CC BY
35
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(7)
УДК 519.2
М.Ю. Киселева, В.И. Смагин
УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВОМ, ХРАНЕНИЕМ И ПОСТАВКАМИ ТОВАРОВ НА ОСНОВЕ ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛИ ВЫХОДА СИСТЕМЫ
Рассматривается задача управления экономической системой производства, хранения и поставок товара потребителям, которая решается с помощью метода прогнозирующего управления выходом системы. При синтезе управления учитываются ограничения на управление и вектор состояния. Критерий качества выражен через выпуклую квадратичную функцию.
Ключевые слова: модель производства, прогнозирующая модель выхода, квадратичный критерий, управление с прогнозирующей моделью.
В настоящее время широкое применение находит метод прогнозирующего управления, который используется при управлении технологическими процессами [1], в экономике - при управлении производством [2] и портфелем ценных бумаг [3]. Метод прогнозирующего управления применяется на практике для решения задач синтеза систем управления, функционирующих в условиях жестких ограничений, накладываемых на переменные состояния и управления.
В работе рассмотрена задача синтеза прогнозирующего управления производством, хранением и поставками товара с учетом случайных факторов. Задача сводится к задаче управления выходом экономической системы с использованием экстраполятора Калмана [4].
1. Модель производства, хранения и поставок товаров.
Постановка задачи управления
Рассмотрим модель производства, хранения и поставок товаров [2, 5]. Пусть динамика экономической системы описывается разностными уравнениями:
41+1 =А^+ Фí +Ъ, % = %; (1)
^+1 = ^ -ф{ +^, ^ = Z0, (2)
где 41 е Я" , - количество товаров /-го типа у потребителя (/ = 1,п); е Яп,
- количество товаров /-го типа на складе производителя; е Я" , ю/Д - объем производства товаров /-го типа; ф( е Я", ф,д - объем поставок товаров /-го типа; Ъ, - векторные гауссовские случайные последовательности с характеристиками: М{ Ъ } = 0, М{ Ь } = о, М(ЪСТ } = 28а , М(^сТ} = Е5а , М(ЪСТ } = 0
(5(к - символ Кронекера); А и В - заданные матрицы. В модели (1), (2) случай-
ные векторы Ъ, учитывают ошибки, возникающие из-за погрешностей при задании модели.
В каждый момент времени t должны выполняться ограничения:
гтт < ^ < 2тах, 0 < Юt < Ютах, 0 < фt < Zt. (3)
Переменные и фt рассматриваются как управляющие воздействия.
Модель экономической системы (1), (2) может быть представлена в следующем виде:
(4)
" Ч+1" " Л 0" " Чі" " Е 0" "Фі" "^і'
= + +
_ 2і+1 _ _ 0 Е _ _ 2і _ _-Е Б _ _юі _ _С і _
где Е - п х п -единичная матрица. Введем обозначения:
" Чі" "Фі" , Л = " Л 0" , Б = " Е 0" "^' , ж = "Е 0"
, иі = , Щ =
_ 2і _ _юі _ _ 0 Е _ -Е Б _ _Сі _ _ 0 2_
Тогда модель (4) можно представить в виде
: Лхі + Биі + щ
(5)
(6)
где щ - гауссовская случайная последовательность (М {щ} = 0, М{м>(м>1} = Ж 5і к),
хо = (?0 ^ )Т .
Пусть у( є Яп - вектор выхода и у є Я1 - вектор наблюдений определяются следующими формулами:
у = Ох; (7)
У = нх + V , (8)
где О = (Е 0) (в силу (7) у( = ді); Н - заданная матрица системы контроля; уі -вектор случайных ошибок (гауссовская случайная последовательность с характеристиками: М{уі } = 0, М{у^Т } = V5і к , М{уЩ } = 0). Формула (8) является моделью системы контроля за состоянием объекта (6).
Ставится задача по наблюдениям (8) определить стратегию управления производством, хранением и поставками товара, обеспечивающей количество товаров у потребителя ць близкое к заданному постоянному вектору д , с учетом ограничений вида (3).
