Управляющие функции и модуль производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.Д. Садритдинова

УПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ И МОДУЛЬ ПРОИЗВОДНОЙ

Продолжается изучение задачи об областях значений функционалов на классах однолистных функций. Параметрический метод указывает связь между управляющей функцией в уравнении Левнера и значением функционала. Особый интерес представляют управляющие функции, которым соответствуют граничные значения.

Задача о нахождении экстремальных управляющих функций решена для arg f '(z) И.А. Александровым и А.И. Александровым на классе S [1], Г.Д. Садритди-новой на классе S [2].

Ставится задача отработать технику нахождения экстремального управления для различных функционалов, зависящих от значения функции и ее производной в фиксированной точке, на различных классах однолистных аналитических функций, и, возможно, сформировать некоторый класс управляющих функций.

В настоящей работе показано, что на классе S однолистных голоморфных в круге E = {z : |z| < l} функций с нормировкой f (о) = 0, f '(о) = 1 необходимо использовать разные вспомогательные вещественнозначные функции, для того чтобы получить управления, дающие максимум и минимум функционалу I (f, z 0) = | f f(z 0), где zо е E \ {о} - фиксированная точка. Данное исследование представляет интерес, в частности, для того чтобы в дальнейшем решать задачу нахождения экстремального управления для I (/, z 0 ) на классе SM функций класса S, отображающих E на области, лежащие в круге {w: |w| < M}, M > 1, и обладающих p -кратной симметрией вращения, p = 2, 3, ..., где возникают определенные трудности.

Известно, что граничные функции для данного функционала отображают E на плоскость с исключенной бесконечной кусочно аналитической кривой, т.е. принадлежат плотному подклассу S' класса S функций f(z) = lim eT f (z, т), где f(z, t) = e-T z +... - реше-

ние уравнения Левнера

dC _ ^(т)+С — — —с

dx

с-

0 < т < да, c(z,0) — z є E,

будем иметь

ln f '{r ) = -2j

РУ

РУ

dx.

1 -PУ (1 -py)2 Сделаем здесь замену переменной т на р по формуле

d ln р 1 -р2

(2)

dx 1 _pj|2 ' V '

следующей из уравнения Левнера и указывающей на монотонное убывание функции р(т), причем р(г,0) = г и lim р(, т) = 0 . Получим

ln f '{г )=-2j

У +

У-Р 1-РУ

т^Г - ln(1 - r2 )• (3) 1 -р

Для удобства выделения вещественной и мнимой частей в равенстве (3) введем вещественнозначную функцию /(г, р) вместо у(г, р) по формуле у = ( -1)/(/ +1). Сделав также замену

„ 1-Р

1 + р

получим

где

g (s t )=

1 -12

1 - s 212 1 + s 212

ds

s

1 - r

(4)

(5)

Ц(т)-?'

в котором ц(х), ц(т) = 1 - кусочно непрерывная функция.

Параметризуем функционал Iff, z0). Так как его оценки не зависят от arg z0, будем считать, что Z = r, 0 < r < 1.

Выполняя некоторые преобразования над уравнением Левнера при z = r, получаем

ln f(r) = -2) ,f( t) . + jiMriTL Id,,

0J U(t)- f (r 1 t) [t)- f (r, t)] J

где f (z) e S'. Вводя обозначения \f (r, = p{r, x),

f (г, т)ц(т) = р(г, x)y(r, t) , (1)

1 +12 1 + s21 2 ' 1 + r

Зафиксируем s, a < s < 1. Предполагается, что существуют решения уравнения g' (s, t) = 0 , доставляющие экстремумы интегралу (5), а следовательно, и функционалу I(f,r). Но данное уравнение имеет единственный вещественнозначный корень 10 (s )= 0, причем g(s, t0 (s)) = max g (s, t) = 2 и функционал

1 + r

r) достигает верхней оценки

Восстановим экстремальную управляющую функцию ц(т), т.е. ц(т), соответствующую максимальному значению функционала I(f, r). При t = 0 получаем y = -1. Интегрируя (2) с начальным условием p(r,0) = r и интегрируя уравнение

.darg/M- Pjy -y)

dT 1 -руГ

arg f (r,0) = 0,

(6)

следующее из уравнения Левнера, при полученном y находим

0

а

а =

р =

где

(l -^1 + 4e-T Ki (r) 4e-T Kj (r)

K г (r ) = -

-, arg f (r, t) = 0,

(1 - г )2

Из формулы (1) видим, что ц(т)= -1. Проинтегрировав уравнение Левнера с найденной ц(т), получаем

4e -т K1 (z)

Экстремальная функция класса S', доставляющая функционалу I((, r) максимум, имеет вид

f (z ) = lim eT f (z, x) =

(1 - z)2 ■

Для того чтобы найти экстремальное управление ц(т), соответствующее минимуму функционала I (/, г ), введем в интегральном представлении 1п f '{г) (3) вместо функции у(г, р) вещественнозначную функцию и(г, р) по формуле у = (г + и)/(г - и). С учетом замены (4) получаем

1п//гI1 - г 2 )]= 1 и)— ,

где

ф(, и ) = -

1 - и2 1 + и2

22 s - и

2 , 2 s + и

кую, что ф(, и0 (s))= min ф(, и) = -2 и I(f, r) достига-1 - r

ет нижней оценки

(1 + r )3

Восстановим ц(т), соответствующую минимуму функционала I((, г). При и()= 0 получаем у = 1, и интегрирование уравнений (2) и (6) при тех же начальных условиях дает

Р=-

где

(l 1 - 4e -т K2 (r) 4e-т K 2 (r)

K 2 (Г )= Г

arg f = 0 ,

(1 + г )2

Тогда по формуле (1) ц(т) = 1.

Проинтегрировав уравнение Левнера с такой ц(т), получаем

Г1 ~41 - 4е -т к 2 (2) "1 7 < т)=——.

Легко находится и экстремальная функция 7 ( )=&+?

•е S',

Из равенства ф'и (s, и) = 0 находим единственную вещественнозначную функцию u0 (s) = 0, причем та-

доставляющая минимум функционалу I(f, r).

Добавим, что при решении задачи о нахождении экстремальных управляющих функций для arg f '(z) на классе S ограничиваются только задачей о максимуме в силу симметричности оценок этого функционала.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения // ДАН. 2000. Т. 371,

№ 1. С. 7-9.

2. Садритдинова Г.Д. Управляющие функции и аргумент производной // Вестник Томского государственного университета. Сер. «Математи-

ка. Кибернетика. Информатика». 2003. № 280. С. 78-80.

3. АлександровИ.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука,1976.

Статья поступила в редакцию журнала 13 ноября 2006 г., принята к печати 20 ноября 2006 г.

Г

2

2

а