CC BY
42
УДК 621.396
УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЯМИ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ В УСЛОВИЯХ ОПТИМИЗАЦИИ НАВИГАЦИОННОГО СЕАНСА ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОМ ЗАВИСИМОМ НАБЛЮДЕНИИ
В.В. ЕРОХИН
Рассмотрены алгоритмы определения координат воздушного судна в интегрированной системе навигации и оптимального управления траекторией. Результаты исследований параметров навигационного сеанса и точностных характеристик оценки местоположения показали, что применение оптимального управления траекторией позволяет повысить точность навигационных определений при неполном созвездии навигационных спутников.
Ключевые слова: траектория, оптимальное управление, навигация.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из направлений повышения эффективности авиационной транспортной системы (АТС) является совершенствование системы организации и управления воздушным движением (УВД), базирующееся на внедрении разработанной Международной организацией гражданской авиации (ИКАО) концепции - связь, навигация, наблюдение и организация воздушного движения (CNS/ATM), основанной на принципах автоматического зависимого наблюдения (АЗН) и его дальнейшего развития Free Flight - "свободный полёт" [1].
Концепция «свободный полет» позволяет воздушному судну (ВС) выполнять полет по выбираемой экипажем оптимальной для данных условий воздушной обстановки траектории при взаимодействии с другими ВС и объектами системы УВД - навигационными опорными точками (НОТ). При этом появляется возможность более эффективного использования структуры воздушного пространства, повышения экономичности и надежности функционирования АТС, что определяет высокие требования, предъявляемые к качеству навигационно-временного обеспечения ВС. Высокую точность определения навигационно-временных параметров (НВП) ВС при зональной навигации предполагается обеспечить путем использования спутниковых систем навигации (ССН) (рис. 1,а).
Существующие ССН второго поколения (ГЛОНАСС, GPS) создают достаточно точное глобальное навигационно-временное поле, что позволяет решать основные задачи самолетовождения на воздушных трассах и в зоне аэродромов с требуемым уровнем безопасности полетов. Между тем, ССН имеют ряд существенных недостатков -низкая помехозащищенность, нарушения целостности навигационного обеспечения и непрерывности обслуживания и др., которые не позволяют использовать их в качестве основных навигационных систем. При этом точность определения координат ВС будет в значительной степени зависеть от условий навигационного сеанса: взаимного положения и погрешностей определения координат НОТ, функции которых могут выполнять в том числе ВС [2].
Повышение точности и надежности навигационного обеспечения возможно комплексированием в составе интегрированной системы навигации (ИСН) приемоиндикатора (ПИ) ССН, бортового терминала системы АЗН и инерциальной навигационной системы (ИНС). Наличие в системе объектов, имеющих степени свободы своего передвижения, определяет потенциальную возможность оптимизации условий навигационного сеанса для повышения точности навигационного обеспечения ВС (рис. 1,6). В этой связи актуальной задачей является синтез алгоритмов комплексной обработки информации (КОИ) и управления траекториями полета ВС.
Навигационные спутники СР5/ГЛОНАСС
Предупреждение
Сеть авиационном электросвязи
а б
Рис. 1
а) обобщенная структура навигации, наблюдения и организации воздушного движения;
б) неуправляемая и управляемая траектории полета ВС
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ
Для псевдодальномерного метода уравнение наблюдения от 1-го НС (НОТ) для к-го момента времени записывается в следующем виде:
$ = s(tk, х'к, х*) + 4 = сТЦ + 4 = Е + еМ\ + Ц
я
к 5
(1)
где Т'Я - время распространения сигнала; х'к, х{ - вектора координат объектов;
Е'к = [(х , - х*) + (уя - у*) + (I { - г*)] - дальность до ]-го источника информации (ИИ); cAtгк -
смещение шкалы времени ВС относительно системного; п\ - шум наблюдения, принимаемый
■■ ■■ 2 22
дискретным БГШ (ДБГШ) со статистическими характеристиками: М{ п* }=0 и М{ п* }= <.
