О моделировании Н-процессов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая схема многомерного стохастического процесса

Referenses

3. Medvedev A. V. Teoria neparametricheskih

P. 4-9.

1. Tcipkin J. Z. Osnovi informacionnoi teorii system. Modelirovanie (To the theory of nonparametric identificacii (The basis of information identification systems. Modeling) // Vestnik SibGAU. 2010. № 4(30). theory). Мoscow : Nauka, 1984. 320 p.

2. Medvedev A. V. Teoria neparametricheskih system. Procesi (To the theory of nonparametric systems. Process) // Vestnik SibGAU. 2010. № 3 (29). P. 4-9.

© Медведев А. В., 2014

УДК 62.501

О МОДЕЛИРОВАНИИ Я-ПРОЦЕССОВ

А. В. Медведев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: [email protected]

Рассматривается проблема моделирования дискретно-непрерывных процессов, имеющих «трубчатую» структуру в пространстве входных-выходных переменных. Приводится вариант системы моделей и анализируется ситуация, когда с течением времени эти переменные могут «исчезать» и «возникать» вновь.

Ключевые слова: H-модели, пространство дробной размерности.

ABOUT MODELING OF Я-PROCESS A. V. Medvedev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation Е-mail: [email protected]

Modeling discrete-continuous processes with "tubular" structure in space input-output variables is considered. The case of functions of several variables is presented and the situation where, over time these variables can "disappear"and "occur " again, is analysed.

Keywords: H-models, fractional dimension space.

Введение. Пусть u = Ц,...,uk) eQ(a) с Rk, ментируются технологическим регдаментом (гартои).

, В дальнейшем, без нарушения общности, эти интервалы х eQ(х) с R . Вообще ^говоря, каждая компонента примем единичными, тогда Q(u) - единичный гипервектора u, е [ai;blh i = 1k, ах e[c;d]. При иссдад°- куб, Qk(u) = [0;1], т. е. u е [0;1], Пк+1(u,х) = [0;1], вании реальных процессов значения коэффициентов (u х) eQk (u х)

{ai, bi,c,di = 1,k всегда известны. В технологиче- Адаптивная модель в этом случае будет выглядеть

ских процессах значения этих коэффициентов регла- следующим образом:

х, (") = I а s )• С1)

Наиболее «слабым» местом здесь является выбор параметрической структуры модели. В случае стохастической связи компонент вектора входных переменных процесс имеет «трубчатую» структуру [1]. В этом случае Н-модель подобного процесса выглядит следующим образом:

X (и) = I (и, а ,, и,., ^), (2)

где и, = (,и2,...,и,), х, = (х1,х2,...,х,) - временные векторы.

Рассмотрим рис. 1, на котором показан процесс «трубчатой» структуры.

Рис. 1. Объект с «трубчатой» структурой

Как видно из рис. 1, область протекания процесса О.(и, х) представляет собой без нарушения общности единичный гиперкуб, где входное воздействие и = (и1, и2) е Я2 и выходная переменная х е Я1. Область протекания процесса О(и, х) на практике известна всегда. Однако если исследуемый процесс имеет «трубчатую» структуру, т. е. его входные переменные связаны между собой стохастической зависимостью, то область его протекания ограничивается не только пространством гиперкуба О(и,х), но и некоторой его подобластью О.н (и, х) еО(и, х), которая нам никогда неизвестна. Поскольку подобласть Он (и, х) неизвестна, то и точно сказать о том, что

исследуемый процесс обладает данной особенностью, мы не можем.

Анализ подобных процессов приводит к тому, что н-процессы протекают в пространстве дробной размерности. Например, Б. Мондельброт в [2] замечает: «Кровеносная система человека - пульсирующая, живая - имеет размерность 2.7». Дробная размерность пространств, по-видимому, впервые была отмечена в работах Хаусдорфа и Безиковича.

Рассмотрим следующую ситуацию. В случае стохастической зависимости между переменными и2(и1), и3(Ц\) по имеющимся в наличии обучающим выборкам можно вычислить квадратичную ошибку прогноза и2, (и1), и3, (и1). Здесь и2, (и1), и3, (и1) есть непараметрические оценки [1]:

821 = Х( - и2, (и1))/,

1=1 /

831 =Х(и3 - и3, (и1))/. (3)

1=1 /

«Силу» стохастической связи X между двумя произвольными переменными можно, например, вычислить по формуле

Х = 1 -5 , (4)

где 5 - это может быть либо 521, либо 531 и т. д.

