Система абстрактных связных подграфов линейного графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2012 Прикладная теория графов №2(16)

УДК 519.17

СИСТЕМА АБСТРАКТНЫХ СВЯЗНЫХ ПОДГРАФОВ ЛИНЕЙНОГО ГРАФА

В. Н. Салий

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия

E-mail: [email protected]

Линейным графом называется граф, полученный из некоторой цепи путём какой-либо ориентации её рёбер. Множество всех графов, изоморфных связным подграфам заданного линейного графа L, упорядочивается отношением вложимости. Выясняется, для каких L это упорядоченное множество будет решёткой.

Ключевые слова: линейный граф, абстрактный подграф, упорядоченное множество, решётка, двоичный вектор, двойственность.

Под ориентированным графом (далее — граф) понимается пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество и а С V х V — отношение на нём. Элементы множества V называются вершинами графа, а пары, входящие в отношение смежности а, — дугами. Если (u, v) Е а, то говорят, что вершина и является началом дуги (u, v), а вершина v — её концом. Граф G можно изобразить на плоскости, сопоставляя каждой его вершине некоторую точку и проводя отрезок, ориентированный от точки u к точке v, если (u, v) Е а.

Если V' С V и а' = а П (V' х V'), то граф G' = (V', а') называется подграфом графа G. При |V| = n граф G = (V, а) имеет 2n подграфов (включая и пустой подграф).

Изоморфизмом графа G = (V, а) на граф H = (W, в) называется биекция : V ^ W, такая, что (Vu,v Е V)((u,v) Е а (^(u),^(v)) Е в). Два графа

изоморфны тогда и только тогда, когда они допускают одно и то же немое (т. е. с точностью до обозначения вершин) изображение. Если граф G изоморфен некоторому подграфу графа H, то говорят, что G вкладывается в H. Класс G' графов, изоморфных подграфу G' графа G, можно трактовать как абстрактный подграф графа G, представленный в G подграфом G'.

Вершины u,v Е V графа G называются связанными, если (3ui, u2,... Uk Е V) ((u,ui) Е а U а-1)&((и1, и2) Е а U а-1)&...&((uk, v) Е а U а-1)). Граф, в котором любые две вершины связаны, по определению является связным.

Маршрутом с началом и и концом v называется последовательность примыкающих дуг (и, и1), (и1, и2),... , (uk, v). Маршрут можно представить в виде перечисления проходимых вдоль него вершин: uu1u2 . . . Ukv. Цепь — это маршрут, в котором все вершины разные. Цепь, состоящую из m дуг, обозначим через Pm и будем использовать далее её стандартную запись Pm = vov1... vm.

Линейным графом длины m назовём граф L, полученный из цепи Pm переориентацией некоторых её дуг. Линейные графы рассматривались в [1] в связи с задачей построения минимальных примитивных расширений графов.

Прямое изображение линейного графа L длины m получается, если его вершины v0, v1, v2, ... , vm расположить в этом порядке слева направо на горизонтальной оси. Отобразив этот рисунок относительно вертикальной оси, проведённой правее вершины vm, и пометив отображённые вершины слева направо как v0, v1, v2, ... , vm, получим обратное изображение графа L.

Если Ь' — связный подграф линейного графа Ь, то прямое изображение для Ь' представляет собой в естественном понимании отрезок в прямом изображении графа Ь.

Пусть Ь' и Ь'' —два линейных графа и Ь' допускает вложение в Ь''. Тогда в качестве отрезка в Ь'' содержится одно из изображений графа Ь' — прямое или обратное — с согласованным для каждого случая обозначением соответствующих вершин.

Для линейного графа Ь через АБиЬе Ь обозначим совокупность всех линейных графов, вложимых в Ь. Элементы этого множества можно считать абстрактными связными подграфами графа Ь. Множество АБиЬе Ь упорядочивается отношением вложи-мости: V ^ Ь'' для двух его элементов означает, что граф Ь' вкладывается в граф Ь''.

Рассмотрим вопрос о том, для каких линейных графов Ь упорядоченное множество АБиЬе Ь является решёткой, т. е. когда в нём для любых Ь', Ь'' существуют точные грани т^Ь', Ь'') и 8ир(Ь', Ь'').

Для неориентированных (т. е. с симметричным и антирефлексивным отношением смежности) графов О близкие вопросы рассматривались различными авторами. Так, в [2] установлены некоторые общие свойства упорядоченных множеств вида (АБиЬе О, ^). В [3] показано, что не для всякого О упорядоченное множество связных абстрактных подграфов будет шпернеровым. В [4] дана абстрактная характеризация упорядоченных множеств рассматриваемого вида. В [5] изучаются решёточные упорядочения на множестве АБиЬеО. В других работах (см., например, [6, 7]) авторы отказываются от условия связности и исследуют упорядоченное множество всех вообще абстрактных подграфов данного неориентированного графа. В частности, в [7] доказано, что упорядоченное множество всех абстрактных подграфов неориентированного графа тогда и только тогда будет решёткой, когда либо сам этот граф, либо его дополнение представляет собой полный многодольный граф.

