CC BY
28
УДК 621:534.833
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ МНОГОМАССОВЫХ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ОЦЕНОК
© Н.К. Кузнецов1, Ле Ба Хань2
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
На примере трехмассовой расчетной схемы производится синтез алгоритмов управления колебательными движениями исполнительных механизмов мехатронных систем на основе использования интегральных квадратичных оценок упругих колебаний. Приводятся результаты проверки эффективности предложенных алгоритмов с помощью программного комплекса Matlab. Ил. 4. Библиогр. 6 назв.
Ключевые слова: мехатронные системы; обратные задачи динамики; интегральные квадратичные оценки; компенсация упругих колебаний; численное моделирование.
SYNTHESIS OF ALGORITHMS TO CONTROL MULTIMASS MECHATRONIC SYSTEM VIBRATIONS BASED ON INTEGRAL QUADRATIC ESTIMATES N.K. Kuznetsov, Le Ba Khanh
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
By example of a three-mass computational model the authors synthesize the algorithms to control vibratory motions of mechatronic system actuators based on the use of integral quadratic estimates of elastic vibrations. The results of the efficiency tests of the proposed algorithms using Matlab software package are provided. 4 figures. 6 sources.
Key words: mechatronic systems; inverse dynamic problems; integral quadratic estimates; elastic vibration compensation; numerical modeling.
Эффективным методом синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями мехатронных систем является метод обратных задач динамики [1]. В [2] синтез алгоритмов управления колебаниями производился с помощью задания экспоненциальных законов изменения упругих координат, а в [3] и [4, 5] - соответственно на основе задания гармонических и дифференциальных законов. Недостатком этих способов задания законов изменения упругих координат является трудность получения требуемых алгоритмов управления движением для систем высокого порядка. В настоящей статье синтез алгоритмов управления колебательными движениями исполнительных механизмов мехатронных систем производится на основе использования интегральных квадратичных оценок упругих колебаний. Предложенный метод синтеза позволяет решать задачи ограничения упругих колебаний исполнительных механизмов мехатронных ситем, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, а также учитывать различные ограничения.
Задачу синтеза алгоритмов управления колебательными движениями исполнительных механизмов многомассовых мехатронных систем на основе задания интегральных квадратичных оценок упругих колебаний будем решать применительно к трехмассовой расчетной схеме, описанной в [4]. По структурной схеме этой системы найдем передаточную функцию для абсолютного отклонения исполнительного механизма Aq от программного движения:
Aq( p) b p3 + b3 p B( p)
Wo( p) = ^T =--5-4 3 2-= , (D
Q (p) a0p + ap + a2p + ap + a^p + a A( p)
где b = 1; b>3 =a>2 +o>2 •[! + /• (n- -1)]; a0 = 1; a = U ai = 04 1 + 7_1) + &0 '[1 + 7'П "1)1;
a3 =y-{a>l + a>l-[1 + 7- (n--1)]}; a4 = af-a2 ■ 7 + nl); a5 =®l-a]■ и; p = d/dt;
Aq = q2 - q* ;ao2 = clm; n = m„/(m„ + m); p = b/mn ; a2 = cjml и 7 = mjm1.
