Упругие характеристики резинокордного материала с учетом трансверсально-изотропных свойств корда Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.3

В.З. Грищак, С.Н. Гребенюк

УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕЗИНОКОРДНОГО МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СВОЙСТВ КОРДА

Постановка проблемы. Резинокордные материалы находят широкое применение в различных отраслях промышленности, транспорта, строительства и других. Одним из основных расчетов, выполняемых при проектировании резинокордных конструкций, является определение напряженно-деформированного состояния. Такой расчет и для волокнистых композитов, и для резинокордного материала в частности, является сложной математической задачей. Дополнительные сложности возникают ввиду необходимости учета в математической модели влияния каждого волокна. Это приводит к громоздким математическим моделям и трудностям при их использовании. Поэтому более удобным с точки зрения инженерной практики является подход, в основе которого представление неоднородного композиционного материала однородным трансверсально-изотропным материалом, с упругими свойствами «близкими» упругим свойствам композита. Свойства такого трансверсально-изотропного материала определяются через упругие характеристики матрицы и армирующих волокон, их объемные доли в композите, размеры и взаимное расположение армирующих элементов.

Для описания упругих свойств однородного трансверсально-изотропного материала

необходимо определить 5 независимых величин: продольный модуль упругости Е^ (в направлении армирования), поперечный модуль упругости Е2, модуль продольного сдвига С\2, модуль поперечного сдвига О23 и коэффициент Пуассона У\2. В случае плоской задачи теории упругости

таких независимых упругих характеристики - четыре.

Учет тех или иных особенностей деформирования волокнистых композитов и введение упрощающих гипотез приводит к созданию тех или иных теорий, описывающих упругие свойства волокнистого композиционного материала. Применительно к резинокордным материалам следует учитывать ряд специфических свойств таких материалов, в частности, ярко выраженные анизотропные свойства корда и слабую сжимаемость резины. Поэтому разработка новых и совершенствование уже существующих теорий для определения упругих постоянных резинокордного материала является актуальной задачей.

Анализ публикаций по теме исследования. Наиболее распространенные способы определения упругих постоянных для резинокордного материала следующие. Для решения плоской задачи теории упругости упругие постоянные резинокордного материала предложены в работе Лапина А.А [1]. Учет тех или иных особенностей деформирования резинокордных материалов при определении упругих констант был проведен в работах [2, 3].

Упрощенная группа соотношений для определения упругих постоянных резинокордного материала описана в работе [4].

Соотношения, являющиеся частным случаем формул, предложенных в работе [1], и

справедливые лишь для резинокордных композитов, т.е. если предположить, что Ес >> Ет, Ут = 0,5, От = Ет/3 (Ес - модуль упругости корда, Ет - модуль упругости матрицы, От -модуль сдвига матрицы, Ут - коэффициент Пуассона матрицы) предложены в работе [5].

Для решения трехмерных задач механики композитов предложен ряд соотношения для определения упругих постоянных. Для простейшей модели композиционного материала - системы жестко связанных чередующихся изотропных стержней, обладающих характеристиками волокна, и матрицы - предложены соотношения, полученные на основе уравнения аддитивности или правила смесей [6]. В работе Аболиньша Д.С. [7] также описана группа формул для решения пространственной задачи механики волокнистых композиционных материалов. С использованием теории функций комплексной переменной представлены соотношения для определения упругих характеристик волокнистого композита [8].

Упругие постоянные с учетом анизотропии корда для композиционного материала предложены в работе [9], а для резинокордного в работе - [10]. Применение метода конечных элементов к определению упругих постоянных композиционного материала изложено в работе [11]. В работах [12-14] найдены упругие постоянные волокнистого композиционного материала с трансверсально-изотропными матрицей и волокном.

Цель статьи. Получить соотношения для определения упругих постоянных резинокордного материала с учетом таких особенностей его составляющих как несжимаемость резины и

трансверсально -изотропные свойства корда. Исследовать изменение упругих постоянных резинокордного материала в зависимости от соотношения резины и корда в композите.

