CC BY
18
УДК 517.958
И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский, П. А. Рогожин
ОТРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ ОТ АРМИРОВАННОЙ КОМПОЗИТНОЙ ПЛАСТИНЫ
Ключевые слова: электромагнитная волна, дифракция, композит.
Задача об отражении плоской электромагнитной волны от диэлектрической пластины, армированной тонкими проводящими полосами, сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследованы зависимости доли отраженной энергии от угла падения, толщины пластины и диэлектрической проницаемости среды.
Keywords: electromagnetic wave, diffraction, composite.
The reflection problem of plane electromagnetic wave from dielectric plate reinforced by thin conducting strips is reduced to infinite set of linear algebraic equations. The dependences of the part of reflected energy on the angle of incidence, on thickness ofplate and on dielectric index of medium are investigated.
Введение
Слоистые композитные материалы имеют уникальные физические и механические свойства. Многослойные армированные полимерные покрытия могут быть использованы как средства защиты от акустического шума, от упругих колебаний и от электромагнитного излучения. При проектировании таких изделий нужно знать зависимости коэффициентов отражения и поглощения слоистых сред в широком частотном диапазоне.
В данной работе исследован процесс отражения электромагнитной волны от армированной композитной пластины, которая образуется при заливке полимерного компаунда в объемный периодический каркас из тонких металлических лент. Рассмотрена задача дифракции плоской электромагнитной волны на периодической ножевой решетке с диэлектрическим заполнением.
При расчете волновых полей, возникающих при дифракции плоской волны на периодической структуре, использован метод сшивания. В полубесконечных областях потенциальные функции полей определялись в виде квазипериодических функций. В работе [1] доказано, что других решений быть не может. Задачи дифракции волн на периодических системах неоднородностей рассматривались ранее близкими методами в статьях [2]-[5]. Параллельные алгоритмы решения таких задач обсуждались в работе [6].
Постановка задачи
Пусть электромагнитное поле гармонически зависит от времени ехр -\&Л: ). Ненулевые компоненты ТЕ-поляризованных двумерных электромагнитных волн выражаются через потенциальные функции - решения уравнения Гельмгольца. Пусть на а -периодическую по координате х структуру (см. Рис. 1) набегает слева плоская волна с потенциальной функцией
и0 Х2 ч екапА0х+\ксоз6>°2,
и х2 )= е
здесь к = 2тг/ А - волновое число, А - длина волны, 6® - угол падения.
Рис. 1 - Ножевая решетка с диэлектрическим заполнением
Будем искать в трех частях пространства потенциальные функции электромагнитных полей в виде
+<
и" Х,2 )= е^ X„пе-^п2е^Рпх,
п=-< +<
„+ Х,2 )= е^ X и+е^п 2-се\2РпХ,
П=-ю
-^П z-c)lsinpnx,
и1 Х-2 )= XI „пе^п2 + ие
здесь а - искомый параметр Флоке, р = тг 1а, а постоянные распространения
Кп =,1 к2-(2рп + а) у1 = ^к2 -(рп)2
- или положительные вещественные числа, или чисто мнимые с положительной мнимой частью. Здесь к<| = ку[&] , ^ - диэлектрическая
проницаемость компаунда. Сдвиги 2 - с нужны для того, чтобы у соответствующих слагаемых значения не оказались слишком большими при 1
мнимых у п и уп .
Условия сопряжения полей при 2 = 0 и при 2 = с состоят в следующем:
е'ж + е'ж X ыПе'2Рпх =
П=-ю
П=1
= XI иП + иПе^пС ^прпх,
+<
^е'® - е'0* Xи-Кпе'2рпх =
П=-<
= Х^п - ипе ' кПс1кп81 прпх,
пИ1 ]
+< / 1 N +<
Х(ипе'^с + ап ипрпх = е'ж Xи+е'2рпх,
п=
+<
п = -< +<
¡2 рпх
Х( ипе^пС - ип I Кп^'прпх = е'ж Xи+^пе
пИ1 ' п=-<
Эти равенства должны быть выполнены при О < х < а .
