Уплотняющие возмущения сюръективных операторов. Некоторые приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6

УПЛОТНЯЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СЮРЪЕКТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

© Б.Д. Гельман, О.Н. Афонина

Ключевые слова: мера некомпактности; сюръективный оператор; уплотняющее отображение.

Данная статья посвящена изучению уплотняющих возмущений замкнутых линейных сюръективных операторов. Полученные теоремы применяются к изучению некоторых классов уравнений нейтрального типа.

Пусть Е\, Е2, Е3 — банаховы пространства, А : О (А) С Е\ Е2 — замкнутый линейный сюръективный оператор, Г(А) С Е1 х Е2 — график оператора А, £ :Г(А) Е1 — проекция на область определения оператора А, т. е. Ь(х,у) = х.

Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф.

Определение 1. Будем говорить, что отображение / : О(/) С Е1 ^ Е2 является (А, ф) -уплотняющим, если:

1) для любого ограниченного множества О С О(А) П О(/)) из неравенства ф(А(О)) ^ ^ ф(/(О)) следует, что ф(А(О)) =0;

2) если X = Ь-1(О(/)), то композиция / о £: X ^ Е2 является непрерывным отображением.

Пусть В : О(В) С Е1 ^ Е3 — произвольный линейный оператор.

Определение2. Будем говорить, что оператор В подчинен оператору А, если:

(1) О(А) С О(В);

(2) для любого х £ О (А) справедливо неравенство ||А(х)|| ^ ||В(х)||.

Пусть отображение д : X С О (А) Е2.

Определение 3. Будем говорить, что отображение д — вполне непрерывно по модулю отображения А (или А -вполне непрерывно), если оно непрерывно и для любого ограниченного множества Q С Е2, и любого ограниченного множества М С X. Множество д(М П А-1 ^)) является компактным в Е2. Пустое множество по определению считается компактным.

Рассмотрим пример (А, ф) -уплотняющего отображения.

П р и м е р 1. Предположим, что оператор В подчинен оператору А, множество X — ограниченное подмножество в О (А) такое, что множество А(X) также ограничено в Е2. Пусть ф : X х Е3 Е2 — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число к £ (0,1), что для любой точки х £ X и любых у1,у2 £ Е3 справедливо неравенство Цф(х,У1) - ф(х,У2)Ц ^ к||у1 - У21|;

2) для любого у £ Е3 отображение ф(-,у): X ^ Е2 является А -вполне непрерывным.

Рассмотрим отображение /: X ^ Е2, /(х) = ф(х,В(х)). Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Хаусдорфа х-

Утверждение1. При сделанных предположениях отображение / является (А, х) -уплотняющим отображением.

Имеет место следующая теорема. Пусть А : О (А) С Е1 ^ Е2 — замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф.

2479

Пусть x0 €D(A), Br[жо] СE1 — замкнутый шар радиуса R с центром в x0. Рассмотрим множество

P = {x € D(A)f] Br[xo] | \\A(x) — A(xo)\ \ ^ m},

где m некоторое положительное число. Пусть отображение f : P ^ E2 является (А,ф) -уплотняющим отображением.

Теорема1. Если существует такое число l > max{ ||A-1||, m}, Что для любого x € P справедливо неравенство ||A(x0) — f (x)|| ^ R, то уравнение A(x) = f (x) имеет решение. Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из теоремы 1.

Пусть A : D(A) С Ei ^ E2 - замкнутый сюръективный линейный оператор, В : D(B) С С Ei ^ E3 — линейный оператор, подчиненный оператору A, в пространстве E2 задана мера некомпактности Хаусдорфа х, множество P такое же как и ранее.

Пусть ф : P х E3 ^ E2 — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число к € (0,1), что для любой точки x € P и любых y1,y2 € E3 справедливо неравенство Цф(x,yi) — ф(x,y2)|| ^кЦу1 — У2Ц;

2) для любого y € E3 отображение ф(-,у): P ^ E2 является A -вполне непрерывным.

Следствие1. Если для любой точки x € P существует число l > max{ || A-11|, m } такое, что ||A(x0) — ф^,В(x))|| ^ R, то уравнение A(x) = ф^В^)) имеет решение на множестве P.

Пусть операторы A, В такие же как и раньше. Пусть ф : E1 х E3 E2 — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число к € (0,1), что для любой точки x € E1 и любых y1,y2 € E3 справедливо неравенство Цф(x,y1) — ф^,у2)|| ^ Щу1 — у2Ц;

2) для любого y € E3 отображение ф(-,у): E1 ^ E2 является A -вполне непрерывным.

