CC BY
39
Библиографический список
1. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М. : Наука, 1982. 256 с.
2. Смирнова Д. С. Модели многокритериальной оптимизации с частично упорядоченным множеством критериев // Компьютерные науки и информационные тех-
нологии : материалы междунар. науч. конф. Саратов : Издат. центр «Наука», 2012. С. 293. 3. Розен В. В. Математические модели многокритериальной оптимизации по качественным критериям // Компьютерные науки и информационные технологии : материалы междунар. науч. конф. Саратов : Издат. центр «Наука», 2012. С. 266.
Models of Multi-criteria Optimization with Quality Criteria V. V. Rozen, D. S. Smirnova
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, Rozenvv@info.sgu.ru, smirnova@okean-kv.ru
We consider mathematical models of multi-criteria optimization with quality criteria. The main problem is a construction of preference relations on the set of alternatives and an investigation of its mathematical properties. Two methods for contraction of Pareto-optimal set are proposed. The first method is based on introduction of a partial order relation on the set of criteria and the second leans selection of the most important groups of criteria.
Key words: model of multi-criteria optimization, preference relation, Pareto-optimality, winning coalition of criteria.
References
1. Podinovskiy V. V., Noghin V. D. Pareto-optimal'nye resheniia mnogokriterial'nykh zadach [Pareto-optimal decisions of multi-criteria problems]. Moscow, Nauka, 1982, 256 p. (in Russian).
2. Smirnova D. S. Modeli mnogokriterial'noi optimizatsii s chastichno uporiadochennym mnozhestvom kriteriev [Models of multi-criteria optimizations with partially ordered set of criteria]. Komp'iuternye nauki i infor-
matsionnye tekhnologii : materialy mezhdunar. nauch. konf., Saratov, 2012, pp. 293 (in Russian). 3. Rozen V. V. Matematicheskie modeli mnogokriterial'noi optimizatsii po kachestvennym kriteriiam [Mathematical models of multi-criteria optimization under quality criteria]. Komp'iuternye nauki i infor-matsionnye tekhnologii : materialy mezhdunar. nauch. konf. Saratov, 2012. pp. 266 (in Russian).
УДК 519.17
УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО СВЯЗНЫХ ЧАСТЕЙ МНОГОУГОЛЬНОГО ГРАФА
В. Н. Салий
Кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии, профессор, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, SaliiVN@info.sgu.ru
Под многоугольным графом понимается ориентированный граф, полученный из цикла путем некоторой ориентации его ребер. Множество абстрактных (т.е. рассматриваемых с точностью до изоморфизма) связных частей многоугольного графа упорядочивается отношением вложимости графов. Получено описание многоугольных графов, для которых это упорядоченное множество является решеткой.
Ключевые слова: многоугольный граф, линейный граф, двоичный вектор, двойственность, упорядоченное множество, решетка.
Под графом понимается пара С = (V,«), где V — конечное непустое множество и а с V х V — отношение на нем. Элементы множества V называются вершинами графа, а пары, входящие в отношение смежности а, — дугами.
Если V' с V и а' с а, то граф С = (V', а') называется частью графа С В случае, когда а' = а П (V' х V'), говорят, что С является подграфом графа С
Пусть С = (V, а) и Н = (и, в) — некоторые графы. Вложение графа С в граф Н — это такое инъективное отображение ^ : V ^ и, что (V V, у' е V)((ь, у') е а (^(ь), <р(ь')) е в). Если граф С
вкладывается в граф Н, то С изоморфен некоторой части графа Н, а при сильном вложении — некоторому его подграфу. Биективное сильное вложение (фактически наложение) ^ : V ^ и по определению является изоморфизмом графа С на граф Н. С абстрактной точки зрения изоморфные графы не различаются, их интерпретируют как различные реализации одного и того же объекта. Если (V е V)((-,-') е а ^^ )) е в), то говорят, что ^ — сильное вложение С в Н.
Вершины графа С называются связанными, если (3 -1,-2,•••,-к е V)((-,-!) е
е а и а-1 &(-1,г>2) е а и а-1 & ... & (-к,-') е а и а-1). Граф, в котором любые две вершины связаны, по определению является связным.
Маршрутом с началом - и концом называется последовательность примыкающих дуг ), (-1,-2),•••, (-к,). Маршрут можно представить в виде перечисления проходимых вдоль него вершин: •••-к-'. Цепь — это маршрут, в котором все вершины разные. Цепь, состоящую из п дуг, обозначим через Рп и будем использовать ее стандартную запись Рп = -0-1 • • • -п. Если «склеить» концы цепи, получим п-звенный (п-вершинный) контур, который будем записывать в виде Сп = -1-2 • • • -п-1 -1, считая -1 выбранной начальной вершиной.
Под линейным графом длины п понимается всякий граф Ь, полученный переориентацией некоторых дуг цепи Рп. Многоугольным графом порядка п называется всякий граф М, полученный переориентацией некоторых дуг контура Сп (см. [1]).
Очевидно, что все связные части линейного графа являются его подграфами. В многоугольном графе М порядка п все связные собственные части с < п — 1 вершинами будут линейными подграфами в М, если же из М удалить какую-нибудь дугу, то получится линейный граф, являющийся частью, но не подграфом графа М.
