CC BY
13
Ад. UNIVERSUM:
№1(118)_& ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ_январь. 2024 г.
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
DOI - 10.32743/UniTech.2024.118.1.16645
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И УНИВЕРСАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ
Груздов Андрей Викторович
гл. инженер ООО «РусПромХолод», РФ, Республика Башкортостан, с. Иглино E-mail: andrj169@gmail.com
Березин Сергей Викторович
начальник отдела сбыта ООО ТД Иглинские весы, РФ, Республика Башкортостан, с. Иглино E-mail: bkcru@bk.ru
Березин Алексей Владимирович
ИП Березин А.В., кадастровый инженер, РФ, Республика Башкортостан, с. Иглино E-mail: berezin02 78@yandex. ru
Березин Павел Владимирович
инженер связи АО «Уфанет», РФ, Республика Башкортостан, с. Иглино E-mail: _pavel.bash@mail. ru
UNIVERSAL FUNCTION AND UNIVERSAL METHODS FOR ELIMINATING UNKNOWN
Andrey Gruzdov
Chief Engineer of RusPromHolod LLC, Russia, r. Bashkortostan, p. Iglino
Sergey Berezin
Head of Sales Department, LLC TD Iglinskie Scales, Russia, r. Bashkortostan, p. Iglino
Alexey Berezin
IP Berezin A.V., cadastral engineer, Russia, r. Bashkortostan, p. Iglino
Pavel Berezin
Communication engineer at Ufanet JSC, Russia, r. Bashkortostan, p. Iglino
АННОТАЦИЯ
Найден абсолютный ультрарадикал, с его помощью аналитически определяются все корни трёхчленного алгебраического уравнения. Открыт закон расположения корней алгебраических уравнений кистями. Открыта операция слияние функций. С её помощью аналитически определяются корни многочленов с любым количеством членов. Открыта универсальная функция. Найдена ультрафункция Ламберта, с её помощью определяются корни многочленов второго рода. Разработаны новые методы исключения неизвестных в системах уравнений.
ABSTRACT
An absolute ultraradical is found, with its help all roots of a three-term algebraic equation are determined analytically. The law of the location of roots of algebraic equations with brushes was discovered. The function merge operation is open. With its help, the roots of polynomials with any number of terms are analytically determined. A universal function has been opened. The Lambert ultrafunction is found, with its help the roots of polynomials of the second kind are determined. New methods have been developed for eliminating unknowns in systems of equations.
Библиографическое описание: УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И УНИВЕРСАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. Березин С.В. [и др.]. 2024. 1(118). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/16645
Ключевые слова: ультрарадикал; расширенная функция Ламберта; операция слияние функций; универсальная функция; закон расположения корней алгебраических уравнений кистями; системы уравнений; ветви корней.
Keywords: ultraradical; extended Lambert function; function merging operation; universal function; the law of arrangement of roots of algebraic equations with brushes; systems of equations; root branches.
Универсальная функция
В 2023 году была найдена функция т £5т, ^Дх) -сборная Тейлора и Маклорена. Она имеет один рабочий и три базовых параметра (три параметра основания). Эта сборная имеет множество интересных свойств.
Если ни один базовый параметр не равен нулю, эта функция является ультрарадикалом. С его помощью аналитически определяются все корни многочлена первого рода - алгебраического уравнения с любыми степенями, в том числе дробными, отрицательными и комплексными.
Если обнулить только левый базовый параметр m, сборная работает как ультрафункция Ламберта.
С её помощью определяются корни многочлена второго рода.
Если обнулять другие параметры основания, сборная превращается в другие функции или в степенные операции.
В этом же году была найдена операция слияние функций. С помощью этой операции можно обрабатывать любое количество членов уравнения одновременно.
Степенной ряд сборной очень простой. Именно благодаря такому принципу, превращение сборной в другие функции и операции происходит при обычном обнулении одного или двух базовых параметров.
= t + x +
(—ш + t + 2s)x2 (—ш + t + 3s)(-2m + t + 3s)x3
+
2 3!
(—ш + t + 45)(—2ш + t + 45)(—3ш + t + 4s)x4
4!
