CC BY
17
УДК 51-74.621
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ПОВЫШАЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ НА ОСНОВЕ М-ЮГОПЛРЛМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ
А. И. Андрихнон
Иранский ¿гм~ударгУ11*(>чны!А п:лхгс/чягк!лйучичлрсш*мт. л Нрячпс, Госсия
Аннотация - Исследуется работа алгоритма многопарамегрнческого управления нелинейной динамикой на основе линеаризации отображения Пуанкаре в областях мультпстабнльпостн при управлении пелипейпой динамикой иепосрсдствеипого повышающего преобразователя, обладающего нелинейной регулировочной характеристикой. Представлены результаты математического моделирования системы :июм<инч«сши \ир;1ь.1(*ыия нл о«, ни не ншиередеш^нниш иивышлшшеш иреибрашва имя в илле кар! Лпнллигчрскпт [саимок и 1плгр»ш рагмдтл кплрплншт кьггпдного нлпряжг-япя. подтнержллтптипе ^ф-фетсттганосто» рлооты алгоритма упраиттенпя.
Результаты исследования получены впервые и могут быть использованы при проектировании систем электропитания на основе непосредственного повышающего преобразователя напряжения.
Ключевые слова: система автоматического '. правления; нелинейная динамика; бифуркация; динамический режим; иреиир ииь;и е. 1Ь писюнннию ндирнженим; их обряженле Пуанкаре.
1. ШЕДЕНКЕ
Импульсные преобразователи напряжения в настоящее время достаточно распространены, поскольку обеспечивают высокий коэффициент полезного действия и обладают малыми массогабаритпымп показателями [1]. Оки представляют собой замкнутые системы автоматического управления (САУ) на основе широтно-М2лиульснон модуляции (ТТГИМ). схлинные * ьо^нкхнокенню в ре?}лы~<ш; бнфуркгшин сио;*ных колебании (ле-рипди четких кни.чииг|ЖОДичп(-ких и хатичгчкик), китцыг чачаггут ичлегг болыиую амплитуду, чп: пмж но для компонентов силовой части преобразователя [2\. и данном случае важно понятие так называемого м-цнкяа. Под ет-цнклом понимается динамический режим, при котором период колебаний еыходного напряжения в п: раз больше, чем период ПШМ. Показатель п; в [3] назван кратностью периода
Оснозпой задачей па этане проектирования таких преобразователей является устранение опасных колеса инн н обеспечение проектного динамического режима, при котором частота колебаний совпадает с несущей частотой ПШМ, при этом агшлнтуда колебаний достаточно мала (1-цикл) [2].
Наиболее лер. леьл н ын ы.м решения указанной задачи шлхспся сгрухтурный шкш, ири котором ьыбм-рлстг* тлкл* гтруктурл г иг темы упрлтоткия и алгоритм гг рйЬотьт, при которой длжс к оппяс.пгх ттлрлметрпк го сложной динамикой сбсспсчивастся желаемый дннамнчсскнн режим
По управлению иелшхешгей динамикой дискретных систем или систем, сводимы?: к ним, существует досга точно иного работ Г^-8] Данные работы в основном посвящены стабилизации нел-стойчивых динамических режимов и не адаптированы для управления нелинейной дппампкоп в области мультнстабильисста. Под обла стью мультнстабнльнос1н понимается область, в которой существует несколько устойчивых режимов, один кз шш}шх л.е.1л;мьш 1-цил_1. В длинам случае 1ре6уегсл сформировать хахие уираниисщее киздеш/гыме, х:ри котором ГИГТГМЙ рЛООТЛЮТДЛИ Я ОДНОМ ИЧ НГЖГЛЛТГЛЬНЪТХ рГЯГИМОТ», пгргходит Ч ЖГЛЛГМКГЙ режим
В раоотс [У] автором рассматривался мнсгоиарамстрнчсскнн подход к управлению нелинейной динамикой в областях муштнстабндыюсгн па основе метода линеаризации отображения Пуанкаре, позволяющего увеличить площадь области притяжения проектного режима в областях мультастабплыюсти. Однако оа рамками статьи осталась оценка возможности применения разработанного метода в преобразователях е нелинейной сегулкро-ночн.й харах1ери<_-ткий, л. когорым олноингсд нело-редедеенныи иоььлллкщий иреоСр<-.»ова1ель. Анализ работ по упрлялгшпо нелинейной динтмикой. нппрямгр [">], [Д|, [К] поотплл. что дффгктккногть рагпичкых мгтодгт упрялтяия НеЛИНеЙНРЙ ДИНЛМИХОЙ непрелгкллуемл и гляигит клк от тиля прмйрямиятгл!, тлк и от клЬорл пл-рамстров системы, поэтому веестороинсе исследование систем управления нелинейной динамикой различных типов импульсных преобразователей напряжения язляется актуальным.