Для многоугольного графа М через ASubc М обозначим класс всех связных графов, допускающих вложение в М. Если Ь е ASubc М, то это означает, что все графы из Ь изоморфны некоторой линейной части графа М или самому графу М. Класс ASubc М упорядочивается отношением вложимости: если Ь' и Ь'' определяются соответственно линейными частями Ь' и Ь'' графа М, то Ь' < Ь'' по определению означает, что Ь' вкладывается в Ь''.
Нашей задачей будет выяснение вопроса о том, для каких многоугольных графов М упорядоченное множество ASubc М будет решеткой.
Для неориентированных (т. е. с симметричным и антирефлексивным отношением смежности) графов С близкие вопросы рассматривались различными авторами. Так, в [2] установлены некоторые общие свойства упорядоченных множеств вида ASubc С. В [3] показано, что не для всякого С упорядоченное множество связных абстрактных подграфов будет шпернеровым. В [4] дана абстрактная характеризация упорядоченных множеств рассматриваемого вида. В [5] изучаются решеточные упорядочения на множестве ASubcС. В других работах (см., например, [6,7]) авторы отказываются от условия связности и исследуют упорядоченное множество всех вообще абстрактных подграфов данного неориентированного графа. В частности, в [7] доказано, что упорядоченное множество всех абстрактных подграфов неориентированного графа тогда и только тогда будет решеткой, когда либо сам этот граф, либо его дополнение представляет собой полный многодольный граф. В [8] автором были охарактеризованы линейные графы Ь, для которых упорядоченное множество ASubc Ь является решеткой. Настоящая работа существенно опирается на идеи и методы, предложенные в [8].
Пусть Ь — некоторый двоичный вектор. Двойственным для него называется вектор Ь5, получаемый из Ь, если компоненты вектора Ь записать в обратном порядке, а затем взаимно заменить в компонентах нули и единицы, т.е. осуществить преобразование Ь ^ (Ь-1)'. Например, для Ь = 011100 будет Ь5 = 110001. Понятно, что Ь55 = Ь.
Под отрезками вектора понимаются блоки, состоящие из подряд идущих компонент этого вектора. Через ASubc Ь обозначим совокупность всех попарно не двойственных отрезков двоичного вектора Ь. На множестве ASubc Ь вводится порядок: Ь' < Ь'', если Ь' является отрезком в Ь'' или в Ь''5.
Двоичными векторами естественным образом кодируются линейные и многоугольные графы. Линейному графу Ь длины п соотносится двоичный п-мерный вектор Ь = Ь(Ь) путем сопоставления каждой дуге графа символа 1, если при переориентации цепи Рп = -0-1 • • •-п в граф Ь эта дуга оказалась направленной от -0 к -п, и символа 0 в противном случае. Например, для Ь = -0 ^ -1 ^ -2 ^ -з ^ ^ будет Ь(Ь) = 00110. С другой стороны, каждому п-мерному
двоичному вектору Ь соответствует линейный граф Ь = Ь(Ь) длины п, получающийся из цепи Рп переориентацией ее дуг, согласованной в вышеуказанном смысле со значениями компонент вектора Ь. Так, для Ь = 1011 будет Ь(Ь) = -0 ^ -1 ^ -2 ^ -3 ^ Двоичным кодом для связного подграфа линейного графа Ь, очевидно, является отрезок вектора Ь(Ь) или двойственного. Заметим, что двойственные векторы являются кодами изоморфных линейных графов. Будем считать, что Ь(Ь) является лексикографически меньшим из них.
Пусть М — многоугольный граф, полученный из контура Сп переориентацией некоторых дуг. Выберем в Сп в качестве начальной вершины вершину -1 и построим п-мерный двоичный вектор Ь1, полагая Ь1 = 1, если е а в М, и Ь1 = 0, если (-¿+1 , -) е а в М (сложение в индек-
сах — по модулю п). Аналогично построим вектор Ь2, считая начальной вершиной -2 и т.д. Выбрав из векторов Ь1, Ь2, •••, Ьп лексикографически минимальный, сопоставим его графу М и обозначим через Ь(М). Например, для четырехугольного графа М = -1 ^ -2 ^ -3 ^ -4 ^ -1 получим Ь1 = 1001, Ь2 = 0011, Ь3 = 0110, Ь4 = 1100, и значит, Ь(М) = 0011. С другой стороны, каждому п-мерному вектору Ь соответствует п-угольный граф М = М(Ь), получающийся из контура Сп переориентацией некоторых его дуг, согласованной в вышеуказанном смысле со значениями компонент вектора Ь. Например, для Ь = 01001 будет М(Ь) = -1 ^ -2 ^ -3 ^ -4 ^ ^ -1.
Лемма. Если М — многоугольный граф и Ь — соответствующий ему двоичный вектор, то упорядоченные множества ASubc М и ASubc Ь изоморфны.