В уравнении (1) приняты следующие обозначения: Aq - абсолютное отклонение исполнительного механиз-
1 Кузнецов Николай Константинович, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РИА, зав. кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405434, e-mail: [email protected]
Kuznetsov Nikolai, Doctor of technical sciences, Professor, Corresponding Member of Russian Engineering Academy, Head of the Department of Designing and Standardization in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405434, e-mail: [email protected]
2Ле Ба Хань, аспирант, тел.: 89246250801, e-mail: [email protected]
Le Ba Khanh, Postgraduate, tel.: 89246250801, e-mail: [email protected]
ма Ад от программного движения; шп, щ - соответственно приведенные массы привода и механических передач движения; т - приведенная масса исполнительного механизма; О0 - приведенная движущая сила привода; С - приведенный коэффициент жесткости механических передач движения; С - приведенный коэффициент
жесткости исполнительного механизма; Ьи, Ь, Ь - коэффициенты вязкого трения. Уравнение (1) можно переписать в матричной форме:
X' = АХ + Ви;
У=ОХ+йи. (2)
Здесь X - вектор состояния динамической системы; У - вектор выхода; и - вектор управляющих воздействий; А - матрица динамических параметров системы; В - вектор коэффициентов усиления управляющих воздействий; С - матрица выхода; О - матрица непосредственного воздействия входа на выход:
Ад
X =
Ад Ад
Ад(3) Ад(4)
У = Ад(г); и = ы(г);
А =
-а
ап
-а
2
ао
-а3
ао
-а4
ао
-а5
а
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
В =
0
-Ь1 0
-Ь3 0
; с = [0 -Ь 0 -Ь 0]; Б = 0.
(3)
Воспользуемся следующим критерием для определения динамического воздействия, обеспечивающего компенсацию упругих колебаний:
3 =
1
I (X' QX + иЕи)ф,
(4)
где Q - неотрицательно определенная, а Е - положительно определенная матрица весовых коэффициентов. Обычно матрицы Q и Е назначаются постоянными и диагональными [6].
Компенсирующие воздействия и(), при которых реализуется минимум квадратичного функционала и, формируются по вектору состояния динамической системы:
и0 = -Е-ХВ XX (Г) . (5)
В этом выражении К представляет собой решение матричного уравнения Риккати:
КА + А К - КВЕ 1В К + Q = 0. (6)
Для нахождения компенсирующих воздействий (5) разрешим уравнение (6). При этом матрицы весовых коэффициентов, входящие в это уравнение, зададим в виде
К = (кг]); /, ] =1 - 5;
Q =
ф1 0 0 0 0
0 ф22 0 0 0
0 0 ф33 0 0
0 0 0 ф44 0
0 0 0 0 ф55
Е = [ ].
(7)
0
Уравнение (6) распадется на 15 алгебраических уравнений относительно компонентов матрицы К: -2
— (кпа5 + кХ2аА + кхъаъ + к1Ла2 + кхъах) - Ъ (Рки + )кг + Ъ Фки + ЬКл + = 0, а0
ки (к12а5 + к22а4 + к23а3 + к24а2 + к25а1) - Ъ1(Ъ1к12 + Ъ3к14)к22 + Ъ3(Ъ1к12 + Ъ3к14)к24 = 0
ао
к12 (к13а5 + к23а4 + к33а3 + к34а2 + к35а1 ) - Ъ1 (Ъ1к12 + Ъ3к14)к23 + Ъ3 (Ъ1к12 + Ъ3к14)к34 = 0
