Унифицированный подход к вопросам аппроксимации дискретно заданных зависимостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскуе чтения. 2013

УДК 519.65

УНИФИЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ВОПРОСАМ АППРОКСИМАЦИИ ДИСКРЕТНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

В. В. Митюков

Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт) Россия, 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8, E-mail: [email protected]

Рассматривается вопрос унификации существующих методов приближения дискретных данных. Предложен единый алгоритм для одномерных дискретных числовых рядов, реализующий дополнительно операции их дифференцирования и интегрирования.

Ключевые слова: базисные функции, интерполяция, метод наименьших квадратов.

UNIFIED APPROACH TO QUESTIONS APPROXIMATIONS OF DISCRETE

SPECIFY RELATIONSHIPS

V. V. Mityukov

Ulyanovsk Higher Civil Aviation School (Institute) 8/8, Mozhaysky str, Ulyanovsk, 432071, Russia. E-mail: [email protected]

Problem of the current discrete data approximation methods generalization are considered. General algorithm enabling such generalizations as numerical series with variable step differentiation and integration is proposed.

Keywords: basis function, interpolation, least square method.

Используемая в задачах математического моделирования информация часто представляется в виде одномерных числовых рядов, записанных с некоторым шагом дискретизации. При этом помимо задачи их гладкого приближения, нередко возникает необходимость вычисления производных и/или интегралов от таких таблично или графически заданных зависимостей.

Представляемый алгоритм гладкого приближения заданных точек (х,- , у,} основывается на линейной модели, составленной из аналитически вычисляемых фрагментов - базисных функций (например, из членов степенного ряда):

У(х) = Co -Фо(х) + C1 • ф](х) +... + Cn -Фп(х) (1)

где C j - искомые коэффициенты (j = 0, 1, ..., n); ф jx) -базисные функции (аналитические и линейно независимые).

Результаты операций дифференцирования и интегрирования линейной модели (1) также остаются линейными относительно коэффициентов C j в виде:

у'(х) = Co -Ф0 (х) + C -сф (х) +... + Cn • фП (х); (2) Y (х-1, х) =

= C0 • j Ф0(х) + C1 • j Фп (х) + .•• + Cn • j Фп (x), (3)

х-1 х-1 х-1

где [х-1, х] - интервал интегрирования.

Следует напомнить, что в вычислительной практике неизвестные коэффициенты Cj в основном определяются из условий интерполяции или из условий аппроксимации [1; 2].

Условия интерполяции, т. е. условия точного выполнения равенств у(х,) = у, в точках х, (/ = 1, 2, ..., т), приводят к системе линейных уравнений с квадратной матрицей плана Р размера т х п+1 (поскольку выше принято, что I и] меняются от 1 и от 0):

^Фо(х) Ф1 (X) ••• ф„(х)^ (Соо'\ Фо(х2) Ф1(х2) Фп (х2) С1 У2

Yn^mJ J V Cn J

(у, A

Уп

\Фо (хт ) Ф1(хт ) Фп (хт ) у

или Р с = у. (4)

При аппроксимации минимизируется сумма квадратов отклонений у(хг) от у, на заданной системе точек х, ( = 1, 2, ..., т) (метод наименьших квадратов [2]). Такой критерий позволяет использовать аналитический подход, что приводит к системе линейных нормальных уравнений с квадратной матрицей размера п+1 х п+1, в развернутом виде принимающей вид

f

Ph p\2

p1 n+1

p11 P12 p21 p22

p21

P22

p2 n+1

pm 1

pm 2

Л

••• pm

p1 n+1

p2 n+1

pm 1 pm 2 pm

f C0 ^ (у 1

C1 = У2

C V^n J ч ym J

где p ij = Ф j+1 (х,).

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Следует добавить, что системы уравнений (4) или (5) допускают включение результатов операций над линейной моделью (1), сохраняющих линейность относительно коэффициентов С) [3]. Например, если имеются известные значения наклонов касательных у' и/или значения интегральных площадей У, на некоторых подынтервалах, то нет препятствий для вставки в матрицу плана Р строк, соответствующих (2) и (3).

