Управляющие функции и аргумент производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.Д. Садритдинова УПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ И АРГУМЕНТ ПРОИЗВОДНОЙ

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда Президента РФ для молодых российских ученых, грант № МК — 2409.2003.01

В работе продолжается исследование связи уравнения Левнера и функционала, представляющего собой аргумент производной голоморфных однолистных в круге функций, имеющих р-кратную симметрию вращения относительно нуля.

1. Пусть Бр - класс голоморфных однолистных в единичном круге Е = { : < 1} функций, нормиро-

ванных условиями / (0) = 0, /' (0) = 1, имеющих р -кратную (р = 2,3,...) симметрию вращения относительно нуля. Пусть Б'р - плотный подкласс класса Бр функций

fP (z)= lim ет f (z, т);

(1)

решение уравнения

где f (z,т) = ехz + ..., 0 <х<с Левнера

dQ =_z цp (х) + СР , z(z,0) = z 6 E, d т V (т)_С’

в котором ц(т), |ц(т)| = 1,- непрерывная или кусочнонепрерывная функция на [0, ж).

Рассмотрим функционал

1 (fp, z0 ) = arg fp(z0) где fp 6 Sp, z0 - фиксированная точка в E \ {0} . Этот

функционал дает значение угла поворота касательной к некоторой кривой, проходящей через точку z0, в точке z0 при отображении fp . Известно, что экстремальные функции задачи о максимуме функционала I (fp, z0) принадлежат классу S'р . Также известно,

что функцию класса Sp можно аппроксимировать функциями класса S'p. Таким образом, задачу достаточно решать для подкласса S'p . Сузим I (fp, z) на подкласс S'p . Так как оценки функционала на Sp не зависят от arg z0, то ограничимся рассмотрением 1 (fp , Г ) = arg Гр(г ), Г = Iz„|.

2. Параметризуем функционал I (fp, г).

Из уравнения Левнера имеем d ln ет f 2 fp

d т

(2)

Цp _ fp

Продифференцировав соотношение (1) по z , получим

2p^pfp

d , f'

—ln— = —

dT f

(3)

рР - Г )

где /' - производная функции / (х, т) по г . Проинтегрировав равенства (2) и (3) по т, используя (1) и

условие f (z,0) = z, будем иметь

fp (z)? fp ^ т)

0 Цp (т)_ fp (z, т)

ln

d т

,nfff) = _2pf ^ (т) fp (z, т) 2 dт.

fp (z) 0 [цp (т)_ fp (z, т)

Отсюда при z = т получаем ln fP( Г )=

=_2 J

fP (Г, т) + pM-p (т)fP (г т)

d х.

(4)

Цp (т)_fp (г,т) [цp (т)_ fp (г,т)]

Обозначим

|f (^ "Орр^ T) = P(T), (5)

f (Г, т)ц(т) = Р( ^ т)у (г т) = р(т)у (т)

и сделаем в равенстве (4) замену переменной т на р . Получим

ln fp(r ) = _2j

yp +■

?(yp _Pp) 1 _Ppyp

рp ldр

1 _P

2 p

Заменим функцию у (г , р), |у (г, р)| = 1, на вещественнозначную функцию t (г, р) по формуле

y=

i +1 i _ t

Заменим также переменную р на s, положив

р =

1 _ s 1 + s

_2i

Будем иметь

p(yp_рp)

yp +

где CT = -

1_рpyp

1 _ rp

рp ldр

1_р

2 p

=i i

1 2t 2st | ds

p 1+t2 + s2 +t2

1 + rp Таким образом,

1 (fp, Г ) = } g (^t )ds,

где

g (s, t ) =

2t

1 2t

pst2 +1 t2 + s2

(6)

и

0

Очевидно, что некоторое решение t = t (s). ст< s <1, уравнения

8 t =-

1

2 (l -t2 ) 2 ( s2 -t2 )

= 0

ps (i +12 )2 (s2 +12 )2

доставит максимум функционалу I (fp, r).

3. Перепишем уравнение (7) в виде

3 2 -1 + 2 ps + 2s2 - ps3

x + x2 ------------------— +

(7)

+x

1 + ps

ps - 2s2 - 2ps3 + s4 ps3 + s4

1 + ps

1 + ps

= 0,

(8)

pv2 +1 u2 + 1

где

t2 - s2 2ts

t2 -1 2t '

(9)

Зададим эту кривую параметрически, положив

1 v h

pv2 +1 2

Будем иметь

u = um (h) =

1+2-1)m71lh2

m = 0,1,

Таким образом, мы будем рассматривать ветви кривой третьего порядка, расположенные в четверти плоскости 0 < и < +да, -да < V < 0, которой при отображении (9) соответствует треугольник Д, определяемый неравенствами 0 < t < 1, 0 < 5 < 1, t > 5.

