21Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 5 (49) 2012
-- МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ =
УДК 518.5
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГРАНИЦ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Х.Х. КАЛАЖОКОВ1, А.Х. КАЛАЖОКОВ2
ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН 360000, КБР, г. Нальчик, ул. И. Арманд, 37-а E-mail: iipru@rambler.ru
2
ФГБОУ ВПО Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова 360004, КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: bsk@kbsu.ru
Предложены различные приемы вычисления границ корней произвольных алгебраических уравнений на основе использования некоторых вспомогательных (характеристических) алгебраических полиномов простой конструкции и построены некоторые классы вспомогательных уравнений, имеющих единственный положительный корень, отличный от единицы. Приведены примеры применения границ корней вспомогательных уравнений для вычисления границ корней произвольных алгебраических уравнений.
Ключевые слова: границы корней, алгебраические уравнения, характеристические полиномы, комплексная плоскость.
1. Введение
Решение алгебраических уравнений является одной из тех задач, которые наиболее часто встречаются в прикладных исследованиях. Самые различные проблемы механики, физики и техники сводятся к вопросу вычисления корней полиномов достаточно высоких степеней. Однако, согласно теореме Руффини-Абеля [1], алгебраические уравнения степени выше четвертой в общем случае неразрешимы в радикалах. В связи с этим возникает задача приближенного решения заданного уравнения с любой, наперед заданной точностью. Решение этой задачи распадается на следующие два этапа:
1. Отделение корня - выделение отрезка, принадлежащего области определения полинома f (x) , на котором расположен один и только один корень рассматриваемого уравнения f (x ) = 0. Границы этого отрезка можно рассматривать как первое приближение
искомого значения корня.
2. Построение процесса, позволяющего как угодно сузить границы выделенного отрезка, т.е. позволяющего найти приближенное значение корня уравнения с любой заданной точностью.
С вопросом отделения уравнения связаны многочисленные исследования, имевшие целью научиться делать те или иные высказывания о корнях многочлена с числовыми коэффициентами, не зная этих корней. Для полиномов с действительными коэффициентами разрабатывались методы определения числа их действительных корней, разыскивались границы, между которыми эти корни могут находиться [1-5].
Улучшение некоторых классических приемов вычисления границ действительных корней многочленов [2, 3] дается в работах [6, 10-14, 18].
Изучался также вопрос о расположении корней на комплексной плоскости. Получены условия, при которых все корни лежат внутри единичного круга, т.е. по модулю меньше
единицы, или условия того, что все корни лежат в левой полуплоскости, т.е. имеют отрицательные действительные части [1-3]. В последние годы выполнено несколько работ по теории распределения корней алгебраических полиномов [7-10], обзор которых содержится в [11]. В настоящем исследовании, которое является дальнейшим развитием и обобщением работ [7-10], рассматривается несколько приемов вычисления границ корней алгебраических уравнений.
2. Общая постановка задачи
Пусть Рп (г) = £ акгп к — произвольный алгебраический полином степени п > 2 с ком-
к=0
плексными коэффициентами ак, у которого а0 Ф 0 и ап Ф 0 . Пусть далее имеем полином
п
ап (г) = £ Ъкгп~к , который назовем вспомогательным (характеристическим) для алгебраи-
к=0
ческих полиномов Рп (г), имеющий единственный простой положительный корень, отличный от единицы.
Относительно полиномов Рп (г) и Qn (г) ставится следующая задача: найти границы корней алгебраического полинома Рп (г) , используя единственный положительный корень вспомогательного полинома Qn (2).
3. Вычисление границ корней алгебраических полиномов методом Зморовича Пусть
Р (г) = £ акгк (а Ф 0, ап Ф 0)
(3.1)
к=0
- произвольный алгебраический полином степени п > 2 с вещественными или комплексными коэффициентами ак , обозначим
Я = тах
ак п-к
ап
Я0 = тах
а
а
Теорема Зморовича. Корни полинома (3.1) лежат в круговом кольце [10]:
X < | г £ Я,
(3.2)
К 1 1 X'
где X - единственный отличный от единицы положительный корень вспомогательного
уравнения хп+1 - 2 х +1 = 0.