Отсюда видно, что самая сильная стохастическая связь (функциональная) равна 1, т. е. X = 1, отсутствие связи имеет место при X = 0, а при стохастической зависимости между входными переменными 0 < X < 1.

Если в более общем случае такого рода процесс интерпретировать как функции многих переменных, то изменчивость этой функции во времени может быть, например, показана на нижеследующей цепочке соотношений, действующих во времени [3]:

x=f(t= ui(t)=u;(t)f ,n5(t), Ui(t), )-T9

Поясним наши обозначения. Наиболее темным цветом (ui) обозначены переменные, которые оказывают самое сильное влияние на x (функциональная зависимость). Менее темное обозначение (ui) говорит о более слабом влиянии переменной на x (возможно, достаточно сильная стохастическая зависимость), более слабое влияние на x оказывают ui и ui. Т', где i = i, 9 - интервалы времени существования соответствующих зависимостей. Таким образом, в реально действующих процессах подобного рода роли значения переменных изменчивы. Из приведенных выше зависимостей видно, что некоторые переменные могут утрачивать свое значение, а некоторые утрачивают, а потом восстанавливаются, а некоторые новые переменные появляются впервые, как например u6, u7.

Если сохранить математический «облик» интерпретации функции многих переменных как точки многомерного пространства, то мы приходим к наличию пространства дробной размерности FА . Вычисление

т-А

размерности F можно осуществить, например, так:

dim F А = (n + i) А/,/+i, (6)

i=1

где n - размерность вектора u; Ai i+1 означает «силу»

стохастической связи между ui и ui + 1.

В принципе, могут быть предложены и другие схемы вычисления размерности пространства. Например,

dim FiA= (n +1) Ai,i+i, (7)

i=1

где 1и

зависимость всех компонент вектора u от

одной компоненты щ.

Вычислительные эксперименты. Пусть процесс описывается функцией х = ..., м10) и находится под воздействием помехи £(/). Примем обучающую выборку равной 5 = 500, входные переменные - независимы. Проведем эксперимент, когда на входе процесса действуют 10 независимых переменных, а выход, без нарушения общности, скалярный.

На рис. 2 видно, что размерность пространства близка к 11. Рассмотрим случай, когда в первом на процесс действуют 10% помехи, а во втором - отсутствуют. На рис. 3 - размерность пространства как и следовало ожидать, приближается к 11.

ходим к необходимости рассмотрения пространства дробной размерности.

Рис. 4. Размерность пространства F в зависимости от уровня помех

Рис. 2. Размерность пространства F в зависимости от уровня помех

Рис. 3. Размерность пространства Рк в зависимости от объема выборки

Вычислим размерность пространства в зависимости от уровня помех, если все входные воздействия, стохастически зависимы (рис. 4).

Как и предполагалось, размерность пространства

при функциональной зависимости компонент вектора входа стала равна двум. При уменьшении степени этой зависимости Шш^ возрастает. При увеличении объема выборки (рис. 5) размерность пространства

возрастает в связи с более точным оцениванием параметров 8 .

Рассмотрим анализ ситуаций, возникающих при моделировании процессов «трубчатой» структуры, которая имеет место всегда, если компоненты вектора входных переменных процесса стохастически зависимы. В этом случае традиционно используемые модели статических систем с запаздыванием неприменимы или могут приводить к значительным ошибкам. Наиболее интересным является тот факт, что мы при-

Рис. 5. Размерность пространства Рк в зависимости от объема выборки

Безусловно, интересным является факт исчезновения и появления влияния некоторых входных переменных в различные периоды времени на значения выходных переменных процесса, что тесно связано не столько с пространством дробной размерности, сколько с пространством изменяющейся размерности. Таким образом, естественно считать, что многие дискретно-непрерывные процессы протекают в пространстве постоянно изменяющейся размерности, что и обусловливает новизну ^-моделей в теории идентификации.

