Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 2(11)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.2

М.Ю. Киселева, В.И. Смагин

УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПО УПРАВЛЕНИЮ

Рассматривается задача синтеза прогнозирующего управления, построенного на основе слежении за выходом системы, с учетом запаздывания по управлению. При решении задачи управления с прогнозирующей моделью учитываются ограничения, накладываемые на состояние объекта и на управление. Прогнозирование осуществляется на основе вычисления оценок состояний объекта, построенных с использованием экстраполятора Калмана. Критерием качества является выпуклая квадратичная функция.

Ключевые слова: прогнозирующее управление, запаздывание, экстраполя-тор Калмана.

Одним из современных формализованных подходов к синтезу систем управления, базирующихся на математических методах оптимизации, является теория управления динамическими объектами с использованием прогнозирующих моделей - Model Predictive Control (MPC).

Этот подход начал развиваться в начале 60-х годов XX века для управления процессами и оборудованием в нефтехимическом и энергетическом производстве, для которых применение традиционных методов синтеза было крайне затруднено в связи с исключительной сложностью их математических моделей. В последнее время область применения MPC значительно расширилась, охватывая технологические отрасли [1] и экономику при управлении производством [2, 3], при решении задач управления запасами [4] и портфелем ценных бумаг [5].

Основным достоинством MPC-подхода, определяющим его успешное использование в практике построения и эксплуатации систем управления, служит относительная простота базовой схемы формирования обратной связи, сочетающаяся с высокими адаптивными свойствами. Последнее обстоятельство позволяет управлять многомерными и многосвязными объектами со сложной структурой, оптимизировать процессы в режиме реального времени в рамках ограничений на управляющие и управляемые переменные, учитывать неопределенности в задании объектов и возмущений. Кроме того, возможен учет запаздываний, поскольку зачастую решение об управлении принимается в момент времени t - h, а реализация этого решения происходит в момент времени t.

Результаты настоящей статьи обобщают работу [6] на случай запаздываний по управлению.

1. Постановка задачи

Пусть имеется объект, который в пространстве состояний описывается системой линейных разностных уравнений вида

х+1 = А + ви -к + ^, хо = хо; (!)

у = нх + V; ()

у = ^, (3)

где xt е Rn - состояние объекта; ut е Rm - управление (ut = й(, t = -к, -к+1,..., -1,

й - заданные значения); yt е Rp - выход; уt е Rг - наблюдение; к - величина запаздывания.

Далее будем полагать, что случайные возмущения wt и шумы измерения V не коррелированны между собой и подчиняются гауссовскому распределению с нулевым средним и с соответствующими ковариациями

М} = Щл, М{уЛт } = Щ,к

где 5t к - символ Кронекера.

Ограничения на векторы состояния и управления зададим в виде

а1 < 5^ < а2 ; (4)

ф1 (Х/) < ^й-к < ф2(Х/), (5)

где 51 и 52 - структурные матрицы, состоящие из нулей и единиц и определяющие компоненты векторов X/: и и, на которые накладываются ограничения; а1, а2, ф1(х() и ф2(х/) - заданные постоянные векторы и вектор-функции соответствующих размерностей.

Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям ^ определить стратегию управления, при которой вектор выхода системы у. будет близок к заданному вектору

у/ с учетом ограничений (4), (5).

2. Построение прогнозирующего управления

Поскольку случайные возмущения wt и шумы измерения имеют гауссовское распределение, то можно синтезировать алгоритм оптимального прогнозирования поведением объекта и вектором выхода, используя экстраполятор Калмана [7]. Пусть хи и уи - оценки состояния и вектора выхода в момент времени /,

вычисляющие информацию с/-го момента времени,/ < /. Тогда

х/+1|/ = Ах/|/-1 + Ви/-к + к/ (У/ - Нх/|/-1 ), у+1|/ = Gxt+1|/ , к' = ар/н т ( нрн т + V)-1,

Р/+1 = ж+арА - аР/Нт (щнт + V)-1 нрА , Ро = Рхо. (6)

Указанное выражение для Р{ известно как разностное уравнение Риккати с дискретным временем, Р^ - начальное значение дисперсионной матрицы.

Из уравнений (6) можно построить прогнозируемые оценки вектора состояния и вектора выхода системы для моментов t+2,..., t+N:

Xt+i+1\t = A Xt+,\t + But-h+it , xi|0 = x0 , i = 1N ; ()

yt+,\t = G Xt+,\t , i = 1N • ()

Здесь ut-h+i\t - управление, используемое для прогнозирования, ut-h+i - действующее управление в момент t+i, N - горизонт прогнозирования.