Основная часть. Для моделирования трансверсально-изотропных свойств корда и

несжимаемости резиновой матрицы примем следующие величины упругих постоянных

* *

резинокордного материала: модуль упругости матрицы Е и коэффициент Пуассона V = 0,5,

упругие постоянные корда Е?, , У? 2, V-;?3 и С? 2. Используя более общие соотношения для

волокнистого композита, полученные в работах [12-14], и принятые величины упругих постоянных матрицы и корда, найдем упругие постоянные резинокордного материала:

Е = *

Е

=

(а - 2у, 2уф* (1 - /) + (а - /3)Е[/

(1 - /X1 - (2з - 2V102V2^ 1)+ 1,5Е2

Г1 а-М°2V Е2/V -1)

Е^ (1 - /)(1 - у2з - 2у12у21)+ 3 Е2

2

Е2 = 2Е

Е = 2Е

V

'' + з(к-2Е *)/ (/„ - /2|)+(б/22 - ^2 )) ч /11/22 - /21/12 у

а1 +

з(т- 2Е*)(/ (/11 - /21)-/22 + /12 ) Т

(1)

(2)

(3)

(4)

ё11ё22 - ё21ё12

у23 =

3 -а1 +

3(/- 2Е* )/(/11 - //21) + (/22 - /12))'

«2Ц +(/22 - /12) ё11ё22 - ё21ё12

з(г- 2Е *)(/(/11 - //21) +(//22 - /12))'

/(а1 +

+

*21) + (/22 -"12; 22 - /21/12

(5)

у23 =

3 -а1 +

з(7- 2Е*)/(/1

1 - / 2О - / 22 + /12) | /11/22 - /21/12

з(/-2Е*)(/(/11 - /21) - /22 + /12)

/(а1 +

/11/22 - /21/12

У

= Е* (Е* (1 - /)+3С12 (/ +1)) 12 = 3(3СП(1 -/)+Е*(/ +1)) '

(6)

(7)

где / - коэффициент армирования, характеризующий относительное объемное содержание корда в композите,

а =

Е* (1 - /)(1 -у2З)+ 1Е2 (/ + 3), р = у2Е * (1 - /)+1 /Е2, 7 = Е* (1-У23)+1 Е2„

а = — + 1 2

3

/11 = _ Е2 11 2 2

3 3/ (7- 2Е2)

^ )+7

2Е1Е*/(/ -1Л7-2У21Е■

2

2а

)Т.

2/ -3-■

/2

V V

/

^ - Л + У23)+ 4| / |(

/2

12

(23 + у21у12

2

3

<12 =- Е2

((

Чч

/

- /

3

<21 =- Е2

(

4/ +

Л Л - 2 ) )

\\

((

- Е

/2

- 3

))

3

<22 = ~ Е2

/

- Е

.(Г

чч

г с

3

Ч ч

4 - / - у^ + у2 3)+ 1-^23 + У2 1П°2 )!

1- -11(1 + У23)+ 2/ - -1- 1(3 + У23 - 2^2уЬ)

/2

/2

/ -11 - Е*|(4 - / - 31(1 + ^3)+ 2^ 1 -+ У23 - 2^2^2)1.

Чч

Упругие постоянные (3) и (5) получены с помощью кинематического критерия согласования из равенства радиальных перемещений, а (4) и (6) - с помощью кинематического критерия согласования из равенства окружных перемещений.

Рассмотрим резинокордный материал со следующими упругими характеристиками [10]: продольный модуль упругости текстильного корда 23КНТС Е^ = 1277,5 МПа, Е^ = Е2 , продольный модуль сдвига О^ = 4,9 МПа, коэффициенты Пуассона У1°2 = 0,52 и у^23 = 1, модуль упругости резины марки 2и8338 Е * = 4,4 МПа.

На рисунках 1 и 2 представлена зависимость упругих характеристик резинокордного материала от объемного содержания корда в диапазоне / = 0,1 ^ 0,7. Как можно заметить из приведенных графиков объемное содержание волокна в композите для данного резинокордного материала практически не влияет на коэффициенты Пуассона У23, у12 и модуль продольного сдвига О12. В то же

время увеличение объемного содержания корда приводит к значительному увеличению Е2 , причем различие при расчете по формулам (3) и (4), при получении которых в качестве параметров условия согласования использовались различные составляющие вектора перемещений, составляет более чем в четыре раза (при / = 0,7 ).