Библиографические ссылки

1. Медведев А. В. Анализ данных в задаче идентификации // Компьютерный анализ данных моделирования. Т. 2. Минск : БГУ, 1995. С. 201-206.

2. Мондельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М. ; Ижевск : Ижев. ин-т компьютерных исследований ; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. 656 с.

3. Медведев А. В. Некоторые замечания к Н-моде-лям безынерционных процессов с запаздыванием // Вестник СибГАУ. 2014. № 2(54). С. 24-34.

References

1. Medvedev A. V. Analis dannih v zadache identifikacii (Analysis of the data in the problem identification) // Computer analysis of simulation data. V. 2. Minsk : BSU, 1995. p. 201-206.

2. Mondelbrot B. Fraktalnaya geometriya prirody (Fractal Geometry of Nature). Moscow-Izhevsk, Institute of Computer Science, NITS "Regular and Chaotic Dynamics" Publ., 2010. 656 p.

3. Medvedev A. V. [Some notes on H - models for non-inertis systems with a delay] // Vestnik SibGAU. 2014. Vol. 54, no. 5, p. 24-34. (In Russ.).

© Медведев А. В., 2014

УДК 519.65

УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПРОГРАММНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИСКРЕТНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

В. В. Митюков

Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт) Российская Федерация, 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8 E-mail: [email protected]

Применяемые при моделировании и в вычислительных экспериментах традиционные вычислительные методы накладывают различные ограничения на исходные дискретные данные. Предложена универсальная компьютерная технология аппроксимации произвольных числовых рядов, реализующая также операции их дифференцирования и интегрирования.

Ключевые слова: линейные уравнения, однородная система, LU-разложение.

UNIVERSAL SOFTWARE SOLUTION FOR THE PROBLEM OF ANALYTIC ANALYSIS OF DISCRETE SPECIFIC RELATIONSHIPS

V. V. Mityukov

Ulyanovsk Higher Civil Aviation School (Institute) 8/8, Mozhaysky str., Ulyanovsk, 432071, Russian Federation. E-mail: [email protected]

Application of computer simulation and computational experiments, traditional computational methods imposes various restrictions on the original discrete data. The universal software technique for approximation an arbitrary number series is proposed, the technique is also able to perform operation of their differentiation and integration.

Keywords: linear equations, homogeneous system, LU-decomposition.

В работе [3] было представлено математическое обоснование универсального алгоритма для задач гладкого приближения произвольного набора данных, основанного на линейной модели, составленной из аналитически вычисляемых фрагментов - базисных функций (например, из членов степенного ряда или ряда Чебышева, ряда Фурье).

Унификация и единообразие вычислений обеспечиваются условием существования единственного ненулевого решения однородной линейной системы с квадратной матрицей Н, т. е. из условия det(H) = 0. Сначала исходная система линейных уравнений приводится к однородному виду. Затем к полученной матрице Н применяется алгоритм ЬИ-разложения [1] без перестановок ее нижней строки. Показано [2; 3], что накопленная, в предварительно обнуленном правом нижнем элементе матрицы U (верхней треугольной), линейная комбинация исходных дискретных значений (у) определяет искомое значение результата.

В данном случае понятие результата включает в себя или значение зависимой переменной (у) при произвольном значении независимой (х), или результат операции ее дифференцирования (у') при неко-

тором (х), или результат операции ее интегрирования (У) на произвольном интервале (Ах). (Возможно также получение значений их повторного дифференцирования и интегрирования). Перечисленное разнообразие вычисляемых результатов будет определяться только возможностями аналитического вычисления как наборов базисных функций ф(х), так и дифференциально--интегральных операций по ним.

Для опробования изложенной вычислительной технологии был разработан программный модуль, включающий в себя набор функций, необходимых для составления расширенной матрицы Ш, ее обработки (ЬИ-разложения) и вычисления заявленных выше результатов.

Предварительно вводился набор дискретных данных, принималась система базисных функций, выбирался метод приближения, задавались нужные значения констант, назначалась категория получаемых результатов. Вычисленные результаты выводились в таблицы и отображались на графиках. Предусмотрена также возможность получения результатов в виде следующих двух разновидностей:

- в виде линейной комбинации принятых базисных функций ф ] (х):