Топологическая степень совпадения фредгольмовых операторов и псевдоациклических многозначных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ СОВПАДЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ И ПСЕВДОАЦИКЛИЧЕСКИХ МНОГОЗНАЧНЫХ

ОТОБРАЖЕНИЙ

© Дж. Аль-Обаиди, В. В. Обуховский

Ключевые слова: степень совпадения; точка совпадения; многозначное отображение; линейный фредгольмов оператор; мера некомпактности; уплотняющее отображение. Вводится топологическая степень совпадения для пары отображений банаховых пространств, состоящей из линейного фредгольмова оператора Ь нулевого индекса и псевдоациклического многозначного отображения Т, уплотняющего относительно Ь . Обосновывается корректность определения степени, описываются ее основные свойства и даются приложения к существованию точек совпадения.

Введение

Задача о точках совпадения фредгольмовых операторов с многозначными отображениями различных классов возникает при исследовании большого круга задач теории дифференциальных уравнений, теории управляемых систем и других ветвях современной математики. Весьма эффективным средством решения задач такого рода является использование топологических характеристик типа степени совпадения. Для случая однозначных отображений теория степени совпадения восходит к работам [1,2]. Для включений с линейными фредголь-мовыми операторами и различными типами многозначных отображений топологические характеристики такого рода исследовались и применялись в работах [3-6] и др. Конструкции степени совпадения для многозначных возмущений нелинейных фредгольмовых операторов также предлагались в ряде работ (см., например, монографию [7] и имеющуюся там библиографию).

В настоящей статье, опираясь на результаты работ [8,9], мы вводим топологическую степень совпадения для пары отображений банаховых пространств, состоящей из линейного фредгольмова оператора Ь нулевого индекса и псевдоациклического многозначного отображения Т, уплотняющего относительно Ь . Обосновывается корректность степени, описываются ее основные свойства и даются приложения к существованию точек совпадения.

1 Основные понятия и определения

1.1 Линейные фредгольмовы операторы

Пусть Е\ , Е2 - банаховы пространства, Ь : ОвтЬ С Е\ — - линейный оператор.

Напомним (см., например, [1,2]) следующие утверждения.

(1.1) Лемма. Пусть Р : Е\ — Е\ - линейная проекция такая, что 1тР = КегЬ . Тогда: а) оператор ЬР : БвтЬ П КегР — 1тЬ ,

Ьр(х) = Ь(х) для х € БвтЬ П КегР является линейным изоморфизмом;

1771

б) оператор Кр : 1тЬ — БотЬ П КетР ,

Кр(х) = Ь-

удовлетворяет соотношению

КР о Ьх = х — Рх

для всех х € БотЬ .

Оператор Кр называется псевдообратным к Ь.

(1.1) Определение. Линейный оператор Ь : БотЬ С Е\ — называется линейным фредгольмовым оператором нулевого индекса, если 1тЬ - замкнутое подмножество Е2 , пространства КегЬ и СокегЬ = Е2/1тЬ конечномерны и

йгтКетЬ = МтСокетЬ.

(1.2) Лемма. Пусть Ь : БотЬ С Е1 — Е2 - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса. Тогда:

а) существуют линейные непрерывные операторы проектирования Р : Е1 — Е1 и Q : Е2 — Е2 такие, что 1тР = КетЬ и KeтQ = 1тЬ ;

б) псевдообратный оператор Кр непрерывен;

в) каноническая проекция П : Е2 — СокетЬ, заданная как Пу = у + 1тЬ, является непрерывным оператором;

г) существует линейный непрерывный изоморфизм Л : СокетЬ — КетЬ;

д) уравнение

Ьх = у, у € Е2

эквивалентно уравнению

(г — Р )х = (ЛП + КР^)(у), где г - тождественный оператор на Е1 , а оператор Кр^ : Е2 — Е1 задан как

Кр&(у) = Кр (у — Qy).

Пару (Р, Q) будем называть точной парой проекций, отвечающих оператору Ь . Отметим также, что сужение П на ImQ является алгебраическим изоморфизмом.

1.2 Многозначные и уплотняющие отображения

Напомним некоторые понятия (подробнее см., например, [10-13]).

Пусть X , У - метрические пространства, К (У) обозначает совокупность всех непустых компактных подмножеств У.