Основной задачей данной работы является оценка эффективности многопараметрнческого алгоритма управления нелинейкой динамикой в обдлехях мушгжлаСильносги на основе лнлеаршаини оиОражент Пуанкаре HMiiyj.hCHMX CAV ни оснонк нпкк^зедггкеннтх! шжкиняиицгт i ц:гоЬ:ток;1 it-.iH нипрмжгним
П МНОГОПАРАМЕ1РИЧЕСКИИ МЕТОД УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ ii ObJlAC'JJiX МУЛЬШСГАЬИЛЬНОС Ш НАОСНОВЕ ЛИНЬАЖААЦИИ ОЮЬРАЖЕЫИХ ПУАНКАРЕ
На рис. 1 представлена функциональная схема замкнутой САУ на основе непосредственного повышающего преобразователя, где приняты обозначения: R - активное с эпроптлегше дросселя, L - индуктивность дросселя, С - емкость конденсатора, Д, - сопротивление пагрузкп, Е0 - напряжение иеготгапел инталия. VI' -силовой транзистор. VD - ситовой анод: Ц» - напряжения задания. U, - импульсы управления ситовым ключом. Um ~ напряжение ошибки. Uy - напряжение управления. Rs - сопротивление нагрузки. Up - развертывавшее напряжение. a. Au - «»ффшшент усиления пропорционально! и регулшира и eiu ирирашенис cuotbciuihchhu. 3 -
мжмггибный ы)-»ф|[|ицг4гн 1 цгми оГрИгнои ( кячи, au прири цгниг ПГрИПДИ ПТИМГ
Рягсмятрииаемаи система представляет гобой классическую замкнутую систему явтом атического управления с обратной связью по выходному' напряжению. Кроме того, в ней присутствует подсистема управления нелинейной динамикой, состоящая из блоков: «Датчик тока нагрузки». «Датчик тока дросселя», «Вычислитель возмущения параметров», «Датчик входного напряжениях Вычислитель возмущения параметров реализует предлагаемый алгоритм
Математическая модель рассматриваемой системы с учетом режима прерывистых toicod дросселя достатоп но широко известна н рассмотрена, например, в [9]. Она представляет собой хусочно-гладкую модель, в которой каждый участок гладкости соответствует определенной топологии силовой частк и описывается системой линейных дифференциальных уравнений.
Риг 1 Функционяляняя схема замкнутой системы автоматического управления с непосредственным поякттаю-шнм преобразователем постоянного напряжения с функцией управлением нелинейной линамнкэй
Рассматриваемая система может быть отнесена к дискретной САУ с периодом дискретизации с. Указанные системы удобно описывать в форме гак называемого стробоскопического отоЬраження, которое сэязывает пе ременные состояния в нечале определенного тактозого интервала с переменными состояния в конце тактового интервала [2].
Стробоскопическое отображение для к-гс тактового интервала имеет вид [9]
где А, - матрица постоянных коэффициентов на г'-том участке, В, - вектор вынуждающих воздействий на /-том
участке [9]. Х> - вектор переменных состояния в конце тактового интервала с номером 1к1 = —-.
а
=--моменты коммутации в относительном времени, ."л- момент выключения силового клю-
а
ча на тактовом интервале в абсолютном времени; тп- момент спада тока дросселя до нуля на к-и тактовом интервале в абсолютном времени. Принцип работы рассматриваемого преобразователя подробно описан в [1].
При работе в областях мультпстабпшлюст возможно попадание системы в нежелательный динамический режим В этом случае необходимо сформировать такое управляющее воздействие в виде возмущения вектора параметров системы Р. возвращакшее систему в проектный режим (1-цнкл). Б данном случае основной проблемой является расчет матрицы обратных связей К. на основе коюрой вычисляете* требуемое возмущение
МИрНМПрОК
Отображение (1) в общем виде может бытя представлено как
(?)
где Р - вектор параметров системы, от которого в (1) зависят и гц па каждом тактовом шггероале.
Предположим, что d системе одпооремеопо устойчивы I цикл (точка X*} и 3 цнхл (точки X,*3*. где г-], 2, 3) (рнс. 2).
