Управление колебаниями трехмассовой системы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

КузнецовН. К., ПерелыгинаА. Ю. УДК621.01:534

УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ ТРЕХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ

Автоматизация современного производства приводит к появлению новых высокопроизводительных машин с программным управлением: промышленные роботы и манипуляторы, агрегатные станки и обрабатывающие центры, подъёмные машины, транспортирующие, ориентирующие и загрузочные устройства, координатные и поворотные столы и т.д. В отличие от цикловых машин, предназначенных для реализации явно выраженного установившегося движения, управляемые машины позволяют осуществлять механическое движение любой сложности, в том числе и управляемые переходные режимы. Высокие требования по быстродействию и точности, предъявляемые к этим машинам, вызывают необходимость учета податливости исполнительных механизмов в системах управления движением и разработки методов и средств ограничения упругих колебаний. Эффективным путем решения этой проблемы является использование активного способа компенсации колебаний. Принцип активного гашения упругих колебаний заключается в формировании с помощью внешних источников энергии дополнительных периодических воздействий, возбуждающих колебания той же частоты, но противоположной фазы. В известных работах [1,2], посвященных проблеме управления упругими колебаниями, как правило, используется двух-массовая расчетная схема, с помощью которой моделируется движение по отдельным степеням подвижности исполнительных механизмов. В то же время, как показывают результаты экспериментальных исследований упругих свойств промышленных роботов [3,4], колебательные движения по некоторым степеням подвижности исполнительных механизмов более точно могут быть описаны трехмассовой колебательной системой. Например, движение поворота для промышленного робота, работающего в цилиндрических, сферических и угловых системах координат — из-за наличия поворотной колонны или

стойки, обладающей существенной инерционностью (УМ-1, «Универсал-5», РМ-01). У промышленных роботов, имеющих двигатели, расположенные на основании, например, у робота ТУР-10 из-за протяженной механической передачи движение звеньев можно представить в виде системы «привод-редуктор-звено». Данная расчетная схема также применима при наличии в исполнительном механизме манипулятора люфтов, редукторов с большим передаточным отношением и т.д. В настоящей статье приводятся результаты исследований задач активного гашения колебаний применительно к трехмассовой расчетной схеме.

Для трехмассовой колебательной системы существует ряд особенностей, которые необходимо учитывать при разработке систем управления колебаниями. Во-первых, в отличие от двухмассовой системы, возможно формирование управляющего воздействия, как на первую массу системы, так и на промежуточное звено. Во-вторых, дополнительные обратные связи могут быть организованы не только по упругим отклонениям исполнительного механизма, но и по отклонениям передаточного механизма. Кроме того, учет промежуточной массы затрудняет возможности динамического анализа и синтеза систем управления колебаниями из-за высокого порядка дифференциальных уравнений движения. Последнее обстоятельство требует введения в расчеты обоснованных ограничений и упрощений.

Расчетная схема трехмассовой колебательной системы, построенная на основе обобщенной расчетной схемы [1], показана на рис. 1. Здесь приняты следующие обозначения: д, координата, характеризующая движение привода; Дд1,Дд2 упругие смещения масс; т¡, т2 соответственно приведенные массы привода и элементов преобразования движения; т - приведенные массы упругого звена, схвата и груза; Оп — приведенная движущая

тп

■ —►

1

с I

hV'vH

ntj

■AV

m

~Kq.

Д qz

Рис. 1. Трехмассовая расчетная схема колебательной системы.

сила привода; с1 — приведенный коэффициент жесткости элементов преобразования движения; с — приведенный коэффициент жесткости несущего схвата; Ь — коэффициент вязкого трения.

Дифференциальные уравнения движения трехмассовой системы для режима позиционирования в окрестности некоторого заданного положения, определяемого координатой, имеют вид

тп(1++ Ьд+- с Д?! = Оп, (1)

т1 Дд1 + с1 Дс 1 --т1с[+ + сДд 2, (2) тДд2 + сДд2 --тд+ -тДс[1. (3)

Рассмотрим упругие колебания, возникающие в системе при воздействии на нее постоянной силы Оп. Структурная схема, полученная на основании преобразованных по Лапласу уравнений (1) - (3) при разомкнутой системе управления основным движением, приведена на рис.2.

На основе структурной схемы было проведено численное моделирование процессов управления движением трехмассовой колебательной системы. Исследования выполнялись в среде МАТЪАВ с использованием системы визуального моделирования БтиИпк с помощью блок-диаграммы, показанной на рис. 3. Эта модель получена на основе структурной схемы, изображенной на рис. 2. Моделирова-

ние проводилось при следующих значениях параметров системы: mn =10кг; m, = 25кг; т = 40кг; Ь=15 НМс/м. На вход модели подавалось воздействие в виде ступенчатого сигнала Qn = Q01(t). На выходе модели формировался сигнал, соответствующий суммарным упругим колебаниям робота Д q - Д q 1 + Д q2 . Результаты моделирования можно просмотреть путем раскрытия индикатора (Scope) на основной блок-диаграмме.