Границы, устанавливаемые неравенствами (3.2), достигаются: нижняя - многочленом
п—1
п-к
£ (Я0 г) — 1, верхняя - многочленом гп — £ Якгп 1 .
к=0
к=1
Заметим, что в качестве вспомогательного (характеристического) полинома В. А. Змо-рович использует
п . „п—1 . „п— 2
Qn (х) = хп + хп—1 + хп—2 +... + х — 1 .
(3.3)
к=п—1
к=п
к=0
к=0
Таким образом, метод В. А. Зморовича для определения границ корней алгебраических полиномов требует знания достаточно узких границ положительного корня X отличного от единицы многочлена (3.9).
Из (3.9) после некоторых преобразований получим
хп+1 - 2 х +1 = 0. (3.4)
В.А.Зморович для корня X уравнения (3.10) указывает следующие границы:
1 — X - — (3 5)
2 + 2"+2 < 2 + 2"+1 . ( . )
Указанные границы сужены вдвое Г.Н. Ниловым [12].
В заметке [13] для корня уравнения [3, 4] указываются следующие границы:
1 1 1 1 1 1 1
- + — + — + — + %<- + — для п = 2 2 24 25 2 2 2 2
1111.111
- + Т + Т +—Г < X < —+—г + т для п = 3 2 25 27 28 2 25 26
1 1 1 1 1 1
- + — + <%<— + — + — для п = 4 2 26 29 2 26 28
1 1 1 1 1
- + —-<с<— + —- +—- для п > 5, 2 2П 2 2п 2П
которые в восемь раз уже границ [12]. Используя различные приближения корня X, можно получать некоторые известные оценки [7-9] для корней полинома (2.1) как частные случаи результата В. А. Зморовича [11].
Возникает вопрос об улучшении метода В.А. Зморовича. Для этого естественно использовать в качестве вспомогательного полином, отражающий специфические особенности исходного многочлена (2.1). Это можно сделать в какой-то степени с помощью следующих теорем.
4. Некоторые теоремы о границах корней алгебраических полиномов Пусть имеем п положительных чисел Р1 > 0,Р2 > 0,...,Рп>0 > 0 . Составим вспомогательный полином вида
а (г)=гп+ргп-1 + р2гп-2+...+Рп-1 г -рп. (4.1)
Лемма 1. Полином (4.1) имеет единственный положительный корень. Доказательство: Для доказательства этой леммы рассмотрим функцию
¥ (г) = гп + р гп-1 + Р2 гп-2 +... + Рп-1 г.
Очевидно, что функция ¥ (г) монотонно возрастает от 0 до +¥, когда г монотонно возрастает вдоль положительной оси от 0 до +¥ (ибо Р > 0 ). Следовательно, рассматриваемая функция ¥ (г) принимает значение Рп в одной и только одной точке X. Число X и
будет единственным положительным корнем полинома.
Замечание. Лемму можно было доказать непосредственно, применяя теорему Декарта (частный случай теоремы Бюдана-Фурье). Таким образом, имеем, что
X+ррхп—1 + РХп—:2+...+Рп—X = Рп,
где X — единственный положительный корень полинома
I \п т-х I Iп 1 т-» I Iп—2 Т-» I I Т-» I I г
+ Р1" + Р2 +... + Рп_ 1 = Рп при >£.
Теорема 1. Обобщение теоремы В. А. Зморовича. Пусть имеем полином
(4.2)
(4.3)
Рг)= £
акг
п—к
(4.4)
к=0
с вещественными или комплексными коэффициентами, у которого а0 Ф 0 и |ап| Ф 0 . Тогда все корни этого полинома лежат в кольце
Х< | .-I < А,
в 11 X'
где X - единственный положительный корень уравнения полинома (4.1).