Переход к БСЛАУ
Перейдем от сумматорных условий сопряжения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно искомых коэффициентов ип и ип . С этой целью умножим первое и третье равенства на э¡пркх и проинтегрируем их от нуля до а . Получим
( ' 1 I а +< -
I ик + ике'КкС 1- = ^к + Xит
1 ' т=-<
Лс ^ I а
+<
ике'^ + ик 12 = XитI
тк
т=-<
где
1т к =|е'?рт+* xsinpkxdx 0
Второе и третье равенства умножим на
е?рт +а х и также проинтегрируем от нуля до а . Тогда
+<
ит = — ^т,0 - ■— XI ип -ипе^кС IКг^|т,п
т а т п=
+<
ит^^ XI йпе"/кс- ип кт,.
аКт п=<|1 )
*
где 1т п - числа, комплексно сопряженные с 1т П, и - символ Кронекера.
Исключим неизвестные ип, и+ и получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
х(ип - ипе^Пс) 8^ +21йк + ике'кк^) = 2а1о,к>
' ■ ,1,
XОпе"/Пс - ип^ Iике'Ккс + ик] = 0,
здесь к = 1,2,..., и
1 V 1 *
8п,к = Кп X |т,п|щк-
т=-<К т
Вычислительный эксперимент
Приближенные решения БСЛАУ при различных исходных данных были найдены методом усечения. При этом использовались два параметра: N - число неизвестных и число уравнений в каждой группе уравнений конечной СЛАУ и М - параметр усечения при вычислении сумм 8П к. При расчетах значения этих
параметров выбирались так, чтобы при их увеличении наблюдалась вычислительная сходимость решений СЛАУ.
Для проверки адекватности модели вычислялись нормированные потоки энергии электромагнитных волн, уходящих от пластины влево и вправо. Нормировка проводилась на поток энергии набегающей на решетку плоской волны. Тогда сумма двух величин
Р-
1
Р+
кСО8 0ип ^
X
кСО8 0Оп=_<
п
п
должна быть близка к единице. Заметим, что в этих суммах содержится фактически только конечное число слагаемых, соответствующих гармоникам Флоке с вещественными уп .
Вычислительный эксперимент показал, что при больших расстояниях между армирующими лентами (значение параметра а больше длины волны ) распределение энергии по потокам приблизительно такое же, как при прохождении волны через однородную диэлектрическую пластину. В частном случае,
когда £( = £, имеем Р- =0.0 и Р+ = 1.0 (полное
прохождение).
При уменьшении расстояния между лентами доля энергии, отраженной влево, возрастает. Если это расстояние существенно меньше длины волны, то наблюдается практически полное отражение энергии. Толщина пластины с мало влияет на результаты счета.
Обнаружилось, что при малых изменениях параметров композита в окрестности некоторых критических значений возможны существенные колебания величин потоков энергии. Например,
и
при почти нормальном падении плоской волны (.в° «О ) этот эффект наблюдается, если a = M 2 .
Работа выполнена при поддержке РФФИ и АН РТ, грант 12-01-97012-р-поволжье-а, а также частично за счет средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности.
Литература
[1] N.B. Pleshchinskii, Proceedings of PIERS 2013 in Stockholm, 416-420 (2013);
[2] И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 11, 147-153 (2010);
[3] И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Е.А. Осипов, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 3, 82-85 (2012);
[4] И.Л. Александрова, И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 7, 37-39 (2012);
[5] И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, И.В. Сабиров, Вестник Казанск. технол. ун-та, 16, 19, 46-48 (2013);
[6] И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 16, 17, 38-41 (2013);
© И. Е. Плещинская канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, plant_flower@mail.ru; Н. Б. Плещинский - д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики К(П)ФУ, pnb@kpfu.ru; П. А. Рогожин - асп. института вычислительной математики и информационных технологий К(П)ФУ, sparoq10@mail.ru.
© I. E. Pleshchinskaya - Cand. of physical and mathematical sciences, Associate Professor, of Department of Informatics and Applied Mathematics of KNRTU, plant_flower@mail.ru; N. B. Pleshchinskii - Doct. of physical and mathematical sciences, Professor, Head of Department of applied mathematics of KFU, pnb@kpfu.ru; P. A. Rogozhin - PhD student, Institute of Computational Mathematics and Information Technology of KFU, sparoq10@mail.ru.