Используя уравнение (7), запишем следующие соотношения:

Xt + 2|t = AXt+1t + But —h+1|t , xt+3\t = Axt+2\t + But—h+2\t = A(Axt+1\t + But—h+1t) + But— h+2\t = A2-^t+lt + ABut—h+1\t + But—h+2\t ,

*,+# = А'-1 х+ц, + £ А]-к-1вЩ-^ ' = 2,Ж . (9)

£=1

Аналогично может быть представлено и уравнение (8). Важно заметить, что каждый прогнозируемый вектор выхода - это функция только от начального состояния х(щ и будущих управляющих сигналов и-Й+1-|»:

ум|» = & хм»,

у + 21» = + 21» = °(АХ»+11» + ВиI-Й+1|» ) = °АХ» +1|» + °ВИ-Й+Ш ,

У+y\t

= GA]—1X

t+1\t

j—1

+ G £ Aj—k—1 Bm, к=1

t—h+k\t

j = 2, N •

(10)

Приведенные уравнения для прогнозируемых векторов состояния и выхода могут быть записаны в векторно-матричной форме. Для этого введем следующие обозначения:

■ En - " G "

xt+1t " yt+1\t" Mt—h+1jt A GA

XXt = , Y = , Ut —h = , ^ = A2 , Л = 2 A G

_ Xt+N\t _ _yt+N\t _ Mt —h+N\t

_ AN—1 _ — A G 1 1

- 0 0 0 ... 0" " 0 0 0 .. . 0"

B 0 0 - 0 GB 0 0 •• • 0

р = AB B 0 - 0 , Ф GAB GB 0 •• • 0 ,

B — • ^ A B — • ^ A 1 ... B 0 gan— 2 B GAN—3 B - GB 0

(11)

где Еп - единичная матрица размера п*п. Тогда прогнозирующая модель (9), (10) примет вид

X,= РП,-й ,

Yt= Лх+т+ ф^—h

(12)

3. Синтез прогнозирующего управления

Для решения поставленной задачи в качестве целевой функции используется

критерий

у+к к Ущс + —к+ кк иг—к+к

(13)

где матрицы С > 0 и Б > 0 - весовые матрицы.

В случае, когда желаемая отслеживаемая траектория управления у+к не известна для к > 0, целесообразно считать у+к = у. Это означает, что заданный уровень устанавливается постоянным в течение всего времени прогнозирования. Преобразуем целевую функцию (13). Введем вектор

У+1

уг+N

Тогда с учетом (12) получим

1 N 2 1|Г -||2

2 ^^||Уг+к!г — уг|| = — ^к|с =

2 к=1 с 2

1

= 2и— кФТСФ^—к + и]—ь[ФТСЛХ^ — ФТС¥(] + с, .

Здесь с1 - постоянная составляющая, которая не зависит от и-к и х,+1, вид

С =

(14) а С имеет

Аналогично

1 N

2 И

2 к=1

г—к+ш иг—к+к—1!г

" С 0 : 0

0 С : 0

_ 0 0 : С

2

Б 1 иТ 2 г нБи{—

,Би, —к + с2

(15)

где с2 - постоянная, не зависящая от иг-к+к (к = 1, N), Б представляется в виде

" 2Б —Б 0 ! 0

—Б 2Б —Б \ 0

Б =

—Б 2Б —Б 0 —Б 2Б

Таким образом, с учетом (14), (15) целевая функция запишется следующим образом:

^ (г) = 2 и^и,—к + и*А/+сз;

(16)

где сз есть линейная комбинация с и с2, а матрица ^ и вектор / определяются соотношениями

^ = ФтСФ + В, / = Г

КІ+1|,

Вы

і-к

о

Г = [фтСЛ -ФтС] .

Аналитическое решение данной задачи без учета ограничений с использованием формул векторно-матричного дифференцирования [8]

т 4 - т й гг АХВ _ т т ё 1г АХ в

получится из условия

уАу = гг Ауу

ёХ

= АтВт

ёХ

= ВА

дП,

д/

= 0:

і-к

дП-к дП, -к

2 П]-к¥П,-к + Пт-к/ + с

гТ

=1 д»г Щ ^.) +М±/> = ] + / = 0. (17)

2 диг—к диг—к 2

В силу симметричности матрицы Е уравнение (17) можно представить в виде

ЕЦ-* + / = 0.

Решение этого уравнения определяется выражением

П*-к =-(ФТСФ + В)-1(ФтСЛх,+1, -ФтСУ,)-

^ Вы,-к Л о

V 0 ,

что позволяет наити оптимальное прогнозирующее управление

Ы*-к+1|, = (Еп 0 •” 0)П*-к .

о

3. Моделирование управления экономической системы

В качестве примера рассмотрен вариант экономической системы [3, 6], предназначенной для производства, хранения и поставок товаров потребителям:

Ъ+1 = АЪ + Фг—к +^, ?0 = ^

Хг+1 = 2г+ВЬ—к —Фг—к +Сг, Х0 = z0, (18)

где е В?, д,,г - количество товаров /-го типа у потребителя в момент времени г

(г = 1, Т, / = 1,5); - количество товаров /-го типа на складе производителя; -

объем производства товаров /-го типа; ф^ - объем поставок товаров /-го типа; к -величина запаздывания (целое число), - векторные гауссовские случайные

последовательности с характеристиками М{ ^ } = 0, М{ } = 0, М{^^ } = Е5г к,

М{<^Ск } = к, М{^} = 0; А и В - матрицы, определяющие динамику производства и потребления. В модели (18) случайные векторы ^учитывают ошибки, возникающие из-за погрешностей при задании модели.

