Унификация профилирования обкатных инструментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Манжула, К.П. Метод вероятностного расчета пределов выносливости сварных соединений при стационарном режиме нагружения [Текст] / К.П. Манжула, В.Н. Юшкевич // Проблемы прочности. 1982,- №6,- С. 43-47.

2. Юшкевич, В.Н. Метод расчета пределов выносливости элементов металлоконструкций [Текст] / В.Н. Юшкевич // Проблемы прочности. - 1984. № 9,- С. 13-17.

3. Бельчук, Г.А. Сварные соединения в корпус-

ных конструкциях [Текст] / Г.А. Бельчук,— Л.: Судостроение, 1969.— 245 с.

4. Манжула, К.П. Об изменении предела выносливости металла в зоне термического влияния сварных соединений стали 09Г2С/ К.П. Манжула, В.Н. Юшкевич, В.Г. Васильев [и др.] // Автоматическая сварка,— 1982. N° 2,— С. 48—50.

5. Степнов, М.Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний [Текст] / М.Н. Степнов,— М.: Машиностроение, 1972,— 232 с.

УДК 621.9.02:075.8

Ю.М. Панкратов

УНИФИКАЦИЯ ПРОФИЛИРОВАНИЯ ОБКАТНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Любую задачу профилирования можно представить в виде следующей схемы: известен профиль детали (инструмента) в указанном сечении — требуется найти профиль инструмента (детали) также в указанном сечении. Профиль детали (инструмента), известный в начале решения задачи, будем называть исходным. Для плоской задачи он обычно определяется из чертежа. Для пространственной задачи профиль поверхности также задается плоской линией, но обязательно должно быть указано положение плоскости, в которой расположена эта линия.

Из аналитических методов для решения задач профилирования широко используются три универсальных: метод на основе классической теории огибающих; кинематический метод и метод профильных нормалей. Эти методы могут использовать исходный профиль только в явной, неявной или параметрической форме. Непосредственно задавать исходный профиль координатами точек (такую форму будем называть точечной) в них нельзя.

Таким образом, каждое конкретное решение задачи профилирования представляет пересечение трех множеств: форм описания исходного профиля, методов профилирования и обкатных задач (схем обкаточного движения) (рис. 1, а). Более того, задачи профилирования разделяются на плоские и пространственные. Подсчитать же само количество задач профилирования во-

обще не представляется возможным, тем более что со временем оно только увеличивается. Все это затрудняет унификацию и, тем более, автоматизацию процесса профилирования инструментов.

Проанализируем формы описания исходного профиля с точки зрения удобства их использования в практических расчетах и вычисления нормалей к ним, которые требуются в некоторых методах профилирования. Попытаемся свести все формы к одной.

Начнем с неявной формы задания F(x, у) = 0. Даже для построения самого профиля ее все равно придется тем или иным способом приводить к явной форме у =Дх). Тем не менее, существующий математический аппарат позволяет вычислять нормали п при такой форме описания в виде

dF dF „ _ ,

пх =—; п = —. Таким образом, эта форма опи-дх ду

сания удовлетворяет требованию. Но основной ее недостаток состоит в том, что использовать эту форму можно только для очень простых линий и поверхностей, поэтому она не нашла сколько-нибудь заметного применения.

Следующая форма — явное описание кривой как .у =f(x) — более распространена. Она также позволяет вычислять нормали к кривой, а точнее, орты нормалей е : ех= siny, еу = —cosy, где tgy =у '• Основной недостаток этой формы, как,

впрочем, и неявной, состоит в том, что при неудачной параметризации варьирование аргумента х даже с постоянным шагом может привести к неравномерному расположению точек профиля вдоль всей кривой.

Параметрическая форма более предпочтительна по сравнению с двумя предыдущими уже хотя бы потому, что при удачном выборе системы параметризации она может быть лишена этого недостатка. Описать исходный профиль в параметрической форме не сложнее, а во многих случаях даже проще, чем с помощью предыдущих форм. Нормали к ней вычисляются также до-

ду дх статочно просто: пх = —9п =--.

