Применение метода электромеханических аналогий для синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями многомассовых мехатронных систем Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621:534 Кузнецов Николай Константинович,

д. т. н., профессор, заведующий кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, НИ ИрГТУ, тел. (3952) 405434, e-mail: knik@istu.edu

Ле Ба Хань,

аспирант кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, НИ ИрГТУ,

тел. 89246250801, e-mail: bakhanh25186@yahoo.com

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ ДЛЯ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ УПРУГИМИ КОЛЕБАНИЯМИ МНОГОМАССОВЫХ

МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ

N. K. Kuznetsov, Le Ba Khanh

APPLICATION OF THE ELECTROMECHANICAL ANALOGIES METHOD FOR SYNTHESIS OF CONTROL ALGORITHMS OF ELASTIC VIBRATIONS OF MULTIBODY MECHATRONIC SYSTEMS

Аннотация. Настоящая статья посвящена вопросам синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями многомассовых мехатронных систем на основе использования концепции обратных задач динамики. Анализируются недостатки известных работ, посвященных синтезу компенсирующих воздействий с помощью задания конечных или дифференциальных уравнений колебательных движений, и рассматриваются возможности применения метода электромеханических аналогий для определения этих воздействий. Приводится обобщенная расчетная схема мехатронных систем в виде многомассовой колебательной системы, включающей массы привода, исполнительного и нескольких передаточных механизмов. Показывается, что на основе использования метода электромеханических аналогий задача управления колебаниями многомассовых мехатронных систем может быть сведена к задаче управления эквивалентной двухмассовой системой. Дается описание алгоритма вычисления значения полного комплексного сопротивления системы, и демонстрируются возможности применения данного подхода для синтеза алгоритмов управления колебаниями трехмассовой мехатронной системы. Приводятся результаты численного исследования эффективности алгоритмов управления колебаниями, возникающими при задании внешнего воздействия в виде единичного ступенчатого сигнала с нулевыми начальными условиями. Оценивается влияние частот колебаний исполнительного механизма и промежуточной массы, коэффициентов демпфирования и соотношения масс, а также допустимого значения интегральной квадратичной оценки на интенсивность и продолжительность колебаний. Показывается, что наибольшей эффективности компенсирующие воздействия достигают при небольших значениях парциальной частоты колебаний исполнительного механизма и коэффициента вязкого трения и больших величинах массы привода по сравнению с массами передаточного и исполнительного механизмов. Обсуждаются возможности применения предлагаемых алгоритмов управления колебаниями в мехатронных системах.

Ключевые слова: гашение упругих колебаний, многомассовая мехатронная система, обратная задача динамики, электромеханические аналогии.

Abstract. This article focuses on the questions of synthesis of algorithms for control of elastic oscillations of mecha-tronic multibody systems based on the use of the concept of inverse tasks of dynamics. The disadvantages of the known works devoted to the synthesis of compensating actions by setting the finite or differential equations of oscillatory motions are analyzed and the possibility of applying the method of electromechanical analogies to determine these actions is considered. A generalized design scheme of mechatronic systems is presented as a multimass oscillatory system consisting of masses of drive, actuating mechanism and several gears. It is shown that using the method of electromechanical analogies task of managing fluctuations of multibody mechatronic systems can be reduced to the equivalent two-mass system control. A description of the algorithm for computing the values of complex impedance of the system is given and the possibility of using this approach for the synthesis of control algorithms for three-mass mechatronic system fluctuations is demonstrated. The results of numerical studies of the effectiveness of fluctuations control algorithms arising when setting the external effects as a single step signal with zero initial conditions are presented. The influence of vibration frequencies of the actuator and the intermediate mass, damping coefficients and the mass ratio, as well as the allowable value of the integral quadratic estimates on the intensity and duration of the oscillations is determined. It is shown that compensating effects reach the ultimate efficiency for small values of the partial oscillation frequency of the actuator and the coefficient of viscous friction and high values of the mass of the drive compared to the masses of gear and actuating mechanisms. The possibilities of application of the proposed fluctuations control algorithms in mechatronic systems are discussed.

Keywords: damping of elastic vibrations, multibody mechatronic system, electromechanical analogies, inverse problem of dynamics.