Доказательство. Между множествами ASubc М и ASubc Ь устанавливается взаимно однозначное соответствие Ь ^ Ь(Ь), Ь ^ Ь(Ь). Пусть Ь', Ь'' е ASubc М и Ь' < Ь''. Это означает, что линейный
'' 5
в качестве
граф Ь' допускает вложение в Ь''. Но тогда в векторе Ь(Ь'') или его двойственном Ь(Ь'') отрезка содержится вектор Ь(Ь'), т.е. Ь(Ь') < Ь(Ь''). Аналогично, если Ь' < Ь'' для некоторых Ь',Ь'' е ASubcЬ, то Ь(Ь') вкладывается в Ь(Ь''), т.е. Ь(Ь') < Ь(Ь''). □
Из леммы следует, что упорядоченное множество ASubc М абстрактных связных частей многоугольного графа М тогда и только тогда будет решеткой, когда решеткой будет упорядоченное множество ASubc Ь попарно не двойственных отрезков двоичного вектора Ь, кодирующего граф М.
На рис. 1 и 2 приведены диаграммы упорядоченных множеств ASubc Ь соответственно для случаев Ь = 0001 и Ь = 00001. Как видим, первое из этих упорядоченных множеств является решеткой, а второе — нет: в нем не определена, например, точная нижняя грань для элементов 0010 и 100.
00001
0001
010
Рис. 1. Диаграмма упорядоченного множества ЛБиЬе Ь для Ь = 0001
0100
010
Рис. 2. Диаграмма упорядоченного множества ЛБиЬе Ь для Ь = 00001
В дальнейшем при записи двоичных векторов будем группировать в них одинаковые компоненты и использовать экспоненциальную запись: 01100110010 = 0(1202)210 и т.п.
Теорема. Пусть М — многоугольный граф с п вершинами. Упорядоченное множество ASubc М его абстрактных связных частей тогда и только тогда будет решеткой, когда вектор Ь = Ь(М)
имеет один из следующих видов: 1) 0П; 2) 0П 11, п < 4; 3) 0П 212; 4) (0^ ) при к > 1, I > 1, 2к1 = п.
Доказательство. Необходимость. От противного. Пусть АБиЬс М, а значит, и АБиЬс Ь является решеткой, но при этом не выполнено ни одно из условий 1)-4). Запишем вектор Ь в стандартном виде:
в
Ь = 0а11&10аз 1Ьз ... 0аз , аг > 1, 6г > 1, 1 < г < 5, ^ (аг + 6г) = п.
г = 1
Если в составе Ь есть блок длины п, то Ь = 0п, а это означает выполнение запрещенного условия 1). Если в Ь есть блок длины п — 1, то можно записать Ь = 0П-11. При п < 4 это означает выполнения условия 2), так что п > 5. Но тогда в составе вектора Ь есть отрезки 0010 и 100, общими нижними гранями которых в АБиЬс Ь будут 0, 00, 01, 10 и среди них нет наибольшей, так что т£(0010,100) не существует, и, значит, АБиЬс Ь — не решетка, что противоречит предположению. Блоков длины п — 2 в составе Ь не может быть из-за отклонения условия 3). Значит, в вышеприведенной стандартной записи вектора Ь не все показатели кратности одинаковы и все они не превосходят п — 3.
Здесь могут представиться следующие ситуации. I) аг < а^ для некоторых г, ]. Так как аг < п — 3 и а^ < п — 3, то в составе вектора Ь имеются отрезки 10а 1 и 10°3' 1. Их общими нижними гранями в АБиЬЬ будут отрезки 0,..., 0а, 10,..., 10а, 01,..., 0а 1, среди которых нет наибольшего, так что т£(10а 1,10°3' 1) не существует. II) аг < 6^- для некоторых г,^. Так как аг < п — 3,6^ < п — 3, в составе вектора Ь имеются отрезки 10а 1 и 0. Двойственным для последнего является 10Ьз' 1, и мы попадаем в I. Наконец, III) 6г < 6^ для некоторых г,]. Так как 6г < п — 3, 6^ < п — 3, в составе вектора Ь имеются отрезки 01^ 0 и 0. Двойственными для них будут 10^ 1 и 10Ьз' 1, и снова получается I.
Достаточность. Пусть для п-мерного двоичного вектора Ь выполняется одно из условий 1-4. Покажем, что в каждом из этих случаев упорядоченное множество АБиЬс Ь является решеткой.
1. Ь = 0П. В этом случае АБиЬсЬ представляет собой п-элементную цепь 0 < 02 < ■ ■ ■ < 0П-1 < 0П.
2. Ь = 0П-11,п < 4. Для Ь = 0001 диаграмма решетки АБиЬс Ь изображена на рис. 1. Для Ь = 001 получаем пятиэлементную трехатомную решетку М3. Если Ь = 01, то АБиЬсЬ — двухэлементная цепь. Наконец, при п = 1, т. е. Ь = 1, в АБиЬсЬ один элемент.
3. Ь = 0п-212. Возможными отрезками в Ь являются следующие: 1) 0а,а < п—2; 2) 0а 1Ь, а < п — 2, 6 < 2, а + 6 < п; 3) 0а 110ь, а + 6 < п — 3; 4) 1а, а < 2; 5) 1а0Ь, а < 2, 6 < п — 2, а + 6 < п. Покажем, что у любых двух отрезков есть точная нижняя грань. В п. г, ^) указывается точная нижняя грань для отрезков г и 1 < г < ] < 5. Заметим еще, что т£((Ь')5, (Ь'')5) = (т£(Ь', Ь''))5 для любых отрезков Ь', Ь'' вектора Ь.