После составления системы уравнений вида (4) или (5), поиск ее решения в виде набора коэффициентов Сз- в рассматриваемом алгоритме не производится. Вместо этого, как показано в [3; 4], полученная система уравнений сначала приводится к расширенному однородному виду. Затем обосновывается единый подход к вычислению результатов, вытекающий из условия существования нетривиального решения однородной системы с матрицей Н, т. е. из условия det Н = 0. Полученный результат может быть представлен в виде любой из следующих разновидностей:

- в виде скалярного значения у (в точке х);

- в виде линейной комбинации базисных функций

Ф з (х):

Со -Фо(х) +С -ф1(х) + ... + Сп -фи(х);

- в виде линейной комбинации исходных значений

yi :

w0(x) • У1 + w1( x) • У 2 + ••• + Wn (x) • Ут ; - в наиболее общем развернутом виде: (( x) Ф1( x) ••• Фп ( x) )x

d01 di

02

d

d11 d12

dn1 dn

0 m

du

d„

\

f У1 ^ У2

,ym

(6)

Представленный программный инструмент может применяться для автоматизации исследований, связанных с обработкой дискретных данных, без ограничений на расположение узлов, на выбор базисных функций и на способ приближения (интерполяция или метод наименьших квадратов). Областью применения также могут служить задачи разработки или усовершенствования методов построения приближенных решений уравнений (функциональных, дифференциальных, интегральных).

Можно продолжить распространять данный подход на двумерные и многомерные зависимости, с целью вычисления их приближенных значений или

градиента от скалярной зависимости (если зависимая переменная одна), или же матрицы Якоби от векторной зависимости (зависимых переменных больше одной), а также многомерного интеграла по некоторой подобласти многомерного пространства.

Реализация этих многочисленных вариантов потребует в основном разработки только алгоритмов вычисления различных базисных функций соответствующей размерности, а также частных производных различных порядков от них или интегралов различной размерности и кратности от них, по заданной (возможно сложной) подобласти.

Библиографические ссылки

1. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение : пер. с англ. М. : Мир, 1998. 575 с.

2. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение : пер. с англ. М. : Мир, 1984. 264 с.

3. Митюков В. В. Унификация вычислительных задач аппроксимации, дифференцирования и интегрирования дискретных данных // Кибернетика и высокие технологии XXI века : 10-я Междунар. науч.-техн. конф. С&Т-2009 (13-15 мая 2009, г. Воронеж). С. 217-223.

4. Митюков В. В. Обобщенный алгоритм и дискретная унифицированная структура для вычислительных задач // Современные информационные технологии и IT-образование : сб. докл. науч.-практ. конф. / под ред. проф. В. А. Сухомлина. М. : ИНТУИТ.РУ, 2009. С. 675-681.

References

1. Kahaner D., Moler C., Nash St., Numerical methods and software. Prentice-Hall International Inc.

2. Rice J. Matrix computations and mathematical software. McGraw-Hill Bock Company 1981.

3. Mityukov V. V. Unifikaciya vychislitelnyh zadach approksimazii, differenzirovaniya i integrirovaniya discretnych dannych // Kibernetika i vysokie technologii XXI veka : 10 Mezhdunarodnaya nauchno-tehnicheskaya konferenziya С&Т-2009 (13-15 may 2009). Voronezh: s. 217-223.

4. Mityukov V. V. Obobshjenyi algoritm i diskretnaya unifizirovannaya struktura dlya vychislitelnych zadach // Sovremennye informazionnye technologii i IT-obrazovanie : Sbornik dokladov nauchno-prakticheskoy konferenziy / Pod redakziey prof. V. A. Suhomlina. M. : INTUIT.RU, 2009. s. 675-681.

© Митюков В. В., 2013