дд

Параметрическая форма получила наибольшее распространение. Но и у этой формы есть существенный недостаток. Чаще всего исходный профиль зубчатых изделий произвольного профиля задают в виде комбинации прямых линий, дуговых участков или еще каких-либо кривых. Типичные примеры таких профилей — стружечные канавки сверл, зенкеров, концевых фрез, зубчатые колеса и различные звездочки для не-эвольвентных зацеплений и цепных передач, храповики и т. п. Но варьируемый параметр для дуговых участков — угловой и измеряется в угловых единицах (радианы или градусы), а параметр и для прямых линий — линейный и измеряется в линейных единицах (мм). Поскольку для этих двух типов участков их описание и уравнения нормалей различаются, это влечет за собой и различный вид уравнений связи в задачах профилирования. Поэтому возникла необходимость создания разных алгоритмов решения задачи профилирования для каждого вида участка. Кроме того, для каждого вида участка необходимо рассчитывать и запоминать начальные и конечные значения варьируемого параметра и шаги его изменения, имеющие к тому же различные размерности. Все это чрезвычайно усложняет решение задач профилирования для изделий, профиль которых представляет комбинацию из участков различного вида, а таких в реальных задачах — большинство.

И, наконец, в практике часто встречаются случаи, когда исходный профиль задан координатами точек, вычисленных в результате каких-либо расчетов, коррекции или принятых по тем или иным соображениям. Такой способ задания

Методы профилирования

Рис. 1. Возможные сочетания в теории профилирования

профиля будем называть точечным. Перечисленные выше методы профилирования не позволяют использовать непосредственно точечную форму задания исходного профиля при решении задач профилирования, что является их недостатком. Но это позволяют аппроксимационные методы профилирования [3].

Таким образом, многообразие форм описания исходного профиля, методов профилирования и обкатных задач (см. рис. 1, а) приводит к необходимости аналитического решения для каждого конкретного сочетания из этих множеств, что составляет довольно трудоемкую задачу. Попробуем уменьшить объем множеств. Для начала постараемся избавиться от множества форм описания исходного профиля (см. рис. 1,6), сведя их всех к одному унифицированному виду.

Как будет показано ниже, для решения обкатных задач требуется знание координат точек профиля, а для кинематического метода и метода профильных нормалей — еще и нормалей к ним. Есть смысл создать такой блок ввода и описания исходного профиля, который позволял бы его применять в любой из описанных выше форм и на выходе которого были бы известны

координаты точек профиля и нормали к ним в единообразной форме. Это и позволит сделать решение обкатных задач инвариантными к различным формам описания исходного профиля [3].

Выполнить поставленную задачу можно, если удастся различные формы описания исходного профиля преобразовать к виду, позволяю-y

буемой точке профиля. Зная этот угол, можно

будет легко найти и орт нормали е к профилю по

yy

Другая задача, которая при этом решается, — анализ и систематизация всех форм описания исходного профиля с точки зрения удобства для практического использования, в том числе и для программирования. Сразу же исключим из рассмотрения неявную форму, поскольку, как уже отмечалось, ее все равно приходится приводить тем или иным способом к явной форме. Таким образом, для рассмотрения оставим параметрическую, явную и точечную формы. Рассмотренный выше подход позволяет создать единый алгоритм и подпрограмму для ввода и описания исходного профиля при всех перечисленных формах его задания, а также вычисления на выходе координат и ортов нормалей в единообразном представлении (рис. 2).

Предпочтительна такая форма, которая ограничивалась бы вводом исходных данных в уже отлаженную программу в диалоговом режиме. Этому требованию отвечает, например, профиль, состоящий из комбинации прямых линий и дуг окружностей. Хотя такой профиль и может быть легко описан в параметрической форме, но есть смысл, учитывая уже отмеченное, выделить их из общей параметрической формы в отдельные параметрические формы — линейную и дуговую (см. рис. 2). К этому подталкивает и практика. Действительно, исходные профили большинства неэвольвентных зубчатых и винтовых изделий задаются комбинацией именно прямолинейных и дуговых участков, выделение которых в отдельный вид параметрической формы позволит вводить их в диалоговом режиме, что намного упрощает пользование уже отлаженной программой.