(—ш + t + 55)(—2ш + t + 55)(—3ш + t + 5s)(—4ш + t + 5s)x5 + 5! +
(ш tSm,i,s(x)) = шСХт^^ С X шtsm,0,s(x) = ШtSm0£(cx)
000 шtSo,o,o(x) = x
100 x2 x3 x4 x5 ln(1 + x) = Щ^^оМ = x—y + y — y + y+ —
101 x2 x3 x4 x5 — ln(1 — x) = ш^^одО;) = x + y + y + y + y+ —
201 x3 3x5 3 X 5x7 arshx = ш£52 0 ,(x) = x — -—- + ---—- — -----—- + — 2,o,1w 2x3 2x4x5 2x4x6x7
001 2x2 32x3 43x4 54x5 Iam(x) = шС5(о,о,1)( x) = x + + —
010 x2 x3 x4 x5 ex = шtSo,l,o(x) = 1+ x + y + ^T + li7 + ^7+ —
m10 (1 + x)1/m = шtSm,l,o(x/ш) x (1— ш)(-)2 (1 — ш)(1 — 2ш)(-)3 (1 — ш)(1 — 2ш)(1 — 3ш)(-)4 _ I vm/ I vm/ I vm/ . = ш 2 3! 4!
m1s brnm,s(x) = ;mtSm,i,s(x/;rn) _ x (1—ш + 25)(^)2 (1 —ш+35)(1 — 2ш + 35)(^)3 ш 2 3! (1 — ш + 4s)(1 — 2ш + 4s)(1 — 3ш + 4s) (-) I Vm/ | 4!
01s (1 + 2s)x2 (1 + 3s)2x3 (1 + 4s)3x4 гшЬs(x) = шtSo,l,s(x) = 1+x+ + + + —
1ат(х) - это обычная функция Ламберта. 1тЬ5 (х) - это ультрафункция Ламберта. С её помощью определяются корни многочлена второго рода.
г0х5° + г1хБ1 + —+ 2пхБп + Хпх — Хпу = 0
Например,
у = хег1х!!1+г2Х!!2
х = у 1тЬ^(—г1у51)@1тЬ^(—г2у52) = У 1™К,52(-21У51, -г2У52)
Операция слияние функций
Операция слияние выполняется раньше операции умножение и одновременно над всеми функциями, между которыми находится знак слияния @. Сборная функция, как и все её составляющие, содержит бесконечное количество членов. Каждый член
Xй
состоит из двух множителей - рабочего — и базисного П-1(—та + С + Ьб).
к Н~1
— та + £ + Ьэ), к — номер члена
В астрономии, ядерной физике, статистике, часто приходится иметь дело с такими уравнениями, в которых одна неизвестная находится и под степенью, и под логарифмом. Свойство логарифмов позволяет заменять их суммы на произведение под одним логарифмом. В результате некоторых преобразований такие, на первый взгляд, сложнейшие уравнения можно приводить к простому многочлену второго рода. Но чтобы получать его корни аналитически, уже нужна операция слияние функций.
11-1
(х) = £ + ^ (ша + С + к5)
11=1
Если Ь = 1, нумерация начинается от нуля. В процессе слияния нескольких функций ^т^Х^^т,^^ = проис-
ходит слияние каждого члена ряда одной функции, с каждым членом рядов каждой другой функции.
Ь.л-1
уИ1=0
И2-1
I(Ьг П(—ша+'+Ь151)))@(!(Ьг П(—ша+'+ь2^2)
к2 = 0
Операция функциональное слияние в целом выполняется так же, как и операция умножения, но с одним отличием. Вместо того чтобы умножить эти два базисных множителя
Ь.л-1
И2-1
П (—та + £ + Ь.^1) х П (—та + £ + к2Б2)
надо сделать замену этого х^ @, тогда получится
кт+к2-1
п
(—та + Ь + к1Б1 + Ь2б2)
Затем этот слитный базисный множитель просто умножается на рабочие множители этих членов. Можно делать компактную запись операции слияния
ш^5т,Ь,51х1@ш^5т.,Ь,52х2 = ш^5т,Ь,51,52(х1,х2)
1тЬ51Х1@1тЬ52Х2 = 1тЬ51,2(х1,Х2)
Эта операция слияния использует общий левый базовый параметр m, и разные правые параметры основания s. В универсальной функции каждый базовый параметр обладает своим уникальным свойством. Возможно, существуют процессы, в которых слияние происходит, наоборот, по левому параметру, с общим правым. В таком случае нужно будет различать левое и правое слияние. Пока известны только такие методы
решения задач, в которых используется данный вид слияния - правый.
Ультрафункция Ламберта была открыта менее года назад, и пока неизвестно, как определять её значения за пределами радиуса сходимости. Ультрарадикал Ьгп был открыт в 2018 году, и на сегодняшний день изучен гораздо лучше. Он является полным видом сборной. Так как не один её базовый параметр в этом случае не обнулён. Именно благодаря ультрарадикалу и была открыта сборная функция, а при изучении её состава была открыта ультрафункция Ламберта. На примере ультрарадикала видно, что происходит с корнями многочлена первого рода за пределами радиуса сходимости, и как его использовать в таких случаях.