2. Прогнозирующая модель вектора выхода системы
Поскольку случайные процессы щ и V имеют гауссовское распределение, то можно выполнить оптимальное прогнозирование поведения объекта и вектора выхода, используя экстраполятор Калмана [4]. Пусть X^ и у^ -оценки состояния и вектора выхода в момент времени і, построенные по информации, поступившей в}-й момент времени ( < і). Тогда
хі+іі = Лхт-і + Биі+К (у - Нхлі-і), -хіі0 = х0;
Уі+1|і = О;хг+і|і ;
К' = ЛЦН Т (НРН Т + V);
Р+1 = ж + ЛРіЛт - ЛР(НТ (НРНТ + V)-1ЩЛТ ,
Р0 = Рх
()
(10)
(11)
(12)
Указанное выражение для Р1 известно как разностное уравнение типа Риккати, РХ0 - начальное значение дисперсионной матрицы (задается по имеющейся априорной информации).
X. =
х
хх
Модель прогнозирующего управления требует, чтобы оценки состояния были такими, чтобы можно было делать прогнозы на моменты времени t+1, t+2, ..., t+N, основываясь на информации, имеющейся в момент времени t. Здесь N - горизонт прогноза. Из уравнений (9)—(12) можно вычислить оценки прогноза х(щ и yt+1|t, а также оценки прогноза для моментов t+2,.,t+N:
Wi i t=Axt+r i t+But+i | t; (13)
yt+,\t = G Xt+i\t, i = 1N . (14)
Обозначение ut+i\t используется для того, чтобы отличать действующее управление в момент t+i ut+i от тех, которые используются в модели с целью прогнозирования.
Уравнение (9) может быть расширено и записано через состояние Xt+1\t и будущих управляющих воздействий ut+i\t следующим образом:
xt + 2\t = AXt+1|t + But+1|t ,
Xt +3|t = AXt + 2|t + But + 2|t = A(AXt+1|t + But+1|t) + But + 2|t = AXt+1|t + АЩ+1|t + But +2|t,
X+]]t = A-1Xt+i|t Аj-k -But+k|t . (15)
k=1
Аналогично может быть преобразовано уравнение (10) с использованием записанного выше выражения для Xt+]-\t. Важно заметить, что каждый прогнозируемый вектор выхода - это функция от состояния xt+1l[t и будущих управляющих сигналов ut+i|t:
yt+1|t = GXt+1|t, yt + 2|t = GXt + 2|t = G(AXt+1|t + But+1|t) = GAXt+1|t + GBut+1|t ,
yt+j|t = GA>-1X+1|t + G(£A-k -But+k|t). (16)
k=1
Записанные уравнения для прогнозируемых векторов состояния и выхода могут быть представлены в эквивалентной векторно-матричной форме. Для этого введем следующие обозначения:
■ E " ■ G "
Xt+1|t yt+1|t ut+1|t A GA
*t = , Y = , Ut = , ^ = A2 , Л = 2 A G ,
_Xt+N|t _ _yt+N|t _ ut+N|t _ _ AN-1 _ GAn-1 _
" 0 0 0 ... 0" ■ 0 0 0 0
B 0 0 - 0 GB 0 0 0
р = AB B 0 - 0 , ф = GAB GB 0 0
an A B <4 B i • ^ ••• B 0 GAn-2 B 1 : ^ A G 3B - GB 0
Прогнозируемые векторы состояния и выхода системы опишутся следующими соотношениями:
" (17)
X(= Чхм,+ Ри, ;
1, = Л£+ш + Фи, .
(18)
3. Синтез управлений
В качестве целевой функции выбрана функция вида
1 N _ _ 1 (0 = 2Та{(^+Щ -9)ТС(Уг+Щ - д) + (иг+Щ -и+к-1)ТБ(иг+Щ -и+к-ЦЖ (19)
2 к=1
где С > 0 и Б > 0 - весовые матрицы. Введем следующие матрицы:
" 2О - О 0 0 "
' С 0 0"
ч - О 2О - О 0
0 С 0
ч = , С = , О =
_ ч 0 - О 2О - О
_ 0 0 С _
_ 0 0 -О 2О_
где д - пЛ-мерный вектор, С - матрица размера пЛ^пЛ, Б - матрица размера 2пЛ*2пЛ. Тогда критерий (19) преобразуется к виду
3 (,) = 2 и] ги, + ит / + с,
где с - слагаемые, не зависящие от и,;
Г = ФТ СФ + О, / = [Фт СЛ -Фт С ]
Дм,
0
0
(20)
(21)
Для учета ограничений вида (3) предлагается оптимизацию критерия (20) проводить численно с помощью процедуры quadprog системы МаИаЪ. Тогда оптимальное прогнозирующее управление можно представить в следующем виде:
«;+1|(=(е о ... 0)^;, (22)
*
где - вычисленное численно оптимальное управление с учетом ограничений.