Если профиль задан сложной нелинейной зависимостью в параметрической форме, то ее необходимо вводить в программу на уровне входного языка, на котором написана программа. Подобные ситуации справедливо считаются

крайне нежелательными. Кроме того, для определения нормалей необходимо выполнить аналитическое вычисление частных производных и также ввести их в программу. Вышесказанное также относится и к явной форме описания профиля (см. рис. 2, блок2). Это, безусловно, существенный недостаток указанных форм.

Точечная форма, наоборот, может легко вводиться в диалоговом режиме, и в этом состоит ее безусловное преимущество (см. рис. 2, блок 2).

Линейная форма. Обозначим систему координат (рис. 3, й), связанную с плоскостью, в которой задан исходный профиль, как 5,. Профиль (или его участок) в виде прямой линии проще всего ввести в программу в диалоговом режиме, указав прежде всего количество точек И, которые мы хотели бы равномерно распределить на этой прямой (см. рис. 2, блок 4). Далее введем координаты начальной «н» (лсн, ун) и конечной «к» (лск, ук) точек прямой. Обозначим приращения по осям леи .у (см. рис. 3, а) как^, =хк — хн, Ду, =ук — ун-

Для вычисления координат 1-й точки при заданном их количестве Д? сначала вычислим для каждой точки безразмерный параметр и (см.

рис. 2, блок 7): и = ^ ^ . Таким образом, при изменении /от 1 до N параметр «принимает значения от 0 до 1, а сами координаты вычислим как лс, = + Дс,м;

У\=Ун+9ухи.

При этом текущая точка / переместится от начальной точки «н» до конечной точки «к». Преимущества использования именно такой формы записи в задачах профилирования рассмотрим позже. Эта формула представляет не что иное, как другую форму записи сплайна первой степени, которая описывает прямую линию. Перегруппировав переменные, ее можно записать так, как это принято в теории сплайнов: х, = (1-фсн +ихк;

У1 =(\-и)ун+иук.

Но мы в дальнейшем будем пользоваться предыдущей формулой как более удобной именно для задач профилирования.

Угол у наклона касательной в каждой текущей точке / прямой линии (см. рис. 2, блок 5) будет, естественно, постоянным и равным

у = агс8Н1-^^8щп^1, где Х = - дли-

на прямой линии.

линеиная

С

И; хи; ун; хк; ук;

Ь = л]^+Ау2; у = агсБт! ^ЕпДх

Х1 =хн+

У1=Уи+АУи1

10

1 ^ Начало |

Параметрическая форма дуговая

И; г; хс; ус; $н;

Е- = &н+А&и;

= хс + гсобЕ^, у1 = ус+г 8ШЕ;

нелинейная

X

* = ф(/); У = '(/)',

*' = Ф'(/); у ™ = ''(/);

/„; Л;

х

к. ¿ = 1 д о N

1-\ ' N

/1=/н+А/и;

''(Л)

ф ш

11'

Явная форма

у '=/'(*);

Х[ = хн + Ахи;

Уг=Л*гУ>

Т

уг=аге1§(/(хг));

I

Точечная форма

Выбор формы описания исходного профиля

Ввод в программу функций и их произведений

М;

У

Ввод исходных данных

Вычисление постоянных величин

Ввод: хь у,-

Метод прогонки или разностный метод

=Г

Л2--ч

( Конец )

Л

Вычисление безразмерного параметра цикла

Вычисление или ввод координат профиля

Вычисление угла наклона касательной

Вычисление ортов

Рис. 2. Алгоритм ввода и описания исходного профиля

<л

Рис. 3 Линейная (а), дуговая (б) и точечная (в) формы

Такой способ вычисления у выбран потому,

что альтернативный ему вариант у =

для вертикальных линий приведет к аварийному останову программы, так как деление на ноль невозможно. Функция $1$пАх1 позволяет независимо от всех возможных сочетаний положения начальной и конечной точек прямой удерживать

я я

угол у в предел ах У 2 е отсчетом положи-у

стрелки. Так, например, если точки «н» и «к» (см.

у

жнему останется положительным.

