CC BY
34
выбора «приемлемого» решения сводится к решению задачи выбора альтернативы, связанной с риском.
Под «функциональностью» будем понимать внешние проявления свойств
проектируемой схемы при достижении поставленной цели. Как правило, функция схемы известна априорно (например, из исходного технического задания на проектирование) и может быть представлена либо в виде формального описания (отображением вектора входных параметров на вектор выходных параметров при заданном векторе ограничений на функционирование системы), либо на некотором «естественном» языке
Сравнительная функциональность схемы может быть охарактеризована вероятностью с которой данное проектное решение реализует достижение цели проектирования
Эволюционный критерий «сложность» отражает, прежде всего структурную
сложность объекта, и в таком понимании легко выражается численным критерием заместителем. Однако, сложность схемы может включать в себя и такие качественные понятия как технологическая сложность и т.п. ’
Наконец, под «разновидностью» схемы будем понимать многовариантность ее
реализации с учетом поставленных целей проектирования (например, мощность множества допустимых альтернатив и др.).
В заключение отметим, что при указанном подходе к представлению информации о
проектируемой схеме, «эволюционные» критерии могут быть сведены
формализуемым величинам и, следовательно, для любых ironein-ui.iv „ К СТР0Г0
- „ "роектных решений, возможно
провести их сравнительный анализ в понятийных категппи™ с
, „ “■«чешриях. Ьолее того, такое
информационное представление носит регулярный характер для схем любого класса на всех
«эволюционных» уровнях, что позволяет формализовать проектные процедуры синтеза анализа и выбора схем, с учетом поставленных целей проектирования
Литература
1. Организация иерархической структуры саморазвивающейся информационной системы
«человек машина среда». В.Е.Мешков, В.Б.Трунин и пп п
г* и др. и кн . Конструирование,
технология, экономические исследования В автомобилестппгииы кд >
научных трудов, М.: Завод-ВТУЗ, 1987. ^ Межвузовский сборник
2. Кини Л.Р., Райфа X. Принятие при многих критериях- ппрппп»,.
с англ. / Под ред. И.Ф.Шахнова. - М, р£„о „ с.™, 198? "',адю™"“ « решения: Пер.
УДК 510.5:517.5
Целигоров Н. А.
Универсальный алгоритм замены в полиноме произвольного порядка действительной переменной на комплексную
Рассматривается задача замены в полиноме произвольного порядка действительной енной иа комплексную. Полученные аналитические выражения используют треугольник Пя Доказана теорема, подтверждающая корректность разработанного алгоритма.
При математическом моделировании различных процессов часто возникают задачи в полиноме действительной переменной на комплексную. Такая задача становится наиболее актуальной для полиномов высокого порядка.
Известно, что полином
F(w) = І>/w,,',; (!)
/=0
после замены УУ = -/3 + ;У можно представить в виде
Н-Р+у у)=р\ М+& (у)’ (2 >
где Р1 (у) — полином четной степени V, зависящий от коэффициентов Я,., (21 (у) — полином нечетной степени V, без свободного члена, зависящий от коэффициентов Я,; /? — вещественное число.
Полиномы, полученные по выражению (2) для п=2 - 4, имеют следующий вид:
При п=2
Р{-Р + УV) = (-а0у2 + а0р2 -аф + а2) + у(-2а0Р + ах )у
При п=3
Р(~Р + У у) = [(ЗДо Р ~ а\ )у2 + ('~аоР3 +а\Р2 ~ а2 Р + аъ)] +
+у[-а0У3 + (за0р2 -2аф + а2
При п=4
/г(- р + р)= [а^4 + (- бяо/?2 + 3аф - аг У + - а,Р' + ъР2 ~ яэ0 + а4 )1+
+ Л4а0/3-а1У+(-4а0/}3 +Ъаф2 -2а2Р+а3\[
Теорема.
