Об использовании в качестве сканирующего экрана слоистого композита, армированного тонкими проводящими пластинами Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. Л. Александрова, И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ В КАЧЕСТВЕ СКАНИРУЮЩЕГО ЭКРАНА СЛОИСТОГО КОМПОЗИТА, АРМИРОВАННОГО ТОНКИМИ ПРОВОДЯЩИМИ ПЛАСТИНАМИ

Ключевые слова: сканирующий экран, слоистый композит, волны Флоке.

Рассмотрены задача дифракции и задача трансмиссии квазипериодических волн на слоистой пластине с бесконечной периодической решеткой из проводящих лент. Построен алгоритм приближенного решения этих задач.

Keywords: scanning screen, layered composite, Floquet waves.

The problem of diffraction and the problem of transmission of quasi-periodic waves on a layered plate with an infinite periodic grating of conducting bands are considered. The algorithm of the approximate solution of these problems is constructed.

Введение

В статье [1] было предложено использовать перемещающуюся металлическую пластину в качестве сканирующего экрана при получении дополнительной информации о неоднородности в плоском волноводе при ограниченных возможностях измерения отраженного

электромагнитного поля. Различные варианты метода сканирующего экрана рассматривались в работах [2] и [3]. В открытых волноводных структурах в качестве аналогичного устройства может быть использована бесконечная периодическая решетка из тонких проводящих лент, погруженная в диэлектрическую пластину. Основой такой конструкции служит слоистый композитный материал, армированный тонкими металлическими лентами.

Если слоистая пластина с периодической решеткой из проводящих лент помещена в электромагнитное поле, то образуются

дополнительные электромагнитные волны, уходящие от пластины на бесконечность. В задаче дифракции (это классическая задача теории волн) по полю от внешних источников нужно определить уходящие волны. В задаче трансмиссии [4] нужно найти электромагнитное поле с одной стороны от неоднородности, если оно известно с другой ее стороны. При уточнении информации о неоднородности в волноводном тракте методом сканирующего экрана должна быть решена, причем неоднократно, именно задача трансмиссии.

Задача дифракции электромагнитной волны на слоистом композите с тонкими периодическими включениями рассматривалась ранее в [5]. Исходная задача сведена к парному сумматорному функциональному уравнению (ПСФУ), которое, в свою очередь, преобразовано к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) для коэффициентов разложения электромагнитного поля по гармоникам Флоке. В данной работе построен алгоритм приближенного решения задачи трансмиссии квазипериодических волн (волн Флоке) на слоистой пластине с бесконечной периодической решеткой из проводящих лент.

Используется методика вывода ПСФУ, близкая к предложенной в работе [6].

V

<-----1-----

z 1 0

Рис. 1 - Слоистый армированный композит

Постановка задачи дифракции

Рассмотрим слоистую среду, состоящую из двух слоев диэлектрика 0 < z < h¡, —h2 < z < 0 с диэлектрическими проницаемостями е+ и е—, между которыми расположена p -периодическая решетка из идеально проводящих бесконечно тонких лент M . Обозначим через N часть границы раздела сред между лентами.

Будем предполагать, что электромагнитное поле не зависит от координаты y декартовой системы координат. Пусть известны две TE-поляризованные электромагнитные волны, набегающие на пластину слева и справа (см. рис. 1).

Потенциальные функции этих волн зададим

в виде

u10(x,z) = eiax £bl°e~Í7n(z-hl)eidnx,

n=—те

u20(x,z) = eiax £s2°eirn(z+h2)eidnx.

n=—да

Нужно найти две волны: уходящую влево и уходящую вправо,

u1(x, z) = eiax £ ale'>n(z—hi)eidnx, n=—<&

и2(х,г) = віах XьЩв іуп(г+Ь2')вШпх,

П = —те

а также неориентированные волны в слоях + и —

Гп йпв ІГпІ12 —Гп Ьпв

і ГпЬ 2 =

= —ГпЬ п — Упап°-

+<»

и±(х,г) = в1ах X[апвУпг + Ь±в >УпХ]/зібпх.

п=—да

Их потенциальные функции будем искать также квазипериодическими.

Будем считать, что среды слева и справа от пластины имеют одинаковые свойства, єі = Є2 = є. В представлениях потенциальных функций электромагнитных волн а - параметр Флоке,

^ 2 2 2 2

к — (а + бп) , к = о /лє, о - круговая частота гармонических колебаний, /л - магнитная проницаемость (одна и та же для всех сред), є -диэлектрическая проницаемость, б = 2я / р. Условимся, что или Ре уп > 0, или \туп > 0. Тогда

функции вида в ІУпІ определяют волны положительной ориентации (переносят энергию в направлении оси г или затухают в этом

направлении), а функции вида вІУпІ соответствуют волнам отрицательной ориентации.