у

(см. рис. 2, блок 11):

у

Таким образом, принятая система параметризации прямой с помощью фактически сплайна первой степени позволяет описать любую прямую линию с помощью безразмерного параметра и, лежащего всегда в пределах 0 <и < 1, что чрезвычайно удобно при программировании циклов для перебора всех Лоточек. При этом цикл выполняется по целочисленной переменной / номера точки. Еще одно безусловное преимущество — точки будут распределены по участку равномерно. Заодно избавились и от необходимости указания размерности шага переменной.

Использование безразмерного параметра и в качестве независимой переменной предоставляет и еще одну очень полезную и удобную возможность в практических расчетах: легко описать профиль с напуском, который иногда необходимо учитывать при проектировании инструментов, обрабатывающих изделия, заготовки для которых обычно включают в себя технологический припуск, оставляемый на финишные операции. Для включения припуска в профиль

достаточно назначить параметру и значение за <<

пределы крайних точек «н» и «к» на {и — 1) своей длины X, т. е. на величину {и —\)Ь. Так, например, при и = 1,2 прямая будет продлена за точку «к» на 0,2Ь, или на 20 %. При и < 0 прямая начнется до начальной точки «н». Так, при и = — 0,1 прямая начнется на 0, IX длины до точки «н». Используя математическую терминологию, это

свойство сплайна можно кратко сформулиро-

<<

линии между крайними точками, при и < 0 и и > 1 — экстраполяция.

Все вышесказанное полностью относится и к другим формам описания профиля, рассматриваемым далее, в которых используется безразмерный параметр и.

Дуговая форма. Поскольку и для дуговой формы, как для линейной и всех остальных, необходимо прежде всего ввести количество точек #на каждом участке, то далее мы упоминать об этом не будем. Для описания профиля или его участка в виде дуги окружности необходимо еще ввести радиус г, координаты хс, ус центра С, начальный &н и конечный &к углы дуги (см. рис. 3, б ирис. 2, блок 4).

Представим координаты текущей точки / дуги в форме, отвечающей всем требованиям, вышеперечисленным для прямой линии. Хотя

дуга окружности и не является сплайном первой степени, постараемся и ее представить в «сплай-новой» форме, что позволит унифицировать алгоритм и для этой формы. Запишем текущее значение угла также в форме, аналогичной линейной, обозначив диапазон изменения угла $(как = &К—ЭН (см. рис. 2, блок 5и 8): &■ = = &н +А&}и, где и также изменяется в пределах О <и< 1.

Координаты текущей точки / в системе 5/ определятся так (см. рис. 3, б и рис. 2, блок 8)\

Х{ =ХС +ГС08ЕЛ

У1 ^с+^Е Г

Угол у1 наклона касательной в текущей точке / также всегда будет находиться в пределах

--к < уI < к, если его вычислять (см. рис. 2, блок к

10) как у. = Е .Таким образом, при-

нятая и для дуговых участков система параметризации позволяет угловой параметр также вычислять в зависимости от безразмерного

параметра и, всегда изменяющегося в пределах <<

ритм решения обкатных задач и для дуговых участков [3]. Поскольку, в отличие от прямолинейного участка, угол у1 для дуги в каждой точке / будет различный, то и проекции орта нормали будут различными, и вычислять их необходимо

уже в каждой точке / по тем же формулам (см.

у

на дуговом участке точки всегда будут распределены равномерно.

Нелинейная форма. Так будем называть разновидность параметрической формы, когда профиль задан в виде

х, =Ф(0; У\ = '0,

где функции ф(^) и описывают более сложные кривые. Для ввода их в программу, к сожалению, требуется вносить изменения в саму программу на уровне ее входного языка (см. рис. 2, блок 3). И если такие функции были введены, попытаемся и их представить в форме, допускающей вычисление нормалей и решение задач профилирования по единому алгоритму.

Начальное и конечное значения независимого параметра / также можно вводить в диалоговом режиме (см. рис. 2, блок 4). Обозначив диапазон изменения параметра! н системе как А/, = ^ — ^ (см. рис. 2, блок 5), текущее значение параметра т-также можно представить в «сплай-новой» форме в зависимости от безразмерного параметра и по аналогии с предыдущими форА

Тогда координаты текущей точки /этого профиля можно вычислить по формулам (см. рис. 2, блок 8) как

*/ =ф('/);

а угол наклона касательной в этой точке — по

формуле (см. рис. 2, блок 10) у- .