А = тах
^ Р\а\ Л 1 п\ Ы1\
V Рп—1 |а0|)
1
Р
а
Рп—2 ЫЛ
Р
а
Рп—3 |а0| V
Р
а
а
В = тах
^ Р\а ^
1 п\ип—1
V Рп—1 1а0|)
1
Р
а
п—2
Рп—2 \ап\\
а
Р
а„
Границы, устанавливаемые неравенствами (4.5), точные и достигаются: нижняя — многочленом (Вг)п + Р1 (Вг)п— +... + Рп_ 1 (Вг)— Рп, верхняя — многочленом АРп—1гп~1 + Рп—2А2гп~2 +... + Ап — Рпгп. Доказательство. Пусть г0 — любой корень полинома (4.4), т.е.
а0 -0п + а1г0п—1 + ... + ап—1 г0 + ап =
Следовательно,
Ы\г0\п < \аЛ\г0 Г-1 + ... + \ап—Л\+ 1ап
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
а, 1 \ап
1 < м м+... + '
\а0\ Г0
1 \а„\ 1
\п I I 1п—1 " п I |п
|а0| г0 а0 \гп
0 Р0
Р \а\ Р Р а Р
1 < п\ Рп—1 + п | и2| Рп—2 + + ' п|--п
Р, а I 1
Рп—1 Ы Рп—2 Ы РпК|
Из (4.10) имеем, что
а0 Р г '
Р
1 < Рп—1
Р
' А ^
VI г0|)
+ -
Р
п—2
' А ^
Р
VI г0|)
+... + —
Р
п
' А л
VI г0\)
(4.10)
(4.11)
1
Из (4.11) на основании (4.3) имеем, что
A
\zo\. (4.12)
Аналогично имеем неравенство
1 £ ушт+fmг+...+pl(вы). (4.13)
п п п
I I X
Из (4-14) и (4.3) имеем > — . (4.14)
B
X , , л
Из (4.14) и (4.15) имеем, что < < ■
Но, так как z0 - любой корень, то неравенства (4.5) доказаны.
Теперь докажем, что границы, устанавливаемые неравенствами (4.5), точные. Для этого докажем, что нижняя граница является корнем полинома (4.8), а верхняя граница - корнем
X -
полинома (4.9). При z =— из полинома (4.4) получаем X" + Р1Х" 1 +... + Рп-Х - Рп = 0 на ос-
В
X л
новании (4.2). Отсюда z =— является корнем полинома (4.2). Аналогично при z =— из
В X
Р Р Р Р 1
полинома (4.3) получаем X + ^ +... + ^ +1 = ^(X" + Р^-1 +... + Р^-Рп) = 0 на
л
основании (4.2). Следовательно, z =--корень полинома (4.9). Теорема доказана полно-
X
стью.
Пусть Р > 0 г = 1,2,3..., п . Составим вспомогательный полином вида
бп ^) = zп -Pzп-1 -... -Р^ -Рп. (4.15)
Лемма 2. Полином (4.15) имеет единственный положительный корень. Доказательство: Для доказательства этой леммы составим вспомогательную функцию Р Р Р Р
ф( z )= — + —^ + —3 + .. + ~". Функция ф( z) монотонно убывает от ¥ до 0, когда моно-z z z zп
тонно возрастает вдоль положительной оси. Поэтому она принимает значение 1 в одной и только в одной точке 1]. Что требовалось доказать. На основании доказанной леммы имеем, что
1>-+4+4+...+4 при z >]. (4.16)
— z z z z '
Теорема 2. Пусть имеем полином
Р ^ ) = ±а^"-к (4.17)
к=0
с вещественными или комплексными коэффициентами, у которого |ак|ф 0 (к = 0,1,2,...,п), и положительные числа Pi > 0, г = 1,2,3,...п .