Задача об отражении и преломлении волн

При решении задачи дифракции электромагнитной волны на слоистой структуре по

коэффициентам Флоке волн и10 и и 20 нужно определить коэффициенты Флоке всех остальных волн. Из условий сопряжения и граничных условий следует, что параметр Флоке а - один и тот же во всех слоях.

Будем искать поле, возникающее в процессе дифракции волн на пластине с решеткой, в виде суммы двух слагаемых. Сначала найдем решение задачи об отражении и преломлении волн на пластине без решетки, а потом возмущение, которое создает решетка. Все коэффициенты Флоке искомых потенциальных функций, следовательно, получим также в виде суммы, первые слагаемые будем отмечать чертой снизу.

Если решетки нет, то касательные составляющие электромагнитного поля должны быть непрерывны на всех границах раздела сред, то есть должны быть непрерывны функции и и ди / дг. Условия сопряжения при г = Ь-\, г = 0 и г = —Ь2 сводятся к равенствам

ьі + а1п = а+пвіу+п Ьп + Ь+Пв~іуп Ьп,

— Упьп° +Упа'п =упапв'7п' 'п — упьпв ап + Ь+п = а—+ Ьп,

уп ап — уп Ьп = уп ап — уп ЬП ,

1 = у+ а+в Іуп ^п —у+ ь+в ~іу+п Ьп

(1)

а„в

—п

->упь

2 + Ь~пв'

іу-п*2 = Ь2п + ап0,

Из этой системы линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ) определяются вспомогательные

1 + + — — 2 величины ап, ап, Ьп, ап, Ьп, Ьп (независимо

для каждого п).

Стандартная форма ПСФУ

Выведем теперь уравнения для определения

1 + + — — 2 коэффициентов ап, ап, Ьп, ап, Ьп, Ьп

разложения возмущения поля от решетки по

гармоникам Флоке.

Из условий сопряжения на границах

раздела сред г =11 и г =1 2 следует, что должны

выполняться равенства

а1п = а+в1у+п 11 + Ь+в—1у” ь\

(2)

Упап =у+па +пв1у+пЬ1 —у+пЬ+пв—у+п1\ а—в—1уп12 + Ь—в1уп12 = ЬЩ,

у~—а~—в—уп 1 —у~—Ьпв'уп 1 = —упЬ%-

(в отличие от аналогичных уравнений (1), здесь отсутствуют коэффициенты Флоке внешнего поля). Условия сопряжения на N имеют вид

+ТО +ТО

£ [ап + Ьп ]в1дпх = £ [ап + Ь— ]в1дпх, (3)

п=—<» +то

X [у+ап—у+ьп]вШпх = X[у~пап —упьп]вібпх

п=—да п=—да

и граничные условия на М (должны обратиться в нуль касательные составляющие электрического вектора) сводятся к равенствам

+ТО +ТО

X [ап + ьп]в1бпх + X[ап + Ь±]в1бпх = 0. (4)

п=—да п=—да

Из (3) и (4) следует, что

ап + ьп = ап+ Ьп= сп, (5)

здесь сп - новые неизвестные. Тогда первая часть ПСФУ

X Спв1бпх = — X [ап + Ь± ]в1бпх на М. (6)

п=—да п=—да

Вторую часть ПСФУ получим из равенства

+да

X [Упа+п —упьп— упап +упьп ]в1бпх = 0 на N.

п=—да

Чтобы все слагаемые в квадратных скобках выразить через сп , построим еще две вспомогательные СЛАУ (для каждого п ).

Из первого и второго равенств (2) исключим

1

ап . Вместе с первой частью равенства (5) образуем систему уравнений

ап (уп —уп )віу+п Ьп + ьп (уп +у+ )в ~іу+п Ьп = 0,

ап + ьп = сп.