Пусть Ь — некоторый двоичный вектор. Двойственным для него называется вектор Ь, получаемый из Ь, если компоненты вектора Ь записать в обратном порядке, а затем взаимно заменить в компонентах нули и единицы, т. е. осуществить преобразование Ь м (Ь-1)'. Понятно, что Ь^ = Ь. Например, для Ь = 011100 будет Ь = 110001.

Под отрезками вектора понимаются блоки, состоящие из подряд идущих компонент этого вектора. Через АБиЬе Ь обозначим совокупность всех попарно не двойственных отрезков двоичного вектора Ь. На множестве АБиЬе Ь вводится порядок: Ь' ^ Ь'', если Ь' или (Ь')й является отрезком в Ь''.

Двоичные векторы естественным образом кодируют линейные графы, а именно, линейному графу Ь длины т соотносится двоичный т-мерный вектор Ь = Ь(Ь) путём сопоставления каждой дуге графа в прямом изображении символа 1, если эта дуга направлена от го к гт, и символа 0 в противном случае. С другой стороны, каждому т-мерному двоичному вектору Ь соответствует линейный граф Ь = Ь(Ь) длины т, получающийся из цепи Рт в прямом изображении переориентацией её дуг, согласованной со значениями компонент вектора Ь. Двоичным кодом каждого связного подграфа линейного графа Ь, очевидно, является отрезок вектора Ь(Ь).

Линейный граф Ь длины т имеет т(т + 1)/2 связных подграфов, среди которых могут оказаться и изоморфные, так что в АБиЬе Ь в общем случае будет меньше элементов. Например, у линейного графа Ь, представленного вектором 0110, имеется 10 связных подграфов: 0, 01, 011, 0110, 1, 11, 110, 1, 10, 0, различны (т. е. неизоморфны) из которых 7, а именно: 0, 01, 011, 0110, 11, 110, 10. У графа Ь=0101 из 10 связных подграфов различными являются 5: 0, 01, 010, 0101, 10.

Лемма 1. Если Ь — линейный граф и Ь — соответствующий ему двоичный вектор, то упорядоченные множества (АБиЬе Ь, ^) и (АБиЬе Ь, ^) изоморфны.

Доказательство. Между множествами АБиЬе Ь и АБиЬе Ь устанавливается взаимно однозначное соответствие Ь' м- Ь(Ь'), Ь' м- Ь(Ь'). Пусть Ь',Ь" е АБиЬеЬ и Ь/ ^ Ь'', т. е. Ь' допускает вложение в Ь''. Это означает, что в Ь'' содержится в качестве отрезка граф Ь' в его прямом или обратном изображении. Тогда в векторе Ь(Ь'') имеется отрезок, совпадающий с Ь(Ь') или с (Ь(Ь'))Й, т. е. Ь(Ь') ^ Ь(Ь''). Аналогично, если Ь' ^ Ь" для некоторых Ь', Ь'' е АБиЬе Ь, то Ь(Ь') вкладывается в Ь(Ь''), т. е. Ь(Ь') ^ Ь(Ь"). ■

Из леммы следует, что упорядоченное множество (АБиЬе Ь, ^) абстрактных связных подграфов линейного графа Ь является решёткой тогда и только тогда, когда решёткой является упорядоченное множество (АБиЬе Ь, ^) попарно не двойственных отрезков двоичного вектора Ь, кодирующего граф Ь.

Пример 1. Рассмотрим диаграммы упорядоченных множеств (АБиЬеЬ, ^) для двоичных векторов Ь = 00010 (рис. 1,а) и Ь = 00100 (рис. 1,б).

00010 00100

о о

а б

Рис. 1. Диаграмма упорядоченного множества (ЛВиЪе Ь, ^): а — Ь = 00010; б — Ь = 00100

Как видим, первое из этих упорядоченных множеств является решёткой, а второе— нет, так как в нем не определён, например, т£(0010,100): у элементов 0010 и 100 общими нижними гранями являются элементы 0, 00 и 10, но среди них нет наибольшего.

В дальнейшем при записи двоичных векторов будем группировать одинаковые компоненты и использовать экспоненциальную запись: 01100110010 = 0(1202)210 и т.п.

Теорема 1. Пусть Ь — линейный граф. Упорядоченное множество (АБиЬе Ь, ^) его связных абстрактных подграфов тогда и только тогда является решёткой, когда двоичный вектор Ь, кодирующий этот граф, имеет вид Ь = 0к(10г)51* или Ь = 1к(0111)50*, где &,/,з,£ — неотрицательные целые числа.