В пп. 1,1)—1,5) (здесь г,]) вариант для отрезка вида г и отрезка вида ]) результаты вполне очевид-
1.1) т£(0а, 0Ь) = 0т1п(а>6);
1.2) т£(0а, 0Ь 1е) = 0т1п(а,ь), так как можно считать, что 6 > с;
1.3) т£(0а, 0Ь 110е) = 0т1п(а>тах(ь>е>2));
1.4) т£(0а, 1Ь) =0т1п(а'ь);
1.5) т£(0а, 1ь0е) = 0т1п(а,е), так как можно считать, что 6 < с;
2.2) т£(0а1ь, 0е ) = 0т1п(а'е)1т1п(ь'^)
(в самом деле, ввиду лексикографической минимальности в записи векторов, а > 6 и с > й. Не нарушая общности, можно считать, что а > с. Общими максимальными отрезками у 0а1ь с 0е и двойственным 0^ 1е будут соответственно 0т1п(а>е)1т1п(М = 0е1т1п(М и 0т1п(а>^1т1п(ь>е). Если 6 < ё(< с), то получаем из них 0е1ь > 0^ 1Ь. Если же 6 > ё, то получаем 0е > 0т1п(ь>е) = (0^ 1т1п(М)5. Так что т£ = 0т1п(а'е)1т1п(ь'^));
2.3) т£(0а 1Ь, 0е110^)= (1) 0т1п(а'е)1ь при с > 2, (2) 0т1п(а'2)1 при с = 1
(в силу соглашения о записи векторов, 6 < а. Кроме того, 6 < 2. Общими максимальными отрезками у 0а1ь с 0е 110^ и двойственным 1^001е будут соответственно 0т1п(а'е) 1Ь и 0т1п(а>2)1т1п(ь>е). Если (1)
с > 2, это будут 0т1п(а>е)1ь > 0т1п(а>2)1ь. Если же (2) с = 1, то получаем 01ь и 0т1п(а>2)1 = (01т1п(а>2))5. Так как Ь < шт(а, 2), то т£ = 0т1п(а>2)1);
2,4) 1П£ (0а 1Ь, 1е) = 0т1п(тах(а,6),с);
2 5) т£(0а 1е0^) _ 0т1п(тах(а,6),тах(е,^)).
3.3) т£(0а110ь, 0е 110й) = 0т1п(а>е)110т1п(м);
3.4) 1П£ (0а 1106, 1е) = 0т1п(тах(а'ь'2)'е);
3.5) т£(1а0ь, 0е110й)= (1) 1а0т1п(ь>й) при й > 2, (2) 10т1п(ь>2) при й = 1;
4.4) т£(1а, 1Ь) = 0т1п(а>6);
4.5) 1П£( 1а, 1ь 0е) = 0т1п(а'тах(ь,е)); 5,5) 1П£(1а0ь, 1е0й) = 1т1п(а,е) 0т1п(ь,й)
(здесь считается, что а < Ь, с < й. Не нарушая общности, положим а < с. Максимальными общими отрезками у 1а0Ь с 1е0й и двойственным 1й0е соответственно будут 1т1п(а,е)0т1п(ь>й) = 1а0т1п(ь,й) и 1т1п(а,й)0т1п(ь,е) = 1а0т1п(ад. Так как шт(Ь,й) > ш1п(Ь,с), то т£ = 1а0т1п(м)).
Таким образом, в случае 3. Ь = 0п-212 упорядоченное множество ЛБиЬе Ь будет нижней полурешеткой с наибольшим элементом Ь, т. е. будет решеткой.
4. Ь = (0к 1к)г, к > 1,1 > 1, 2к1 = п.
Каждый отрезок вектора Ь имеет один из следующих десяти видов: 1) 0а, 2) 0а 1Ь, а > Ь, 3) 0а 1к0Ь, а > Ь, 4) 0а 1к0к 1Ь, а > Ь, 5) 0а 1к0к 1к0Ь, а > Ь, 6) 0а(1к0к)Л1Ь, а > Ь, Л > 1, 7) 0а(1к0к)л1к0Ь, Л > 1, 8) 1а0ь, а < Ь, 9) 1а0к 1к0Ь, а < Ь, 10) 1а(0к 1к)л0Ь, а < Ь, Л > 1.
Покажем, что у любых двух отрезков имеется наибольшая в смысле порядка в ЛБиЬе Ь общая часть. В п. г, ]) указывается точная нижняя грань для отрезка вида г и отрезка вида ], 1 < г < ] < 10. Подробно рассматриваются характерные нетривиальные случаи.
1.1) т£(0а, 0Ь) = 0т1п(а>6);
1.2) т£(0а, 0Ь 1е) = 0т1п(а'тах(ь'е).
В 1,3)—1,10) следует учитывать, что а < к.
