Управление колебательной системой с минимальной параметрической чувствительностью Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

список литературы

1. Проценко, И.Г. Информационная система мо- 2. Википедия [Электронный ресурс] / Всемирная

ниторинга рыболовства [Текст] / И.Г. Проценко // Рыб- энциклопедия.RSA. -Режим доступа: http://m.wikipedia. ное хозяйство. -2001. -Спецвыпуск. -С. 3-18. org/wiki/RSA

УДК 681.51

С.Ф. Бурдаков

управление колебательной системой с минимальном параметрической чувствительностью

Общая постановка задачи об управлении динамическими системами состоит в необходимости придать движению системы желаемый характер. Факторы, препятствующие этому, с одной стороны связаны с инерционностью самой динамической системы, а с другой стороны - с влиянием внешней среды. Попытки преодоления этих факторов в условиях априорной неопределенности математического описания динамической системы могут привести к качественному изменению свойств системы, появлению неустойчивости, автоколебаний, снижению помехозащищенности и т. д. Явление качественного изменения свойств системы при малых изменениях ее параметров впервые было отмечено А.А. Андроновым. Системы, в которых такое явление невозможно, названы им грубыми. Только грубые системы могут использоваться на практике [1, 2].

В современной теории управления помимо термина «грубость», ориентированного на малые изменения свойств динамической системы, используется также термин «робастность» (от англ. robust - крепкий, сильный) [2, 3]. При этом акцент делается на возможность появления конечных вариаций математической модели.

Синтез законов управления, обладающих ограниченной чувствительностью по отношению к некоторым неопределенным на стадии проектирования параметрам и условиям функционирования динамической системы как объекта управления, является одной из важнейших проблем современной теории и практики. При этом чувствительность системы управления по отношению к каким-либо внутренним или внешним факторам может быть определена различным об-

разом. Все зависит от того, какие именно свойства, характеристики или показатели качества процессов в синтезируемой системе анализируются в рассматриваемой задаче [1, 2].

В настоящее время определились две основные тенденции в решении указанной выше проблемы. Одна из них связана с созданием адаптивных систем управления, приспосабливающихся к условиям функционирования [3]. Другая - с созданием систем, обладающих ограниченной чувствительностью к заданному множеству параметров объекта управления [4]. Чему отдать предпочтение обычно зависит от контекста задачи.

Ниже, в рамках второго подхода, предлагается метод синтеза грубых систем управления на основе решения задачи LQ-оптимизации.

Постановка задачи

В качестве объекта управления рассмотрим колебательную систему второго порядка:

у + 2^ у + ®2 у = и + ф, (1)

где ю1 - собственная частота; Е - безразмерный коэффициент демпфирования (Е < 1); и - управление; ф - возмущение.

В соответствии с уравнением (1) расчетная передаточная функция объекта управления имеет вид

G (p) =

1

., —Т. (2)

р + 2^ю1 р + Ю[ Управление будем формировать с помощью обратной связи по выходу у:

и = V (р)( У-У*), (3)

где V(р) - передаточная функция регулятора;

*

у - программное задание.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы (2), (3):

н (р) .

^ 1 + W (р)О(р) Передаточную функцию регулятора W(р) найдем методом динамической компенсации из условия Н(р) = Нл (р), где Нл (р) - желаемая передаточная функция замкнутой системы [1]:

н (р)

w ( р) = -

(4)

в( р)[1 - Н (р)]'

Потребуем, чтобы желаемая передаточная функция замкнутой системы имела вид

а,

н (р) = —

р +а1 р + а2

(5)

где коэффициенты характеристического полинома а1 и а2 определяют желаемое расположение его корней.

Передаточная функция (5) имеет минимальный порядок п = 2, обеспечивающий физическую реализуеро сть регулятор а, и удо влетв оряет условию астатизма Н (0) = 1. Подставляя выражения (2) и (5) в формулу (4), получим реальный РГО-регулятор

р2 г 20га 1 р г га;2

W (р) = а 2

(6)

(р га1) р

который полностью компенсирует динамику объекта (2). Известно, что такая компенсация имеет ограниченное применение в случаях, когда объект управления:

плохо управляемый, плохо наблюдаемый; неустойчивый, не минимально-фазовый; с «плохой» динамикой (например, колебательный с малым демпфированием) [1].