5. Из уравнения вспомогательной кривой получаем

=- LL-H

+2-1)'

(v2 +1) _ 1

-1, l = 0,1.

Это уравнение при и > 0, V < 0 представляет собой уравнения интересующих нас ветвей. Заменим здесь переменные и и V на 5 и t. Будем иметь

где X = t .

Поскольку здесь коэффициенты при X3 и свободный член имеют противоположные знаки при

0 < 5 < 1, то данное уравнение имеет хотя бы один положительный корень. Условием существования одного вещественного положительного корня X = X (5) уравнения (8) является неравенство

-р2 (512 +1)(8р3 + 8р)10 +1)5-74р2 (58 +1)52 +

+(8р3 + 8р)6 +1) + 433р2 (54 +1)4 -

-(16р3 +16р)2 +1) -716р256 > 0.

При выполнении этого условия соответствующие корни t01 (5) = ±^х (5) уравнения (7) доставят минимальное и максимальное значения функционалу

1 (Гр ■ г )•

4. Для того, чтобы составить представление о графике кривой (7), перейдем к более простой кривой третьего порядка

1 *’ = 0,

p 2'2+1)

4 г -1

ft2+1)4

16 (л

-12 ±

2'2 +1)2

2 t2 -1

p м

4 t2 -1

2t2+1)4

16 i л

2t2 -1)2

Это уравнение задает все ветви кривой (7). Выбирая и анализируя те из них, которые проходят через треугольник Д , и вводя обозначения

а() = р(^^2 -1 , ь+() = а()+^Jaaгрj—I,

b (t) = a (t)_^ja2 (t)_ t2 , получаем, что максимум функционалу I (fp, г) при

0 < s < s/.

2 p+7 p2 -1) +1+p+^/ p2 -1

, . -1 + (-1)” V1 - р2к2

V=V” (к)=—^ ; р—, ”=0,1.

рк

Исследовав расположение ветвей этой кривой, отбрасываем ветви, лежащие в четверти плоскости -да < и < 0, 0 < V < +да, так как их прообразы при

отображении (9) расположены в полуполосе 0 < 5 < 1, -да < t < 0. Из (6) легко видеть, что верхнюю оценку функционалу I (/р, г) доставляют только функции t = t (5), у которых t > 0.

доставляет решение уравнения (7), задаваемое формулой

s0 (t) = b-(t) + д/2a (t)b~ (t), (10)

а при s(0) < s < 1 - решение уравнения (7), представленное формулой

^ (t) = b+(t) + ^2a(t)b+ (t). (11)

6. Из формул (5) получаем ц = ye^, где ф = arg f.

Итак, имеет место

Теорема. Управляющие функции в уравнении Левнера

d z= Лцp (т)+Z p

■=-z-

C2z,0)=:

dт Цp (т)_Сp

доставляющие максимум функционалу

I(fp,z) = argfp (z), fp 6 Sp (p = 2Д...)

при фиксированном значении z ,| zl < 1, определяются формулой

ц* = Уке'ф, к = 0,1

s

h

где

Ук(5) =

''+ Ч (5)

, - к (5)

0 < 5 < 1,

функции ^ ^ (5) и t1 = ^ (5) неявно задаются соот-

ветственно равенствами (10) и (11), а фк =фк (5), учитывая связь переменных 5 и р

р =

находятся из уравнений

ё 1п р

ё т

1-Р

2р

1 -ррур

1 - 5 1 + 5

<р (р - ур) 2.

1 -ррур\

При этом к = 0, если 0 < 5 < 5(0), то есть р(0) <р <1

(р + 7 р2 -1) +1 + р + 7 р2 -1 ->/2 +1 (р+7 р2 -1) +1+р+4 р2 -1+^2 -1

р(0)

и к = 1, если 5(0) < 5 < 1, то есть 0 <р < Р(0).

Случай р = 1 исследован И.А. Александровым и А.И. Александровым в [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения // ДРАН. 2000. Т.371. №1. С.7-9.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

3. Попов В.И. Исследование некоторых функционалов и свойств линий уровня на классах однолистных функций: Автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук. Томск, 1965.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 24 мая 2003 г.

2