ф'(^)

Поскольку современное состояние языков программирования (кроме, например, МаШсаё'а и некоторых др.) не позволяет вычислять производные в аналитической форме, то это, к сожалению, необходимо выполнять «вручную» и вводить в саму программу, что, как уже отмечалось, крайне нежелательно. Если же потребность в описании профиля нелинейной формой все же возникнет, то можно при выборе этой формы описания предусмотреть открытие еще одного диалогового окна, в котором заранее ввести эти функции и их производные в программу и затем выбирать нужную. Трудно представить реальные обкатные задачи, в которых эти функции сыпались бы как из рога изобилия. Если они и будут, то число их будет довольно ограничено. В этом же окне следует записать и соответствующие производные. Таким образом, и нелинейная форма также может быть преобразована к виду, допускающему дальнейший расчет по единому алгоритму. Проекции орта нормали для этих форм вычисляются по тем же формулам (см. рис. 2, блок 11).

Явная форма. Явная форма описания исходного профиля =/(лс), будучи, по сути, частным случаем параметрической нелинейной формы, обладает всеми ее недостатками. Для этой формы начальные лсн и конечные хк значения также можно вводить в диалоговом режиме (см. рис. 2, блок 4). Обозначим диапазон изменения х (см.

А

щей точки / профиля также можно представить

в «сплайновой» форме как функцию безразмерного параметра и (см. рис. 2,5 блок 8): х1 = хн + 9ххи\

У\ =/Й),

а угол наклона касательных в этих точках — по формуле = тс{%(/(хх)) (см. рис. 2, блок 10).

Таким образом, эта форма также требует введения в саму программу функции Длс) и ее производной/'^), выведенной предварительно аналитически. Поэтому все сказанное выше о нелинейной форме полностью относится и к вводу в программу явной формы. Проекции орта нормали для этих форм вычисляются по тем же формулам (см. рис. 2, блок 11).

Точечная форма. При точечном задании профиля (см. рис. 2, в) определение нормалей становится, на первый взгляд, проблематичным. Использовать для решения обкатных задач интерполяционные полиномы типа полиномов Л а-гранжа и т. п. нельзя, так как все они в большей или меньшей степени подвержены осцилляции. Такой профиль можно аппроксимировать, например, глобальным сплайном [1, 2]. Это намного усложнит задачу, хотя для вычисления нормалей

строить сам сплайн необязательно, достаточно

у

которые и позволят вычислить нормали (см. рис.

у

вычислить первые производные т1 во всех узлах, воспользовавшись методом прогонки (см. рис. 2, блок 10).

Можно воспользоваться и другим, менее точным, но более простым способом, вычислив т1 трехточечной схемой конечно-разностной аппроксимации производных [2]. Для краткости такой способ в дальнейшем будем называть разностным. В общем случае при неравноотстоящих узлах первые производные т(-для всех внутренних узлов (рис. 3 в) рассчитываются по формуле (см. рис. 2. блок 10)

т„ = (1 + У

/у-1 /у-2

Щ = ц

£+1 +

где ц. =

к

7-1

к: + к

-

1 и N — по формулам

щ= (1+/2

к

-

(/ = 2,3,...,#-1),

-; У = 1 - а для крайних узлов

к

к

1

ЧУ _ (х тл N-1! 7 лЛМ'

%-1 "N-2

у

руемой кривой вычисляют как у. = агс■ Таким образом, и точечная форма также может быть преобразована к виду, допускающему дальнейший расчет по единому алгоритму. После на-у

лам (см. рис. 2, блок 11) проекции орта нормали для этой формы.

Такой подход позволяет решать задачи для профилей, состоящих из нескольких участков, каждый из которых может быть задан в любой форме, поэтому вначале в программе необходимо предусмотреть диалоговое окно с вопросом о количестве Иу участков, которое будут вводить.

Вначале выбирается форма описания участка (см. рис. 2, блок 2), в зависимости от которой программа в дальнейшем будет предлагать вопросы, характерные именно для этой формы. Как уже было сказано, для параметрической нелинейной и явной форм предварительно необходимо ввести функции и выведенные аналитически производные в саму подпрограмму (см. рис. 2, блок 3). Всю остальную информацию для них в дальнейшем также вводят в диалоговом режиме.