Для учета влияния возмущения ф запишем дифференциальное уравнение замкнутой системы:

3(5)у(?) = а2(я2 г^га^ гга^х

X у* (?) г (5 га1) 5ф(?), (7)

где 3(5) = (52 г а15 г а2)(52 г 20га 15 г га;2) - характеристический полином замкнутой системы при расчетных значениях параметров объекта.

Из уравнения (7) видно, что свойства замкнутой системы по заданию у* (?) определяются желаемой передаточной функцией (5). В то же время вид передаточной функции замкнутой системы по возмущению

(р ге1) р

Н ф (р) =

показывает, что при любом ограниченном возмущении ф в замкнутой системе всегда возникают колебания на собственной частоте га1 объекта управления (2), даже если желаемый характеристический полином р г а1 р г а2 в (5) имеет вещественные корни. При ненулевых начальных условиях колебания в замкнутой системе будут иметь место даже в случае отсутствия возмущения ф и у* = 0 .

Рассмотрим поведение замкнутой системы с регулятором (6) при отклонении параметров объекта управления от расчетных значений. Если реальная передаточная функция объекта имеет вид

&( р) = 2 -,

р г 2<уга 1 р г со 1 то для замкнутой системы вместо (5) получим а2(р2 г 20га 1 р г га2)

Н (р) = -

33 (р)

где 33(р) = (р2 г <у 1 р г<у 2)(р га1)р га2(р2 г г 20га 1р г Ю;2).

Анализ характеристического полинома 3(/0 показывает, что малые отклонения параметров ДО = 0 - 0 и Дга1 = <У 1 — ®1 не приведут к неустойчивости замкнутой системы, однако колебания на собственной частоте га1 все же неизбежны.

Попробуем предъявить к замкнутой системе более жесткое требование: требование полного гашения колебаний на собственной частоте га1. Для этого выражение 1 — Нл (р) должно в числителе содержать множителем знаменатель передаточной функции объекта (2):

(р2 г 2°га1 р гга2)(р г у)р

1 — Н (р) = -

-. (8)

р га,р га2р га3р га4

Множитель р в числителе (8) обеспечивает выполнение условия астатизма Нл (0) = 1. Множитель (р г у) ичетвертыйпорядокзнаменателя необходимы для обеспечения физической реализуемости регулятора. Коэффициенты характеристического полинома а . (/ = 1,4) определяют желаемое расположение корней, например, биномиальное, по Баттерворту и т. д. [1, 4].

Из выражения (8) нетрудно получить желаемую передаточную функцию замкнутой системы:

Рор2 г 01 р гр2

Н (р)=-

р га1 р га2р га3р га4

(9)

ар1 гаьрга2)(р2 г 20,ю—^рг-со,2 )

где Р0 = а2 — га2 — Р1 =аз — га2 Р2 =а4,

у = а1 — 20га 1.

Подставляя выражения (2), (8) и (9) в форму лу (4), получим:

во р2 + 01 р + Р2

V (р) = -

(10)

(р +1) р

Регулятор (10) лишь настройками коэффициентов отличается от (6). Однако он не осуществляет прямой компенсации динамики объекта.

Запишем дифференциальное уравнение замкнутой системы с регулятором (10):

Q(s) у (?) = (р0 *2 + + Р2) у* С) + (* + у >ф(' ),(11)

где Q(s) = *4 + а1 *3 + а2 *2 + а3 * + а 4 - характеристический полином замкнутой системы при расчетных значениях параметров объекта.

Из _(11) видно, что если коэффициенты а . (/ = 1,4) выбрать, например, в соответствии с биномиальной формой четвертого порядка

Q( р) = (р + ®0) = р + 4< р + + 6и>0 р2 + 4ю0 р + <0,

(12)

то при расчетных значениях параметров все переходные процессы в замкнутой системе (11) будут апериодическими.