(1.2) Определение. Многозначное отображение (мультиотображение) Г : X — К (У) называется полунепрерывным сверху, если Г-1(У) = {х € X : Г(х) С V} открыто для любого открытого подмножества V С У .

Пусть Е - банахово пространство, Р(Е) - совокупность всех непустых подмножеств Е .

(1.3) Определение. Пусть (А, >) - частично упорядоченное множество. Отображение в : Р(Е) — А называется мерой некомпактности (МНК) в Е, если

в(соО) = в (О)

для любого О С Е .

Мера некомпактности в называется:

(1) монотонной, если из О0, О1 € Р(Е), О0 С О1 следует в(Оо) < в(О1);

1772

(2) несингулярной, если ß({a} U Q) = ß(Q) для любых a € E , Q € P (E) ;

(3) полуаддитивной, если ß(Q0 U Qi) = max{ß(Q0), ß(Qi)} для любых Q0, Qi € P(E) ;

(4) инвариантной относительно отражения в нуле, если ß(—Q) = ß(Q) для любого Q €

P(E);

(5) полуоднородной, если ß(AQ) = |A|ß(Q) для любого А € R. Если A - конус в банаховом пространстве, то МНК ß называется:

(6) алгебраически полуаддитивной, если

ß(Qo + Qi) < ß(Qo)+ ß(Qi)

для любых Q0, Qi € P(E) ;

(7) правильной, если ß(Q) = 0 равносильно относительной компактности Q .

МНК ß называется вещественной, если A = [0, с естественным упорядочением и

ß(Q) < для каждого ограниченного множества Q € P(E)

Распространенными примерами вещественных мер некомпактности, обладающими свойствами (1)-(7), являются мера некомпактности Хаусдорфа

X(Q) = inf {е : е > 0, Q имеет в E конечную е — сеть }

и мера некомпактности Куратовского

a(Q) = inf{d : d> 0, Q допускает разбиение на конечное

число множеств, диаметр которых меньше d}.

Важным примером удовлетворяющей указанным выше свойствам меры некомпактности в пространстве непрерывных функций E = C([a; b]; E) , где E - банахово пространство, является бинарная мера некомпактности v со значениями в конусе R+ с естественным полуупорядочением:

v(Q) = (<p(Q), modc(Q)),

где

V(Q) = sup XE(Q(t))

a<t<b

— модуль послойной некомпактности, Q(t) = {x(t) : x € Q}, и

modc(Q) = lim sup max ||x(ti) — x(t2)\\E ¿^0 жеп |ti-t2|<5

— модуль равностепенной непрерывности.

Пусть X — замкнутое подмножество банахова пространства E; ß — МНК в E. (1.4) Определение (см., например, [11,13]). Мультиотображение F : X — K(E) или семейство мультиотображений G : X х Л — K(E) называется уплотняющим относительно МНК ß (или ß -уплотняющим), если для любого Q С X, не являющегося относительно компактным, выполнено, соответственно,

ß(F(Q)) £ ß(Q)

или

ß(G(Q х Л)) £ ß(Q).

Рассмотрим следующий важный класс уплотняющих мультиотображений. Пусть в — вещественная МНК в Е и 0 < к < 1. Мультиотображение Е : X — К(Е) или семейство мультиотображений О : X х Л — К(Е) называются (к, в) -уплотняющими, если,

1773

соответственно, fi(F(Q)) < kfi(Q) или fi(G(Q х Л)) < кв(Q) для любого Q С X.

Пусть E — банахово пространство, в — монотонная несингулярная МНК в E, U С E — выпуклое ограниченное подмножество, F : U ^ K(E) — в -уплотняющее псевдоациклическое мультиотображение такое, что

Fix F П dU = 0,

где Fix F = {x €U : x € F(x)} — множество неподвижных точек F. Тогда (см. [9]) определена целочисленная характеристика — топологическая степень мультиполя i — F

deg(i — F,U)

(здесь i(x) = x), обладающая свойством гомотопической инвариантности и свойством неподвижной точки: условие deg(i — F,U) = 0 влечет

0 = Fix F С U.

Пусть H обозначает функтор когомологий Александера-Спеньера с целыми коэффициентами (см. [14]).

Непустое пространство Y называется 0 -ацикличным, если H0(Y) = Z , к -ацикличным (к > 1) , если Hк(Y) =0, и ацикличным, если оно к -ациклично для любого к > 0 .