Введение

Метод решения обратных задач динамики является эффективным инструментом синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями в переходных режимах работы мехатронных систем [1, 2]. В работах [3, 4] синтез алгоритмов управления колебаниями производился с помощью задания экспоненциального и гармонического законов изменения упругих координат, в работе [5] - на основе задания дифференциальных уравнений движения, а в работе [6] - на основе использования интегральных квадратичных оценок колебаний. Однако практическое использование этих методов синтеза алгоритмов управления колебаниями ограничено мехатронными системами, описываемыми дифференциальными уравнениями сравнительно невысокого порядка. С целью облегчения задачи синтеза алгоритмов управления колебаниями многомассовых мехатронных систем можно воспользоваться подходом, основанным на упрощении математических моделей этих систем с помощью метода электрических аналогий [7]. В настоящей статье исследуется возможность применения метода электромеханических аналогий для синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями многомассовых мехатронных систем.

Обобщенная расчетная схема мехатрон-ной системы

Задачу синтеза алгоритмов управления движением будем рассматривать применительно к расчетной схеме, показанной на рис. 1. На этом рисунке приняты следующие обозначения: ^ — обобщенная координата программного движения; , к = 2 + п, — обобщенные координаты к-й мас-

выражающей собой условную взаимосвязь между носителями механической энергии.

сы; т1, тк, к = 2 + (п — 1), — соответственно приведенные массы привода и механических передач движения; тп — приведенная масса исполнительного механизма; Q(t) - приведенная движущая сила

привода; ск, к = 2 + (п — 1), - приведенные коэффициенты жесткости механических передач движения; Сп - приведенный коэффициент жесткости

41 42 Цп

Рис. 1. Расчетная схема многомассовой мехатронной системы

Переход к эквивалентной электромеханической цепи

Для перехода от расчетной схемы в виде многомассовой колебательной системы к электромеханической цепи воспользуемся условными обозначениями основных элементов, приведенными на рис. 2. Условное обозначение массы (рис. 2,

а) подчеркивает, что перемещение, скорость и ускорение массы рассматриваются по отношению к какой-либо системе. Элемент массы рассматривается как имеющий два плюса - один из них расположен на самой массе, а второй - на системе отсчета. Рядом с обозначением проставляется индекс массы т. Условное обозначение сопротивления представляет собой схему демпфера (рис. 2,

б), состоящего из корпуса и подвижного поршня с индексом Ъ. Условное обозначение жесткости представляет собой схему пружины (рис. 2, в) с индексом с. Условное обозначение силы представляет собой ромб, в котором имеется затемненный треугольник (рис. 2, г), с индексом Q(t). Масса, сопротивление и жесткость являются пассивными элементами цепи, которые изображаются в виде прямоугольников с указанием частного комплексного сопротивления (рис. 2, д).

исполнительного механизма; Ьк, к = 1 ± п - коэффициенты вязкого трения.

Хотя в механике машин не существует цепей, рассматриваемых в электротехнике, введение этого понятия позволяет значительно упростить многие решаемые в ней задачи анализа и синтеза [7]. Воспользуемся методом электрических аналогий для представления расчетной схемы, показанной на рис. 1, в виде электромеханической цепи,

¿т

а)

1|Ъ

б)

4

в)

^т ^ и

г) д)

Рис. 2. Условные обозначения элементов и звеньев

Частным комплексным сопротивлением (ЧКС) называется частное от деления силы на скорость, которое может быть записано в виде

с

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

^ = ^ = тр; Бь = О = Ь; = 0 = -, Чт Чь Чс Р

(1)

где Чт, Чь , Ч с - соответственно скорости перемещения массы, точек крепления демпфера и пружины; О, О, О, - соответственно силы инерции, вязкого трения и упругости.

На основе использования этих обозначений, расчетную схему многомассовой системы можно заменить структурной схемой электромеханической цепи, изображенной на рис. 3.

Рис. 3. Электромеханическая цепь с условными обозначениями

На этом рисунке роль токов играют скорости движения масс, а роль напряжений - силы. Преобразуя эту расчетную схему с помощью известных принципов преобразований в электрических цепях, получим расчетную цепь системы, которая показана на рис. 4. С помощью этой цепи задача синтеза алгоритмов управления колебаниями многомассовой системы, приведенной на рис. 1, может быть сведена к эквивалентной задаче управления разностью токов через массы тп (/п) и т1 (¡^).

