CC BY
34
О. И. Картавцев, А. В. Малых
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА УЛЬТРАХОЛОДНЫХ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ ТРЁХ ЧАСТИЦ*
1. Одной из важных причин исследования низкоэнергетических свойств системы трёх частиц является необходимость описания элементарных процессов в ультрахолодных квантовых газах. Быстрый прогресс в изучении различных видов атомных и молекулярных ультрахолодных газов создает возможности для решения ряда принципиальных вопросов квантовых состояний многочастичных систем и особенностей динамики в системе нескольких тел. К таким вопросам можно отнести образование конденсата и явление сверхтекучести в бозонном газе, а также возникновение аналога сверхпроводимости или появление двухатомных бозонных молекул в фермионном газе. В последние годы значительный интерес вызывают многокомпонентные смеси ультрахолодных газов [1-3]. Компонентами могут быть одинаковые атомы, находящиеся в различных состояниях [4, 5], и различные атомы [6-8], образующие смеси частиц с одинаковой статистикой (бозон-бозонные, фермион-фермионные) и с различной статистикой (бозон-фермионной). Современные эксперименты позволяют использовать частицы с различной перестановочной симметрией, варьировать их массы, произвольным образом изменять интенсивность двухчастичного взаимодействия, а также создавать одномерные, двумерные и решёточные системы с помощью внешнего потенциала. Следует отметить, что изучение свойств двумерных или одномерных частиц необходимо также для описания явлений на поверхности и в низкоразмерных наноструктурах.
Динамика трёх частиц с короткодействующими потенциалами в низкоэнергетическом пределе допускает универсальное описание, при этом характеристики системы не зависят от конкретной формы двухчастичного взаимодействия, а являются универсальными константами или универсальными функциями безразмерных параметров. К настоящему времени достигнут значительный прогресс как в понимании общих свойств, так и в определении универсальных характеристик для систем трёх частиц. В данной работе представлены результаты ряда исследований, в которых получены число связанных состояний, энергии связи, характеристики низкоэнергетического рассеяния атома на двухатомной молекуле для различных двухкомпонентных систем трёх частиц, в том числе в пространстве низкой размерности.
2. Рассмотрим систему двух тождественных частиц (бозонов или фермионов) массы т и отличной от них частицы массы т\. Далее для краткости будем называть эти системы, соответственно, бозонной или фермионной. В низкоэнергетическом пределе универсальное описание трёх частиц может быть получено с использованием потенциалов нулевого радиуса [9], что эквивалентно заданию граничных условий при нулевом расстоянии между взаимодействующими частицами [10-13]. В частности, для одномерного движения потенциал нулевого радиуса имеет вид 5-функции. Единственным параметром в граничных условиях является двухчастичная длина рассеяния а, зависимость от которой может быть исключена соответствующим выбором систем единиц. Волновая функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера со свободным гамильтонианом,
* По материалам доклада на юбилейном семинаре «Вычислительная физика» 29—30 октября 2009 г., С.-Петербург.
© О. И. Картавцев, А. В. Малых, 2010
Рис. 1. Число связанных состояний (те) и знак длины (2 + 1)-рассеяния (+ или —) для одномерной бозонной системы с положительной чётностью:
сплошные линии разделяют области с разным числом связанных состояний, а штриховые — с разным знаком длины рассеяния; значения параметров, для которых известно аналитическое решение, помечены окружностями
условию симметрии (антисимметрии) при перестановке бозонов (фермионов) и граничным условиям.