1.3) т£(0а, 0ь1к0е) = 0а;
1.4) inf(0a
1.5) inf(0a
1.6) inf(0a
1.7) inf(0a
1.8) inf(0a
1.9) inf(0a
0b 1k 0k 1c) = 0a; 061k 0k 1k 0c) = 0a; 0b (1k 0k )Л1к) = 0a; 0b (1k 0k )Л1к 0c) = 0a;
1&0c)_0max(min((a'b)'min(a'c))) ■
1b 0k 1k 0c) = 0a; 1,10) inf(0a, 16(0k 1k)Л0c) = 0a; 2,2) inf(0a16, 0c1d) = 0min(a>c)1min(6>d)
(по правилам записи векторов, а > b, с > d. Не нарушая общности, будем считать, что а > с. Максимальными общими отрезками у 0a1b с 0c 1d и двойственным 0d1c будут соответственно 0min(a'c)1min(b,d) и 0min(a'd) 1min(b,c). Если b > d, то 0min(a'd) 1min(b,c) < 0d1c = (0c 1d)5 =
= (0min(a,c) 1min(b,d) )5 Если же b < d то 0min(a,d) 1min(b,c) = 0^1^ < 0C1^ = 0min(a,c) 1min(b,d) );
2.3) inf(0a 16, 0c 1k0d) =0a 1min(M;
2.4) inf(0a1b, 0c1k0k 1d) = 0a 1min(b,c);
2.5) inf(0a 16, 0c 1k0k 1k0d) = 0a1b;
2.6) inf(0a1b, 0c(1k0k)Л 1d) =0a 16;
2.7) inf(0a1b, 0c(1k0k)Л 1k0d) =0a 16;
2 8) inf(0a 1c0d) _ 0min(max(a,b),max(c,d));
2.9) inf(0a1b, 1c0k 1k0d) = 0a 16;
2.10) inf(0a 16,1c(0k 1k)Л0^) = 0а1ь;
3.3) inf (0a 1k06, 0c 1k0d) = 0min(a,c) 1k0min(6,d);
3.4) inf(0a 1k06, 0c 1k0k 1d) = 0min(a>c)1k0b;
3.5) inf(0a1k06, 0c 1k0k 1k0d) =0a1k0b;
3.6) inf(0a 1k06, 0c(1k0k)Л 1d) = 0a 1k06;
3.7) т£(0а 1* 0Ь, 0е(1й 0* )л 1* 0^) =0а 1* 0Ь;
3.8) т£(0а1*0Ь, 1е0^) = 1т1п(М0^;
3.9) т£(0а1* 0Ь, 1е0* 1* 0^) = 0а 1* 0т1п(м);
3.10) т£(0а1*0Ь, 1е(0* 1*)л0^) = 0«1*0Ь;
4.4) т£(0а1*0* 1Ь, 0е 1*0* 1^) = 0т1п(а,е)1*0* 1т1п(М)
(здесь а > 6, с > ё. Не нарушая общности, будем считать, что а > с. Максимальными общими отрезками у 0а 1*0* 1Ь с 0е 1*0* и двойственным 0^1*0* 1е будут соответственно 0т1п(а>е)1*0* 1т1п(м;> и 0т1п(а,<>1*0* 1т1п(ь,е), что после приведения дает 0е 1*0* 1т1п(М) и 0т1п(а>^ 1*0* 1т1п(М. Если 6 > ё, то получаем 0е1*0* и 0^1*0* 1т1п(М. Так как с > шт(6,с), то 0^ 1*0* 1е > 0^1*0* 1т1п(М, так что т£ = 0т1п(а'е) 1*0* 1т1п(М). Если же 6 < ё. то получим 0е1*0* 1Ь и 0т1п(а'^1*0* 1Ь. Так как шт(а, ё) < ё < с, то 0е 1*0* 1Ь > 0т1п(а'^1*0* 1Ь, так что и здесь т£ = 0т1п(а'е) 1*0* 1т1п(ь^);
4.5) 1п£(0а 1* 0* 1Ь, 0е 1* 0* 1* 0^) = 0а1* 0* 1т1п(ь>е);
4.6) т£(0а 1*0* 1Ь, 0е(1*0*)л 1^) = (1) 0а 1*0* 1т1п(М при Л = 2, (2) 0а 1*0* 1Ь при Л > 2
(здесь а > 6, с > ё, Л > 2. Пусть (1) Л = 2. Максимальными общими отрезками у 0«1*0*1Ь с 0е 1*0* 1*0* и двойственным 0^1*0* 1*0* 1е будут соответственно 0т1п(а'е) 1*0* 1Ь, 0«1*0* 1т1п(М) и 0т1п(а,^) 1*0* 1Ь, 0а 1*0* 1т1п(ь>е). Заметим, что так как с > ё, то первый из этих отрезков больше третьего, а второй меньше четвертого. Так что для сравнения остаются первый и четвертый. Если 6 > с, то 0т1п(а,е) 1*0* 1Ь < 0е1*0* 1а = (0а1*0* 1т1п(ь>е))5. Если же 6 < с, то 0т1п(а'е) 1*0* 1Ь < 0а 1*0* 1Ь = = 0а1*0* 1т1п(ь>е), так что в обоих случаях четвертый отрезок больше первого, он и дает т£.