Пусть в пространстве E2 задана мера некомпактности Хаусдорфа х-Т е о р е м а 2. Если существуют такие константы 7 ^ 0 и в ^ 0, что для любой точки x € E1, y € E3 справедливо неравенство ||ф(ж, y) || ^ 7(||x|| + ||y||) + в и произведение Y(|| A-11| + 1) < 1. Тогда уравнение A(x) = ф^В^)) имеет решение.

Рассмотрим приложение в теории дифференциальных уравнений, в которых применяются полученные теоремы. Пусть [0, т] отрезок числовой прямой, Л, ц: [0, т] ^ [0, т] — произвольные непрерывные функции, g : [0, т] х М™ х М™ ^ М™ непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: (g 1) существует такое число к € (0,1), что для любых t € [0,т], x € М™ и y1,y2 € М™ справедливо неравенство Цд(t,x,y1) — g(t,x,y2)W ^ кЦу1 — у2Ц. Рассмотрим следующую задачу:

x'(t)= g(t,x^(t)),x'(p(t))), (1)

x(0) = 0. (2)

Теорема 3. Если существуют такие константы p ^ 0 и s ^ 0 что для любого t € [0, т] и любых функций x,y € справедливо неравенство ^p(||x(t)|| +

+ Шт)+ s и произведение р(т + 1) < 1. Тогда задача (1), (2) имеет решение на промежутке [0,т ].

ЛИТЕРАТУРА

1. Калабухова С.Н. Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1092-1094.

2. Gel’man B.D., Kalabukhova S.N. On Condensing Perturbations of Closed Linear Surjective Operators // Global and Stochastic Analysis. 2012. V. 2, № 1.

2480

Gelman B.D., Afonina S.N. SEALING DISTURBANCE SURJECTIVE. SOME APPLICATIONS This work is devoted to the study of condensing perturbations of closed linear surjective operators. Some received theorems are applied to the study of some neutral type level classes.

Key words: measure noncompactness; surjective operator; condensing map.

УДК 517.986.6

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЫРОЖДЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ВКЛЮЧЕНИЙ

© Б.Д. Гельман, А.В. Завьялова

Ключевые слова: сюръективный оператор; непрерывный линейный оператор; многозначные уплотняющие отображения; дифференциальные включения.

Данная статья посвящена изучению многозначных уплотняющих возмущений непрерывных линейных сюръективных операторов. В ней рассматривается теорема о разрешимости одного класса операторных включений с сюръективными операторами. Полученная теорема применяется для изучения разрешимости вырожденных дифференциальных включений.

Пусть Е, Ео - банаховы пространства, А : Е ^ Ео - ограниченный линейный сюрък-тивный оператор, Е : В(Е) С Е ^ Кь (Ео) - полунепрерывное сверху многозначное отображение. Пусть в Ео задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф.

Определение 1. Отображение Е называется (А,ф) -уплотняющим, если для любого ограниченного множества Q С 0(Е) из неравенства ф(Е^)) ^ ф(А^)) вытекает равенство ф(А^)) =0.

Пусть х0 Є Е - некоторая точка, Вд[хо] - замкнутый шар радиуса Я с центром в х0, Е : Вд[х0] Ку(Е0) - многозначное (А, ф) -уплотняющее отображение.

Рассмотрим включение А(х) Є Е(х). Пусть N(А,Е) - множество решений этого включения. Имеет место следующая теорема (см. [1]).

Теоремаї. Если существует такое число к> ||А_1||, что для любой точки х Є Є Вд[х0] справедливо неравенство

Я

тіп ||А(х0) — п\\ ^ —,

иеР (х) к

то N (А, Е) = 0.

Рассмотрим приложение этой теоремы к изучению разрешимости одного класса вырожденных дифференциальных включений в банаховом пространстве.

Пусть Еі,Е2,Ез - банаховы пространства, А : Еі ^ Е2 - непрерывный линейный оператор, В : Еі ^ Ез - непрерывный линейный оператор, подчиненный оператору А, т.е. ||В(х)|| ^ ||А(х)|| для любого х Є Е1. Тогда естественно определяются отображения А: С([о,т],Бі) ^ С ([о, т ], е2) и В : Сф,т],Бі) ^ с([о,т],Ея) по следующему правилу:

А(х)(і) = А(х(і)), В(х)(і) = В(х(і)).

248l