CC BY
30
УДК 519.17
ОБ УПОРЯДОЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ СВЯЗНЫХ ЧАСТЕЙ МНОГОУГОЛЬНОГО ГРАФА
В. Н. Салий
Охарактеризованы многоугольные графы, для которых упорядоченное вложением множество абстрактных связных частей является решёткой.
Ключевые слова: многоугольный граф, линейный граф, двоичный вектор, двойственность, упорядоченное множество, решётка.
Под графом понимается пара О = (V, а), где V — конечное непустое множество и а С V х V — отношение на нём. Элементы множества V называются вершинами графа, а пары, входящие в отношение смежности а, дугами.
Если V' С V и а' С а, то граф О' = (V7, а') называется частью графа О. В случае, когда а' = а П (V' х V'), говорят, что О' является подграфом графа О.
Пусть О = (V, а) и Н = (и, в) — некоторые графы. Вложение графа О в граф Н — это такое инъективное отображение ^ : V ^ и, что (Уо,о' Є V)((о,о') Є а =^ (<^(о), <^(о')) Є в). Если (Уо,о' Є V)((о,о') Є а (<^(о), <^(о')) Є в), то говорят,
что ^ — сильное вложение О в Н. Биективное сильное вложение (фактически наложение) ^ : V ^ и по определению является изоморфизмом графа О на граф Н. Если граф О вкладывается в граф Н, то О изоморфен некоторой части графа Н, а при сильном вложении — некоторому его подграфу.
Вершины о, о' графа О называются связанными, если (Зо^ о2,... , ок Є V)((о, г>і) Є Є а и а-1 & (гі о2) Є а и а-1 & ... & (ок, о') Є а и а-1). Граф, в котором любые две вершины связаны, по определению является связным.
Маршрутом с началом о и концом о' называется последовательность примыкающих дуг (о,о1), (о1 ,о2),... , (ок, о'). Маршрут можно представить в виде перечисления проходимых вдоль него вершин: оо1о2 ... Око'. Цепь — это маршрут, в котором все вершины разные. Цепь, состоящую из п дуг, обозначим через Рп и будем использовать её стандартную запись Рп = ооо1... оп. Если «склеить» концы цепи, получим п-звенный (п-вершинный) контур, который будем записывать в виде Сп = о1о2 ... оп-1о1, считая о1 выбранной начальной вершиной.
Под линейным графом длины п понимается всякий граф Ь, полученный переориентацией некоторых дуг цепи Рп. Многоугольным графом порядка п называется всякий граф М, полученный переориентацией некоторых дуг контура Сп.
Все связные части линейного графа являются его подграфами. В многоугольном графе М порядка п все связные собственные части с не более чем п — 1 вершинами являются линейными подграфами в М; если же из М удалить какую-нибудь дугу, то получится линейный граф, являющийся частью, но не подграфом графа М.
Для многоугольного графа М через АБиЬе М обозначим класс всех связных графов, допускающих вложение в М. Если С Є АБиЬе М, то это означает, что все графы из С изоморфны некоторой линейной части графа М или самому графу М. Класс АБиЬе М упорядочивается отношением вложимости: если С' и С'' определяются соответственно линейными частями Ь' и Ь'' графа М, то С' ^ С'' по определению означает, что Ь' вкладывается в Ь''.
В [1] автором охарактеризованы линейные графы Ь, для которых упорядоченное множество АБиЬе Ь всех связных абстрактных подграфов является решёткой. Настоящее сообщение существенно опирается на идеи и методы, представленные в [1].
Пусть Ь — некоторый двоичный вектор. Двойственным для него называется вектор Ь5, получаемый из Ь так: компоненты вектора Ь надо записать в обратном порядке, а затем взаимно заменить в компонентах нули и единицы, т. е. осуществить преобразование Ь м (Ь-1)'. Например, для Ь = 011100 получим Ъ = 110001. Понятно, что
Ьёё = ь.
Под отрезками вектора понимаются блоки, состоящие из подряд идущих компонент этого вектора. Через АБиЬе Ь обозначим совокупность всех попарно не двойственных отрезков двоичного вектора Ь. На множестве АБиЬе Ь вводится порядок: Ь' ^ Ь'', если Ь' является отрезком в Ь'' или в Ь''"5.
Двоичными векторами естественным образом кодируются линейные и многоугольные графы. Линейному графу Ь длины п соотносится двоичный п-мерный вектор Ь = Ь(Ь) путём сопоставления каждой дуге графа символа 1, если при переориентации цепи Р = г0... гп в граф Ь эта дуга оказалась направленной от г0 к гп, и символа 0 в противном случае. Например, для Ь = г0 ^ г^ ^ г2 м г3 м г4 ^ г5 будет Ь(Ь) = 00110. С другой стороны, каждому п-мерному двоичному вектору Ь соответствует линейный граф Ь = Ь(Ь) длины п, получающийся из цепи Рп переориентацией её дуг, согласованной в вышеуказанном смысле со значениями компонент вектора Ь. Так, для Ь = 1011 будет Ь(Ь) = г0 м ^1 ^ г2 м г3 м г4. Двоичным кодом для связного подграфа линейного графа Ь, очевидно, является отрезок вектора Ь(Ь) или двойственного. Заметим, что двойственные векторы являются кодами изоморфных линейных графов. Будем считать, что Ь(Ь) является лексикографически меньшим из них.