Пусть E\ , E2 - банаховы пространства; всюду ниже U С Ei - ограниченное открытое выпуклое множество.

Пусть Z - топологическое пространство и F : U ^ K(Z) - мультиотображение. Для i > 0 обозначим

M%F = {x\ x € U, F(x) не является i-ацикличным}.

(1.5) Определение. Полунепрерывное сверху мультиотображение F : U ^ K(Z) называется почти ациклическим, если:

(a) MlF = 0 для всех i, начиная с некоторого io > 0;

(b) £ = max (dim^ MlF) < то , где dim^ - обозначает относительную топологическую раз-

0<г<го

мерность [15].

(1.6) Определение [8,9]. Мультиотображение F : U ^ K(E2) называется псевдоациклическим, если существуют топологическое пространство Z и такое непрерывное отображение Q : Z ^ E2, что F представимо в виде композиции

F = @ о F,

где F почти ациклическое мультиотображение.

2 Степень совпадения

Пусть U С Ei — открытое выпуклое ограниченное множество; в — МНК в Ei . Для простоты будем предполагать, что в обладает указанными выше свойствами (1)-(7).

(2.1) Определение. Псевдоациклическое мультиотображение F : U ^ K(E2) называется (L, в) -уплотняющим, если:

(i) множество F(U) ограничено в E2 ;

(ii) мультиотображение

Kp,q о F : U ^ K(Ei)

является в -уплотняющим.

1774

Нашей задачей теперь является построение топологической степени совпадения пары (L, F) , где L : DomL С Ei — — линейный фредгольмов оператор нулевого индекса, а F : U — K(E2) — (L, ß) -уплотняющее псевдоациклическое мультиотображение.

(2.2) Определение. Точка x € DomL П U называется точкой совпадения пары (L, F) , если

Lx € F (x).

Множество всех точек совпадения пары (L, F) будем обозначать Coin(L, F, U). Рассмотрим мультиотображение Q : U — K (Ei) вида

Q(x) = Px + (ЛП + Kpqq) о F (x). (2.1)

Из Леммы 1.2 (д) вытекает, что множество Coin(L, F) совпадает с множеством неподвижных точек FixQ = {x € U : x € Q(x)} .

Основное свойство мультиотображения Q описывает следующее утверждение. (2.1) Лемма. Мультиотображение Q является ß -уплотняющим псевдоациклическим муль-тиотображением.

Доказательство. (i) Покажем, что Q псевдоациклично. Пусть F = (В о F) , FF : U — K(Z) , В : Z —> E2 — разложение F. Ясно, что мультиотображение F : U —У K(Ei x Z) ,

F = {x} x F(x)

почти ациклично.

Далее, определим отображение S : E1 x Z — E1 как

S(x, z) = Px + (ЛП + Kp,q)z.

Тогда Q разложимо в (S о F).

(ii) Пусть Q С U — подмножество, для которого

ß(Q(Q)) > ß(Q).

Заметим, что

Q (Q) С P (Q) + ЛПF (Q) + Kpqqf (Q).

В силу того, что первые два слагаемых являются ограниченными конечномерными множествами, получаем

ß(Q (Q)) < ß(Kp, Q о F (Q)),

откуда, в силу Определения 2.1 (ii) вытекает, что множество Q относительно компактно. Лемма доказана.

Обозначим Sl(U,E2) совокупность всех (L,ß) -уплотняющих псевдоациклических мультиотображений F : U — K(E2) .

Выделим в Sl(U,E2) подкласс S^(U, E2) , состоящий из всех таких мультиотображений F , для которых

Coin(L, F, U) П (dU П DomL) = 0.

(2.3) Определение. Степенью совпадения

deg(L, F ,U )

пары (L, F), где F € Squ (U,E2), называется топологическая степень deg(i — Q ,U ) мульти-поля i - Q .

1775

Нашей задачей теперь является установить корректность Определений 2.1 и 2.3, т. е. их независимость от выбора точной пары проекций (P, Q) и изоморфизма Л (с точностью до его ориентации).

(2.2) Лемма. Пусть (P,Q) и (P',Q') —две точные пары проекций, отвечающих оператору L . Тогда, если мультиотображение Kp,q о F является ß -уплотняющим и выполняется условие (i) Определения 2.1, то Kp'Q о F — также ß -уплотняющее мультиотображение.