Казалось бы, цель достигнута, однако анализ характеристического полинома замкнутой системы при малых отклонениях параметров объекта от расчетных значений

Q (р) = (р2 + 2Е° со! р + <5 2)(р + у) р +

(13)

+ Р0 р +01 Р + 02

показывает, что в реальной системе колебания неизбежны, а при определенных условиях возможна даже потеря устойчивости.

Пусть, например, в объекте (1) произошло изменение сил сопротивления, которое привело к отклонению ДЕ, = Е - Е . В этом случае характеристический полином (13) приводится к виду

^ (р) = р4 + (а, + 2ш,ДЕ) р3 +

(14)

+[а2 + 2ю1ДЕ,(а1 - 22^)] р +а3 р + а4.

Естественно, что расположение корней реального полинома (14) будет отлично от желаемого. Если в качестве желаемой выбрана биномиальная форма (12), то полином (14) можно переписать в виде

Q (р) = р4 + 2^(2 + аДЕ)р3 + +2ю2[3 + 2стДЕ(2 -стЕ)] р2 + +4ю0 р + ®4, ст = ш1/ш0.

(15)

Из выражения (15) видно, что при больших о не зависимо от выбора в качестве расчетного для настройки регулятора завышенного (ДЕ < 0) или заниженного (ДЕ > 0) значения коэффициента Е могут быть не выполнены необходимые условия устойчивости Стодолы. Большое о возможно при высокой собственной частоте объекта управления и малом значении параметра ю0, которое на практике всегда ограничено имеющимся ресурсом управления.

При малых о необходимые и достаточные условия устойчивости полинома (15) выполняются. Однако и в этом случае характер переходных процессов будет отличаться от апериодического, соответствующего биномиальной форме (12).

Таким образом, для обеспечения грубости замкнутой системы при выборе желаемого характеристического полинома недостаточно ориентироваться только на стандартные формы. Необходим детальный анализ параметрической чувствительности замкнутой системы.

LQ-оптимизация замкнутой системы с минимальной параметрической чувствительностью

Пусть объект управления описывается уравнением в переменных состояния

X = Ах + Ви, х(0) = х0, (16)

а матрица А = А(ц) зависит от одного скалярного параметра ц, номинальное значение которого

*

равно ц .

Для определения управления и выберем в качестве критерия оптимизации квадратичный показатель качества на бесконечном интервале времени:

У = | (хт Qx + и т Яи )&,

(17)

где Q > 0, Я > 0 - весовые матрицы.

Задача (16), (17), известная как задача линейно-квадратичной (LQ) оптимизации, имеет при ц = ц* решение в виде линейной обратной связи по вектору состояния и =-К*х, К*= Я-Вт Р*, где симметричная неотрицательно определенная матрица Р* = Р*т > 0 удовлетворяет матричному уравнению Риккати

А*т Р + РА* - РВЯ-Вт Р + Q = 0, А* = А(ц*).

Такое решение обеспечивает устойчивость

при ц = ц, но не гарантирует малой параметрической чувствительности замкнутой системы.

Модифицируем рассмотренную задачу путем учета параметрической чувствительности переменных состояния в процессе синтеза LQ-оптимального управления. Для этого введем функцию чувствительности вектора состояния объекта управления (16) по параметру ц

дх(?, ц)

м>(?) = -

дц

Уравнение для функции чувствительности м>(?) имеет вид

м> = Л й +

дЛ(ц)

дц

х(?, ц*), й(0) = 0. (18)

Введем расширенный вектор состояния г (?) = [ х(?, ц* )т, м>( ?)т]т и объединим уравнения (16) при ц = ц* и (18):

г =

"Л* 0 " " В'

г + и, р*

р. л* 0

дЛ(ц)

дц

. (19)

В дополнение к (17) введем интегральный квадратичный показатель чувствительности переменных состояния вида

3ц = | йт Ыйй?,

(20)

где М > 0 - весовая матрица.

Квадратичный показатель качества для расширенной системы (19) запишем в виде

3 = | (г^ г + и т Яи у?,

0

где весовая матрица

01 =

(21)

0 0 0 М

размера 2п х 2п составлена так, чтобы объединить исходный показатель (17) и показатель чувствительности (20).