При (2) Л > 2 в составе 0е(1*0*)л есть отрезок 0* 1*0* 1*, в который вкладывается 0а1*0* 1Ь);
4.7) т£(0а1*0* 1Ь, 0е(1*0*)л1*0^) = 0а 1*0* 1Ь;
4.8) т£(0а 1*0* 1Ь, 1е0^) = 1е0^;
4.9) т£(0а 1* 0* 1Ь, 1е0* 1* 0^) = 0а 1* 0^;
4.10) т£(0а 1*0* 1Ь, 0е(0* 1*)л0* 1^) = 0«1*0* 1Ь;
5 5) т£(0«1*0* 1*0Ь 0е1*0* 1*0^) _ 0т1п(а,е) 1&0* 1*0т1п(Ь,й).
5.6) т£(0а1*0* 1*0Ь, 0е(1*0*)л1^)= (1) 0т1п(а'е)1*0* 1*0Ь при Л = 2, (2) 0«1*0* 1*0Ь при Л > 3;
5.7) т£(0а 1*0* 1*0Ь, 0е(1*0*)л1*0^) = 0«1*0* 1*0Ь;
5.8) т£(0а1*0* 1*0Ь, 1е0^) = 1е0^;
5.9) (в форме 9,5) т£(1а0* 1*0Ь, 0е1*0* 1*0^) = 1т1п(«^0* 1*0Ь
(здесь а < 6, с > ё. Максимальными общими отрезками у 1а0* 1*0Ь с 0е 1*0* 1*0^ и двойственным 0* 1*0* 1е будут соответственно 1а0* 1*0т1п(м) и 1т1п(а>^ 0* 1*0Ь. Если а < ё, то 1а0* 1*0т1п(м) < < 1а0* 1*0Ь = 1т1п(«,^) 0* 1*0Ь. Если же а > ё, то 1а0* 1*0т1п(м) = 1а0* 1*0^ < 1Ь0* 1*0^ = = (1^0* 1*06)5 = (1т1п(а-^)0* 1*06)5, так что и здесь т£ = 1т1п(а^0* 1*0Ь);
5.10) т£0а1* 0* 1* 0Ь, 1е (0* 1* )л0* ) = 0а 1* 0* 1* 0Ь;
6,6) т£(0а(1*0*)л1ь, 0е(1*0*)^) = (1) 0т1п(а'е)(1*0*)л1т1п(ь-^) при д = Л, (2) 0а(1*0*)л1т1п(М при д = Л + 1, (3) 0«(1*0*)л 1Ь при д > Л + 2
(здесь Л < д, а > 6, с > ё, а > с.
Если (1) д = Л, то максимальными общими отрезками у 0а(1*0*)л1ь с 0е(1*0*)л и двойственным 0^(1*0*)л1е являются соответственно 0т1п(а'е) (1*0*)л 1т1п(М) и 0т1п(а>^ (1*0*)л1т1п(ь,е). При 6 > ё получаем: 0т1п(а'е)(1*0*)л1т1п(ь>^) > 0т1п(ь'е)(1*0*)л1^ = (0т1п(а>^)(1*0*)л 1т1п(М)5. При 6 < ё будет 0т1п(а,е) (1&0*)л 1т1п(6,^) > 0т1п(а,^) (1&0*)л1т1п(Ь,е) так что ш£ _ 0т1п(а,е)(1&0*)л 1т1п(Ь,^)
Если (2) д = Л + 1, то максимальными общими отрезками у 0а(1*0*)л 1Ь с 0е(1*0*)л(1*0* будут 0т1п(а'е) (1* 0* )л1ь и 0а(1* 0* )л 1т1п(М), а с двойственным 0^ (1* 0* )л 1* 0* 1е получаются 0т1п(а,^) (1*0*)л 1Ь и 0а(1*0*)л1т1п(ь>е). Так как с > ё, то первый из этих отрезков больше третьего, а четвертый больше второго. Так что для сравнения остаются 0т1п(а,е)(1*0*)л 1Ь и 0а(1*0*)л1т1п(ь>е) = = (0т1п(ад(1*0*)л 1а)5. Если 6 < с, то получаем: 0т1п(а'е)(1*0*)л 1Ь < 0а(1*0*)л1ь = 0а(1*0*)л 1т1п(М. Если же 6 > с, то будет 0т1п(а'е)(1*0*)л1ь < 0е(1*0*)л 1а = (0а(1*0*)л 1е)5 = (0а(1*0*)л 1т1п(ь-е))5. Таким образом, 1п£ = 0а(1*0*)л 1т1п(ь-е).