Доказательство. Нетрудно проверить следующие соотношения

Kp' = (i - P')Kp, PKP' + P'KP = 0,

где Kp , Kp' — псевдообратные к L операторы, ассоциированные с P и P', соответственно. Обозначим nQ = n\ImQ и nQ' = n\ImQ' . Тогда получаем

Kp',q' = Kp' (i - Q') =

= (i - P')Kp(i - Q') = = (i - P')Kp(i - Q) + (i - P')Kp(Q - Q') = = (i - P')Kpqq + (i - P')Kp(nQ1 - nQ,1 )П,

где K p обозначает сужение Kp на конечномерное подпространство Im(Q - Q' ) С E2 . Для Q С U , пусть

ß(KP', Q' о F(Q)) > ß(Q). (2.2)

Тогда получаем

Kp',Q' О F(Q) С KpqqF(Q) - P'KpqqF(Q)+ +(i - P')Kp(nQ1 - nQ})nF(Q).

В силу того, что последние два слагаемых представляют собой ограниченные подмножества конечномерного пространства, мы получаем, используя свойства меры некомпактности ß ,

ß(Kp' , Q' О F (Q)) < ß(Kp, Q О F (Q)), (2.3)

следовательно,

ß(Kp, Q О F (Q)) > ß (Q),

откуда вытекает относительная компактность Q .

Заметим теперь, что если ориентировать конечномерные пространства KerL и CokerL, то все изоморфизмы

Л : CokerL — KerL

распадаются на два класса и Li гомотопных друг другу изоморфизмов — сохраняющих ориентацию пространств и, соответственно, меняющих ее на противоположную.

(2.3) Лемма. Степень совпадения

deg(L, F,U)

не зависит от выбора точной пары проекций (P, Q) и от выбора изоморфизмов Л в одном и том же гомотопическом классе Li, i = 0,1.

Доказательство. Пусть (P,Q) и (P',Q') — две точные пары проекций и Л, Л' : CokerL — KerL — два изоморфизма, принадлежащих одному из классов L0 или Li .

1776

Обозначим

Go(x) = Px + (ЛП + Kp, q)F (x),

Gi(x) = P'x + (Л'П + Kp ', Q' )F (x).

Пусть Л : CokerL x [0,1] — KerL - гомотопия, связывающая Л и Л', то есть Л(■, 0) = Л , Л(■, 1) = Л'. Известно [1], что для любого 0 < Л < 1 отображения

Px = (1 - Л)P + ЛP' и

Qx = (1 - л)Q + Л^

образуют точную пару проекций. Более того, справедливо следующее соотношение

Kpx = (1 - Л)Кр + ЛКр', откуда очевидным образом вытекает

Крх,Qx = Kpx(I - Qx).

Рассмотрим теперь семейство мультиотображений G : U x [0,1] — К (Ei),

G (x, Л) = Pxx + [À (П(-), Л) + Kpx , Qx ] о F (x). Нетрудно видеть, что мультиотображение G псевдоациклично,

x (/ G (x, Л)

для всех (x, Л) € dU x [0,1] и

G(x, 0) = Go(x), G(x, 1) = Gi(x).

Остается показать, что мультиотображение G является уплотняющим. Для этого проведем следующие преобразования

G (x, Л) = (1 - X)Px + ЛP'x + [Л (П(-), Л) + +{(1 - Л)Кр + ЛКр'}{I - (1 - Л)Q - Л^}]F(x) = = (1 - X)Px + Л^ x + [Л(П(-), Л) + {(1 - Л)КР+ +Л(1 - P')Кр}{I - Q + Л(Q - Q')}]F(x) = = (1 - Л)Px + Л^ x + [Л(П(^), X) + (I - Л^)Кр(I - Q) + +Л(^ - Л^)Кр(Q - Q')]F(x). Пусть теперь Q С U - множество такое, что

ß(G(Q x [0,1])) > ß(Q). Рассуждая как и выше, мы получаем, что

ß(G(Q x [0,1])) = ß(Kp(I - Q)F(Q)) = ß(Kp,qF(Q)).

Таким образом,

ß(Kp,qF(Q)) > ß(Q),

откуда следует относительная компактность Q .

Итак, мультиотображение G порождает гомотопию мультиполей i - Go и i - Gi , откуда следует

deg(i - Go,U) = deg(i - Gi,U),

что и доказывает лемму.