Решение задачи LQ-оптимизации для (19), (21) по стандартной схеме с использованием решения уравнения Риккати

В Я-'[Вт 0]р + 0 = 0,

(22)

Л*т р+р Л;- р

0

Л1* =

Л* 0 р. л-

в виде симметричной положительно определенной матрицы

р* =

1

р* р*

-М1 12

р* р*

■*■ 1 1 1 11

(23)

размера 2п х 2п приводит к линейному управлению по расширенному вектору состояния г вида

и = — К* г = -Я Ч[ВТ 0]р* г = = -Я-1 Вт[р р*]г = —Ких—К*2й,

где К1*1 = Я^ВТрр1, К* = Я-Брр*2 - матрицы коэффициентов обратных связей.

При этом минимальное значение показателя (21) с учетом нулевых начальных условий по функции чувствительности м> равно

•Лшт = гТ (0)р* г (0) = хт(0)р1 х(0).

Сделаем следующие замечания.

1. Оптимальное управление (23) получено для расширенной системы (19) на множестве оптимальных в смысле показателя (21) систем. Для конкретизации решения необходимо выбрать ту или иную комбинацию весовых матриц 0, Я и М в показателе (21). Определение «наилучшей» комбинации остается в сфере ответственности разработчика.

2. Решение уравнения (22) и формирование матриц коэффициентов обратных связей в (23) осуществляется в пакете МА^АВ.

3. Непосредственно реализовать управление (23) невозможно из-за отсутствия прямых измерений вектора состояния х и функции чувствительности м>. Однако полученное решение позволяет сформировать оптимальный в смысле квадратичного функционала (21) характеристический полином замкнутой системы

Л — ВК* — ВК12

р. Л'

¿а и^2п —

= Ь2п + а;к2п—1 + ... + а2 п—Л + а2п,

который можно использовать в качестве желаемого для синтеза реализуемых регуляторов другой структуры.

Расчетный пример

Будем считать, что безразмерный коэффициент демпфирования 0 (0 <!) в (1), номинальное значение которого равно 0*, может меняться в некоторых пределах. Требуется найти настройку регулятора (10), обеспечивающую для замкнутой системы малую чувствительность по отношению к отклонениям параметра 0 объекта управления

ц=ц

ж

от номинального значения £*.

1. Рассмотрим сначала вспомогательную задачу оптимальной стабилизации колебательной системы (1) по интегральному квадратичному показателю качества (17). Эта задача необходима для обоснования выбора весовых матриц Q и Я из (17).

Запишем уравнение объекта управления (1) при номинальном значении параметра Е - Е* в переменных состояния х1 = у, х2 = у

x2 = -ш2 x1 - 2Е*ю1 x2 + u + ф.

(24)

Начальные и конечные условия для задачи стабилизации имеют вид

х1 (0) = х10 , х2 (0) = х20 , х1» = 0, х2» = Оптимальность будем понимать в смысле минимума интеграла от взвешенной суммы энергии колебаний и энергии, затраченной на управление:

да

У - | (< х2 + х22 + ги2)Л, (25)

0

где весовой коэффициент г > 0 пока не зафиксирован.

Задачу LQ-оптимизации (24), (25) можно решить аналитически методом Лагранжа [1]. В зависимости от конкретных значений параметров Е*, ю1 и г возможны два случая.

2 2 *2 1

Случай В > С, где В -ю^ - 2Е )--,

<2 2г

С - — + ш4 > 0. Если в этом случае В > 0, то г

оптимального стабилизирующего регулятора не существует. В частности, это может быть при большом значении г, которое соответствует малому ресурсу управления. Если В < 0 (этот случай характерен при малом значении г, т. е. при большом ресурсе управления), то оптимальное стабилизирующее управление имеет вид

и --Кх(у - у*) - К2у, (26)

где К1 = у1 у2 - ш;2, К2 = у1 + у2 - 2ЕХ - коэффициенты обратных связей; у1 =

V - В + ^В2 - С,

у2 =у1-В.

Таким образом, оптимальный стабилизирующий регулятор представляет собой PD-регулятор с передаточной функцией

V (р) = К + К 2 р. (27)

(28)

Подставляя управление (26) в уравнение объекта (1), получим уравнение замкнутой системы:

У + [Yi + Y 2 + )] У + YiY 2 У =

= (YiY2 -®2)У* +ф.