Тогда все корни полинома Р (z) лежат в кольце
л<\ г < В
4 л'
где л — единственный положительный корень полинома (4.16).
(4.18)
А = тт
а0 Р1
а
1
а
Р
н
п п
а
Р
л
п
\а„
В = тт
апК1
а.
-Л
а
Р
а.
п—2
п п
а
п) Л
Р
а
0
(4.19)
(4.20)
Эти границы точные и достигаются: нижняя - многочленом
РД г + Р2В!1-2—2 +... + Р —пВ1п
11 2 1 п 1
верхняя - многочленом
( а-)п — Р (А1 г )п—1 + Р2 ( а. )п—2+...+Р.
(4.21)
(4.22)
Доказательство: Пусть —0 - любой корень многочлена Р (г). Тогда имеем
а. + а,-"~1 + а,-Г2 +... + а ,—п + а = 0,
0 0 1 0 2 0 п—1 0 п
0 0 1 0 | а^ | — 01 I | а
1 < г^Д+
\— 0 |п—1 + ... + \ап—М — 0| + \ап\ > 0,
а2 1
а.
■ +... + ]
п—1
а0 I-о| Ы —0
Ы — 0
1 ап 1
—г+^4—
Ы — 0
или
1 < Ы Р + Ы Р2 + + Г-п-
Ы \—0\ ЫР2 к!2
+ + \ап—1\ Рп—1 + |ап| Рп
а0\ I—0 Г 1 Рп I—0 |п
Подставляя
(4.23)
тт
\ 1 а Р\ \и01 1 1 а Р Ы01 2
1 Н 1 а2
а
Р
а„
= А
получим
Р Р
1 <-пЧ+—^ 2
А\—г 1x2
+... + -
Р-
+-
Р
|-0| (А1 |—0|) (А1 |—0| У (А1 |—о| )п
На основании (4.17) имеем, что
ы
(4.24)
(4.25)
Из (3.9) получим
\ап\ < \ап—1\\— 0! + \ап—2\\—о Г + ... + N1—0 Г-1 + Ы |—0 |п
1 <•
—0
11 |п—1 0 1 |п
- I + ... + ^ +
2
п
а
а
0
а
а
а
а
п
п
п
п
или
1 <
ап-1\ п\ I , \ап-2\ п I I2 , , \а1\ п I I""1 ,
Р1 Ы Р2 Ы + ... + 1 I ' Р"-1 Ы +
а
КЩ
№
\а"\Р"-1
\а\Р„
Р г
" о
Л
Подставляя шт
\ап\Р1
а.
,11
ап Р2 ..,п ап Рп
К -2 1 а о 1
: В1, последнее неравенство только усилим:
1 <Р +
Р
В1 г В л
- +...+-
Р
V го у
г В л
V го у
п—1
+
Р
( т> \
В
VI г0| у
Отсюда, применяя неравенство (4.17), получим, что
Ы
Л
Объединяя неравенства (4.25) и (4.26), получим
Л А
(4.26)
Л<| < В
л
Так как го - любой корень рассматриваемого полинома, то неравенства, определяющие границы корня, доказаны. Указанные границы точные и достигаются, указанными в теореме многочленами, что проверяется непосредственной подстановкой, т.е. аналогично предыдущей теореме.
Заметим, что при Р = 1 (г = 1,2,3,..., п) из теоремы 1 получаем теорему В.А. Зморовича.
В качестве примера применения теоремы 2 рассмотрим случай, когда вспомогательный полином имеет вид [14]:
дп (х) = х" - х"-1 - х"-2 -... - х -1. (4.27)
Согласно лемме 2 многочлен Qn (х) имеет точно один положительный корень, который обозначим через /. Так как Qn (1) = -(п-1), Q(2) = 1, то на основании теоремы Коши 1 </ <2.