1777

3 Основные свойства степени совпадения

Непосредственно из определения вытекает следующий общий принцип существования точки совпадения.

(3.1) Теорема. Если

deg(L, F,U) = 0,

то

0 = Coin(L, F ,U) С U.

Для того, чтобы сформулировать следующее свойство, введем понятие L -гомотопии. Пусть ß - МНК в Ei .

(3.1) Определение. (L, ß) -уплотняющие псевдоациклические мультиотображения

Fo = Во oFo : U — K(E2), Fi = Bi o Fi : U — K(E2)

такие, что

Coin(Li, Fi,U) П dU = 0, i = 0,1,

называются L -гомотопными,

Fo ~ Fi,

L

если существуют почти ациклическое мультиотображение FF : U x [0,1] — K (Z ) и непрерывное отображение В : Z x [0,1] — E2 такие, что

(i) Ft, 0) = Fo, Ft, 1) = Fi ;

(ii) ВО, 0) = Bo, BO, 1) = Bi; _

(iii) для псевдоациклического мультиотображения F : U x [0,1] — K(E2),

F (x, A) = B(F(x,A),A)

выполнено

а) множество F(U x [0,1]) ограничено в E2 ;

б) мультиотображение Kp, q о F : U x [0,1] — K (Ei) является ß -уплотняющим;

в) Coin(L, F(•, A)) П dU = 0 для всех A € [0,1] .

Имеет место следующее свойство гомотопической инвариантности.

(3.2) Теорема. Если

Fo ~ Fi,

L

то

deg(L, Fo, U) = deg(L, Fi, U). Доказательство. Рассмотрим мультиотображение Q : U x [0,1] — K (Ei),

Q (x, A) = Px + [ЛП + Kp, q] о F (x, A).

Как и ранее, мы можем установить, что Q — псевдоациклическое ß -уплотняющее мультиотображение, причем, в силу условия (iii) (в) Определения 3.1 x € Q(x, A) для всех (x, A) € dU x [0,1] .

Таким образом, Q порождает гомотопию мультиотображений Q(•, 0) и Q(•, 1) , откуда вытекает

deg(i — Q (•, 0),U) = deg(i — Q (•, 1),U),

1778

что даст в итоге

deg(L, F0, U) = deg(L, Fi, U).

Рассмотрим теперь некоторые применения введенной характеристики к задаче о точках совпадения пары (L, F) .

Справедлив следующий вариант теоремы о нечетном поле.

(3.3) Теорема. Пусть область U симметрична относительно нуля и мультиотображение F нечетно на dU , т. е.

F (-x) = -F (x) для всех x € dU.

Тогда степень совпадения

deg(L, F ,U )

нечетна и, следовательно,

0 = Coin(L, F ,U) С U П DomL. Доказательство. В силу линейности операторов P , Л , П и Кр,q мультиотображение

G (x) = Px + [ЛП + Кр q q\ о F (x)

нечетно и результат вытекает тогда из теоремы о нечетном поле для псевдоациклического мультиотображения.

Рассмотрим теперь следующую теорему о продолжении.

(3.4) Теорема. Пусть F : U — К(E2) — (L, ß) -уплотняющее псевдоациклическое муль-тиотображение такое, что

(i) Lx € ЛF(x) для всех x € DomL П dU, Л € (0,1] ;

(ii) 0 € nF(x) для всех x € KerL П dU ;

(iii) degKerL (ЛnF\uKerL ,U Kerb) = 0 . Тогда

0 = Coin(L, F, U) С (U П DomL).

Доказательство. Нетрудно видеть, что мультиотображение G : U x [0,1] — К (Ei), заданное как

G (x, Л) = Px + [ЛП + ЛКр^ q ] о F (x),

является псевдоациклическим и ß -уплотняющим.

Если Л € (0,1] , то, принимая во внимание, что XЛ также является линейным изоморфизмом пространств CokerL и KerL, мы получаем из условия (i), что

x € G (x, Л)

для (x, Л) € (DomL П dU) x (0,1] .

Если же Л = 0 , то из условия (ii) вытекает, что x € G (x, 0) для всех x € DomL П dU . Таким образом, G порождает гомотопию псевдоациклических мультиотображений, откуда получаем

deg(L, F, U) = deg(i - P - ЛnF, U),

где в правой части - топологическая степень мультиполя, соответствующего конечномерному отображению P + ЛПF. Согласно свойству сужения отображения (п. (2.7) в [8]), мы получаем

deg(i - P - ЛnF ,U) = ^Ке^-ЛП^^^ , ~U KerL). Применение условия (iii) завершает доказательство.