Пусть М — многоугольный граф, полученный из контура Сп переориентацией некоторых дуг. Выберем в Сп в качестве начальной вершину и построим п-мерный дво-
ичный вектор Ь1, полагая Ь1 = 1, если (г^г^) € а в М, и Ь1 = 0, если (г^,^) € а в М (сложение в индексах — по модулю п). Аналогично построим вектор Ь2, считая начальной вершиной г2, и т. д. Выбрав из векторов Ь1, Ь2,... , Ьп лексикографически минимальный, сопоставим его графу М и обозначим через Ь(М). Например, для четырёхугольного графа М = г1 м г2 ^ г3 ^ г4 м г1 получим Ь1 = 1001, Ь2 = 0011, Ь3 = 0110, Ь4 = 1100, и значит, Ь(М) = 0011. С другой стороны, каждому п-мерному вектору Ь соответствует п-угольный граф М = М(Ь), получающийся из контура Сп переориентацией некоторых его дуг, согласованной в вышеуказанном смысле со значениями компонент вектора Ь. Например, для Ь = 01001 будет М(Ь) = г1 ^ г2 м г3 ^ г4 ^ г5 м г1.
Лемма 1. Если М — многоугольный граф и Ь — соответствующий ему двоичный вектор, то упорядоченные множества АБиЬе М и АБиЬе Ь изоморфны.
Из леммы 1 следует, что упорядоченное множество АБиЬе М абстрактных связных частей многоугольного графа М тогда и только тогда будет решёткой, когда рёшет-кой является упорядоченное множество АБиЬе Ь попарно не двойственных отрезков двоичного вектора Ь, кодирующего граф М.
При записи двоичных векторов в них группируются одинаковые компоненты и используется экспоненциальное обозначение: 01100110010 = 0(1202)210 и т.п.
Теорема 1. Пусть М — многоугольный граф с п вершинами. Упорядоченное множество АБиЬе М его абстрактных связных частей тогда и только тогда является решёткой, когда вектор Ь = Ь(М) имеет один из следующих видов: 1) 0п; 2) 0п-11, п ^ 4; 3) 0п-212; 4) (0к 1к) при к ^ 1, I ^ 1, 2к = п.
ЛИТЕРАТУРА
1. Салий В. Н. Система абстрактных связных подграфов линейного графа // Прикладная
дискретная математика. 2012. №2(16). С. 90-94.
УДК 519.7
ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ ГРАФА КЭЛИ БЕНТ-ФУНКЦИИ1
Н. Н. Токарева
Получено простое доказательство известного результата об описании класса бент-
функций в терминах сильно регулярных графов.
Ключевые слова: бент-функции, сильно регулярные графы.
Бент-функции возникают в ряде криптографических приложений и широко исследуются. В частности, очень важной является задача описания бент-функций в алгебраических и комбинаторных терминах [1].
Пусть / — булева функция от п переменных. Через вирр/) обозначим её носитель, т. е. множество всех двоичных векторов длины п, на которых функция / принимает значение 1. Рассмотрим граф Кэли Gf = С^п, эирр/)) булевой функции /. Вершинами графа являются все векторы длины п. Две вершины х, у соединяются ребром, если вектор хфу принадлежит множеству вирр/). Граф С называется сильно регулярным с параметрами (г, к, А,ц), если он содержит г вершин, степень каждой вершины равна к и для любых двух вершин х, у число общих смежных им вершин равно А или ц в зависимости от того, соединены вершины х, у ребром или нет. Булева функция / от чётного числа переменных п называется бент-функцией, если ее производная по любому ненулевому направлению у уравновешена, т. е. выполняется ^ (—1)^(х+у) = 0.
хе%"
В 2001г. А. Бернаскони, Б. Коденотти и Дж. Ван-дер-Кам [2, 3] получили следующий результат, позволивший охарактеризовать множество бент-функций в терминах сильно регулярных графов.
Теорема 1. Булева функция / является бент-функцией тогда и только тогда, когда граф Gf является сильно регулярным, причем А = ц.
Доказательство было получено с помощью спектральной техники при исследовании графов, ассоциированных с булевыми функциями. Бент-функции при этом составили частный случай булевых функций с тремя различными спектральными коэффициентами. Недостатком такого доказательства служит его объёмность и малая наглядность: остаётся трудным объяснить по существу, почему же графы Кэли бент-функций (и только они) обладают таким примечательным свойством, как сильная регулярность. В связи с этим результат было трудно включить, например, в учебный курс.
В данной работе получено простое доказательство теоремы 1, непосредственно опирающееся на свойства бент-функций. Явно определены параметры сильно регулярных графов, соответствующих бент-функциям. Теорема 1 вытекает из следующих утверждений, доказательства которых теперь могут войти в любой учебный курс.
Утверждение 1. Граф Кэли Gf бент-функции / от п переменных сильно регулярный с параметрами (2п, 2п-1 ± 2(п/2)-1, А = ц = 2п-2 ± 2(п/2)-1).
хРабота поддержана грантами РФФИ №11-01-00997, 12-01-31097.