(7)

Из третьего и четвертого равенств (2) исключим Ьп. Тогда с учетом второй части

равенства (5) будем иметь

ап (їп +Гп )е

-І/n h2

+ bn (їп -Гп )Є'

Knh2 -

- 0,

an + bn - cn ■

(8)

Если рп и q± - решения СЛАУ (7) и (8) при сп = 1, то

а± = Рпсп, ь±п = qncn■ (9)

Следовательно, вторая половина ПСФУ

Z%ncn'

Jdnx

- 0 на N.,

(10)

где хп =уПрП — уПqП — уп рп + уп qn ■

Парное уравнение (6), (10) преобразуем методом интегрально-сумматорного тождества (см., например, [5]) в БСЛАУ для определения

неизвестных сп . Получим

1 +<» +<» 1 — ^Ск + С £ СпХп £ Т- 1п—т^1

n--то т--то

+то

Г ± К±1/

~ ' -к

-то %m

-mJm-к

- Z[а±п+ ЬП]In-к, к - 0, ± 1, ■■■ (11)

где

1к = | в1СкхСх, ик =| в'СкхСх■

М N

Приближенное решение БСЛАУ может быть получено методом усечения (в суммах нужно оставить только конечное число слагаемых). После того, как найдены значения сп , по формулам (9)

определяются ап, Ь±, а затем а1п и Ьп по двум равенствам из (2). Тогда коэффициенты Флоке

11 2 2 искомых волн ап + ап и Ьп + Ьп .

Задача трансмиссии

Будем использовать такие же обозначения, что и в случае задачи дифракции. В задаче трансмиссии известны потенциальные функции

10 1 и (х, г) и и (х, г) электромагнитных волн,

распространяющихся слева от слоистой структуры.

20

Нужно найти потенциальные функции и (х, г) и 2

и (х, г) волн справа от нее. Это значит, что по

10 1 1 10 значениям Ьп и ап + ап = ап нужно найти

20 2 2 коэффициенты Флоке ап и Ьп + Ьп ■

Можно, конечно, использовать для решения задачи трансмиссии большую БСЛАУ из всех выписанных выше групп уравнений (таких групп всего 13), но имеет смысл построить более простую

модель. Для этого используем полученные ранее связи между неизвестными. Исключим часть из неизвестных, заменим их на соответствующие выражения, содержащие "главные" неизвестные сп .

Пары равенств из (2) вместе с равенствами (5) приводят к формулам (9). Кроме того, первое и

1

третье равенства из (2) позволяют выразить ап и

21 Ьп через сп . Эти выражения имеют вид ап = гпсп

и Ьп = эпсп , где

гп = р+в'у+п11 + q+в ~'у+п11,

Бп = р~пв ~1упЬ2 + q-nв,упЬ12.

Из первой пары равенств (1) выразим а+ и

+ 10 1 bn через bn и. an :

а„ -■

b+ - -~n 2

1 -

Yn_

їп

1 +

Ln_

їП

bl° +

b10 + bn

1+

Ll

їп

1-

їп_

їп

аП

—п

i-Lnh1

JK

1 10

При этом а_п = ап — Гпсп . Поэтому при решении задачи трансмиссии достаточно взять

, b+

БСЛАУ (11) для cn и вместо , а+п и

10 10

подставить их выражения через bn , an и cn .

Можно также к БСЛАУ (11) добавить

первые две группы уравнений из (1)}, в этих

10 1

уравнениях bn известны, а величины an также

10

нужно заменить на an - rncn .

Литература

1. Н.Б. Плещинский, Иссл. по прикл. матем. и информатике, вып. 24, Казанск. гос. ун-т, Казань, US-121 (2003).

2. I.L. Aleksandrova, N.B. Pleshchinskii, 12th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET*08 (Odesa, Ukraine, June 29 - July 02, 2008). Conf. Proc. Odesa, 2008. P. 170-172.

3. И.Л. Александрова, Н.Б Плещинский, Иссл. по прикл. матем. и информатике, вып 27, Казанск. гос. ун-т, Казань, 17-22 (2011).

4. I.L. Aleksandrova, N.B. Pleshchinskii, International Conference Saint Petersburg Days on Diffraction'2011 (Saint Petersburg, Russia, May 30 - June 3, 2011). Abstracts. Universitas Petropolitava MDCCXXIV, 2011. P.16-17.

5. И.Е Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, №11, 147-153 (2010).

6. Е.А. Осипов, И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казанск. гос. технол. ун-та, 15, 3, 82-85 (2012).

© И. Л. Александрова - асс. каф. прикладной математики КФУ, iralexand@ksu.ru; И. Е. Плещинская - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики; КНИТУ, plant_flower@mail.ru; Н. Б. Плещинский - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной математики КФУ, pnb@ksu.ru.

п--то

1

2

n - -то

40