1779

Мы завершим этот раздел теоремой о точке совпадения, являющейся обобщением теоремы Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Эту теорему мы докажем для мультиотображений более узкого класса, впрочем вполне достаточного для главных приложений. Дадим необходимые определения.

(3.2) Определение [16]. Компактное метрическое пространство А называется -множеством, если существует убывающая последовательность {Ап} компактных стягиваемых множеств такая, что

А = р| Ап.

п>1

(3.1) Замечание. Всякое -множество ациклично [17]. Очевидно, что декартово произведение -множеств является -множеством.

Пусть 2 — топологическое пространство, и ¥ : и — К(2) — мультиотображение. Определим сингулярное множество N С и следующим образом:

N = {х € и : ¥(х) не является Щ-множеством.}

Пусть

те

N = и МЬ,

г=0

где М~ , как и прежде, состоит из всех таких точек х € и, для которых 1р(х) не является

г

г -ацикличным.

(3.3) Определение. Полунепрерывное сверху мультиотображение ¥ : и — К(2) называется почти- Щ -мультиотображением, если множества М~ удовлетворяют условиям (а) и

г

(Ь) Определения 1.5.

Соответственно, псевдо- Щ -мультиотображением мы назовем мультиотображение Т : и — К(Е2) , представимое в виде Т = В оТ, где Т : и — К(2) — почти- Щ -мультиотображение, а В : 2 — Е2 — непрерывное отображение.

(3.5) Теорема. Пусть пространство Е1 сепарабельно, множество и симметрично относительно нуля, Т : и — К(Е2) — (Ь, в) -уплотняющее псевдо- -мультиотображение, удовлетворяющее следующему граничному условию:

(Ь — Т)(—х) П /(Ь — Т)(х) = 0 (3.1)

для всех х € ди, / > 0.

Тогда степень йвд(Ь, Т,и) нечетна и, следовательно,

0 = Согп(Ь, Т,й) С и П БошЬ.

Доказательство. Рассмотрим мультиотображение Н : и х [0,1] — К(Е2), заданное как

Н(х, А) = (1 — 2)Т(х) — АТ(—х).

Это мультиотображение является псевдо- -мультиотображением. Действительно, его полунепрерывность сверху вытекает из свойств непрерывности мультиотображений (см., например, [12]). Далее, пусть Т = В о Т. Представим мультиотображение Н в виде следующей композиции:

и х [0,1] —2 х 2 х [0,1] Е2 х Е2 х [0,1] Е2 ,

где

(х, А) {Г(х), ^(—х), А} {Т (х), Т (—х), Н(х, А)

1780

в'(г,г',Х) = {вг, вг', X}

и

х{У,У',Х) = (1 - - ^V'-

Мультиотображение Т является почти- . В самом деле, если Т(х) и Т(-х) являются -множествами, то и Т(х) х Т(-х) х {X} - тоже -множество. Далее, очевидно, что М^ = М~и (-М~) и, применяя теорему суммы [15], мы можем убедиться, что множества М^, г > 0 удовлетворяют условиям (а) и (Ь) Определения 1.5.

Покажем теперь, что мультиотображение Н является (Ь, в) -уплотняющим. Ограниченность множества Н(и х [0,1]) очевидна. Пусть теперь О С и - множество такое, что

в(Кр,дН(О X [0, 1])) > в(О).

Тогда получаем

в(Кр,дН(О X [0, 1])) < < в[со[КрддТ(О) и (-Кр,дТ(-О))]] = = тах{в[Кр, дТ (О)], в [Кр, дТ(-О)]} < < в [Кр, дТ (О и (-О))].

Заметим теперь, что

в(О и (-О)) = в(О). (3.2)

Тогда из (3.1) и (3.2) получаем

в[Кр,дТ(О и (-О))] > > в[Кр,дН(О х [0,1])] > > в(О) = в[О и (-О)],

откуда следует, что множество О и (-О) относительно компактно, а значит и О относительно компактно.