X," О
_______
1*У 7 * /
О X;*
Я",
Рис. 2. К пояснению перехода от 3-никла к проектному 1-циклу з области мулыистасильностн
При этом, в начале h-й итерации отображения система находится з точке Хр т.е. в некоторой у даленности «та цгбугмой тнки X Нпхкодими п^ш^хжитк iïkik- жкмущгниг кгкшрн 1Ж[»мс1]Х)к Tljfc! при KirrtipocM один или несколько тактовых 1лггервалоэ система переместиться в точку X*. находящуюся в малой скрестно етн требуемой неподвижной точки X*
Для расчета коррекпгругощнх воздействий в дашюм случае также используется лшгеарнзащш отображения Пуанкаре, при этом линеаризация, в отличие классического \1ЛОП, производится в окрестности текущей точки
стробоскопического отображения. X* j =| jxk j где сл отклонение от течки в процентах, а также
окрестности точки в пространстве параметров Р .
Линеаризованное отоэраженпе имеет вид
Y, = MYМ + СПМ. (3)
где М - матрица коэффициентов линеаризованного отображения. С - производная функции отображения пс вектору возмущаемых параметров: U к_- - —1'* требуемое возмущение параметра. Стоит заметить, что
размер вектора V равен размеру вектора переменных состояния X. Матрица М н матрица С в (3) определяются по выражениях!
М = W&l»^ ; С = . (4)
дХ^ ' сГ
Для рассматриваемой ситуации Yt_ - Х,_, - , a Yt — У(ХГ_ Р') - ^(Xj, . Р*) (см. ряс. 3). Для линейной системы (3) выбирается стабилизирующее управление в виде линейной обратной связи пс состоянию
(5)
С учетом этого кз (3) получаем выражение
При управлении динамикой в области мультистабильности необходимо сформировать такое управляющее воздействие, при котором система за один или несколько тактовых интервалов переместится в точку X* вместо точки Хя. при этом Y* = X* - Х£. где -точка, в которую отображается . IIa рис. 3 отмечены
\MViy.lH КГЧНЦХЖ Yf, . Yp_l, Yj^ FCak НИДЖ1 ИЧ рИГуНКИ, 1ЧНКЛ X* .№Ж1ГГ (¡JIHikr К 111НКГ упоинннпш 1-ЦИкЛМ X
чем точка X, нескорректированной системы.
На данном этапе определим критерии выбора точки Х*на каждом к-м интервале отображения. Указанная точка рассчитывается по выражению
(6)
где сх — степень коррекции, прингдлежощая интервалу от СР/с до 100%. При практической реализации метода нужне выбирал» значение этого коэффициента Еблизн нуля, поскольку при болыднх значениях велика оудст kc.ii ич и на и трргкции. что можгг 11|>икл'ги к ошибкам iijik игнолк-сокннии лингари-ажлннот слоб^ижгния ТТучн-
ка]»-, кашрпг гпракг^ико лишь к милой Окргггнсм-ги инки
С учетом (6) находим Y*
Yf = x;-^<xj4,p*) (7)
Степень коррекции приращения на к-й итерации отображения находится как
AY,=Y,-Y-
Считаем. 4iv»
М - CK = М—ДМ. (8)
к|к>мг нп о,
AM =
А>и 0
У* у
0 АУ»
Ук 1.:
(9)
где Ауц ¡-я компонента вектора ¿Л\: у^.ц г-я компонента вектора Yt.\.
Матрицу ктффи шгншн иГ|(игнмк гнилей К ча (н жжлнии (R) можно рженипп к по кк |i.-ia^hhh)
К = с-1 дм.
Требуемое возмущение вектора параметров 1Гц рассчитывается по выражению (5).
Таким оВряюм мпмущалммг гтардугтры ил £-тактс рям<шп.тмтт(-.1 клтг
где вектор вида Рм - вектор возмущаемых параметров в конце ¿--1-го тактового интервала. При рта лила ции рлспчггггргнноттг алгоритма необходимо учтътвлть г.тгдуютцгс-алгоритм коррекции зодснствустся только в том случес. ссян текущая точка отоЪрлження (1) заходился
достаточно далеко от зсдаипои: |х» , - X* I > —X*, где с^ _ величина зоны нечувствительности э процентах
1 4-1 1 100
Ш. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУ НА ОСНОВЕ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ПОВЫШАЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ С УПРАВЛЕНИЕМ НА ОСНОВЕ ^ОГС1ХАРАМЕГРХЧЕСКОГС МЕТОДА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ Работпс.пособиог-п» глтгори—ма многопарлтлгтричгского уттрлклгния нгтингиной дин1михг)й игпоерглг.тпек-
ного повышаюшето преобразователя постоянного напряжения з областях мульткстаЬкльностк проверялась с использованием математического моделирования
]*нс Результаты анализа нелинейной динамики нспосрслстзсиного повышиошего преобразователя: и) *a::ia динимичггиих |wahvhh Пся h<iiii.:ik-:owhhh M.TIOTT б)днaipaviMn шнек шгльнширичмаха колгПсний без кспользоЕания МЛОП; в) карта динамических режимов с использованием МЛОП; г) диаграмма относительного размаха колсбслнн с использованием МЛОП
В данном случае исследовалась система со следующими параметрами: ¿=2 мГн: С=1 мкФ: Л=1 Ом; Лц=100 Ом: а=2: ß=0.005, пшшпуда развертывающего напряжения Г/р.т= 10 В: £1=0.0001 с. Параметры алгоритма многопараметрнческого управления нелинейной динамикой: сх= 10 %: г,=2 %; Лрт1г:=50%: гзм=0:01 %. Как видно Hî рис. 1. для возмущения были выбраны следующие параметры: коэффициент усиления пропорционального регулятора а и длительность тактового интервала а.