При синтезе алгоритма КОИ в ИСН считаем, что оценка вектора состояния производится на основе совместной обработки наблюдений ИНС, ССН и АЗН, используется единая шкала времени, объекты АЗН выполняют синхронизацию своих часов по сигналам НС ССН. Для получения КОИ предлагается использовать модернизированный вариант комплексирования. Представим сигнал ИСН в виде:
Пк = хк + А,
(2)
где хт = |х,Г ,у,Г ,г,Г ,/\ - вектор НВП; Ат = \йх,8Гх,8у,5Уу,8г,5Уг,8тс ,8/\ -вектор погрешностей определения НВП.
Динамика статистической взаимосвязи между компонентами векторов хк и Лк в моменты времени 1к-1 и задана стохастическими разностными уравнениями:
хк = Ф хЛ~1 + Пхк, Ак = фаА-1 + П
Ак-
в которых Фх и Фа - матрицы, описывающие динамику полета ВС и ошибок ИНС.
Несмотря на то, что входящие в наблюдение (2) величины х и Я неразделимы, поступаем формально, подставив хк = Пк — Як в (1), тогда: к = 5(1к ,Цк — Як) + пк. Таким образом, параметром, подлежащим оценке по совокупности наблюдений, является вектор ошибок ИСН Як. Используя методику локальной гауссовой аппроксимации на основе совокупности наблюдений на входе ИСН, синтезируем алгоритм оценки координат ВС по критерию минимума среднего квадрата ошибки (СКО):
К-
к Ш1П
= М {(Я — Я)2} = I (Я — Я )2 р (Я ко к, ПО к) <Я .
АЛГОРИТМ ФИЛЬТРАЦИИ ТРАЕКТОРИИ
Применительно к данному случаю многомерной дискретной фильтрации уравнения наблюдения и сообщения имеют следующую форму записи:
к = НЯ + пк, Я = ФЛ-1 +'Як,
п,
где
Н. =
эЩс эяГпт
Я дЯ
- матрица направляющих косинусов (наблюдений) на 1-й ИИ (НС,
НОТ); п^к, Пяк - векторы ДБГШ с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными матрицами Ук и Qk. Диагональными элементами корреляционной матрицы Ук являются дисперсии определения псевдодальностей до НС и НОТ (Оп, 1=1..К - количество НС и НОТ).
Рекуррентный алгоритм оптимального оценивания вектора состояния на основе расширенного фильтра Калмана записывается в виде:
1) Я = ФкЯ—1 + Кк (к — к) - оценка вектора состояния;
2) Як = (I — КкНк)Як - корреляционная матрица ошибок оценивания;
3) Як = ФкЯк—1ФТ + Qk - экстраполированная корреляционная матрица ошибок оценивания;
4) Кк = КкН|[(НкКкНт + Ук)—1- коэффициент усиления фильтра,
где к - вектор экстраполированных наблюдений, вычисленных на основе определения
координат системой счисления и переданных значениях координат ИИ.
Точность оценки НВП определяется корреляционной матрицей ошибок фильтрации
вектора состояния Я. Диагональными элементами корреляционной матрицы Я являются
■2 —.2 _2 _2 _2 _2 _2 _2
х ,0Ух ,0у,0Уу , , ( , (А ,(Г
дисперсии пространственно-временных параметров ВС: 02х,0ух ,о2,еУУ, о2, о^, оА , о2.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИЯМИ
Применительно к задаче оптимального управления траекториями уравнения наблюдения и динамики стохастической взаимосвязи между компонентами вектора состояния запишем в виде:
£ = 5Лл)+п, 4=и)+, (3)
где Як(Я,ик) - ш-мерная функция, зависящая от Хк и ик; &к(Хк—1 ,ик) - п-мерная функция, зависящая от Хк и приложенного управления ик .
На основании уравнений (3) требуется определить такое оптимальное управление Wv = ñ(tv) траекторией движения на основе всей располагаемой совокупности НС и НОТ, при котором достигается экстремум среднего значения некоторого функционала текущих потерь при нахождении управления в текущий момент времени (локальный критерий) или в конечный момент времени с учетом всего переходного процесса (интегральный критерий) [3]. Уравнение, характеризующее траекторию движения ВС, имеет вид:
* = фк *-i + в Äc * + ñec *
где Ф* - матрица взаимосвязи координат ВС в соседние моменты времени t* и t*-ú иТвс = \щ,U2,....,иг\ - вектор траекторией ВС размерности r; B* - матрица коэффициентов
вектора управления размерности nxr; r - число реализуемых каналов управления определяющимся ВС.