В каждый момент времени ґ должны выполняться ограничения

гтт < ^ < ^тах, 0 < Юґ_й < Ютах, 0 < ф»_й < 2г.

(19)

Переменные и рассматриваются как управляющие воздействия, и их значения при t = -к, -к+1,..., -1 заданы. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям определить стратегию управления производством, хранением и поставками товаров, обеспечивающую количество товаров у потребителя ць близкое к заданному вектору д , с учетом ограничений вида (19).

Модель экономической системы (18) сводится к модели (1) при п = 25 с ограничениями (4), (5), если ввести следующие обозначения:

, Щ_к = Ч _к" , А = " А 0 " , В = " Е, 0" , ^ = г' , W = "Е 0"

_ 7 _ _к _ _ 0 Е,_ __ Е, В _ _Сґ _ _ 0

«1 = ^тт, «2 = ^тах, ^ = [0 Е, ] , ф^Х ) = 0 , ^ =

Е, 0

0 Е,

ф2(X ) =

Оптимизационная задача решается на каждой итерации для прогнозированных значений вектора состояния. При решении задачи минимизации критерия (16) численно с использованием системы МаІЇаЬ [9] необходимо преобразовать ограничения к векторно-матричному виду. Тогда ограничение на объем производства ю( _к+\ _ к < ютах для расширенной системы определяется неравенством

Яіиґ_я < Ею„

ограничение на объем поставки фґ

< 7

к+і\ґ _к — _к+і\ґ_ к

запишется в виде

^2^_к < ^1^Хґ_к+1\ґ_к + ^1Р^_2к Так как Юґ_к+і \ ґ_к > 0 и Фґ_к+і\ґ_к > 0, то

и - к > 0.

Ограничения 71

*ґ+і\ґ < 7тах

^ґ+і\ґ > 7т1П задаются неравенствами

Кіриґ_к < Е7тах _ЪЧЪ+и-

_Я1Риґ_к < _Е7тіп + ^і^ІГґ+і\ґ .

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

В (20), (21), (23), (24) матрицы Я1, Я2, Е выражаются следующим образом:

"0 Е, 0 0 0 0 " " Е, 0 0 0 0 0 " " Е,'

ъ = 0 0 0 Е, • 0 0 , Ъ = 0 0 Е, 0 • 0 0 , Е = Е,

_ 0 0 0 0 Е,_ _ 0 0 0 • Е 0_ _ Е, _

Моделирование проведено для следующих исходных данных:

А =

' 0,75 0 '

_0,25 0,9

В =

0,3 0,1' 0,2 0,8

0,1'

0,1

0,8 0,2 0 1

®тах 0,7 , 70 = 0,2 , ?0 = 0 , ч = 2

X =

7 =

тіп

7

к =1, N=8, Н = Е4, W = 0, V = ^{0,0005; 0,0005; 0,0005; 0,0005}.

Результаты численного моделирования приведены в виде графиков переходных процессов на рис. 1 - 3.

ф1, *1

Рис. 1. Динамика изменения количества товаров у потребителя

ф2, *2

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Рис. 2. Динамика изменения количества товаров на складе и объемов поставок

1,5

*1

1 2 -

; Хф1 .*1 шт 0,5 /Ф2

: /*2 ш^п

0 -■

) 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25

Рис. 3. Процессы изменения объемов производства товаров

Моделирование экономического объекта подтвердило работоспособность алгоритма. Показано, что цель достигается, ограничения на переменные управления и состояния в условиях запаздывания в контуре управления выполняются.

Заключение

Получено решение задачи синтеза прогнозирующего управления выходом дискретного объекта, с запаздыванием по управлению с учетом ограничений в форме неравенств. Для вычисления прогнозируемых значений используется экст-раполятор Калмана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Camacho E.F., Bordons C. Model predictive control. London: Springer-Verlag, 2004. 405 p.

2. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. C. 103 - l07.

3. Перепелкин Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой производства, хранения и поставок товаров потребителям // Экономика и математические методы. 2004. Т. 40. № 1. С. 125 - 128.

4. AggelogiannakiE., DoganisPh., SarimveisH. An Adaptive Model Predictive Control configuration for Production-Inventory Systems // International Journal of Production Economics. 2008. V.114. P. 165 - 178.

5. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Лященко Е.А. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. C. 71 - 85.

6. Киселева М.Ю., Смагин В.И. Управление производством, хранением и поставками товаров на основе прогнозирующей модели выхода системы // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 2(7). C. 24 - 30

7. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана - Бьюси. М.: Наука. 1972. 200 с.

8. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3 - 15.

9. Смагин В.И. Пакет прикладных программ Matlab 5.3: учеб. пособие. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. 123 с.

Киселева Марина Юрьевна

Смагин Валерий Иванович

Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 19 декабря 2009 г.