Результаты исследований представлены в виде так называемой карты динамических режимов, на которой представлены области существования различных режимов в пространстве двух параметров: напряжения задания 17г и входного напряжения На карте символами F[fJ- будут отмечены области существования различных динамических режимов (/ - m-цнкп, характерный для данной области. J - номер области на карте динамических режимов). В частности, область Пц представляет собой первую область существования основного (проектного) режима с частотой(1-цнкл). Области Ilvj - соответствуют недетерминированным режимам функционирования преобразователя (m —* оо). Карта сопровождена соответствующей ей диаграмме размаха колебаний AU.
Карга динамических режимов непосредственного преобразователя постоянного напряжения представлена на рис. 3 а. Как видно из рисунка, практически на всем диапазоне напряжения задания в системе наблюдаются области мультнстабнльностн.
В частности, в области IX,j одновременно существует 4-цикп (частота колебания в четыре раза меньше, чем несущая частота TT ТИМ) и желаемый 1-цнкл или область хаотических колебаний. На рис 36 представлена диаграмма относительного размаха колебаний, соответствующая рнс. За. Как видно из рисунка, нежелательным режимам свойственна большая амплитуда колебании выходного напряжения.
На рис Зв и Зг представлена карта динамических режимов и диаграмма относительного размаха колебаний соответственно при использовании алгоритма многопараметрнческого управления нелинейной динамикой Из рис. Зв видно, что области ГЦд. Пхь представленные на рнс. За исчезли и на карте присутствует только желаемый 1-цикт Как видно из рис Зг размах колебаний выходного напряжения во всей области параметров существенно уменьшился, по сравнению со случаем, когда управление нелинейной динамикой не производится.
V. Заключение
В работе было проведено исследование нелинейной динамики замкнутой системы автоматического управления на основе непосредственного повышающего преобразователя с функцией управления нелинейной динамикой на основе многопараметрического метода линеаризации отображения Пуанкаре. Проведенный анализ показал эффективность указанного метода. В частности, его применение полностью устранило области мультн-сгабильности в выбранных диапазонах параметров системы, при этом устойчивым остался желаемый 1-цикл.
Полученные результаты подтверждают возможность применения указанного метода для управления нелинейной динамикой преобразователен напряжения рассматриваемого класса с использованием микропроцессорных систем управления
СЛИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
L. Мелепшн В. И. Транзисторная преобразовательная техника. M.: Техносфера. 2005. 632 с.
2. Baushev V. S., Zhusubaliev Zh T. About the nondeteriniiiistic modes of a voltage stabilizer with pulse-width regulation// Elektrichestvo. 1992. № 8. P. 47-53.
3. Кобзев А. В.. Михальченко Г. Я.. Андрнянов А. И.. Мнхальченко С. Г. Нелинейная динамика полупроводниковых преобразователей. Томск: Томск, гос ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2007. 224 с.
4 Ott Е.. Grebogi С, Yorke G. Controlling Chaos // Phys. Rev. Lett 1990. Vol. 64. no. 11 P. 1796-1199.
5. Poddar G., Cliakrabarty K. Baneqee G Control of chaos m DC-DC converter // Circuits and Systems I: Fundamental Theory7 and Applications. 199Ë Vol. 45, no. 6. P. 672-676.
6. Poddar G.. Cliakrabarty K.. Bauerjee S. Experimental Control of Chaotic Behavior of Buck Converter // Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 1995. Vol. 42, no. 8. P. 502—504.
7. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Rev. Lett. A. 1992. Vol. 170. no. 6. P. 42H28.
8. Batlle C.. Fossas E., Olivar G. Stabilization of periodic orbits of the buck converter by time-delayed feedback // International Journal of C ircuit Theory7 and Applications. 1999. Vol. 27, no. 3. P. 617—631.
9. Андриянов А. И., Бутарев II. Ю. Алгоритм многопараметрнческого управления нелинейной динамикой импульсных преобразователей на основе линеаризации отображения Пуанкаре // Известия вузов. Электроника. 2014. №6 (ПО). С. 51-59.