ао
к13 --(к14 а5 + к24а4 + к34а3 + к44а2 + к45а1 ) - Ъ1 (Ъ1к12 + Ъ3к14 )к24 + Ъ3(Ъ1к12 + Ъ3к14 )к44 = 0,
ао
к14 (к15а5 + к25а4 + к35а3 + к45а2 + к55а1) - ¿1(Ь1к12 + Ь3к14)к25 + Ъ3(Ъ1к12 + Ъ3к14)к45 = 0
ао
к12 + к12 + Ъ1(Ъ1к22 + Ъ3к24)к22 + Ъ3(Ъ1к22 + Ъ3к24)к24 + ^22 = 0
к22 + к13 + Ъ1 (Ъ1к22 + Ъ3к24 )к23 + Ъ3 (Ъ1к22 + Ъ3к24 )к34 = 0
к23 + к14 + Ъ1 (Ъ1к22 + Ъ3к24 )к24 + Ъ3 (Ъ1к22 + Ъ3к24 )к44 = 0
к24 + к15 + Ъ1 (Ъ1к22 + Ь3к24 )к25 + Ъ3 (Ъ1к22 + Ь3к24 )к45 = 0
к^ ^ к^ ^ Ь (Ь^^ ^ Ъ^к^^ Ь (Ь\к^ ^ Ъ^к^)к^ ^ ^ — 0,
к33 + к24 + Ъ1 (Ъ1к23 + Ъ3к34 )к24 + Ъ3 (Ъ1к23 + Ъ3к34 )к44 = 0,
к34 + к25 + Ъ1 (Ъ1к23 + Ъ3к34 )к25 + Ъ3 (Ъ1к23 + Ъ3к34 )к45 = 0,
к34 + к34 + Ь1 (Ь1к24 + Ъ3к44)к24 + Ъ3 (Ь1к24 + Ь3к44)к44 + Г44 = 0, к44 + к35 + Ъ1 (Ъ1к24 + Ъ3к44 )к25 + Ъ3 (Ъ1к24 + Ъ3к34 )к45 = 0,
к45 + Ъ1(Ъ1к25 + Ъ3к45)к25 + Ъ3(Ъ1к25 + Ъ3к45 )к45 + ¿55 = 0 (8)
Поскольку определение корней (8) аналитическими методами затруднено, воспользуемся численными методами решения. Оптимальное воздействие для данной задачи по критерию (4) согласно (3), (5), (6) и (7) запишется в виде
м0 = (Ъ&2 + Ъэк^Лд + №2 + Ъ^Ад + (Ъ^ + Ъ3к34)Дд + (Ъ^ + Ъ3к44)Дд(3) + №5 + Ъ3к45)Ад(4). (9)
Структурно-функциональная схема системы формирования компенсирующих воздействий, полученная на основе уравнений (1) и (9), показана на рис. 1.
Как следует из выражения (9), для реализации управляющего воздействия и0 по принципу обратной связи
требуется измерять не только упругую координату Ад, но и ее производные до четвертого порядка. Коэффициенты усиления обратных связей вычисляются в блоке решения обратных задач динамики (БОЗД) управляющей ЭВМ. При этом исходными данными являются заданные параметры динамической системы и весовые матрицы Q и Е. Полученные сигналы управления через усилительно-преобразующие устройства подаются на привод.
С целью проверки эффективности компенсирующего воздействия (9) было проведено численное моделирование с помощью программы МаАаЬ. Параметры мехатронной системы были приняты следующими: со0 = 45Гц, с = 33Гц, п = 1/6, ¡л = 1 и у = 1, - а матрицы весовых коэффициентов Q и Е выбирались в соответствии с рекомендациями [5]. Проведенные исследования показали, что соответствующим подбором весовых матриц Q и Е может быть обеспечено требуемое снижение амплитуды и сокращена продолжительность упругих колебаний.
Для иллюстрации изложенного ниже приводятся различные значения матриц весовых коэффициентов и решения уравнений Риккати, а на рис. 2 - 4 - соответствующие этим параметрам графики упругих колебаний исполнительных механизмов мехатронной системы, полученные при единичном ступенчатом воздействии О0=1(1) и нулевых начальных условиях. Штриховые линии представляют собой графики переходных процессов исходной системы, а сплошные - графики процессов, полученные при учете компенсирующих воздействий (9).