3. В случае одномерного движения энергии связи трёх частиц и характеристики рассеяния частицы на связанной паре, изученные в работе [13], определяются перестановочной симметрией и пространственной чётностью, а также отношением масс m/mi и отношением Xi/|X|, где Xi - интенсивность взаимодействия между тождественными частицами, а X - между различными. Связанные состояния трёх частиц имеют положительную чётность и существуют только при наличии притяжения между различными частицами (X < 0). Критические значения отношений масс, при которых возникают трёхчастичные связанные состояния и при которых длина (2 + 1)-рассеяния обращается в ноль, приведены в [13] для двух предельных случаев Xi = 0 и Xi ^ ж. При отрицательной чётности связанные состояния отсутствуют, а длина (2 + 1)-рассеяния растёт с увеличением m/mi. Полезным свойством является взаимно однозначное соответствие волновых функций бозонной системы при Xi ^ж и фермионной системы, что происходит вследствие одинаковых (нулевых) граничных условий в паре тождественных частиц. Таким образом, энергии и характеристики рассеяния фермионной системы совпадают с соответствующими величинами бозонной системы при Xi ^ж.
Качественное поведение связанных состояний и длин (2 + 1)-рассеяния в зависимости от m/mi и Xi/|X| представлено на рис. 1. Связанные состояния отсутствуют лишь в области малых отношений масс и достаточно сильного отталкивания между тождественными бозонами, причем при m/mi ^ 0 критическое значение, при котором появляется связанное состояние Xi/|X| « 2,66735, получено численно [16, 17], а при Xi ^ ж соответствующее критическое значение m/mi = 1 известно точно из аналитического решения при этих параметрах. Интересно, что для m/mi = 1 при любом Xi/|X| существует ровно одно связанное состояние, а для системы трёх тождественных бозонов (X = Xi, m = mi) известно аналитическое решение, дающее энергию связи ез = 4е2 и бесконечную длину (2 + 1)-рассеяния.
4. При изучении низкоэнергетических свойств трёх частиц в трёхмерном пространстве принципиальной проблемой является переход к пределу нулевого радиуса двухчастичного взаимодействия [18]. Вообще говоря, однозначный предел может не существовать для системы трёх частиц, и необходимо вводить дополнительный параметр, определяющий поведение волновой функции в окрестности точки трёхчастичного столкновения. При этом характерно появление бесконечного числа связанных состояний
І22
(эффект Ефимова или Томаса), что происходит, в частности, для бозонной системы с полным угловым моментом L = 0. Аналогичная ситуация возникает при L ^ 1 (для бозонной системы c L чётным, фермионной системы с L нечётным), если отношение масс превосходит некоторое критическое значение m/mi > H-c(L). В то же время при m/mi ^ Цс(L) универсальное описание становится возможным, что было показано в работах [12, 14, 15], посвящённых определению колебательно-вращательного спектра и характеристик рассеяния. Предполагалось, что взаимодействие между тождественными бозонами так же, как и между фермионами, отсутствует.
Для фермионной системы при низких энергиях наибольшее значение имеют свойства состояний с L = 1. В этом случае критическое значение отношения масс цс (1) = = 13,6069657 [18, 19], а расчёт [12] при меньших m/mi показывает, что существует одно связанное состояние в интервале 8,17260 ^ m/mi < 12,91743 и два связанных состояния в интервале 12,91743 ^ m/mi ^ Цс(1). Энергии связи этих состояний монотонно растут с увеличением отношения масс и стремятся к конечным пределам при m/mi ^ Цс(1), а при уменьшении m/mi связанные состояния достигают порога и превращаются в резонансы. Эти резонансы проявляются в р-волновом рассеянии атома на связанной паре. В этой связи рассматривалось влияние резонанса на процессы, происходящие в смеси ультрахолодных атомов 6Li-40K, для которой m/mi ~ 6,64 [6]. Изотопическая зависимость сечений упругого (2 + 1)-рассеяния и трёхчастичной рекомбинации имеет характерную структуру с двумя максимумами на интервале 0 ^ m/mi ^ Цс(1) [12, 20]. Взаимосвязь такого поведения амплитуд рассеяния в зависимости от m/mi c возникновением двух связанных состояний обсуждалась в [12, 15].