Для определения с помощью расчетной цепи сопротивления системы обычно используются эквивалентные замены типа «звезда - треугольник» или «треугольник - звезда» [8]. Недостатком этих методов является сложность процедуры вычисления Б.у. при большом числе элементов. Опре-

делим это сопротивление другим способом, основанным на непосредственном преобразовании расчетной схемы, согласно алгоритму, приведенному на рис. 5. Известно, что при последовательном соединении элементов полное комплексное сопротивление определяется дробным выражением, числитель которого представляет собой произведение, а знаменатель - сумму ЧКС отдельных элементов, составляющих данное соединение. При параллельном соединении элементов полное комплексное сопротивление соединения находится как сумма ЧКС элементов, образующих соединение. Как следует из этого алгоритма, нахождение сопротивления системы Бу начинается с последней массы тп. Сначала определяется комплексное сопротивление участка АВ (см. рис. 4), которое обозначается Бп. Затем производится последовательное вычисление комплексных сопротивлений следующих участков до участка с индексом 1. В результате расчетов получается электрическая цепь для определения 4ук, эквивалентная исходной цепи (см. рис. 6).

По этой электрической цепи находим значение тока системы

О)

I = ■

(2)

Для определения отношения между токами через массы тп (1п) и т1 (¡1) воспользуемся следу-

ющим выражением:

Ж =

К

S.

Ьс(п-1)

Sk

¡1 SЬcn + S тп Sn + Sm(n-1) + SЬc(n-1)

S3 + Sm2 + SЬc2

-,(3)

откуда

А' = ¡п - ¡1,

А' = (Ж -1)/1. Из выражения (4), с учетом (2), найдем

А = (Ж -1)

О)

S„

(4)

(5)

Структурная схема, полученная на основе выражения (5), приведена на рис. 7.

'яуя

£—

Оф ^ Бт1 _

9

I

Б,

Ь1

С /

Бь2 ''

Бс1

Бс

Бь

Ьс2

Бт2

БЬп-1

БЬсп-1

Рис. 4. Расчетная цепь системы

! В

-Г

Ьп

"V

Бсп I

| Бтп

Бтп-1 БЬсп

'п

А

2

Рис. 5. Алгоритм вычисления сопротивления системы - Ss),s

6(0

$

Рис. 6. Электрическая цепь для определении

Процедура синтеза алгоритмов управления колебаниями

Алгоритм синтеза управления на основе задания интегральной квадратичной оценки колебаний показан на рис. 8.

( Начало^

Ввод исходных параметров

Вычисление Б,.

Вычисление отношения ¡„/¡I

Задание значения

J поп

у/быбор весовых ко- , эффициентов

Печать г рафиков

Рис. 7. Структурная схема многомассовой мехатронной системы

На основе этой структурной схемы могут быть определены алгоритмы управления колебаниями мехатронной системы на основе задания конечного или дифференциального уравнения движения двухмассовой системы либо допустимого значения интегральной квадратичной оценки интенсивности колебательных движений.

( Конец )

Рис. 8. Алгоритм синтеза управления упругими колебаниями

Компенсирующее воздействие н0(0, при котором реализуется допустимое значение квадратичного функционала Здоп, можно сформировать по вектору состояния динамической системы

щ (¿) = -КА/ (0, (6)

где А/ (^) - вектор состояния выходной величины А/(^) системы; К - вектор коэффициентов усиления компенсирующих воздействий, процедура вычисления которого рассмотрена в работе [6].

Допустимое значение интегральной квадратичной оценки может быть определено исходя из условий устойчивости системы, а весовые коэффициенты матрицы могут быть выбраны, например, на основе рекомендаций, приведенных в работе [9]. Структурно-функциональная схема системы формирования компенсирующих воздей-

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ствий, полученная на основе уравнений (5) и (6), показана на рис. 9.

б®

ы0(г

1 у ¡у! / 7

Ж

! *

1

Л1

- К

Рис. 9. Структурно-функциональная схема формирования компенсирующих воздействий

Продемонстрируем возможности применения данного подхода для синтеза алгоритмов управления колебаниями трехмассовой мехатрон-ной системы.

Пример синтеза алгоритмов управления колебаниями

Сначала с помощью алгоритма, приведенного на рис. 6, вычисляется сопротивление системы Ssys при п=3

Ssys =

(Sm3 ' Sbc3 + Sm2 ' Ут3 + Sm2

УЬсз) ' Sl

ЬС2

Ут3 ' Sbc3 + Sm2 ' У тЗ + Sm2 ' SbC3 + Sm3 ' УЬс2 + УЬс2 ' УЬс3

+ Sm1 + УЬс1

(7)

Из выражения (3) можно найти отношение между токами

W = = -

S

Ьсз

S

ЬО2

SЬc3 + Sm3 у3 + Sm2 + SЬc2

(8)

Используя (1), перепишем выражение (7)

=

¡у!

a0p + ар + а2 + аър + аАр + а5р+а6 ^р5 + ёхр4 + ё2ръ + р2 + йАр+ё5

, (9)