со0, й\, п, /и, у
<2, р
Рис. 1. Структурно-функциональная схема формирования компенсирующих воздействий
а =
1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
/ = 0.01; К =
1.0800 0.2179 0.8494 0.1098 0.0516
0.2179 0.6870 0.4146 0.7883 0.1744
0.8494 0.4146 1.0065 0.4436 0.1678
0.1098 0.7883 0.4436 1.1996 0.2853
0.0516 0.1744 0.1678 0.2853 0.2152
у
Рис. 2. Графики переходных процессов системы с весовыми матрицами ^ и /
02 =
10 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 10
1 = 0.01; К2
4.1280 1.3989 3.8597 0.6735 0.4561
1.3989 2.8839 2.7671 3.2153 0.8703
3.8597 2.7671 6.0182 3.0654 1.4324
0.6735 3.2153 3.0654 5.6212 1.7029
0.4561 0.8703 1.4324 1.7029 1.8264
Рис. 3. Графики переходных процессов системы с весовыми матрицами 02 и 1\
03 =
10 0 0 0 0 "10.8003 2.1790 8.4939 1.0982 0.5156
0 10 0 0 0 2.1790 6.8705 4.1459 7.8835 1.7443
0 0 10 0 0 ; 13 = 0.1; Кз = 8.4939 4.1459 10.0650 4.4365 1.6783
0 0 0 10 0 1.0982 7.8835 4.4365 11.9963 2.8529
0 0 0 0 10 0.5156 1.7443 1.6783 2.8529 2.1517
Рис. 4. Графики переходных процессов системы с весовыми матрицами 03 и 1
Как следует из приведенных графиков, увеличение значений весовых коэффициентов матрицы Q (см. рис. 3) приводит к уменьшению амплитуды упругих колебаний и их продолжительности, а увеличение коэффициентов Е (см. рис.4), наоборот, - к увеличению амплитуды колебаний и продолжительности переходного процесса. Проведенное моделирование показало также, что для получения желаемого вида переходного процесса достаточно выполнения двух -
трех итераций.
Предлагаемые алгоритмы управления колебательными движениям исполнительных механизмов мехатронных систем оказываются удобными при необходимости учета различных ограничений, а также в случае, когда эти механизмы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка. Их применение позволит повысить точность, быстродействие и надежность работы мехатронных систем.
Библиографический список
1. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: Линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.
2. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Синтез алгоритмов управления колебаниями мехатронных систем на основе задания экспоненциальных законов изменения упругих координат // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. №10. С.43-47.
3. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.
4. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Управление колебательны-
ми движениями мехатронных систем на основе задания дифференциальных уравнений движения исполнительных механизмов // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. №6. С.21—25.
5. Кузнецов Н.К. Управление движением двухмассовой колебательной системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2004. № 2. С.130-136.
6. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. 306 с.
УДК 625.768.1
К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ПОДМЕТАЛЬНО-УБОРОЧНОЙ МАШИНЫ
1 9
© М.П. Куксов1, А.И. Нижегородов2
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Обоснована потребность в определении мощности привода и момента сопротивления на рабочем колесе центробежного вентилятора. В частности, показана зависимость изменения мощности и момента от угловой скорости вращения рабочего колеса. Предложены зависимости для построения математической модели рабочего процесса малогабаритной подметально-уборочной машины. Ил. 4. Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: центробежный вентилятор; момент; мощность; угловая скорость вращения; малогабаритная коммунальная техника.
TO CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODEL FOR STREET SWEEPER OPERATION M.P. Kuksov, A.I. Nizhegorodov
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article justifies the need for determining the driving gear power and the resistive torque on a centrifugal fan impeller. In particular, it shows that the change in power and the torque depend on the angular frequency of impeller rotation. The dependences for building a mathematical model of compact street sweeper operation are suggested. 4 figures. 5 sources.
Key words: centrifugal fan; torque; power; angular speed of rotation; space-saving communal machinery.
Особенностью малогабаритных подметально-уборочных машин для летней уборки дворовых территорий является то, что при малых размерах базового шасси имеется ограничение в мощности двигателя, установленного на нем [2].
На рис. 1 приведена блок-схема подметально-уборочной машины. Мощность от одного двигателя расходуется на передвижение самой машины, на привод подметальной щетки и привод вентилятора системы вакуумного всасывания. Так как мощность дви-
1 Куксов Максим Петрович, аспирант, тел.: 89041188122, e-mail: [email protected] Kuksov Maxim, Postgraduate, tel.: 89041188122, e-mail: [email protected]
2Нижегородов Анатолий Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры строительных, дорожных машин и гидравлических систем, тел.: 89149061228, e-mail: [email protected]
Nizhegorodov Anatoly, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Construction, Roadmaking Machinery and Hydraulic Systems, tel.: 89149061228, e-mail: [email protected]