Из уравнения (28)следует:

• свободное движение замкнутой системы при Е = Е* апериодическое с характеристическим уравнением (v + y1 )(v + Y2 ) = 0 ;

• при Е^Е* характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

v2 + [Yi + Y 2 + 2® i(E - Е* )]v + YiY 2 = 0

• при Е < Е* свободное движение замкнутой системы может стать колебательным, поэтому если определена нижняя граница диапазона изменения параметра Е объекта управления Е — Е — Е , то в качестве номинального можно рекомендовать значение Е* = Е, т. е. наименьшее из возможных значений.

Случай B2 < C. Этот случай характерен при среднем (ограниченном) ресурсе управления. Для него по сравнению с предыдущим случаем меняется только настройка PD-регулятора:

u = -K (y - У* ) - КУ, (29)

где К1 =г|2 +S2 -fflj2, К2 =2(п-Е*ю1),

(30)

При такой настройке даже при Е = Е* свободное движениезамкнутойсистемы

у + [2п + 2Ю1(Е-Е*)] у + (п2 +82) у- (п2 +82 -ю?)у*+ф

будет колебательным.

При числовых расчетах используем следующие значения параметров:

ш1 = 3 0 1/ с = 5 Гц; Е*= 0,1 (0,05 <Е<0,15); г -1/ш^.

Для этих данных В - 432 1/с2, л/С - 900л/2 1/с2, т. е.

имеем второй случай

(В2 < С) .Приэтом

П2 + 82 -900л/2 1/с2, П-7450(л/2 - 0,48) = 20,5 1/с, К1 - 900(^2 -1) = 372,8 1/с2, К2 = 35 1/с.

Видно, что в рассматриваемом случае собственная частота замкнутой системы (30)

о' = 35,7 1/С,

а также безразмерный коэффициент демпфирования (при 0 = 0*)

0' = пД/П +82 = 0,57

увеличиваются по сравнению с теми же параметрами объекта управления (24). Увеличение собственной частоты составляет примерно 19 %, а безразмерный коэффициент демпфирования увеличивается почти в шесть раз. Если параметр 0 объекта управления может принимать любые значения из диапазона 0,05 <0- 0,15, то диапазон значений параметра 0' замкнутой системы определяется следующим образом 0,53 -0 - 0,62.

Таким образом, оптимальное стабилизирующее управление (29) дает вполне приемлемый результат.

2. Рассмотрим вторую вспомогательную задачу, позволяющую обосновать выбор весовой матрицы М из показателя типа (20).

Введем для объекта управления (1) переменные состояния х,(?, 0) = у(?, 0) и х2(?, 0) = у(?, 0) и их функции чувствительности

щ(Х) =

ад, 0)

50

, ^) =

, 0)

0=0*

д0

0=0*

а также соответствующие уравнения чувствительности

Щ =

Щ =-®2щ -20*ю1^2 -2ю, х2(?,0*). (31) Уравнения чувствительности (31) необходимо рассматривать совместно с уравнениями невозмущенного движения (24). Объединяя уравнения (24) и (31), получим

г = А1 г + В1(и + ф),

(32)

А =

0 1 0 0

-Ю2 - 20*Ю! 0 0

0 0 0 1

0 - 2ю1 -ю2 - 20*ю

В1 =

где г = [х х2 щ щ ]т - вектор состояния расширенной системы.

Учитывая, что возмущенное движение в пер-

вом приближении можно представить в виде суперпозиции невозмущенного и дополнительного движений

х(?, 0) = х(?, 0*) + (0-0* ),

х(?, 0) = ъ($, 0*) + (0-0* МС),

по аналогии с (25) введем показатель чувствительности

30 = | (®2 щ2 + м>1)&,

(33)

характеризующий энергию дополнительного движения.

Объединяя показатель (25) при значении г = 1/о,2, выбранном на предыдущем этапе, с показателем (33), получим показатель качества для расширенной системы (32) в виде

■И

22 2 й /22 2\ ю1 х + х2 +—2 + т\0\ Щ + ^2)

(34)

где весовой коэффициент т пока не зафиксирован.