Для начала рассмотрим трёхчлен
Рх? + вх9 + Нхк = 0 \П > \3\ > Ь
Как показал ученик и помощник Ньютона Абрахам де Муавр, корни двучлена лучше рассматривать на комплексной плоскости, где координаты - это отдельно взятые мнимая и вещественная части корня.
Мы будем рассматривать корни на такой плоскости вне зависимости от количества членов. Но сами члены приходится делить на два вида - активные и дискриминированные. Корни одной ветки могут лежать на одной общей или нескольких других кистях. Каждая кисть принадлежит своему радикалу,
а=1
00
а=1
о
о
а=1
а=1
а=1
а=1
а = 1
который формируется из пары подряд идущих не дискриминированных (активных) членов.
Крайние члены всегда активны. Чтобы определить дискриминацию среднего члена, нужно сравнить две величины D - диаметрант и T - степенант.
0 =
т =
|0 -й^-^ х |/-^||/-я1 |/-й||/-й|
Если 0 > Т, средний член активен. Если 0 < Т, средний член дискриминирован. Теперь берём только активные члены. Между каждой парой активных подряд идущих членов располагается своя кисть корней.
Например
х7 + 2х3 + 8 = 0 0 > Т у7 + 8 = 0
Здесь средний член дискриминирован, значит, существует только одна пара подряд идущих членов. Соответственно, все корни здесь лежат на одной кисти, которую формирует радикал седьмой
¿п(-8)
степени у = е 7 . Чтобы найти смещение корня исходного трёхчлена, от каждого корня этого радикала используется ультрарадикал. Его параметры учитывают коэффициент и степень третьего члена, который в данном случае был дискриминирован для отбора двучленов. То есть полная формула корней содержит коэффициенты и степени всех членов, независимо от дискриминации. Дискриминация нужна только для того, чтобы узнать, на каких кистях располагаются корни. Такой член, который не участвовал в двучлене радикальной кисти, но участвует в ультрарадикале, назовём наводчиком. От него зависит смещение корня трёхчлена от корня двучлена. В данном примере его коэффициент = 2, степень = 3.
£ = 7-0,М = 3-0,Д =
-2
Какой бы корень двучлена v мы не взяли, всегда получим соответствующий корень исходного трёхчлена по одной и той же формуле
х = у х Ьгпв ^(Д)
Рисунок 1. Все корни на одной кисти
В следующем примере все члены активны.
х7 + 9х3 + 5 = 0
Здесь уже две пары подряд идущих членов. В сумме их радикалы дают столько же корней. Но разные корни трёхчлена нужно определять от двух разных радикалов, так как эти корни принадлежат двум разным кистям.
у7 + 9у3 = 0 и 9у3 + 5 = 0
7-3
у
Рисунок 2. Корни на двух кистях
Таблица 1.
Формирование параметров ультрарадикала из коэффициентов и степеней членов алгебраического трёхчленного уравнения
B=f-h
v = е в
N = g-h
R =
-G
pvB-h
Blue
D>T
B = f-g
v = e в
N = h-g
R =
H
fvB-
Red
B = g-h
v = e в
N = f-h
R =
F
D <T
GvB-
Navy
х = V х Ьгпв^(Я~)
Точно также определяются корни уравнения, когда членов 4 и более, но здесь уже используется операция слияние, так как наводчиков становится более 1. В следующем примере все корни уравнения лежат на одной кисти
х12 + 2х7 + 5х3 + 10 = 0
Рисунок 3. Корни четырёхчлена одной кисти V12 + 10 = 0
1п(-10)
V = е 12 ,В = 12 — 0,^ = 7 — 0= 3 — 0,Я1 -2 —5
= - ,Й9 = -
у12-7 ' 2 р12-3
х = V Ьгпв^2^1^2)
В зависимости от того, какое значение Ln мы выберем, такой корень кисти и получим.
В следующем примере дискриминируется только один член. Между тремя активными членами находятся две кисти корней
х5 + 9х3 + х + 4 = 0 V5 + 9р3 = 0,9Р3 + 4 = 0
Ln(-9)
v5 + 9v3 = 0,v = е в
В = 5- 3,N1 = = 1- 3,N2 =0-3
-4
-1
D = _ D = _
Ln(-4/9)
9v3 + 4 = 0'V = e в
В = 3- 0,N1 = = 5- 0'N2 = 1-0
-1 -1
R1 = 'R2 = :
9VB-Ni '
9vb-N2
x = v brnBjNljN2(Ri,R2)
3 - 2 / _ Л / \.