Доказательство. Необходимость. Пусть для линейного графа Ь упорядоченное множество (АБиЬе Ь, ^) является решёткой. Вследствие леммы решёткой будет и изоморфное ему упорядоченное множество (АБиЬеЬ, ^), где Ь — двоичный вектор, кодирующий Ь. Покажем, что в составе вектора Ь не могут присутствовать одновременно триграммы 001, 010 и 100. Пусть это не так и в составе Ь есть все указанные триграммы. Тогда в составе Ь обязательно содержится хотя бы одна из тетраграмм 0010 или 0100. Допустим, что таких тетраграмм в Ь нет. По предположению, в составе Ь есть триграмма 010. Посмотрим, как может расширяться этот отрезок в Ь. Добавление 0 ни слева, ни справа невозможно, так как получим запрещённые 0010 или 0100. Значит, слева и справа могут быть только 1, т. е. получатся 0101 или 1010.

Далее, как только появятся два одинаковых соседних символа (00 или 11), получим 0010 (возможно, в виде 1011) или 0100 (возможно, в виде 1101). Следовательно, Ь состоит из чередующихся 0 и 1. Но тогда в составе Ь нет ни 001, ни 100, что противоречит предположению.

Итак, Ь содержит все три триграммы 001, 010 и 100 и хотя бы одну из тетраграмм 0010 или 0100. Если в Ь есть 0010, то в (АБиЬе Ь , ^) не существует точной нижней грани для 0010 и 100. Действительно, общими нижними гранями для 0010 и 100 являются 0, 00 и 10, но среди них нет наибольшей. Аналогично, если в Ь присутствует отрезок 0100, то не существует точной нижней грани для 0100 и 001: общими нижними гранями для этих элементов будут 0, 00 и 01, но среди них нет наибольшей.

Проведённые рассуждения показывают, что в составе Ь нет по крайней мере одной из триграмм 001, 010 или 100. Рассмотрим три случая:

1) если в Ь отсутствует 001, то Ь = 1к (01)^0*, так что этот вектор имеет требуемый вид;

2) если в Ь отсутствует 100, то Ь = 0к(10)80* — требуемый вид;

3) если в Ь отсутствует 010, то Ь = 0к 1і1 0і2 1і3 ... 0*® 1* или Ь = 1к0і1 1і20і3 ... 1*®0*, где /і > 1 , 1 ^ і ^ 5.

Покажем, что все внутренние блоки имеют одинаковую длину, т. е. что /і = = /2 = /з = ■ ■ ■ = /«. Предположим, что это не так и в составе Ь есть внутренние блоки 0Л и 0м разной длины. Так как эти блоки внутренние, то Ь содержит отрезки 10Л1 и 10м 1. В АБиЬе Ь эти элементы не имеют точной нижней грани, поскольку оба они содержат 01 и 10, но в указанном упорядоченном множестве нет элемента, который содержал бы 01 и 10 и содержался бы в 10Л1 и в 10м 1. Если же в составе Ь есть внутренние блоки 0Л и 1м разной длины, то в АБиЬе Ь не существует іп£(10Л1, 01м0), так как оба эти элемента содержат 01 и 10, но в указанном упорядоченном множестве нет никакого элемента, содержащего 01 и 10 и содержащегося в 10Л1 и 01м0. Итак, Ь = 0к(1101)51* или Ь = 1к(0*1г)в0*, где / > 1, что соответствует утверждению теоремы.

Достаточность. Пусть Ь = 0к(1*01)51*, где &,/,з,£ — неотрицательные целые числа (второй случай рассматривается вполне аналогично). Возможными отрезками в Ь являются векторы следующих видов: 1) 0°; 2) 0°1Ь; 3) 0°1*0Ь; 4) 0“ 1*0*16; 5) 0°1г0г 1*06; 6) 0°(1*0*)ст 1Ь; 7) 0°(1*0г)ст 1*0Ь, где а, Ь, а — положительные целые числа Покажем, что у любых двух отрезков есть точная нижняя грань в (АБиЬе Ь, ^), т. е. что это упорядоченное множество является нижней полурешёткой. В п. Ї7 указывается точная нижняя грань для отрезков і и і, 1 ^ і ^ і ^ 7. Заметим ещё, что іп£((Ь1)й, (Ь2)й) = (іп£(Ь1, Ь2))й для любых отрезков Ь1, Ь2 вектора Ь.

11

12

13

14

15

16 17 22

23

24

25

п£(0°, 06)_0тіп(°’ь);

п£(0° 061с)______0тіп(°,тах(Ь,с)).

п£(0° 061*0°)_______0тіп(°,тах(Ь,1,с)).

п£(0° 061г0г1С)_______0тіп(°,тах(Ь,1,с)).