Рис.1. Зависимость модуля упругости от объемного содержания корда в композите: 1 - Е2 (формула(З)), 2 - Е2 (формула(4)), 3 - О12

1

1

Рис.2. Зависимость коэффициента Пуассона от объемного содержания корда в композите: 1 - У23

(формула(5)), 2 - 1^23 (формула(6)), 3 - у^

Выводы и перспективы дальнейших исследований. Таким образом, получены соотношения для определения упругих постоянных резинокордного материала с учетом несжимаемости резины и трансверсально -изотропных свойств корда. Определено влияние объемного содержания корда на упругие характеристики резинокордного материала.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лапин А.А. Плоская деформация резинокордовой ткани / А.А. Лапин // Расчеты на прочность в машиностроении. - М.: Машгиз, 1955. - С. 87-99.

2. Gough V.E. Stiffness of cord and rubber constructions / V.E. Gough // Rubber Chemistry and Technology. - 1968. - V. 41, N 4. - P. 988-1021.

3. Тангорра Г. Упрощенные расчеты многослойных резинокордных пластин как комбинации ортотропных слоев / Г. Тангорра // Труды международной конференции по каучуку и резине. -М: Химия, 1971. - С. 459-467.

4. Walter J.D. Approximate expressions for the elastic constants of cord-rubber laminates / J.D. Walter, H.P. Patel // Rubber Chemistry and Technology. - 1979. - V. 52, N 4. - P. 710-724.

5. Akasaka T. Structural mechanics of radial tires / T. Akasaka // Rubber Chemistry and Technology. -1981. - V. 54, N 3. - P. 461-492.

6. Композиционные материалы. Справочник / Под. ред. Карпиноса Д.М. - К.: Наук. думка, 1985. -592 с.

7. Аболиньш Д.С. Тензор податливости однонаправленно армированного упругого материала / Д.С. Аболиньш // Механики полимеров. - 1965. - № 4. - С. 52-59.

8. Ван Фо Фы Г.А. Упругие постоянные и напряженное состояние стеклоленты / Г. А. Ван Фо Фы // Механика полимеров. - 1966. - № 4. - С. 593-602.

9. Класторны М. Точная теория жесткости однонаправленных волокнисто-армированных композитов / М. Класторны, П. Кондерла, Р. Пиекарский // Механика композитных материалов. - 2009. - Т. 45, № 1. - С. 109-144.

10. Растеряев Ю.К. Составные резинокордные материалы и механика их деформирования / Ю.К. Растеряев, Г.Н. Агальцов // Геотехшчна мехашка: мiжвiдомчий збiрник наукових праць. -Дншропетровськ, 2005. - Вип. 60. - С. 200-248.

11. Болтыров А.А. Определение упругих эффективных характеристик однонаправленного резинокордного материала / А.А. Болтыров // Восьмой симпозиум «Проблемы шин и резинокордных материалов». - М.: ООО «Научно-технический центр «НИИШП». - 2007. - Т.1. -С. 73-82.

12. Гребенюк С.Н. Упругие характеристики композиционного материала с транстропной матрицей и волокном / С.Н. Гребенюк // Методи розв'язування прикладних задач мехашки деформiвного твердого тша: збiрник наукових праць. - Днiпропетровськ: Лiра, 2011. - Вип. 12. - С. 62-68.

13. Гребенюк С.Н. Определение модуля сдвига композиционного материала с транстропными матрицей и волокном / С.Н. Гребенюк // Методи розв'язування прикладних задач мехашки деформiвного твердого тша: збiрник наукових праць. - Дншропетровськ: Лiра, 2012. - Вип.13. -С. 92-98.

14. Гребенюк С.М. Визначення пружних сталих композита з транстропними матрицею та волокном на основi кшематично! умови узгодження / С.М. Гребенюк // Вюник Запорiзького нацiонального унiверситету. - Запорiжжя: ЗНУ, 2012. - № 1. - С. 62-76.

ГРИЩАК Виктор Захарович - д.т.н., профессор, Заслуженный деятель науки и техники Украины, проректор по научной работе Запорожского национального университета.

Научные интересы:

- устойчивость и динамика конструкций, механика композиционных материалов, асимптотические методы.

ГРЕБЕНЮК Сергей Николаевич - к.т.н., доцент, заведующий кафедрой математического анализа Запорожского национального университета.

Научные интересы:

- механика композиционных материалов, численные методы.