Покажем, что аналогичные формулы можно получить, используя выражение
аБЧ =Р^Р1'1ап-1 > (3)
где /7^. у -коэффициенты треугольника Паскаля, рассчитываемые по формуле [1]
Р*и = РЪ-и-1 +РЪ-и (4)
Коэффициенты искомого полинома получим из выражения
Л-/ = Е2>у <5)
/=0 у=(
который запишется следующим образом
Р(-р+р)=±ШГк <«>
к=О
Доказательство.
Треугольник Паскаля можно записать в следующем виде
1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
12 10 0 0 1 3 3 1 о о|
1 4 6 4 1 а
Используя (3,4), построим таблицу АБ для различных значений п. При п=2
АБ =
(;у)° ОуУ (РУ
а2 о 0
-ахр а, 0
_а0Р —д02/? а0
Суммируя коэффициенты таблицы по столбцам, получим полином/Г(-Д + у'у), который имеет следующий вид
р(-р + уV) = -аУ + Ка, - 2а0Р)у + (а2-аф + а0р2).
При п=3
(Р)° (рУ (Р)2 (Р)г
«3 0 0 0
Л5 = -а2Р 0 0
аф2 -а, 2)3 «і 0
~аоРг а03р2 -«03)3 «0
При п=4
Л5 =
= -]а0У3+Ы, + а03р)у2 + Да2 ~ а, 2)3 + а03р2)у +
+(а3 - а3 Р + а\Р2 ~ ■а0Г).
(Р)° (7У)' (Р)2 (РУ (УУ)4
а4 0 0 0 0
~аъР аз 0 0 0
агР2 -а2ір «2 0 0
~а>Рг аЖ -ах Зр а1 0
1 & о Ъэ -«о*? а06р2 -во 4)8 я0
Суммируя коэффициенты таблицы по столбцам, получим полином
П=£.
/г(-^ + ;'У) = а0у4 + Л~а1 + а04р)у3 +(-а2 +а,3/?-а06/32)у2 +
+у'(а3 -аг2Р + а^р1 -д04/33)у + (д4 -аф + а2рг -аф1 +а0р4). Используя метод математической индукции, получим коэффициенты полинома (2) при
Таблица Л5 в общем виде для полинома степени § может быть представлена следующим образом
/15 =
(уу)° и*)' (ру-1 (М
0 0 0
-а,-Ф 0 0
«*-гР2 -°,-г2Р 0 0
д. 0
а0(~РУ а08(~Р) ао
по столбцам запишется в виде
Г(-0 + ;у) = /а0У* +;*",(Л| -«о*0)у*_ +•••+
+7(в, , -в|_220+...+ао*Н8)*-> + (в,-а,_1Р + а1_2Р2+...+а0{-РУ).
Сравнивая значения коэффициентов полиномов разных степеней, полученных из выражения (2), с коэффициентами полиномов, полученных с помощью выражения (3) Убеждаемся в справедливости соотношений (3-6).
Теорема доказана.
Таким образом, в работе в строгой постановке на основе применения треугольника Часкам предложен простой для реализации на ЭВМ вычислительный алгоритм.
Литература
1. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. М., Наука,
1986.
УДК 519.688+512.643.2
Целигоров Н.А.
Программная р.миз.ц». а.гор»тм. для .ыЮд. критериев абсолютной КПІЧ.МСЛІ многомерных нелинейных импульсных „втомятичесхих ««его.
Получение критериев абсолютной устойчивости нелинейных импульсных
«томатЗкТсигсм (НИАС) с числом кошуро. более трех связано со значительными
аіичсских сисісм ) актуальной является задача получения таких
вычислительными трудностями. Поэтому актуальной вд
критериев на ПЭВМ. Эти критерии можно вывести из неравенства вида [11
я<» =«• Ж/у) +к~1ї < і >
где П*- эрмитов оператор, осуществляющий операцию выделения эрмитовой М*трицы из комплексной.
