CC BY
42
УДК 621:534.833
УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЗАДАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ
© Н.К. Кузнецов1, Ле Ба Хань2
Иркутский государственный технический университет,
664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
На примере трехмассовой расчетной схемы рассматривается задача синтеза алгоритмов управления колебательными движениями мехатронных систем с помощью задания дифференциальных уравнений движения исполнительных механизмов. При этом необходимые управляющие воздействия определяются по старшим производным упругих перемещений. Приводится пример численного моделирования эффективности предлагаемых алгоритмов.
Ил. 5. Библиогр. 7 назв.
Ключевые слова: обратная задача динамики; мехатронные системы; компенсация упругих колебаний; алгоритм управления; управление по старшей производной.
CONTROLLING OSCILLATORY MOTIONS OF MECHATRONIC SYSTEMS BASED ON SETTING UP DIFFERENTIAL EQUATIONS OF ACTUATOR MOTIONS Kuznetsov N.K., Le Ba Hanh
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
By the example of a three-mass computational scheme the article treats the synthesis problem of control algorithms for mechatronic system oscillatory motions performed by setting up differential equations of actuator motions. In this case, the control actions required are determined by higher derivatives of elastic movements. An example of numerical modeling of proposed algorithm efficiency is provided.
5 figures. 7 sources.
Key words: inverse dynamic problem; mechatronic systems; compensation of elastic vibrations; control algorithm; control by higher derivative.
Эффективным методом синтеза управляющих воздействий для обеспечения движения машин с программным управлением является метод обратных задач динамики [1]. В работе [2] синтез алгоритмов управления колебаниями производился с помощью задания экспоненциальных законов изменения упругих координат, а в работе [3] - на основе задания гармонических законов. Недостатком этих способов задания движения является трудность получения требуемых законов управления движением для систем выше второго порядка. В отличие от вышеуказанных методов задания законов изменения упругих координат, дифференциальные уравнения охватывают не одно, а целый класс движений мехатронных систем, обладающих заданными динамическими свойствами. При задании дифференциальных уравнений движения исполнительных механизмов мехатронных систем управляющие воздействия могут быть реализованы с помощью так называемой обратной связи по старшей производной [4], [5]. В работе [6] этот метод был использован для синтеза управления движением в упругих многомассовых системах. При этом управляющие воздействия вычислялись по заданным дифференциальным уравнениям программного движения, что не всегда возможно, так как это движение определяется условиями применения мехатронных систем. В настоящей статье рассматриваются вопросы синтеза алгоритмов гашения упругих колебаний в трехмассовой мехатронной системе на основе задания дифференциальных уравнений колебательных движений, обусловленных упругими отклонениями от программного движения.
Задачи синтеза алгоритмов управления движением будем рассматривать применительно к расчетной схеме, показанной на рис. 1.
На рис.1 приняты следующие обозначения: q - обобщенная координата программного движения; q, q2 -обобщенные координаты; mn, щ - соответственно приведенные массы привода и механических передач движения; m - приведенная масса исполнительного механизма; Qп - приведенная движущая сила привода; с -приведенный коэффициент жесткости механических передач движения; с - приведенный коэффициент жесткости исполнительного механизма; Ъп, Ъх, Ъ - коэффициенты вязкого трения.
1 Кузнецов Николай Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405434, e-mail: [email protected]
Kuznetsov Nikolai, Doctor of technical sciences, Professor, Corresponding Member of RIA, Head of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405434, e-mail: [email protected]
2Ле Ба Хань, аспирант, тел.: 89246250801, e-mail: [email protected] Le Ba Hanh, Postgraduate, tel.: 89246250801, e-mail: [email protected]
Рис. 1. Трехмассовая расчетная схема мехатронной системы
Дифференциальные уравнения движения этой системы для режима позиционирования в окрестности некоторого заданного положения, определяемого координатой д„, имеют вид
тпЧ* + Кч*+ъ№* - чд + С(ч* - чд = Qп;
+ К(Чі -Ч*) + С(Чі -Ч*) + К(Чі -Ч2) + с(Чі -Ч2) = 0 т^2 + Ъ(Я2 - ЧО + С(Ч2 - Чі) = 0 ■
(1)
(2)
(3)
Структурная схема, полученная на основании преобразованных по Лапласу уравнений (1) - (3), приведена на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема трехмассовой системы
По структурной схеме найдем передаточную функцию для абсолютного отклонения исполнительного механизма Ад от программного движения
,3
Щ,(р) =
Ач(р)
Qo(p)
КіР + КзР
5 4 3 2
ар + ар + а2р + аър + а^р + а5
В(р) А(р)'
(4)
где ь = 1; Ь = о2 + о1-[1 + у- (п 1 — 1)1; а = 1; а = ^; а = о2(1 + У1) + ®о ■ [1 + у-(п 1 -1)1; а3 = ^■{о>2 + 0 -[1 + у ■ (п-1 -1)1}; а4 = О ■ О ■ (у— + п-1); а5 = О -®о ■ № > Р = , Ад = д2 — д„
; <э02 = е/т; п = тп/(тп + т); /и = Ь/тп ; О = е1/т1 и у = тп/ш .