Если (3) д > Л + 2, то в составе 0е(1*0*есть отрезок 0*(1*0*)л1*, в который вкладывается 0«(1*0^)л1ь);
6.7) т£(0а(1к0к)л 1Ь, 0е(1к0к1к0й) = (1) 0а(1к0к)л1т1п(ь,е) при д = Л, (2) 0а(1к0к)Л1Ь при д > Л;
6.8) т£(0а(1к0к)Л1Ь, 1е0й) = 1е0й;
6.9) т£(0а(1к0к)л 1Ь, 1е0к 1к0й) = 1е0к 1к0й;
6.10) т£(0а(1к0к)л1ь, 1е(0к 1к= (1) 0а(1к0к)л-11к0й при д = Л, (2) 0а(1к0к)л 1Ь при д > Л;
7.7) т£(0а(1к0к)л1к0Ь, 0е(1к0к1к0й) = (1) 0т1п(а>е)(1к0к)л 1к0т1п(м) при д = Л, (2) 0а(1к0к)л1к0Ь при д > Л;
7.8) т£(0а (1к 0к )л1к 0Ь, 1е0й) = 1е 0й;
7.9) т£(0а(1к 0к )л 1к 0Ь, 1е0к 1к 0й) = 1е 0к 1к 0й;
7.10) т£(0а(1к0к)л1к0Ь, 1е(0к 1к= (1) 1й(0к 1к)л0т1п(ь>е) при д = Л, (2) 0а(1к0к)л0т1п(ь>й) при д = Л + 1, (3) 0а(1к0к)л1к0Ь при д > Л + 2
(если (1) д = Л, то максимальными общими отрезками у 0а(1к0к)л 1к0Ь = 0а 1к(0к 1к)л0ь с 1е(0к 1к)л0й и двойственным 1й(0к 1к)л0е соответственно будут 1е(0к 1к)л0т1п(ь>й) и 1й(0к 1к)л0т1п(ь>е). Так как с < й, то возможны три случая: Ь < с < й, с < Ь < й, с < й < Ь. В первом случае 1е(0к 1к)л0т1п(ь'й) < 1й(0к 1к)л0Ь = 1й(0к 1к)л0т1п(ь,е), во втором 1е(0к 1к)л0т1п(ь'й) = 1е(0к 1к)л0ь = = 1т1п(&,е) (0к 1к)л0Ь < 1т1п(ь,е) (0к 1к)л0й = (1й(0к 1к)л0т1п(ь,е))5, в третьем 1е(0к 1к)л0т1п(ь'й) =
= 1е(0к 1к)л0й = (1й(0к 1к)л0т1п(ь,е))5, так что т£ = 1й(0к 1к)л0т1п(ь,е).
Если (2) д = Л + 1, то максимальными общими отрезками у 0а(1к0к)л 1к0Ь с 1е(0к 1к)л+10й = = 1е0к(1к0к)л1к0й и двойственным 1й(0к1к)л+10е = 1й0к(1к0к)л1к0е будут соответственно 0а(1к0к)л0т1п(М и 0а(1к0к)л0т1п(ь>е). Так как с < й, то первый больше второго.
Если (3) д > Л + 2, то 1е(0к 1к> 1е(0к 1к)л+20й = 1е0к(1к0к)л1к0к 1к0й > 0а(1к0к)л 1к0Ь, так что т£ = 0а(1к0к)л1к0Ь);
8,8) 1п£(1а0ь, 1е0й) = 1т1п(а,е)0т1п(ь'й);
8.9) т£(1а0Ь, 1е0к 1к0й) = 1т1п(а>й)0ь; 8, 10) т£(1а0Ь, 1е(0к 1к)л0й) = 1а0ь;
9 9) т£(1а0к 0Ь 1е0^ 0^) = 1т1п(а,е)0к 0т1п(М),
9.10) 1п£(1а0к 1к0Ь, 1е(0к 1к)л0й = (1) 1т1п(а,й)0к 1к0Ь при Л = 2, (2) 1а0к 1к0Ь при Л > 2 (здесь а < Ь, с < й.
Если (1) Л = 2, то максимальными общими отрезками у 1а0к 1к0Ь с 1е0к 1к0к 1к0й будут 1т1п(а,е)0к 1к0Ь и 1а0к 1к0т1п(м), а с двойственным 1й0к 1к0к 1к0е будут 1т1п(а>й)0к 1к0Ь и 1а0к 1к0т1п(ь>е). При этом первый отрезок меньше третьего, а четвертый меньше второго. Так что для сравнения остаются 1а0к 1к0т1п(Ь'й) и 1т1п(а,й)0к 1к0Ь. При а < й получаем: 1а0к 1к0т1п(Ь'й) < 1а0к 1к0Ь = = 1т1п(а,й)0к 1к0Ь. Если же а > й, то 1а0к 1к0т1п(Ь'й) < 1ь0к 1к0й = (1т1п(а,й)0к 1к0Ь)5. Так что
^п£ _ 1т1п(а,^)0^ 0^
Если (2) Л > 2, то в составе 1е(0к 1к)л0й имеется отрезок 0к 1к0к 1к0к 1к, в который вкладывается 1а0к 1к 0Ь);
10,10) т£(1а(0к 1к)л0Ь, 1е(0к 1к0й) = (1) 1т1п(а,е)(0к 1к)л0т1п(ь>й) при д = Л, (2) 1т1п(а,й)(0к 1к)л0ь при д = Л + 1, (3) 1а(0к 1к)л0ь при д > Л + 2.
Рассмотрев все случаи, приходим к выводу, что ЛБиЬе Ь является нижней полурешеткой. Так как в ней есть наибольший элемент Ь, то получается решетка. □
Библиографический список
1. Салий В. Н. Минимальные примитивные расширения ориентированных графов // Прикладная дискретная математика. 2008. № 1(1). С. 116-119.