В процессе исследований было установлено, что характер переходного процесса системы определяется как соотношениями между приведенными коэффициентами жесткости, так и приведенными массами. В качестве примера, на рис. 4 для заданных параметров системы приведены графики свободных колебаний исполнительного механизма при различных коэффициентах жесткости. В первом случае, приведенный коэффициент жесткости элементов преобразования движения с, принят больше, чем коэффициент жесткости несущего схвата с (с, =1,5-104Н/м; с = 0,8-104Н/м) (рис. 4а); во втором случае, (рис. 4б) — наоборот (с, = 0,8-104Н/м; с=1,5-104Н/м). Из графиков следует, что во втором случае интенсивность затухания колебаний выше, чем в первом.

На рис. 5 показаны графики свободных колебаний при различных соотношениях между массами, определяемых коэффициентом n - mn / M , где M - mn + m1 + m - полная масса системы. График на рис 5,а соответствует n - 0,53 , а на рис. 5,б -n -0,13 . Как видно из этих графиков, увеличение n (массы привода) приводит к снижению интенсивности затуха-

Рис.2. Структурная схема трехмассовой системы.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис.3. 81шиНпк-модель трехмассовой системы.

а) с,> с ( с=1,5 104Н/м; с=0,8 104Н/м) б) с,< с ( с1=0,8 104Н/м; с=1,5104Н/м )

Рис.4. Упругие колебания трехмассовой системы при различном соотношении приведенных коэффициентов жесткости.

а) п = 0,53(тл=40кг;т=25кг;т=10кг) б) п = 0,13(тл=10кг; т =25кг; т=40кг) Рис.5. Упругие колебания трехмассовой системы при различных соотношениях масс.

ния колебаний, наоборот, уменьшение п способствует повышению интенсивности гашения колебаний системы.

Физически это объясняется относительным увеличением при малом п, когда (т+т1)»тп, скорости колебаний привода, за счет чего увеличивается поглощение энергии колебаний вязким трением движущих частей привода. Таким образом, наиболее неблагоприятным следует считать такое соотношение масс, когда (т+ т) <<тп. Исследуем эффективность активной компенсации упругих ко-

лебаний исполнительного механизма для этого случая. Блок-диаграмма трехмассовой системы с дополнительными обратными связями показана на рис.6.

Как следует из этой схемы, возможны два варианта введения дополнительных силовых обратных связей в систему. В первом случае, дополнительная обратная связь с передаточной функцией №'доп (р) охватывает и привод, и механическую передачу; во втором же случае, дополнительная связь с передаточной функцией Ш'д'оп(р) охватывает только механическую передачу. И если в первом случае допол-

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

Рис.6. Simulink-модель трехмассовой системы c дополнительными связями.

нительная силовая обратная связь может быть реализована с помощью приводов программных движений управляемой машины, то во втором случае для реализации этой связи необходима установка дополнительных приводов, обеспечивающих необходимые воздействия на промежуточную массу т1. Расчетная схема во втором случае будет совпадать с двухмассовой расчетной схемой, рассмотренной ранее [1]. Учитывая это, исследуем лишь первый вариант введения дополнительных силовых обратных связей.

По структурной схеме, приведенной на рис. 2, находим передаточную функцию, связывающую абсолютные колебания массы т с движущей силой Оп при отсутствии дополнительной связи

Ь p3 + Ь з p

Wо( p) --

a0 p5 + a1 p4 + a2 p3 + a3 p2 + a4 p + a5

- 0п (c + cl) 0 2cc1Ьmn

(5)

где W(p)- Wо(p)/(1 + Wо(p^д0п(p));

Дд - Дд 1 +Дд2.

Согласно [5] для пропорциональной дополнительной обратной связи с передаточной функциейWgоn (р) - ±кв на основе уравнения (6) интегральный функционал имеет вид Оп [± т1 ckD + Р]

J1 =-

(7)

2Ьтп [mcc12 - kD (±т1 cc1 ± Р + c • т1 • kD )]

где Р - mc1 ^ + c1).