Аналогичные результаты получены для L > 1 (фермионные системы с L нечётным и бозонные системы с L чётным при m/mi ^ ^c(L)) [14, 15]. Число связанных состояний при увеличении то/тоi от 0 до \ic(L) растёт от 0 до Nmax(L), а зависимость Nmax(L) с хорошей точностью определяется целой частью выражения 1,1 1) 1/2-
Колебательно-вращательный спектр энергии с хорошей точностью аппроксимируется универсальной зависимостью от двух переменных = (N — 1/2)/\JL(L + 1) и г| =
= •у/m/m\L{L + 1), где N нумерует состояния с определённым L.
5. В двумерном случае универсальные свойства трёх частиц можно получить при любых m/mi, переходя к пределу нулевого радиуса взаимодействия. Как и в трёхмерном случае, связанные состояния существуют для фермионных систем с L нечётным и для бозонных систем с L чётным. Изотопическая зависимость колебательновращательного спектра двухкомпонентной системы трёх частиц, аналогичная рассмотренной в трёхмерном случае, получена решением интегральных уравнений в импульсном пространстве [21, 22].
Для сравнения приведём характеристики системы трёх тождественных двумерных бозонов, а именно, энергии связи двух состояний ез = 16,5226874е2 и ез = = 1,27040911е2 [11, 23], где е2 - энергия связи двух частиц. Длина рассеяния частицы на связанной паре A связана с двухчастичной длиной рассеяния а выражением ln(A/a) = 0,8451 [11].
6. В общем случае при изучении ультрахолодных газов рассматриваются либо свойства однородной системы с определённой плотностью, либо неоднородной системы в ловушке. В этой связи необходимо получить информацию о поведении трёх частиц в ограниченном объёме. В типичном случае движение частиц ограничивается наложением внешнего потенциала, который можно считать гармоническим, предполагая для простоты, что частота колебаний ю одинакова для всех частиц. В отличие от свободной системы трёх частиц описание ограниченной системы будет зависеть от дополнительного
Диаграмма, описывающая значения полного углового момента для фер-мионной системы в гармоническом потенциале:
приведена последовательность значений полного углового момента для основного, первого возбуждённого и второго возбуждённого состояний в стандартных спектроскопических обозначениях
параметра, в качестве которого можно выбрать отношение характерного размера колебаний во внешнем поле aosc = ^/h{m + m\)/mm\ix> к длине рассеяния а.
Важным примером является фермионная система в гармоническом потенциале, для которой рассчитана зависимость энергий нижних состояний от параметров m/mi и aosc/а. Существенным результатом расчёта, представленным на рис. 2, является определение полного углового момента L для последовательности нижних состояний как функции от m/m\ и aosc/а. Скачок полного углового момента L основного состояния при изменении параметров аналогичен возникновению связанного р-волнового состояния для трёх частиц в неограниченном пространстве. Заметим, что скачок в свойствах основного состояния при изменении плотности проявляется при описании примеси в фермионном газе [4, 5], а система трёх частиц может рассматриваться как простой пример, поясняющий такое поведение.
7. Результаты [13, 14, 21, 22] позволяют сравнить низкоэнергетические свойства одномерных, двумерных и трёхмерных систем трёх частиц. В частности, для фермион-ной системы важное значение имеет отношение масс, при котором появляется первое связанное состояние трёх частиц, а именно, m/mi=1 в одномерном, 3,33 в двумерном и 8,17260 в трёхмерном случае. Далее, в системе трёх частиц с невзаимодействующими бозонами возбуждённое состояние появляется при m/mi =2,869539 в одномерном и 1,77 в двумерном случае, а в трёхмерном случае имеет место эффект Ефимова. Ещё одним важным примером является условие ез < 2е2, при выполнении которого обеспечивается стабильность ультрахолодного газа двухатомных молекул по отношению к образованию трёхатомных молекул. Для фермионной системы условие ез = 2е2 выполняется при m/mi = 49,8335 в одномерном, 18,3 в двумерном и 12,69471 в трёхмерном случае.