Далее все вычисления выполняются в цикле по / для всех Лоточек (см. рис. 2, блок 6). Прежде всего, для всех форм профиля вычисляется безразмерный параметр и (см. рис. 2, блок 7), который в свою очередь позволяет вычислить координаты всех N точек (см. рис. 2, блок 8). Для точечной формы координаты вводят в диалоговом режиме (см. рис. 2, блок 9) также в цикле по /. Углы наклона касательных g¡ вычисляются в блоке 10 (см. рис. 2), при этом для точечной формы может быть использован метод прогонки или разностная схема. И, наконец, зная эти углы, по одной и той же формуле вычисляют орты нормалей (см. рис. 2, блок 11).

Таким образом, алгоритм позволяет для всех

форм описания исходного профиля вычислять

у

в цикле по переменной /, являющейся номером точки на участке, что очень удобно для программирования, и орт нормали е,-. Переменная /изменяет параметр и, который всегда будет находиться в пределах 0 <и < 1 при любом значении N.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций [Текст] / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко,— М.: Наука, 1980,— 352 с.

2. Завьялов, Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии [Текст] / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус,

В.А. Скороспелое,— М.: Машиностроение, 1985.— 224 с.

3. Панкратов, Ю.М. Профилирование обкатных инструментов [Текст] / Ю.М. Панкратов,— СПб.: Изд-во «Политехника-сервис», 2010,— 158 с.

УДК.621.735.79

М.М. Радкевич, Д.Ю. Фомин

ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУГОРЯЧЕЙ ДЕФОРМАЦИОННО-ТЕРМИЧЕСКОЙ ШТАМПОВКИ ПОКОВОК

Конкурентоспособность выпускаемой машиностроительной продукции в условиях рыночной экономики во много определяется оптимальным соотношением конечной стоимости готового изделия и его эксплуатационными показателями. Разработка новых, равно как и оптимизация существующих техпроцессов штамповки, открывает значительные возможности для снижения производственных издержек, а следовательно, повышения рентабельности производства.

При изготовлении изделий методами обработки металлов давлением (ОМД) широкое применение находят технологические процессы горячей и холодной штамповки. За рубежом, в частности в Германии, на заводах фирм «Хиршфогель АГ» и «Виланд Верке», активно внедряются техпроцессы теплой (полугорячей) штамповки [1], сочетающие преимущества холодной и горячей штамповок. В результате получают изделия, обладающие комплексом высоких механических свойств, меньшими припусками на обработку, что позволяет снизить расходы на механическую обработку, уменьшить потери металла на угар. В совокупности все это приводит к снижению производственных затрат на энергоносители.

Сочетая в едином цикле технологического процесса полугорячую штамповку и термическую обработку, добиваются эффекта повышения механических свойств по сравнению с получаемыми по стандартной заводской технологии изготовления различных деталей из конструкционных сталей машиностроительного назначения.

Однако внедрение полугорячей штамповки в промышленное производство началось лишь с конца 1970-х годов [2]. Сдерживающий фактор развития технологии полугорячей деформационно-термической штамповки — недостаточная изученность процесса и отсутствие сведений о влиянии механико-термических параметров на структуру и свойства поковок.

В этой связи перед нами стояла задача более полного изучения влияния режимов технологического процесса полугорячей штамповки поковок из различных сталей на конечную структуру и механических свойства получаемых изделий.

На основе анализа теоретических сведений и изучения закономерностей формирования структурного состояния стали при горячей и холодной штамповке необходимо было предложить оптимальные энерго- и материалосберегающие режимы полугорячей штамповки типовых, круглых в плане, а также удлиненной формы поковок из стали 40Х и 20X13. А затем в результате проведения штамповки по оптимальному и заводскому режиму, получить данные и сопоставить механические свойства и структуру полученных образцов.

Анализ теоретических сведений о закономерностях формирования структурного состояния стали и систематизация имеющихся литературных сведений по изучению технологии теплой штамповки [1,3,4] и режимах деформационно-термической обработки при горячей штамповке в открытых штампах [2,5,6] позволили выбрать параметры термомеханического