Из формулы (4.27) следует, что Qn (х) = xQn=1 (х)-1, где Qn-1 (х) = хп-1 - хп-2 - хп-3 -... -х -1. Поэтому Qn (/п-1 ) = -1, где /ил-1 - корень многочлена ^-1 (х). Итак
1 </п-1 </ < 2 (п = 3,4,...). (4.28)
Для дальнейшего исследования воспользуемся неравенством
2п+2 Г 1 лп
-—>|1 + - I (п = 2,3,...). (4.29)
п +1 V п у
Справедливость этого неравенства при п = 2 проверяется непосредственно.
При п > 3 справедливость неравенства (4.29) вытекает из того, что его левая часть > 4, а правая < е < 4 .
Рассмотрим вспомогательную функцию
п
2
п
г
о
Полагая х:
fn (х) = (х -1)Qn (х)= х"+ -2х" +1 = 1 -(2-х)
2" ..
и применяя неравенство (4.29), получаем
х) х".
n +1
fn
2n n +1
1 -
2n+1 Г n Y
n +11 n + 1
1-
2
1
1 + - I < 0.
n +11 n )
Г 2n i 2n
Отсюда следует, что Qn I-I < 0 и, значит,-< цп < 2 lim цп = 2.
( n + 1) n + 1 n®¥
С другой стороны,
(х )=( n+Ч (х - n+i 1
Сравнивая это равенство с неравенством Qn
2n
< 0 , видим, что Qn ( х) не имеют
п +1)
кратных корней. Следовательно, для данного вспомогательного полинома (4.27) согласно теореме 2 получаем следующее утверждение.
т в
Теорема 3. Все корни полинома Рп (—) лежат в круговом кольце —^ < |—| < —, где / —
единственный положительный корень уравнения
х" - х"-1 - х"-2 (
... - х -1 = 0,
A1 = min
B1 = min
an
a
1
ao ao -,..."
a
n J
a
n-1
1
a
a
n-2
*0 )
5. Оценка \—\ с помощью оценки Яе е1—
п
Пусть Рп (—) = £ ак—п~к Ф а0 (— — Д )п — алгебраический полином с вещественными ко-
к=0
эффициентами. Обозначим через Д и Д* соответственно наименьшую и наибольшую из вещественных частей корней рассматриваемого полинома, т.е.
Д < Яе е1— <Д\
где — - любой из корней полинома Рп (—). Тогда имеет место следующая теорема. Теорема 4. Все корни полинома Рп (—) лежат в круговом кольце
|Ъ|# — |с| < — < \Ъ\М + |с|,
где Ъ Ф 0 — произвольное вещественное число.
г\> Д*приb > 0
■ Дпри b < 0 '
n
0
.. ."
М = тах N = тт
ГА. А А*. ^
А1 Ап-1 у
А1 4 ^п
V А0 А1 Ап-1 у
(1 = 0,1,2,...*)
- коэффициенты левой части уравнения ¥п (у) ° Рп (Ьу + с) ° § А.уп 1 = 0.
i=0
Доказательство: При указанных в теореме Ь и с линейное преобразование 2 = Ьу + с переводит полином Рп (г) в полином Гп (у) с коэффициентами одного знака (15). Рассмотрим уравнение
Рп (у) = 0. (5.1)
Не нарушая общности, можем считать, что все коэффициенты левой части уравнения (5.1) положительны. Тогда на основании теоремы Энестрема-Какейя [16] имеем N < |7| < М, но 2 = Ьу + с. Следовательно,
= |Ьу + с| < |Ь||у| + |с| < |Ь|М + |с|
И=Ьу+с > |ь||у| - с > - с.
Из последних двух неравенств получаем искомое неравенство Ь| N -|с| < И < \Ь\М + |с|. Теорема доказана.
Частный случай. При Ь = 1 доказанная выше теорема перепишется в следующем виде.