Покажем теперь, что

Ьх £ Н(х, X) для всех (х, X) £ ди х [0,1]. (3.3)

Если X = 0, то Н(х, 0) = Т(х) и (3.3) при X = 0 вытекает из (3.1) при / = 0. Пусть найдутся такие хо £ ди и Xo £ (0; 1] , что

Ьхо £ Н(хо, Xo).

Тогда имеем

Ьхо £(1 - у)Т(хо) - уТ(-хо),

откуда

Ьхо £(1 - -2)Уо - уУo,

для некоторых уо £ Т(хо) , у'о £ Т(-хо) . Но тогда

1 _ Ао

1 о

Ь(-хо) - у'о 2 (Ьхо - Уo),

Ао 2

что противоречит условию (3.1).

1781

Осталось заметить, что мультиотображение

Н(х, 1) = 2 Т (х) — 1Т (—х)

нечетно, и тогда, воспользовавшись теоремами о гомотопической инвариантности и о нечетном поле, получаем

<1вд(Ь, Т,и) = <1вд(Ь, Н(, 0),Щ =

deg(L, H(-, 1),U) = l(mod2).

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gaines R.E., Mawhin J.L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations // Lecture Notes in Mathematics. Berlin; New York: Springer-Verlag, 1977. № 568.

2. Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems // Expository lectures from the CBMS Regional Conference held at Harvey Mudd College, Claremont, Calif., June 9-15, 1977. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. V 40. American Mathematical Society. Providence, R.I., 1977.

3. Корпев С.В., Обуховский В.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невы-пуклозначных мультиотображений // Труды матем. ф-та (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2004. № 8. С. 56-74.

4. Gabor D, Kryszewski W. A coincidence theory involving Fredholm operators of nonnegative index // Topol. Methods Nonlinear Anal. 2000. V. 15. № 1. Р. 43-59.

5. Pruszko T. A coincidence degree for L -compact convex-valued mappings and its application to the Picard problem of orientors fields // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. 1979. V. 27. № 11-12. Р. 895-902 (1981).

6. Tarafdar E., Teo S.K. On the existence of solutions of the equation Lx e Nx and a coincidence degree theory // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979. V.28. № 2. Р. 139-173.

7. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of Guiding Functions in Problems of Nonlinear Analysis // Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013. 177 p.

8. Аль-Обаиди Дж. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей // Вестник ВГУ. Сер. Физика, математика. 2014. № 2. С. 95-110.

9. Аль-Обаиди Дж., Обуховский В.В. Топологическая степень для одного класса некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах // Вестник ВГУ. Сер. Физика, математика. 2014. № 3. С. 88-98.

10. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкипа А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука, 1986.

11. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений // Успехи мат. наук. 1980. Т. 35. № 1. С. 59-126.

12. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. 2-е изд. М.: Либроком, 2011.

13. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces // De Gruyter Series in Nonlinear Analysis 7. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2001.

14. Спепьер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.

15. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

16. Hyman D.M. On decreasing sequences of compact absolute retracts // Fund Math. 1969. V. 64. Р. 91-97.

17. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings// Second edition. Topological Fixed Point Theory and Its Applications. Springer, Dordrecht, 2006. № 4.

1782

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00468), РНФ (проект № 14-21-00066) и Минобрнауки России в рамках базовой части госзадания.

Поступила в редакцию 6 октября 2014 г.

Al-Obaidi J.M., Obukhovskii V.V.

TOPOLOGICAL COINCIDENCE DEGREE OF FREDHOLM OPERATORS AND PSEUDO-ACYCLIC MULTIVALUED MAPPINGS

In the present paper we introduce the topological coincidence degree for a pair of mappings of Banach spaces consisting of a linear Fredholm operator L of zero index and pseudo-acyclic multivalued mapping F, condensing with respect to L . We verify that the degree is well-defined, describe its main properties and give applications to the existence of coincidence points.

Key words: coincidence degree; coincidence point; multivalued map; linear Fredholm operator; measure of noncompactness; condensing map.

Аль-Обаиди Джамхур, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант, кафедра высшей математики, e-mail: [email protected]

Al-Obaidi Jamhur, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, Russian Federation, Post-graduate Student, Higher Mathematics Department, e-mail: [email protected]

Обуховский Валерий Владимирович, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики, е-mail: [email protected]

Obukhovskii Valerii Vladimirovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Higher Mathematics Department, е-mail: [email protected]

1783