Условие эффективности этой связи с учетом выражений (5) и (7) примет вид

к - А -к10 - - -

cc1[± m1ckD + Р ]

Дд о-Дсю +Д?2о - Wо( р )Оп, (4)

где Ь1 - тт1 ,Ь3 -(т + т1 ^+т^ ;ао - ттпт1; а1 тт1Ь;а2 -тп[(т + т1 )c+т^]+ тт^1;

а3 - Ь[(т + т1 )c+mc1 ];а4 - ^Ь; р - d /

Задавая входное воздействие в виде ступенчатого сигнала и используя табулированные зависимости квадратичных функционалов от коэффициентов дробно-рациональных функций [5], на основе (4) получим интегральный функционал исходной системы

Упругие колебания массы т при этом определяются выражением

Дд - W(р)Оп, (6)

_ (8)

J0 ^ + c1)[mcc2 - ^(±m1cc1 ± Р + c • т1 • kD)]

Из выражения (8) следует, что эффективность пропорциональной дополнительной обратной связи не зависит от массы движущихся частей привода. Также из этого соотношения видно, что данная дополнительная обратная связь может быть эффективна (k10 < 1) как при положительном (верхний знак соотношения), так и при отрицательном (нижний знак соотношения) коэффициентах усиления^ этой связи. В первом случае должно соблюдаться условие

т1 ^ > т1 ^ • kD (c + c1)+т•c1 ^ + c1)2, а во втором -

т(c + c1) > т1 ^ • kD ^ + c1)+т1 ^ •c12.

Определим оптимальное значение коэффициента усиления, которое обеспечит минимальную интегральную оценку (7) и, соответственно, минимальное время переходного процесса по координате отклонения массы исполнительного механизма от положения равновесия. Для этого воспользуемся следующей зависимостью

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис.7. Упругие колебания трехмассовой системы.

dJ j

dkr

2 2 2 2 QQ ■ c ■ mJ ■ kp + 2 ■ Qq ■ c ■ mj ■ F■ kd + Qо 'm ■cj ' A

2 ■ b ■^c ■ m j ■ kp + (s + cj2 ■ m) ■ k p - cj2 ■ c ■ m J

где A -(f + m ■ c 2 + s) , S - cl ■c ■(m - ml ).

(9)

Из выражения (9) определим значение коэффициента усиления пропорциональной дополнительной связи, обеспечивающее наибольшую степень затухания колебаний

= ——— Г-т■(с +с1 )±у1т ■ т1 ■с ■с11. (10) с ■ т ^ / J

kopt -kD

Зависимость (10) показывает, что при изменениях параметров системы и конфигурации исполнительных органов, будут изменяться значения оптимальных коэффициентов к. Анализ устойчивости системы с отрицательной пропорциональной обратной связью показывает, что коэффициент усиления этой связи ограничен величиной

kDP =-

■(c + c) - c ■ mj ±

2 ■ с ■ т1

±т!т2 ■(с1 + с)2 + 2 ■ с ■ т■ т1(с -с1) + с2

Проведенное на основе зависимостей (10), (11) моделирование показало, что пропорциональная дополнительная связь может быть эффективна только при положительном коэффициенте усиления кв данной связи. В качестве иллюстрации на рис. 7 приведены графики упругих колебаний механизма для системы со следующими параметрами: тп = 40кг; т1_ = 25кг; т=10кг; с^^^Н/м; с= 08404Н/м; Ь=15 НМс/м. Переходная характеристика исходной системы приведена на рис. 7а. На рис.

7б — переходная характеристика системы при положительной пропорциональной обратной связи.

Анализ графиков показал, что пропорциональная дополнительная связь позволяет почти в два раза снизить амплитуду упругих колебаний. Таким образом, активная компенсация упругих колебаний с помощью дополнительных обратных связей возможна и в трех-массовых колебательных системах.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Елисеев, С. В. Управление колебаниями роботов / С. В. Елисеев, Н. К. Кузнецов, А. В. Лукьянов. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, Ш90. - 320 с.

2. Крутько, П.Д. Управление движением упругих многомассовых систем / П.Д. Крутько // Проблемы машиностроения и надежности машин. - - №4. — С. 90-96.

3. Кузнецов, Н. К. Управление движением упругих систем на основе позиционных координат / Н. К. Кузнецов, А. А. Савченко

(jj) // Повышение эффективности технологических процессов в машиностроении : сб. науч. тр. / Иркут. гос. техн. ун-т. — Иркутск, 2000. — С. Н4-Н8.

4. Кузнецов, Н. К. Управление движением трехмассовой колебательной системы / Н. К. Кузнецов, А. Ю. Перелыгина // Проблемы механики современных машин : Материалы третьей международной конферен-ции/ВСГТУ. — Ула-Удэ, 2006. — Т. j — С. j88-j9j.

5. Топчеев, Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. / Ю. И. Топчеев. — М. : Машиностроение, !989. — 752 с.

c