2. Trotter W. T., Moore J. I. Some theorems on graphs and posets // Discrete Math. 1976. Vol. 15, № 1. P. 79-84.
3. Jacobson M. S., Kezdy F. E., Seif S. The poset of connected induced subgraphs of a graph need not be Sperner // Order. 1995. Vol. 12, № 3. P. 315-318.
4. K^zdy A. E., Seif S. When is a poset isomorphic to the poset of connected induced subgraphs of a graph? //
Southwest J. Pure Appl. Math. 1996. Vol. 1. P. 42-50 (Electronic).
5. Nieminen J. The lattice of connected subgraphs of a connected graph // Comment. Math. Prace Mat. 1980. Vol. 21, № 1. P. 187-193.
6. Adams P., Eggleton R. B., MacDougall J. A. Degree sequences and poset structure of order 9 graphs // Proc. XXXV Southeast Conf. Comb., Graph Theory and Computing. Boca Raton, FL, USA, 2004. Vol. 166. P. 83-95.
7. Leach D., Walsh M. A characterization of lattice-ordered graphs // Proc. Integers Conf. 2005. N. Y. : Gruyter, 2007. P. 327-332.
8. Салий В. Н. Система абстрактных связных подграфов линейного графа // Прикладная дискретная математика. 2012. № 2(16). С. 90—94.
The Ordered Set of Connected Parts of a Polygonal Graph
V. N. Salii
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, SaliiVN@info.sgu.ru
Under a polygonal graph is meant an oriented graph obtained from a cycle by some orientation of its edges. The set of all abstract (i.e. pairwise non-isomorphic) connected parts of a polygonal graph is ordered by graph embedding. Polygonal graphs are characterized for which this ordered set is a lattice.
Key words: polygonal graph, linear graph, binary vector, duality, ordered set, lattice.
References
1. Salii V. N. Minimal primitive extensions of oriented graphs. Prikladnaya diskretnaya matematika, 2008, no. 1(1), pp. 116-119 (in Russian).
2. Trotter W. T., Moore J. I. Some theorems on graphs and posets. Discrete Math., 1976, vol. 15, no. 1, pp. 7984.
3. Jacobson M. S., Kezdy F. E., Seif S. The poset of connected induced subgraphs of a graph need not be Sperner. Order, 1995, vol. 12, no. 3, pp. 315-318.
4. Kezdy A. E., Seif S. When is a poset isomorphic to the poset of connected induced subgraphs of a graph? Southwest J. Pure Appl. Math., 1996, vol. 1, pp. 4250. Available at: http://rattler.cameron.edu/swjpam.html (Accessed 28, September, 2012).
5. Nieminen J. The lattice of connected subgraphs of a connected graph. Comment. Math. Prace Mat., 1980, vol. 21, no. 1, pp. 187-193.
6. Adams P., Eggleton R. B., MacDougall J. A. Degree sequences and poset structure of order 9 graphs. Proc. XXXV Southeast Conf. Comb., Graph Theory and Computing. Boca Raton, FL, USA, 2004, vol. 166, pp. 8395.
7. Leach D., Walsh M. A characterization of lattice-ordered graphs. Proc. Integers Conf., 2005. New York, Gruyter, 2007, pp. 327-332.
8. Salii V. N. The system of abstract connected subgraphs of a linear graph. Prikladnaya diskretnaya matematika, 2012, no. 2(16), pp. 90-94 (in Russian).
УДК 004.021
СОВМЕСТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФА ДЕ БРЁЙНА, ГРАФА ПЕРЕКРЫТИЙ И МИКРОСБОРКИ ДЛЯ DE NOVO СБОРКИ ГЕНОМА
А. А. Сергушичев1, А. В. Александров2, С. В. Казаков3, Ф. Н. Царев4, А. А. Шалыто5
1 Магистрант кафедры компьютерных технологий, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, alserg@rain.ifmo.ru
2Магистрант кафедры компьютерных технологий, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, alexanrdov@rain.ifmo.ru
3Магистрант кафедры компьютерных технологий, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, svkazakov@rain.ifmo.ru
4Кандидат технических наук, ассистент кафедры программной инженерии и верификации программ, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, tsarev@rain.ifmo.ru 5 Доктор технических наук, заведующий кафедрой технологий программирования, профессор, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, shalyto@mail.ifmo.ru
В работе предлагается метод сборки контигов геномных последовательностей из парных чтений. Особенностью этого метода является разбиение процесса сборки контигов на три этапа: сборка квазиконтигов из чтений, сборка контигов из квазиконтигов и микросборка. На первом из этапов используется граф де Брёйна, на втором — граф перекрытий. Описываются результаты экспериментального исследования разработанного метода на чтениях геномов бактерии E. Coli (размер генома — 4.5 миллиона нуклеотидов) и рыбы Maylandia zebra (размер генома — миллиард нуклеотидов). Преимущество разработанного метода состоит в том, что для его работы требуется существенно меньше оперативной памяти по сравнению с существующими программными средствами для сборки генома.
Ключевые слова: сборка генома, контиги, граф де Брёйна, граф перекрытий, микросборка.