Для учета ограничений (3) в системе МайаЪ их необходимо преобразовать. Введем следующие вспомогательные матрицы:
"0 Е 0 0 0 0" "Е 0 0 0 0 0" " Е"
Я = 0 0 Е 0 0 0 , Я2 = 0 0 0 Е 0 0 , Е = Е
_ 0 0 0 0 Е _ _ 0 0 0 Е 0_ _ Е _
где матрицы К1, Я2 имеют размерность пЛ*2пЛ, а матрица Е - пЛ*п. Тогда ограничение на объем производства щ < ютах примет вид
К\иг ^ Е®шах . (23)
Ограничение на количество поставок ф, < 2І представляется следующим образом:
Я2и, < Я^х, .
С учетом того, что X, = ¥хж, + Ри, , получим
(К - кри, < к^Хт.
Так как юt > 0 и ф, > 0, то имеем
(24)
и > 0. (25)
Ограничение на переменную, отвечающую за количество товара на складе,
2 < 2щах, примет вид
К\ХI < Е2тах ,
или
Я1^Х,+1|,+Я1Ри, < Еішах
отКУДа Я1Ри, < Еішах -Я1^-Г,+1|, . (26)
Аналогично, ограничению вида 2, > 2шш соответствует следующее ограничение: -ЯіРи, <-Еішп +№+ц,. (27)
Таким образом, система ограничений (3) представляется в виде (23)-(27).
4. Результаты моделирования
Выполним моделирование экономической системы производства, хранения и поставок товаров (1), (2), (7), (8) для следующих исходных данных:
А =
" 0,75 0 " " 0,3 0,1" "0,1" "1,5"
, в = 2 • = 2 =
-0,25 0,9_ 0,2 0,8_ ’ шт .0,1. ’ шах .2,5.
0,8 0,2 "0" "1"
®шах 0,7 , 20 = 0,2 , 40 = 0 , ч = 2
Н = diag{1; 1; 1; 1}, Ж = 0, V = diag{0,0005; 0,0005; 0,0005; 0,0005}.
Результаты моделирования для Л=3 и интервала моделирования [0, 30] приведены в виде графиков на рис. 1 - 3.
Рис. 1. Реализации количества товаров у потребителя
Рис. 2. Реализации объемов товаров на складе и объемов поставок
Рис. 3. Объемы производства товаров
Анализ результатов моделирования показал, что заданное количество товаров достигается к 10 шагу (рис. 1), при этом в каждый момент времени выполнены все ограничения на переменные состояния (рис. 2) и управления (рис. 3). Переменные управления сначала принимают максимально допустимые значения, затем по достижению цели управления стабилизируются, и система в целом переходит в положение равновесия.
Заключение
Получено решение задачи синтеза управлений выходом экономической системы производства, хранения и поставок товаров потребителям для модели с дискретным временем с учетом реальных ограничений в форме неравенств. С использованием пакета прикладных программ Matlab 7.6 выполнены расчеты с учетом всех ограничений. Показано, что цель управления достигается, ограничения выполняются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Camacho E.F., Bordons C. Model predictive control. London: Springer-Verlag, 2004. 405 p.
2. Перепелкин Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой производства, хранения и поставок товаров потребителям // Экономика и математические методы. 2004. Т. 40. № 1. С. 125 - 128.
3. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Лященко Е.А. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. C. 71 - 85.
4. Браммер К., ЗиффлингГ. Фильтр Калмана - Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с.
5. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. C. 103 - 107.
Киселева Марина Юрьевна Смагин Валерий Иванович Томский государственный университет
E-mail: Marina_Kiseleva@sibmail.ru; vsm@mail.tsu.ru Поступила в редакцию 6 февраля 2009г.