п£(0° 0*1*011*0°)________0тіп(°,тах(Ь,1,с)).

п£(0° 06 (1*0*)а 1°)_____0тіп(°,тах(Ь,1,с)).

п£(0° 06 (1*0*)а 1*0°)_____0тіп(°,тах(Ь,1,с)).

п£(0°1* 0°1^)_______0тіп(тах(°,6),тах(с,^)) 1тт(°Де,^).

п£(0°1* 0° 1 *0^)_____0тіп(тах(°,Ь),тах(с,1)) 1тіп(°,Ь,тах(°,1)).

п£(0°1* 0° 1 *0*1^)______0тіп(тах(°,6),тах(е,^,1)) 1тіп(°,6,тах(е,^,1)).

п£(0°1* 0° 1 *0* 1*0^)_____0тіп(тах(°,6),тах(е,1,)) 1тіп(°,6,тах(е,1)).

26

27

33

34

35

36

37

44

45

46

47

55

56

57 66 67 77

)) inf(0a16 QC (111^) Qmin(max(a,b),max(c,d,1)) 1min(a,b,max(c,d,1)).

^) inf(Qa 1^ 0C(110^)^ 10^)_____Qmin(max(a,b),max(c,1,)) 1min(a,b,max(c,1)).

5) inf(0a106 0с1г0^)________0min(max(a,b),max(c,1)) 110min(max(a,b),max(d,1)).

I) inf(0a1l 06 0с1г0г 1^)___0min(a, max(c,d)) 1l0min(b,1).

)) inf(0a1l 06 0с1г0г 10d )_____0min(a,max(c,1)) 1l0min(b,max(d,1)).

)) inf(0a1l 06 0с(1г0г )a 1^ )__0min(a,max(c,d,1)) 1l0min(b,1).

^) inf(0a106 0с(1г0г)a 110^) 0min(a,max(c,d,1)) 1^0min(b,1).

I) inf(0a1l 011^ 0C11011^ )_____0min(max(a,b),max(c,d)) 1^1 1min(a,b,c,d).

)) inf(0a11011^ 0°1011*0d)______0min(max(a,b),max(c,1)) 10^ 1min(a,b,c,d).

)) inf(0a 11011^ 0C(101 )a 1^)________0min(max(a,b),max(c,d,1)) 10^ 1min(a,b,c,d,1).

^) inf(0a 11011^ 0C(101 )a 110d)______0min(max(a,b),max(c,1)) 11011min(a,b,c,1).

)) inf(0a 1101110^ 0C1101110d)________0min(max(a,c),max(c,1)) 1101110min(b,d).

)) inf(0a1101110^ 0C(1101)^ 1^)_______0min(a,max(c,1)) 1101110min(b,1).

^) inf(0a 1101110^ 0C (1101)a 110d) 0min(a,max(c,1)) 1101110min(b,d,1).

)) inf(0a (1101 )a 1^ 0C (1101 )r 1^)_0min(a,max(c,d,1)) (1101)min(a,r) 1min(a,b,c,d,1).

^) inf(0a(1101 )a 1^ 0C(1101 )r 110^)____0min(max(a,b),max(c,1)) (1101 )min(a,r) 1min(b,c,1).

^) inf(0a(1101 )a 1106 0° (1101 )r 110d)_0min(a,max(c,1)) (1101)min(a,r) 110min(b,d,1)

Таким образом, доказано, что упорядоченное множество (ASubcb , ^) является нижней полурешёткой, а поскольку в нём есть наибольший элемент b, то оно является и решёткой. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Салий В. Н. Минимальные примитивные расширения ориентированных графов // Прикладная дискретная математика. 2008. №1(1). С. 116-119.

2. Trotter W. T. and Moore J. I. Some theorems on graphs and posets // Discr. Math. 1976. V. 15. No. 1. P. 79-84.

3. Jacobson M. S., Kezdy F. E., and Seif S. The poset of connected induced subgraphs of a graph need not be Sperner // Order. 1995. V. 12. No.3. P. 315-318.

4. Kezdy A. E. and Seif S. When is a poset isomorphic to the poset of connected induced subgraphs of a graph? // Southwest J. Pure Appl. Math. 1996. V. 1. P. 42-50. (Electronic.)

5. Nieminen J. The lattice of connected subgraphs of a connected graph // Comment. Math. Prace Mat. 1980. V.21. No. 1. P. 187-193.

6. Adams P., Eggleton R. B., and MacDougall J. A. Degree sequences and poset structure of order 9 graphs // Proc. XXXV Southeast. Conf. Comb., Graph Theory and Computing. Boca Raton, FL, USA. 2004. V. 166. P.83-95.

7. Leach D. and Walsh M. A characterization of lattice-ordered graphs // Proc. Integers Conf. 2005. N.Y.: Gruyter, 2007. P. 327-332.