Выбор вида функционала во многом определяет характер решения и структуру оптимального закона управления и]с = |м1,м2,....,Ur\. В инженерной практике и современной
теории оптимальных систем широкое применение находит обобщенный квадратический функционал ошибки управления. Квадратичная функция потерь имеет вид:
С* ((*, u*) = (I* - хг )Т 0 * (Ч - I?)+u Tk *u*, (4)
где X,зад - заданная траектория; 0 * и К * - неотрицательно определенные весовые матрицы штрафов.
Первое слагаемое характеризует потери за ошибку (отклонение от заданной траектории), второе слагаемое - затраты на управление. Функционалы потерь для интегрального и локального критериев оптимизации имеют вид:
Jk = M j С*(X tk, щ}, J = M {|С* (I*, %,щ)}, (5)
где Jk - функционал текущих потерь, отражающий качество навигационных определений в текущий момент времени; J - суммарный функционал потерь,
характеризующий условия навигационного сеанса на всей траектории; С* ^X*, X*, и*
заданная функция, характеризующая условия навигационного сеанса [4].
Критерий оптимизации (5) должен обеспечивать максимальную точность оценивания параметров вектора состояния ВС. Поэтому функцию стоимости в (5) при использовании квадратичного критерия оптимизации (4) можно представить в виде:
С* (I*, i W* j = (I* - Í* У 0 (I* -1 j, (6)
где X* - истинное значение вектора состояния ВС в момент времени tv, "к* - оценка вектора состояния, формируемая в результате комплексной оптимальной обработки информации.
Математическое ожидание данной функции по ку равно:
М ^Ск [¿к, %,Щ )} = ¿г {0 Як}, (7)
где Як - значение корреляционной матрицы ошибок фильтрации; ¿г - математическая операция нахождения следа матрицы, т.е. суммы диагональных элементов матрицы.
Минимизация функционала текущих потерь, исходя из выражения (6), достигается при минимуме значения корреляционной матрицы ошибок фильтрации в текущий момент Як, которая для исследуемой системы удовлетворяет рекуррентному уравнению:
Я—1 = (Ф к Я^Ф кт + Чк Г + Нк (йк )т У; н к (йк). (8)
Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо определить оптимальное управление для системы (3), которое минимизирует значение корреляционной матрицы ошибок фильтрации (8). Особенность данной задачи состоит в том, что поиск оптимального управления выполняется на основе стохастической теории управления.
Вектор управления ик в выражении (8) влияет только на значение второго слагаемого.
Следовательно, минимизация корреляционной матрицы ошибок фильтрации за счет организации оптимального управления траекторией ВС в момент времени Iк достигается при максимуме выражения Н(ик )т Ук—1Н(ик ) , которое выбирается в качестве функции стоимости.
В задачах оценивания динамических стохастических систем точность численного решения зависит от состава, количества наблюдаемых сигналов и продолжительности времени наблюдения. Характеристикой указанной точности является «мера наблюдаемости»
Г = Н(?)тН(?)At [4]. Для практического использования вводят понятие детерминанта матрицы Грама («мера наблюдаемости»), который численно характеризует площадь, «охватываемую» фазовой траекторией вектора наблюдений на интервале оценивания (¿о, ¿к) и определяемую выражением:
¿к
ёе* Г = ёе* | Н(?)т Н(?)< = Н(?)т Н(?)А?.
¿0
Чем больше величина det Г, т.е. величина «меры наблюдаемости», тем лучше наблюдаемость и управляемость системы, следовательно, тем выше точность оценки переменных вектора состояния, в нашем случае - вектора состояния ВС.
При заданных стохастических характеристиках шумов наблюдения решающее правило оптимизации примет следующий вид:
% = а^шах(ёе1(Н(и"к)Т Н(ик))). (9)
ик
Функция (ик )т Н(ик)) в выражении (8) определяет зависимость точности
навигационных определений от взаимного расположения потребителей и источников
т
информации и определяется как «мера наблюдаемости» Г = Н НА?. При At=1 мера наблюдаемости непосредственно входит в выражение для определения геометрического
фактора (ГФ) К г = Цг
[(нТ н )
/2
. Поэтому в качестве критериев оптимизации траектории ВС
принимается минимум коэффициента геометрии и максимум «меры наблюдаемости».
