об отражении и преломлении волны на композитном слое без трещин, а потом будем искать возмущение от них. Во-вторых, введем новые искомые величины и получим из граничных условий и условий сопряжения парное сумматорное функциональное уравнение (ПСФУ) в некоторой стандартной форме. В-третьих, перейдем от полученного парного сумматорного уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ).
Отражение и преломление волн от слоя без трещин
Запишем формулы (1) в векторно-матричной форме
Ы(х, у) _ X [АпУ+ (у)ап + ВпУП (у)]в'СпХ, (2)
П _—ю
здесь Ап и Вп - 4*2-матрицы, коэффициенты
которых содержатся в формулах (1), У± (у) -
диагональные 2*2-матрицы с функциями е ±/р-\пу, е ±р2пу на главной диагонали,
и _ (ых, иу ^у ,т), ап _ (an1, ап2^ ьп _ (bn1, ьп2)-Векторы ап - коэффициенты при отрицательно ориентированных гармониках Флоке, а Ьп - при положительно ориентированных гармониках.
Величины, относящиеся к верхнему слою структуры, будем помечать верхним индексом (0) . Для набегающей сверху плоской волны (одна гармоника Флоке с номером 5)
и + (х, у) _ А^0)У5(0)+(у —Л1)а50)в/С5Х, (3)
для уходящей вверх волны Флоке в слое (0)
и—(х,у) _ X Б10)УП(0)— (у — И1)ЬП0)е Й"х- (4)
п=—ад
Для простоты рассуждений предположим, что слои 1 и 2 имеют одинаковые упругие свойства.
Рассмотрим вспомогательную задачу об отражении и преломлении упругой волны. Очевидно,
что ЬП0 = 0, ап = 0, Ьп = 0 при п Ф в. Система
уравнений для коэффициентов Ь1(Р\ ав, Ь5
получается из условий при у = Л|
4°ц0) + 8(0Щ° = А5У5+ (Лі )а5 +Б5У5- (Лі )Ьв (5) и при у = —Л?
Р5У5+ (—Л?)а8 +08УВ— (—Л?)Ьв = 0. (6)
Здесь Рв и - 2*2-подматрицы матриц Ав и 8в, составленные из строк коэффициентов, относящихся к компонентам иХ, иу.
Получилась система из двух векторных линейных уравнений: в уравнении (5) содержится четыре скалярных уравнения, а в уравнении (6) - два. После того, как будет получено ее решение
ЬВ0), а5, Ьв в слое от —Л? до Лі
т(Х, у) = [СвУ В(у а +й5У— (у )Ьв ]вИвХ, где Св и Ов - 1*2-подматрицы матриц Ав и 8в, составленные из строк коэффициентов, относящихся к компонентам т.
Парное сумматорное функциональное уравнение
Перейдем к задаче о возмущении упругого поля системой дефектов. В слоях 1 и 2
т(і)(х,у) = XСпУп(у)а(п ) +°пУ— (у)Ь{пі]]вШпХ,
п=—да
здесь і = 1, 2 (при сделанных предположениях
отличие только в коэффициентах ап и Ьп ).
Компонента т непрерывна и на N, и на М, если
выполнены равенства
С а(1 + П Ь(1) = С а(2) + П Ь(2) = с Спап + ПпЬп = Спап + ПпЬп = сп,
здесь сп - новые неизвестные. При этом первая половина ПСФУ
XСпвИпХ = —[Свав + ПвЬв]в'*вХ на М . (7)
п =—да Пусть
иХ)(Х,у) = X[ЕпУп (у)ап ) + РпУ— (у)Ь^]вШпХ.
п=—да
Компонента иХ будет непрерывна на N, если
X [Епап1) + — Епа(п-) — = 0,
п =—да
здесь Еп, Рп - первые строки матриц Ап, Вп .
Осталось выразить здесь ап( і) и Ьп( і) через сп . Для этого нужно решить систему линейных уравнений (при каждом п ), в которую входят два скалярных уравнения
С„аП1) + ОпЬ^ =сп, С„аП2) + =сп, (8)
и векторные уравнения, обеспечивающие
непрерывность компонент иу и Су на границах
раздела сред.
Обозначим V = (иу ,Су). Из представлений
(2) следует, что
V(Л = X[епУ+ (У)аП;) + НУ(У)Ь>п ]\еШпХ,
П =-ю
здесь Сп, Нп - 2 х2-подматрицы матриц Ап, Вп . Тогда должны выполняться условия
Спап1) + НпЬп1) - Спап2) - Нп42) = 0, (9)
а также
АпУ+ ф^аЩ1 +БпУ- (^)Ьп1) - = 0, (10)
РпУ+ (-^2)ап2) +ОпУп_ (-^2)^п2) = 0. (11)
В итоге вторая половина ПСФУ будет иметь
вид
+да
Х%пСпе'дпХ = 0 на N , (12)
п=-ю
где коэффициенты -п определяются по решению СЛАУ (8) - (11) при сп = 1.
Парное уравнение (7), (12) эквивалентно
БСЛАУ
1 +(Ю +СЮ 1
^Ск - "г X сп— п X -------1 п-т^т-к =
п=-да т=-да —т
= -[С5а5 +05Ь5 ]/5 _к, к = 0, ± "1,... (13)
где
/к = | еШкхбх, ик = | еШккбх.
М N
Методика преобразования ПСФУ в БСЛАУ подробно изложена в [7], гл. 7 (см. также [4]). Приближенное решение БСЛАУ (13) может быть найдено методом усечения.
Исследована зависимость долей отраженной упругой энергии по гармоникам Флоке уходящей на бесконечность волны от угла падения плоской волны и от размера трещин. Как показал вычислительный эксперимент, влияние периодической системы
трещин на отражательные свойства композита незначительно - энергия переносится практически полностью основной гармоникой, вклад остальных гармоник - менее одного процента.
Литература
1. Алфутов, Н.А. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов / Н.А. Алфутов, П.А. Зиновьев, Б.Г. Попов - М.: Машиностроение, 1984. - 446 с.
2. Королев, В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс / В.И. Королев -М.: Машиностроение, 1965. - 272 с.
3. Композиционные материалы: Справочник / В.В.
Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
4. Плещинская, И.Е. Преобразование электромагнитного излучения слоистым композитом с тонкими проводящими периодическими включениями / И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. -№11. - С. 147-153.
5. Плещинская, И.Е. О собственных колебаниях слоистого упругого композита / И.Е Плещинская, Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - Т. 14,№18. - С.111-116.
6. Осипов, Е.А. Сумматорные и интегральные уравнения периодических задач дифракции упругих волн на дефектах в слоистых средах / Е.А Осипов, Н.Б. Плещинский // Изв. вузов. Матем. - 2008. - № 9. - С.76-82.
7. Плещинский, Н.Б. Модели и методы волноводной электродинамики / Н. Б. Плещинский. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2008. - 104 с.
© Е. А. Осипов - асс. каф. прикладной математики КФУ, Evgenij.Osipov@ksu.ru; И. Е. Плещинская - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, plant_flower@mail.ru; Н. Б. Плещинский - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой прикладной математики, КФУ, pnb@ksu.ru.