Рассчитанные универсальные характеристики двухкомпонентных систем трёх частиц могут быть использованы для описания двухатомных и трёхатомных молекул в ультрахолодных газах, оценки скоростей образования таких молекул и определения зависимости полной энергии системы от параметров взаимодействий. Полученные изотопические зависимости позволяют определить свойства двухкомпонентных систем в широком интервале значений масс частиц.
Литература
1. Shin Y., Zwierlein M. W., Schunck C. H. et al. Observation of phase separation in a strongly interacting imbalanced Fermi gas // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. 030401.
Рис. 2.
2. Ospelkaus C., Ospelkaus S., Sengstock K. et al. Interaction-driven dynamics of 40K-87Rb fermion-boson gas mixtures in the large-particle-number limit // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. 020401.
3. Iskin M., R. Sa de Melo C. A. Two-species fermion mixtures with population imbalance // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. 100404.
4. Chevy F. Universal phase diagram of a strongly interacting Fermi gas with unbalanced spin populations // Phys. Rev. (A). 2006. Vol. 74. 063628.
5. Punk M., Dumitrescu P. T., Zwerger W. Polaron-to-molecule transition in a strongly imbalanced Fermi gas // Phys. Rev. (A). 2009. Vol. 80. 053605.
6. Levinsen J., Tiecke T. G., Walraven J. T. M. et al. Atom-dimer scattering and long-lived
trimers in fermionic mixtures // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 103. 153202.
7. Huckans J. H., Williams J. R., Hazlett E. L. et al. Three-body recombination in a three-state Fermi gas with widely tunable interactions // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. 165302.
8. Wenz A. N., Lompe T., Ottenstein T. B. et al. Universal trimer in a three-component Fermi gas // Phys. Rev. (A). 2009. Vol. 80. 040702.
9. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л., 1975.
10. Wodkiewicz K. Fermi pseudopotential in arbitrary dimensions // Phys. Rev. (A). 1991. Vol. 43. P. 68.
11. Kartavtsev O. I., Malykh A. V. Universal low-energy properties of three two-dimensional
bosons // Phys. Rev. (A). 2006. Vol. 74. 042506.
12. Kartavtsev O. I., Malykh A. V. Low-energy three-body dynamics in binary quantum gases // J. Phys. (B). 2007. Vol. 40. P. 1429.
13. Kartavtsev O. I., Malykh A. V., Sofianos S. A. Bound states and scattering lengths of three two-component particles with zero-range interactions under one-dimensional confinement // ЖЭТФ. 2009. Т. 135. С. 419.
14. Kartavtsev O. I., Malykh A. V. Universal description of the rotational-vibrational spectrum of three particles with zero-range interactions // Письма ЖЭТФ. 2007. Т. 86. С. 713-717.
15. Kartavtsev O. I., Malykh A. V. Universal three-body dynamics in binary mixtures of ultracold atoms // Few-Body Syst. 2008. Vol. 44. P. 229-232.
16. Rosenthal C. M. Solution of the delta function model for heliumlike ions // J. Chem. Phys. 1971. Vol. 55. P. 2474.
17. Cornean H. D., Duclos P., Ricaud B. On critical stability of three quantum charges interacting through delta potentials // Few-Body Syst. 2006. Vol. 38. P. 125.
18. Efimov V. Energy levels of three resonantly interacting particles // Nucl. Phys. (A). 1973. Vol. 210. P. 157.
19. Шерматов М. Х. О точечном взаимодействии двух фермионов и одной частицы иной природы // ТМФ. 2003. Т. 136. С. 257.
20. Petrov D. S. Three-body problem in Fermi gases with short-range interparticle interaction // Phys. Rev. (A). 2003. Vol. 67. 010703(R).
21. Pricoupenko L., Pedri P. Universal three-body bound states in planar atomic wave guides // arXiv:0812.3718.
22. Pricoupenko L. Частное сообщение.
23. Hammer H.-W., Son D. T. Universal properties of two-dimensional boson droplets // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. 250408.
Статья поступила в редакцию 19 марта 2009 г.