Установить приемлемое значение весового коэффициента т можно итеративным путем в пакете МА^АВ на основе сравнительного анализа решений LQ-задачи оптимального управления (32), (34) при разных значениях т.

В соответствии с (23) оптимальное управление в рассматриваемом случае имеет вид

и = - К* х - К2* х2 - К3* щ - К* щ2 , (35)

где К* (/ = 1, 4) - оптимальные значения коэффициентов обратных связей, найденные по стандартной схеме с использованием решения уравнения Риккати (22) при выбранном значении весового коэффициента т в показателе (34).

Подставляя управление (35) в уравнение (32), получим оптимальный по критерию (34) характеристический полином расширенной системы

det

где

X

Ш;2 + К,

0 0

-1

X + 20*0, + К2* 0

2ю1

0 К*

0 К* -1

X + 20*ю,

= X4 + а*Х3 + а2 X2 + а3Х + а4,

(36)

а* = 40*ю, + К*; а2 = 2ш2(20*2 +1) + К* + 20*ю,К2* - 2ю,К*; а3 =0^(20*0, + К2*) - 2ю1 К3* + 20*ю1(ю2 + К*); а4 = Ю;2^2 + К*).

3. Вернемся к реальному РГО-регулятору (10). Для его настройки в качестве желаемого будем использовать характеристический полином (36), который при т = 10 в функционале качества (34) имеет корни Х1 --7,3 1/с, X2 --28,1 1/с, X34 --41,6 ±]62 1/с. В этом случае даже существенное отклонение параметра объекта Е от расчетного значения Е* приводит лишь к незначительному (локальному) изменению расположения корней характеристического

полинома замкнутой системы относительно их желаемого расположения. При этом переходные процессы в замкнутой системе имеют почти апериодический характер.

В заключение отметим, что для реализации предложенного метода синтеза грубых регуляторов может быть использовано стандартное алгоритмическое и программное обеспечение пакета МАТЪАВ.

список литературы

1. Первозванский, А.А. Курс теории автоматического управления [Текст] / А.А. Первозванский. -М.: Наука, 1986. -616 с.

2. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление [Текст] / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. -М.: Наука, 2002. -303 с.

3. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления [Текст] / Под. ред. Н.Д. Егупова. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -744 с.

4. Дорф, Р. Современные системы управления [Текст] / Р. Дорф, Р. Бишоп. -М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2004. -832 с.; [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.prenhaП.com/dorf

УДК 004.932./004.056.55

В.Н. Шашихин, Н.В. Богач, В.А. Чупров

проблема малого количества ключей

в алгоритме шифрования двумерных данных

на основе tent-отображения

Большое количество публикаций, посвященных приложению теории динамического хаоса к задачам обработки, передачи и защиты информации, обусловлено широкими перспективами практического применения хаотических преобразований в этих областях науки. В современной криптографии сложилось определенное представление о роли, отводимой хаотическим преобразованиям, их возможностям [3], [5]. Построен и исследован ряд криптосистем на основе хаоса [6, 7]. Проблемы, возникающие при реализации хаотических криптосистем, связаны, во-первых, с оценкой качества получаемых алгоритмов, их быстродействием, доказательством преимуществ применения хаотических отображений по сравнению с традиционными решениями, а, во-вторых, с недостатком информации о параметрах алгоритмов хаотического шифрования, размерности пространства ключей, трудоемкости криптоанализа и прочих количественных оценках [5].

В настоящей статье рассматривается алгоритм шифрования двумерных данных, в котором в качестве основного шага криптографического преобразования применяется одномерное хаотическое отображение типа «tent». При разработке алгоритма используется схема с нелинейным подмешиванием [1], традиционно применяемая в аналоговых системах хаотической связи. Применение ее в полностью цифровой системе дало хороший результат.

Выбор параметров алгоритма

В качестве хаотической функции будем использовать одномерное однопараметрическое кусочно-линейное отображение {x : ^ ^ ^ }:

Ц 1 - Х.

> Хп <Ц

(1)

1 -ц

, Хп >Ц

где 0 < ц < 1 -параметрсимметрии.

Х

и