Рассмотрим задачу управления абсолютным отклонением исполнительного механизма Ад от программного движения на основе задания дифференциального уравнения колебательного движения. Это уравнение должно удовлетворять определенным условиям. Во-первых, порядок уравнения должен быть не ниже пятого. Во-вторых, решение этого уравнения должно быть устойчивым. Зададим это уравнение в виде
й Ач о й' Ач п п
-----Т~ + У Д----------— = Д(Є ' Д = СОПБІ ■
йі5 У йі 0 ' 1
(5)
Уравнение (5) будет представлять собой модель эталонной системы. Выберем коэффициенты Д этого
уравнения из условия обеспечения минимальной длительности переходного процесса. На основе рекомендаций работы [7], примем уравнение со следующими коэффициентами:
=<
*
* (5) * (4) * (3) * (2) * ' *
А д + 20А д +160А д + 640А д +1280А д +1024А д —10.24 = 0.
Пусть в начальный момент времени, при £ = 0 , упругие отклонения системы определяются значениями:
Ад(0) = Ад0, Ад(п) (0) = Адп0, п =1 - 5.
Требуется синтезировать управляющее воздействие
Qo=Qn(Ад, Ад , Ад',..., Ад(5)),
при котором замкнутая система (4) и (8) переходит из точки (7) в окрестность стационарного состояния:
Ад = £; Ад = 0; ...; Ад(5) = 0,
(6)
(7)
(8)
(9)
где £ - очень малое положительное или равное нулю число.
При этом необходимо, чтобы переходный процесс Ад ^ £ с требуемой степенью приближения следовал за
*
эталонным процессом Ад ^ £ с начальными условиями (7).
Выразим управляющее воздействие в виде функции старшей производной
t
Q о + uQ) о + u2Q0 = v (k* — Aq(s)) + v2 J (k* — Aq(5) )dt,
(10)
7 *
где u.,v. = const; k - требуемое значение пятой производной [5].
Требуемое значение пятой производной, соответствующее движению модели (5), определим по формуле
k * = Ро(£—Aq)—2= Д Aq
(i)
(11)
при условии, что Ад = А д , £ > 0.
На основе (4), (10) и (11) найдем свойства замкнутой системы (4) и (8). Уравнение замкнутой системы в операторной форме будет иметь вид
M (p) A(p) + (Vi + V2) B(p)(p5 + X5=0 PtP )
Aq(t) = (Vi + —)ДB(p)s , (12)
P
где М(р) = р2 + щр + щ.
Параметры щ и V находятся из условий устойчивости. Разделив обе части (12) на V и осуществив затем предельный переход при V ^ , можно установить, что (12) будет переходить в (5). Следовательно, управля-
*
емый процесс Ад ^ £ теоретически точно совпадает с процессом А д ^ £.
Структурная схема, соответствующая уравнениям (10) и (11), изображена на рис. 3. Для реализации такой структуры необходимо вводить информацию о величине упругого отклонения Ад и его производных Ад(п)
(п = 1 - 5).