Оптимальное управление ик при локальной оптимизации находится из условия
максимума det(H(ик)ТН(ик)) на каждом шаге, т.е. максимума меры наблюдаемости, в
соответствии с выражением (8) [4].
Для практической реализации оптимальные траектории должны аппроксимироваться траекториями с ограничениями. Так как существуют ограничения на управление в виде неравенств \ик \ < ит , то в качестве управления на объект подаются значения, являющиеся проекцией закона управления оптимизирующий выбранный критерий ик на множество допустимых значений:
Щ =
и.
ит^ёп(ик X
если
если
<и
к
> и
ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПАРАМЕТРЫ УПРАВЛЕНИЯ
Управление траекторией движения ВС может быть реализовано по каналам угла атаки, скоростного угла крена и тяги двигателя (по направлению и по скорости). Совокупность управлений и должна учитывать ограничения на управление, параметры траектории, фазовые координаты, время маневра и оптимизировать выбранный критерий качества управления. Ограничения на параметры управления (ПУ) сведены в систему неравенств следующего вида:
иПУ =
т
Оп1п( Р) <а< Опт (Р1 Щ < Опах( Р X Щ < ^пах( Р X Щ < Р1
V ■ < \у\ < V ,0 < а < а ,
Ш1П | | тах ? | | тах ?
пах
ДОП
т доп
а < 0, п
1ДОП — ' X
пг < 0, п„
х Доп ' У тах
пу < о,
У доп
где р - вектор параметров траектории, от которых зависят конкретные значения ограничений на управляющие воздействия; атах - максимально допустимое ускорение ВС; \ш1п и \шах - минимально и максимально возможные скорости движения ВС; а - скоростной напор; пх и пу - проекции вектора перегрузки на продольную и нормальную оси связанной системы координат.
Помимо ограничений, связанных с возможностями ВС и экипажа при решении задачи оптимизации, накладываются траекторные ограничения (ТО), определяемые целевой задачей полёта, связанные с ограничениями на текущие и конечные значения фазовых координат центра масс ВС. Эти ограничения имеют вид неравенств:
иТО =
т
V(Ц) - \доп < (>)0,^) -рдоп < (>)0, М < ГшЛР), Н(Ц) - ядоп < (>)0
А\(Ц)-А\доп < (>)0, - А^доп < (>)0, АН(Ц)-АНД0П < (>)0, Т - Т < (>)0, АТ - АТД0П < (>)0,
где Т - продолжительность манёвра; п - количество траекторных ограничений; V - скорость ВС относительно Земли; ф - угол курса; Н - высота над поверхностью Земли; АТ = Т - Т
треб '
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛЬ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ
Математическая модель траекторного движения динамического управляемого объекта (ВС) в горизонтальной плоскости стандартной нормальной системы координат описывается следующей системой дифференциальных уравнений (рис. 2):
x' = V cos^, z' = V sin^, ш'=а u,
r ""max '
«max = k 1 V,
(10)
где х - ордината положения ВС по оси ОХ в стандартной нормальной системе координат; ъ - абсцисса положения ВС по оси 02 в стандартной нормальной системе
координат; у - направление вектора скорости (угол отсчитывается от оси OX по часовой величина допустимой угловой скорости; k > допустимого бокового ускорения ВС; V = const > в отсутствие возмущений; u - управление, |u1| < 1.
Система уравнений (10) с достаточной точностью описывает процесс разворота и движения на прямолинейных участках и используется для стандартных навигационных расчетов.
или угол поворота траектории стрелке); юшах - максимальная 0 - максимальная величина 0 - приборная скорость самолета удовлетворяющее ограничению
а б в
Рис. 2
а, б) параметры траектории полета ВС; в) стандартная нормальная система координат
МОДЕЛИРОВАНИЕ, ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК, ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Исследования параметров навигационного сеанса и точностных характеристик НВО проводились на основе разработанной модели движения НС орбитальной группировки. На рис. 3 представлены погрешности оценки координат и местоположения (МП) ВС, обеспечиваемые ИСН при 2 НС с инерциальной поддержкой (а), в качестве дополнительных источников навигационной информации использовались 2 НОТ АЗН (наземная и воздушная) (б). При этом радиальная погрешность на выходе ИСН снижается с 36 м (ошибка системы счисления) до 20 м.