Г Л
V У
2 \
о _ г о п
о
Рисунок 4. Корни четырёхчлена на двух кистях
У пяти членов для любой радикальной кисти будет оставаться уже три наводчика. Функциональное слияние будет производиться одновременно над тремя ультрарадикалами.
Это правило общее для любого количества членов. Два члена используются радикалом кисти, остальные члены используются ультрарадикалами в качестве наводчиков.
Универсальные методы исключения неизвестных
Чтобы решать системы алгебраических уравнений, можно использовать метод исключения неизвестных с помощью детерминанта матрицы. Но этот метод можно использовать, только если по исключаемой неизвестной, все уравнения системы -алгебраические. Во времена фараонов математики могли решать системы, в которых одно из уравнений
ЫЛ
F
С
Ln\ -
F
Н
Ln
С
можно было выразить квадратным по исключаемой неизвестной. То есть умели избавляться от квадратных радикалов. Этот метод можно применять и в разнородных системах. Авторы разработали аналогичный метод для корня кубического уравнения и уравнения четвёртой степени. Показали, как избавляться от любых радикалов. А также метод, который можно использовать, если исключаемое уравнение степени 5 и выше, когда корень не выражается радикалами,
но коэффициенты его уравнения можно выразить композицией корней по теореме Виета.
Данный метод можно использовать в системах разнородных уравнений. Для упрощения понимания рассмотрим следующую задачу. Нужно определить количество способов разложения одного уравнения на произведение двух других уравнений меньшей степени.
х6 + Ах + В = (х3 + ах2 + (Ь + с)х + й + /) (х3 - ах2 + (Ь - с)х + й - /) Раскроем скобки и перенесём правую часть в ле-
вую
х4(а2 -2Ь) + 2х3(ас- й) + х2(2а/-Ь2 + с2) + х(А - 2Ьй + 2с/) + В - ¿2 + /2 = 0
Приравняем коэффициент каждого члена к нулю, получим систему уравнений
а2
Ь = "2"
а = ас 2а/ - Ь2 + с2 = 0 А - 2Ьй + 2с/ = 0
^ в - а2 + /2 = 0
Избавимся от неизвестной Ь и первого уравнения. Для этого возьмём корень первого уравнения по неизвестной Ь и вставим его в остальные уравнения. Точно также поступим с неизвестной d и вторым уравнением.
2а/--+ с2 = 0
4
А - а3с + 2с/ = 0 В - а2 2 + /2 = 0
По расширенной формуле Виета любой корень кубического уравнения с3 + ус2 + рс + < = 0 определяется одной формулой с = w - ^ + где w - это любой кубический корень w = У С + и, и
__2 3
9 3 27 6 2
В данном случае у = 0, р = —, << = -аА Вставим этот корень в уравнение с4 + 5 с2 + г = 0,
9а4 а8 , . 2
где 5 =--, г = —+ 4а2В
2 ' 16
w4 + w2(4z + 5) + 6г2 + + г2(4г + 5) г4
+ +
■ +--- = 0
w2 w4
избавимся от знаменателей
w8 + w6(4z + 5) + w4(6z2 + + г) + +1^2г2(4г + 5) + г4 = 0
В этой системе осталось 3 уравнения с тремя неизвестными а, с, £ Выразим неизвестную f через
3 2
~ а3 с_
первое уравнение / =---и вставим в остальные.
8 2а
А -
3а3с с3
4
---= 0
а
В
9 а2 2
6
4
8
а
+ 64 + 402 = °
В этой системе удобнее избавиться от неизвестной с. Преобразуем эти уравнения к полиномам от этой неизвестной.
Теперь нужно избавиться от кубических радикалов. Все w в степени кратной 3, освободим от радикала. Останутся w только в степенях 1 и 2.
W3 = С + и
w2(t2 + и2 + 2 Си + 4г3 + яг2) + w(6tz2 + 6иг2 + + 2яиг + г£ + ги) + 4£2г + 4и2г + 8 Сиг + я С2 + яи2 + 2яСи + г4 = 0
Корень полученного квадратного уравнения Xw2 + Уш + 7 = 0 в кубе приравняем к известному выражению
3 а4 с3 +——с 4
аА = 0
9 а
4
а
с2 + — + 4а2В = 0 2 16
Корень одного уравнения является значением этой же переменной в других уравнениях. Можно вставить корень по неизвестной «с» первого кубического уравнения, во второе биквадратное, и наоборот.
( ) = С + и,т = ±7^2
Раскроем скобки и избавимся от знаменателей -Г3 + т3 + 3У2т - 3Ут2 - 8(С + и)Х3 = 0
4
4
V.
4
V.