Все корни полинома Рп (г) лежат в круговом кольце N - |с| < И < М + |с|,
где с > Ь, М = тах
Г А1 А2 Ап ^
• { А1 А2 Ап
, , , , N = тт , , ,
А0 А1 Ап-1 у V А0 А1 А
п-1 у
4 (1 = 0,1,2,...,п) коэффициенты левой части уравнения Рп (у + с) ° § А.уп 1 = 0 .
1=0
Для нахождения коэффициентов А. можно использовать различные вычислительные схемы. Аналогичные оценки корней алгебраических полиномов можно получить, используя вспомогательные полиномы более сложной структуры. Представляет интерес применение изложенного метода нахождения границ корней алгебраических полиномов к тригонометрическим полиномам.
6. Свойства корней некоторых вспомогательных уравнений Рассмотрим некоторые классы вспомогательных (характеристических) полиномов вида
§ ахп-к = Ь, (6.1)
к=0
где а > 0, Ь > 0 - постоянные параметры,
п-1
хп - хк = 0, (а > 0), (6.2)
к=0
]Г (a - kr) xn-k = Ъ, (6.3)
к=0
где а > 0, г > 0, Ь > 0 - постоянные параметры.
Меняя числовые параметры а, Ь, г из (6.1) - (6.3), легко получить различные варианты вспомогательных полиномов. После несложных преобразований из полиномов (6.1) - (6.3) получим следующие вспомогательные алгебраические уравнения:
хп+1 -+ Ь ] х + Ь = 0, (6.4)
V а) а
хп+ + ах = Ь, (6.5)
хп+1 -(1 + а) хп + а = 0, (6.6)
ахп+2 +(г - а) хп+1 -(а + Ь + гп) х2 +
У У У У (6.7)
+ [ а + 2Ь + г (п -1)] х = Ь.
Таким образом, имеем несколько вариантов вспомогательных уравнений, обладающих свойством, что, зная границы единственного отличного от единицы положительного корня любого из уравнений (6.4) - (6.7), можно найти границы корней произвольных алгебраических полиномов. Отметим, что определению границ единственного отличного от единицы положительного корня уравнения (6.4) при а = Ь посвящены работы [12, 13].
Покажем, что методы квазилинеаризации [17] позволяют получить точное аналитическое представление искомого положительного решения вспомогательных уравнений (6.4) - (6.7) с помощью операции взятия максимума на примере уравнения (6.5). Заметим, что имеет место легко проверяемое тождество вида
xn+1 = max | | n
y>0 n>0
|(n +1)xyn -nyn+1 ] . (6.8)
Для х > 0 в выражении (6.8) максимум достигается при у = х. Преобразуем уравнение (6.5) с помощью тождества (6.8).
и
Получим max |(n + r) xyh -nyn+r ] + ax = Ъ .
y>0 n>0
Отсюда [a + (n +1) yn ] x < Ъ + nyn+1. Следовательно,
• Ъ + nyn+1
x = min--——. (6.9)
y>0 a + (n +1) y"
Выражение (6.9) есть точное аналитическое представление искомого решения уравнения (6.5). Заметим, что выражение (6.9) позволяет путем соответствующего выбора у быстро найти верхнюю границу для решения.
Перейдем к исследованию свойств корней вспомогательного уравнения (6.6) [18]:
Qn.a (x)° xn+1 - (1 + a)xn + a = 0.
Последнее уравнение с использованием полинома (6.2) можно переписать в виде
Qn.a (*) = (* - №) = - С1 + a)*n + a = 0, (6.10)
n—1
где 4n,a ( *)= Х" - aE Xk •
k=0
Очевидно, корнями Qna (x) являются все корни многочлена qna (x), а также x = 1. По правилу знаков Декарта, полином qna (x) имеет в точности один положительный корень, и этот корень является простым. Обозначим корень уравнения qna (x) = 0 через Xna • Ограничимся рассмотрением случая, когда a - произвольное вещественное число, удовлетворяющее условию
na > 1. (6.11)
n—1
Так как qna (a) = —Sa', qna (1) = 1 — na, qna (a +1) = 1, справедливы леммы [18]:
k=1
Лемма 1. Уравнение qn a (x) = 0 имеет единственный корень Xna > 0, который является простым и удовлетворяет неравенствам
max[Xa]<Xn,a <a +1
Лемма 2. Корень Xn a возрастает с ростом n, т.е. %n—l a <X„a.