2а .,м
1- Ш+2 N3 2- т+2 N8 +2 N07-
б Ьс
Рис. 3. Погрешность определения координат ВС в ИСН при работе по неполному созвездию НС: а) погрешность определения координаты X; б) радиальная погрешность определения МП ВС
На рис. 4,а показана динамика изменения «меры наблюдаемости» и ГФ в горизонтальной плоскости: кривые 1, 2 - мера наблюдаемости и горизонтальный ГФ без управления, кривые 3, 4 - при оптимальном управлении, соответственно. На рис. 4,6 представлены результаты исследования точностных характеристик НСН при различных конфигурациях ИИ с применением оптимального управления траекторий ВС: кривая 1 - динамика радиальной погрешности при работе ИСН по 2 НС с инерциальной поддержкой; кривая 2 - радиальная погрешность при работе ИСН по 2 НС и 2 НОТ АЗН (наземная и воздушная); кривая 3 -радиальная погрешность МП для 2 НС и 2 НОТ АЗН (наземная и воздушная) при оптимальном управлении траекторией ВС; кривая 4 - радиальная погрешность МП при работе по 4-м НС с инерциальной поддержкой.
Сравнительный анализ показывает, что применение оптимального управления траекторией ВС позволяет повысить точность навигационных определений по данным ИСН при неполном созвездии НС СНС до 2ог ~ 10м (в зависимости от геометрического
фактора) и по 4-м НС.
приблизить ее к точностным характеристикам системы при работе
Рис. 4
а) геометрические условия навигационного сеанса: геометрический фактор Кху (а);
б) радиальная погрешность определения МП
мера наблюдаемости ГХГ, горизонтальный
ВЫВОДЫ
Из анализа полученных результатов следует, что организация оптимального управления траекторией ВС по выбранному критерию привела к улучшению условий навигационного сеанса и повышению точности определения МП ВС. Применение синтезированных алгоритмов фильтрации и оптимального управления траекториями позволяет повысить точности
местоопределения ВС в среднем на 28%. Таким образом, совместное применение ССН, ИНС и системы АЗН в составе интегрированной системы навигации позволит повысить точность определения координат ВС на различных этапах полета.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крыжановский Г.А. Концепция и системы CNSIATM в гражданской авиации. - М.: ИКЦ Академкнига, 2003.
2. Руководство по требуемым навигационным характеристикам (RNP). Doc 9613-ANI937, ICAO, 1994.
3. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и связь, 1982.
4. Скрыпник О.Н., Ерохин В.В., Слепченко А.П. Оптимизация условий навигационного сеанса для повышения точности навигационно-временных определений в локальной системе координат II Научный вестник МГТУ ГА. 2010. № 159. С. 55-62.
CONTROL OF AIRCRAFT TRAJECTORIES IN THE CONDITIONS OF THE NAVIGATION SESSION OPTIMIZATION AT AUTOMATIC DEPENDENT SURVEILLANCE
Erokhin V.V.
Algorithms of determination of coordinates of the aircraft in the integrated system of navigation and optimum control of a trajectory are considered. Results of researches of parameters of a navigation session and precision characteristics of an assessment of location showed that application of optimum control of a trajectory allowyB to increase the accuracy of navigation definitions in case of incomplete constellation of navigation satellites.
Key words: trajectory, optimal control, navigation.
REFERENCES
1. Kryzhanovsky G.A. Koncepciya I sistemi CNSIATM v grazhdanskoy aviacii (The concept and CNSIATM systems in civil aviation). - M.: IKTs of Akademkniga, 2003. (In Russian).
2. Performance-based Navigation (PBN) ManualDoc. 9613-ANI937, ICAO, 1994.
3. Sage E.P., White J.S. Optimum systems' control. - M.: Radio and communication, 1982.
4. Skrypnik O.N., Yerokhin V.V., Slepchenko A.P. Optimization of conditions of a navigation session for increase of accuracy of navigation and time definitions in local system of coordinates II Nauchniy vestnik MGTU GA. 2010. No. 159. Pp. 55-62. (In Russian).
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Ерохин Вячеслав Владимирович, 1975 г.р., окончил Иркутское ВВАИУ (1998), доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры АРЭО ИФ МГТУ ГА, автор 39 научных работ, область научных интересов - спутниковые системы навигации, комплексная обработка навигационной информации.