Для минимизации объема измеряемой информации преобразуем выражение (10) к виду
(р2 + ихр + = Охр + У2)(| к * — Ад(4))
или
■(4)
(р 2 + uiP + U2 )Qo = (viP+v2)(a q — Aq(4)) ,
(13)
(14)
«(5)
так как по определению k * = A q
o
*
Є
к *
Ро
Р
А д
Ад{
,(2)
Рг\ рз
Ад(3)
Ад
,(4)
Ад
,(5)
V 2 V + — Р 1 бо
' 2 р +ир+и2 ►
А д
Рис. 3. Структурная схема системы с дополнительными обратными связями
Дважды интегрируя обе части (14) при нулевых начальных условиях, будем иметь
*(2)
(1+1и+и2 )бо = О^р+V)(А д — Ад(2))
(15)
•(2)
Для реализации алгоритма (15) найдем значение второй производной А д . Интегрируя обе части (11) при нулевых начальных условиях, будем иметь
■(4)
А д = С — Р • Ад — Р • Ад — Р • Ад1 ) — Р • Ад
*(2)
Дважды интегрируя (16), найдем Ад
* (2)
А д = С — Р • Ад — Р • Ад
(3)
(16)
(17)
где С = Р | (є — , С =| (С — Р • Ад)#, С = | (С2 — Р2 • Ад)# ■
0 0 0 На основании выражений (15) и (17) получим следующий закон изменения движущей силы привода (без учета его динамической характеристики)
Т(2)ЧЛ. Л Р2
бо = (Сз— Р • Ад—Р • Ад — Ад )(УіР+^
22
Р + ЩР + и2
(18)
Коэффициенты Pi, /' = 1 -4, в выражении (18) могут быть представлены как коэффициенты усиления дополнительной обратной связи по упругой координате Ад и её производным, как это показано на структурной схеме рис.4. Как видно из этой схемы, для реализации данной структуры необходимо вводить информацию о величине упругого отклонения Ад и его производных Ад , Ад(2).
Рис. 4. Структурная схема системы с дополнительной обратной связью по старшей производной
Для проверки эффективности предложенных алгоритмов гашения упругих колебаний был проведен численный эксперимент на основе уравнений (17), (18) с учетом выражений (4) и (6) с помощью программы МаАаЬ/БтиПпк. Произвольные коэффициенты V, V, Щ и и2 выбирались из условий устойчивости системы (11). Проведенные исследования показали, что использование дополнительной обратной связи по старшей производной позволяет снизить амплитуды и сократить продолжительность упругих колебаний трехмассовой ме-хатронной. В качестве иллюстрации на рис. 5 показаны графики упругих колебаний исходной системы (штрихо-
вая) и системы с дополнительной обратной связью по старшей производной (сплошная линия) для различных сочетаний параметров исходной системы.
А
; ■ ;
1 \
: :
\У ■
t,c
■■ :
! !
1 ! ! ' л
Kj | i
в г
Рис. 5. Графики упругих колебаний трехмассовой системы: а - щ = 14Гц, n = 1/6, /л = 100 ,щ = 33Гц и
у = 1, v = 1000; v2 = 1; щ = 20; и2 = 1000; б - щ = 14Гц, n = 1/6, [Л = 10 ,щ = 33Гц и у = 1,
V = 1000; v2 = 1; щ = 20; и2 = 1000; в - щ = 14Гц, n = 1/6, ц = 10, щ = 33Гц и у = 1, v = 100,
v2 = 1; и = 100; и2 = 1000; г - щ = 45 Гц, n = 1/6, /л = 1 ,щ = 33 Гц и у = 1, v = 1000; v2 = 1;
щ = 20; и2 = 1000
Как видно из графика, представленного на рис. 5,а, дополнительная обратная связь по старшей производной уменьшает амплитуду и повышает декремент колебаний исходной системы со значения t>Hcx = 1.88до
5ос = 2.3 Изменения демпфирования (рис. 5,б) и соотношения между парциальными частотами щ и щ колебаний (рис. 5,в) приводят только к снижению амплитуд упругих колебаний, однако степень затухания при этом снижается (соответствующие логарифмические декременты колебаний в первом случае с>исх = 0.55,
5ос = 0.6, а во втором - £исх = 0.46 5ос = 0.66). В то же время, подбором коэффициентов v и щ, как показано на рис. 5,г, можно добиться увеличения декремента со значения £исх = 0.55 до£ос= 0.7, при снижении в несколько раз амплитуд колебаний.
Предлагаемые алгоритмы управления колебательными движениями исполнительных механизмов мехатрон-ных систем оказываются удобными не только в практическом, но и вычислительном аспектах, так как при этом требуется вычисление малых отклонений от абсолютных координат и меньшая точность вычисления при управлении в реальном времени. Их применение позволит повысить точность, быстродействие и надежность работы мехатронных систем.
Библиографический список
1. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: Линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.
2. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Синтез алгоритмов управления колебаниями мехатронных систем на основе задания экспоненциальных законов изменения упругих координат // Вестник ИрГТУ. 2012. №10. С. 43-47.
3. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.
4. Востриков А.С. Синтез систем регулирования методом локализации. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. 180 с.
5. Бойчук Л.М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. М.: Энергия, 1971. 112 с.
6. Крутько П.Д. Управление движением упругих многомассовых систем // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1991. №4. С. 90-96.
7. Соколов Н.И. Аналитический метод синтеза линеаризованных систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1966. 328 с.
б
а