(a + 1Г , / 1 Y
Лемма 3. Если na > 1, то ---—>(n +1) 11 + — I .
a ^ n j
Лемма 4. Все корни уравнения qn a (x) = 0 простые.
n
Лемма 5. Имеет место неравенство -- (a +1) < %па < a +1.
Следовательно, lim Xna = a +1 при любом фиксированном а.
Лемма 6. Имеет место неравенство
еа е 1
a +1--<x < a +1/ _ \n ~n,a
I -i\n ~n,a ! \n '
(а +1) (а +1)
где e — основание натуральных логарифмов.
Таким образом, используя информацию о свойствах корней вспомогательного уравнения (6.6), представленную в виде лемм 1—6, можно вычислить границы корней произвольных алгебраических полиномов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мишина А.П., Проскурякова И.В. Высшая алгебра. М.: Наука, 1965.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959.
3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Гостехиздат, 1949.
4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.,1959. Т. II.
5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., 1960.
6. Нилов Г.Н. Улучшение некоторых приемов вычисления границ действительных корней многочлена. Ученые записки КБГУ, 1957. 16-й вып.
7. Sinqh S.K. On the zeros of a class of polynomials. Pros. Nat. Inst, Sei India, 1953. № 5.
8. Rahman Q.I. on the zeros of a class of polynomials. Proc. Nat. In. St. Sei. India, 1956, A22. № 3.
9. Дан Сунн-ши. О границах модулей корней многочленов // Журн. Синькасюэ, 1955. № 4.
10. Зморович В.А. О границах корней алгебраических многочленов. УМН, 1956. Т. XI. Вып. 5 (71).
11. Зморович В.А. К теории распределения корней алгебраических многочленов // Известия ВУЗ. Математика, 1959. № 4 (11).
12. Нилов Г.Н. О границах одного корня многочлена tn+1 - 2t +1. Ученые записки КБГУ, 1957. Вып. 2-й.
13. Калажоков Х.Х. Исследование границ одного корня многочлена tn+1 - 2t +1. Сборник студенческих работ КБГУ, 1961. Вып. 2.
14. ОстровскийА.М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: Изд-во ИЛ, 1963.
15. Яковкин М.В. Численная теория приводимости многочленов. Изд-во АН СССР, 1959.
16. Полиа Г., Сегет Г. Задачи и теоремы из анализа. 1956. Ч. 1.
17. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.
18. ТраубДж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1985.
SOME WAYS OF CALCULATION OF BORDERS OF ROOTS OF THE ALGEBRAIC EQUATIONS
H.H. KALAZHOKOV1, A.H. KALAZHOKOV2
institute of Computer Science and Problems of Regional Management of KBSC of the Russian Academy of Sciences 360000, KBR, Nalchik, 37-a, I. Armand street E-mail: iipru@rambler.ru
2Kabardin-Balkar State University named after H.M. Berbekov 360004, KBR, Nalchik, 173, Chernyshevsky street E-mail: bsk@kbsu.ru
Various methods of calculation of borders of roots of any algebraic equations on the basis of use of some auxiliary (characteristic) algebraic polynoms of simple construction are offered. Some classes of the auxiliary equations having a unique positive root, distinct from one are constructed. Examples of application of borders of roots of the auxiliary equations for calculation of borders of roots of any algebraic equations are described.
Key words: borders of roots, algebraic equations, characteristic polynoms, complex plane.
Работа поступила 11. 04. 2012 г.