где а = щщщ;

а = тщ (Ь + ь2 )+т (щьъ + щь2 + щь3);

а = тт^ + щ (т2с3 + т3с2 + т3с3 + Ь2Ь3)

+ Ь (т2Ьъ + т3Ь2 + т3Ь3) + т3Ь2Ь3 + т2Ь2Ь3 + т2т3с2; а = С (т2Ь3 + т3Ь2 + т3Ь3) + Ь (т2с3 + т3с2 + т3с3 + Ь2Ь3) + щ (Ь2С3 + Ь3С2 ) + Ш3Ь2С3 + Ш2Ь2С3 + Ш3Ь3С2 + Ш2Ь3С2 ; а = С (ш2съ + т3с2 + т3с3 + Ь2Ь3) + Ьг (ь2с3 + ь3с2 ) +щс2с3 + с2с3 (т2 + щ);

С\ (^ь^ С^ + Ь^ С^ ) + Ь С2 С^; ^а^ — С^ С2 С^; — щщ; ^ = ш3ЬЗ + Ш2Ь3 + т3Ь2;

ё2 = щсъ + щс2 + щсъ + Ь2Ь3; ^ = Ь2С3 + ЬъС2 ; ^^ — СС; ^ — 0*

С учетом (9) выражение (8) принимает вид

Ж = ■

а0 р + а р + а2

Д0р4 + Др3 + Д2р2 + Д3р + Д4

(10)

где а0 = Ь2Ь3; а = Ь3с2 + Ь2съ ; а2 = с2с3 ; Д = щщ; Д = щЬ3 + щЬ2 + щЬ3; Д = щсъ + щс2 + щс3 + Ь2Ь3; Д = сЬ + СЬ ;

Д4 = С2С3 *

Синтез алгоритмов управления колебаниями мехатронной системы выполнялся для следующих параметров трехмассовой системы: ©02 = с3/.

Сз/Ш3 -

парциальная частота исполнительного механизма; = с2!ш2 - парциальная частота передаточного

1

механизма; ^ = - относительный коэффициент демпфирования; ^ = ш1/ш2 , и = щ/(щ + щ) -

соответственно соотношение массы привода по сравнению с массами передаточного и исполнительного механизмов; где щ, т2 — соответственно приведенные массы привода и механической передачи движения; — приведенная масса исполнительного механизма; Ь - коэффициент вязкого трения; с2 - приведенный коэффициент

жесткости механической передачи движения; С3 -

приведенный коэффициент жесткости исполнительного механизма.

Исследования эффективности алгоритмов управления колебаниями при различных значениях параметров колебательной системы проводились в среде Ма^аЬ. При этом внешние воздействия задавалось в виде единичного ступенчатого сигнала 6)=1(0 с нулевыми начальными условиями. В процессе моделирования изучалось влияние соотношения парциальных частот колебаний исполнительного механизма и промежуточной массы, коэффициентов демпфирования и соотношения масс, а также допустимого значения интегральной квадратичной оценки на интенсивность и продолжительность колебаний.

Исследования показали, что наибольшей эффективности компенсирующие воздействия и0 (¿) достигают при соотношении частот

Ф0 <01. При увеличении частоты Ф0 эффективность гашения упругих колебаний снижается. Увеличение коэффициента /л, определяющего величину вязкого трения, приводит к снижению, а увеличение массы привода по сравнению с мас-

1

сами исполнительного и передаточного механизмов, определяемых коэффициентами п и у, - к повышению эффективности компенсирующих воздействий.

В качестве иллюстрации на рис. 10 показаны графики абсолютных колебаний исполнительного механизма. Штриховые линии представляют собой графики колебаний исходной системы, а сплошные - графики процессов, полученные при учете компенсирующих воздействий н0(0-

Как следует из приведенных графиков,

уменьшение допустимого значения интегральной квадратичной оценки в соответствии с условиями устойчивости системы снижает интенсивность и продолжительность упругих колебаний. Так, при соотношении щ < щ (см. рис. 10, а) декремент колебаний системы повышается со значения 8т = 0,53 до 8ж = 0,69 . Повышение парциальной частоты щ (см. рис. 10, б), при прочих равных условиях, приводит к увеличению интенсивности и продолжительности колебательных про-

1 1 1

а) со0 = 13 Гц = 32Гц, ц = 10, n = — и у = 1 б) со0 = 32 Гц = 32 Гц, ц = 10, n = — и у = —

6 6 5

Graph of elastic vibrations

Graph of elastic vibrations

j I ¡fjj ||P| ЩЩ I''i ffi'.