Избавимся от квадратных радикалов при т2 . Для этого оставшиеся квадратные радикалы т перенесём в правую часть уравнения
4У3 - + 8(С + и)Х3 = т(4У2 - 4Хг)
возьмём обе части в квадрат и избавимся от ра-
2
дикала при т2
б4х3(-г3 - ж2х3 - жу3 + =
= 0, № = С + и
Избавимся от общего множителя и вернём выражения
Х=С2+и2+2Си + 4г3 + яг2 У = б£г2 + 6иг2 + 25£г + 2$иг + г£ + ги 7 = 4£:2г + 4и2г + 8 Сиг + яС2 + 5и2 + 25Си + г4
Затем избавимся от квадратного радикала и = Ус2 - г3 и общего множителя г3*4. Получим квадрат уравнения
(<<4 + р2<25 + р4Г + 4р<2Г - 2р<252 - 3<72Г5 - 2р3Г5 + 2р2Г2 + <253 + р2Г52 - 2рг25 + г3)2 = 0
3 а4
Вернём исходные выражения р = < = -аА
9 а4 а8 2
и 5 =--, г = —+ 4а2В
2 16
Получим результат - одно уравнение с одной неизвестной
а20 + 66Ва14 - 123А2а10 + 129В2а8 + 66А2Ва4 + 64В3а2 + А4 = 0
Можно было вставить корень биквадратного уравнения от «с» в кубическое и избавиться от квадратных радикалов - результат получился бы таким же. Можно было использовать теорему Виета.
3 а4
с3 +-с - аА = 0
4
9 а4 а8
с4--с2 + — + 4а2В = 0
2 16
В первом уравнении три корня 0, 1, 2, как минимум один из них является корнем второго уравнения. Значит, следующее произведение равно нулю
9 а4 а8 9 а4 а8 9 а4 а8
сп4---—сп2 + — + 4а2В )( с/ - — с-,2 + — + 4а2В )( с74 - — с72 + — + 4а2В I = 0
0 2 "0 Г 2 -1 Г2 2 16
После раскрытия скобок заменяем композиции корней на коэффициенты первого уравнения.
3 а4
С° + С1 + С2 = 0, С°С1 + С°С2 + С1С2 = , С0С1С2 = аА
После чего получим такой же результат
а20 + 66 В а14 - 123 А2 а10 + 129 В2 а8 + 66 А2 В а4 + 64 В3 а2 + А4 = 0
Эти методы можно применять в системах раз-
нородных уравнений, когда детерминант матрицы
использовать невозможно.
Если брать корень уравнения четвёртой степени в радикалах, лучше пользоваться следующей последовательностью замен.
ах4 + Ъх3 + сх2 + йх + / = 0 Ъ
х = г + т--
4а
Р V т2=— — — ~ — Р 4г 2
2 V z
r2 = w---1—
6 w
w
3 _
t + u
u2 = t2
z
V2 Q
z =-+ —
144 12
t =
V
3
QV P2 --+-
1728 48 128
2
V =
b3
3b2 с
-—T + -
8a2 a
bc d
P = + -
8a3 2a2 a
Q =
3b4 b2c ■ + ■
bd f , --+ -
256a4 16a3 4a2 a
Перед каждой заменой следует проверять уравнения на возможность сокращения общего множителя. В конце преобразований может получиться результат в шестой степени. То есть это будет очень громоздкий результат, который ещё нужно привести к первой степени.
Заключение
В процессе поисков новых функций, был открыт абсолютный ультрарадикал и метод решения любого трёхчлена. Изучение ульрарадикала привело к открытию операции слияние функций и универсальной функции.
Универсальная функция в отличие от гипергеометрической превращается в другие функции и операции простым обнулением базовых параметров. Имеет более простую схему операции слияния. Так как обозначение составляющих производится логическим обнулением базовых параметров, несложно было догадаться, что существует функция, о которой мы до сих пор не знаем. Так, при изучении её состава была найдена ультрафункция Ламберта. Сама сборная была найдена при изучении ультрарадикала.
Универсальный метод исключения неизвестных использует корни исключаемой неизвестной в исключаемом уравнении. Можно использовать корни, выраженные в радикалах и композиции корней, по теореме Виета. Возможно, для исключения неизвестной в будущем удастся использовать корни, выраженные ультрарадикалом и ультрафункцией Ламберта.
Список литературы:
1. E.M. Wright. Solution of the equation zez = a. Proc. Roy. Soc. Edinburg Ser. A, 65:193-203, 1959.
2. Klein F. (1888). Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. Translated by Mor-rice, George Gavin. Trubner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
3. Электронный ресурс https://sibac.info/conf/technology/60/307058