0 1 2 3 4 5 6 7 Time (sec)

9 10

ДЦОП= CI 00085

1

1

4 5 6 _ lime {sec)

1 1 1

в) co0= 44 Гц = 32 Гц, ц = 10, n = — и у = 1 г) с0 = 32 Гц = 32 Гц, ц = 20, n = — и у = —

6 6 5

x-)q"4 Graph of elastic vibrations

Graph of elastic vibrations

Э 4 5 6 7

Time [sec}

JA ( п=0.000 5

1 ......

Г" I

3456789 10 Т1те {эес)

д)щ = 44 Гц ,щ = 32 Гц, ^ = 50, п =1 и у = 1 е) щ = 32 Гц ,щ = 32 Гц, ^ = 20, п =1 и у = 1

6 2 Рис. 10. Графики упругих колебаний трехмассовой системы

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

цессов как исходной системы (£ = 0,127), так и системы с компенсирующим воздействием (£ос = 0,170). Дальнейшее увеличение этой частоты (см рис. 10, в), приводит к еще большему снижению эффективности гашения колебаний (декременты £исх = 0,09 до 5ос = 0,12). Увеличение

коэффициентов вязкого трения снижает интенсивность и продолжительность колебаний (5исх = 0,26, рис. 10, г и ^ = 1,09, рис. 10, д) и

эффективность компенсирующих воздействий (соответственно 5ос = 0,28, 5ос = 1,21). Увеличение массы привода по сравнению с массами исполнительного и передаточного механизмов (см. рис. 10, е) приводит к снижению амплитуд и продолжительности упругих колебаний при использовании компенсирующих воздействий.

Заключение

В заключение необходимо отметить, что метод электромеханических аналогий является удобным инструментом синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями многомассовых ме-хатронных систем, позволяя свести задачу к управлению колебаниями эквивалентной двухмас-совой системы, для которой на основе решения обратных задач динамики определены необходимые компенсирующие воздействия [2, 4]. Применение данного подхода для реализации алгоритмов управления колебаниями позволит повысить точность, быстродействие и надежность работы мехатронных систем различного назначения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем : Линейные модели. М. : Наука, 1987. 304с.

2. Кузнецов Н.К. Управление колебаниями упругих мехатронных систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2005. № 7. С. 7-13.

3. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Синтез алгоритмов управления колебаниями мехатронных систем на основе задания экспоненциальных законов изменения упругих координат // Вестник ИрГТУ. 2012. № 10. С. 43-47.

4. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями : монография. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.

5. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Управление колебательными движениями мехатронных систем на основе задания дифференциальных уравнений движения исполнительных механизмов // Вестник ИрГТУ. 2013. №6. С. 21-25.

6. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Синтез алгоритмов управления колебаниями многомассовых ме-хатронных систем на основе интегральных квадратичных оценок // Вестник ИрГТУ. 2013. № 12. С. 83-88.

7. Дружинский И.А. Механические цепи. Л. : Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1977. 240 с.

8. Саушев А. В., Шошмин В.А. Моделирование многомассовых механических систем электроприводов методом электрической аналогии // Журнал университета водных коммуникаций. 2010. № 4. С. 57-64.

9. Крутько П.Д. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем / П. Д. Крутько, А. И. Максимов, Л. М. Скворцов. М. : Радио и связь, 1988. 306 с.

УДК 621.01: 621.81: 621.891 Огар Петр Михайлович,

д. т. н., профессор кафедры «Машиноведение и детали машин», БрГУ, e-mail: ogar@brstu.ru

Тарасов Вячеслав Анатольевич, к. т. н., доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», БрГУ, e-mail: TV-post@ya.ru

Горохов Денис Борисович,

к. т. н., доцент кафедры «Информатика и прикладная математика», БрГУ, e-mail: denis_gorohov@mail.ru

УЧЕТ ТРЕНИЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ВНЕДРЕНИИ СФЕРИЧЕСКОЙ НЕРОВНОСТИ

P. M. Ogar, V. A. Tarasov, D. B. Gorokhov

FRICTION ACCOUNTING UNDER THE SPHERICAL ASPERITY ELASTIC-PLASTIC INDENTATION

Аннотация. Рассмотрено влияние трения на высоту навала при внедрении сферы в упругопластическое полупространство. Показано, что процесс внедрения сопровождается эффектами «pile-up/sink-in», т. е. выдавливанием материала вокруг неровности (образованием навала) и упругим продавливанием материала. Упругое про-давливание материала определено с учетом распределения давления на площадке контакта. На основе подобия