Уменьшение дисперсии входного аддитивного шума многокритериальным методом сглаживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, приемники оптических сигналов можно представить как обрат-носмешенные р - «-переходы видиконов и ПЗС-матриц. сигнал в которых формируется путем разряда конденсаторов р - »-перехода. И в видиконах. и в ПЗС-матрицах имеется остаточный сигнал, накапливаемый в ловушках. Авторами показано, что как по критерию

максимальной эффективности разряда конденсатора обратносмещенного р -п перехода фотомишени, так и по критерию наименьшего влияния ловушек вместо традиционных значений Гн = 2 Тт(3) или неопределенных значений Гн < Тт (4) необходимо выбирать малое время накопления оптического сигнала Т < 1/2 • Т .

н т

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гсршбср! А.Е. Передающие телевизионные системы с внутренним фотоэффектом. Л./Энергия, 1973.

2. Приборы с зарядовой связью / Под ред. М. Хо-увза. Д. Моргана. М.: Энергоатомнздат. 1981.

3. Астапов Ю.М, Васильев Д.В., Заложнсв Ю.И.

Теория оптико-электронных следящих систем. М.: Наука. 1988.

4. Будаи К.Т. Определение коэффициента передачи телевизионного и тепловизионного приемников как элементов систем слежения // Вестник радиоэлектроники. 1993. № 2.

5. Петраков A.B. Автоматические телевизионные комплексы для регистрации быстропротекающих процессов. М.: Энергоатомнздат. 1987.

В. И. Марчук, Е. А. Семенищев

Уменьшение дисперсии входного аддитивного шума

многокритериальным методом сглаживания

В современных радиоэлектронных системах сигнал в процессе передачи подвергается воздействию различных шумов. Процесс приема и преобразования сигнала в цифровой вид также сопряжен с появлением шумовой составляющей. В большинстве случаев характер воздействия шума является аддитивным. Основная задача при обработке сигнала — это. как правило. выделение полезной или ослабление шумовой составляющей. Существующие методы обработки широко применяются при решении прикладных задач в системах телекоммуникаций. метрологии, статистической обработки. Их использование зачастую определяется начальными условиями. Для решения задачи уменьшения дисперсии шумовой составляющей наиболее часто критерием служит минимум среднеквадратической погрешности. В ряде случаев требуется получение гладких функций.

т. е. за основу берегся критерий средне-абсо-лютного отклонения. Выбор метода обработки осложнен ограниченностью объема априорной информации о полезной составляющей сигнала и статистических характеристиках шума. В связи с этим актуальна задача обработки цифрового сигнала с одновременным использованием целевой функции на основе объединенного критерия [1].

Значительный интерес вызывает также использование многокритериальных методов обработки цифровых сигналов, представленных единственной реализацией нестационарного случайного процесса при ограниченном объеме априорной информации о функции полезного сигнала и статистических характеристиках шума.

Цель данной работы —уменьшение дисперсии аддитивного шума многокритериальным

методом сглаживания при обработке входного сигнала, представленного единственной реализацией нестационарного случайного процесса в условиях ограниченного объема априорной информации о функции сигнала и статистических характеристиках шума.

Пусть входной сигнал представлен дискретной последовательностью значений У(1к) измеряемой физической величины, полученной в равноотстоящие моменты времени = к Т. где к = 1,п, Т — константа, большая нуля. Данную

выборку можно рассматривать как реализацию случайного процесса У(1к), который представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала и шума. Упрощенная математическая модель входного сигнала представляется в виде

П1к) = .?(/,) = ц(1к), к = 1,п,

(1)

п-1 _ _ 2

и второго

п-2 _ _ _ 2

ХЛ5*-2^!-^)

(2)

(3)

*=|

порядков его значений [2].

При этом в качестве меры расхождения исходного и полезного сигналов используется сумма:

КП-ПГ-

(4)

Для определения оценок 5к будем стремиться одновременно уменьшать суммы (2) - (4). Эта цель достигается минимизацией составной целевой функции вида

(5)

где £(/,.), г|(/А) — полезная и аддитивная шумовая составляющие; п — объем выборки.

Функциональная зависимость ,ч(1к) = априорно неизвестна. Закон распределения шума П(гА) = гц также считается априорно неизвестным. Однако предполагается, что полезная составляющая относится к классу гладких функций, а плотность распределения шумовой составляющей имеет нормальный закон с нулевым математическим ожиданием.

Получение оценки = .\(1к) величины ^ можно интерпретировать как уменьшение дисперсии аддитивного шума г|г В данной предлагается уменьшать дисперсию входной реализации путем одновременного уменьшения сумм квадратов конечных разностей первого

к=1 А=1

ч-2 _ _ _ 2

+ £ С5* ~ ~ 2 ) » *=1

где аир — постоянные множители.

Заметим, что целевая функция (5) непрерывна и ограничена снизу на множестве Яп, поэтому по крайней мере в одной точке

достигает своего наименьшего значения. Доказательство сходимости подобных многокритериальных функций представлено в статье [2].

В силу необходимого условия экстремума координаты должны удовлетворять системе уравнений

с?ф

зх

- = 0, 7 = 1.«,

(6)

(7)

т. е. следующей системе п линейных уравнении с п неизвестными ...,7„ :

(1 + а)^ -12 - а У] =0;

-а Ук =0. к = 2,3, ...,я-1; (\ + а.)7п -Уд., -аК„ =0.

Для нахождения точки наименьшего значе-ния целевых функций (5) применим

метод наискорейшего спуска [3]. Зададим точность с > 0. с которой будут найдены значения ...,Т„. В качестве начальной итерации

примем 7к = Ук, к = 1 ,п. При каждом 1 < к < п

зададим величину ак, присвоив ей значение левой части А:-го уравнения систем (7).

Целевая функция при условии (7) сводится к решению системы:

(1 + а+РЙ - (2+р)Т2 + Т3 - ау1 = 0; (5 + а + 2р )Т2 - (р + 2 --(Р + 4)Т, + Т4-<ху2 =0;

+(а + 2р + 6)?А. -а.ук =0, 2<к<п-2; •*л-з ~ (Р + 4 + (а + 2р + 5 -

-(Р-2К-«л-.=о;

Тп_2 - (Р + 2 )ТЯ_1 + (а + Р +1 )Т„ - а.г„ = 0.

Кроме того, для целевой функции вида (5) введем величину

(8)

и и I ,

;=1 /=1

(9)

Если д = 0, то в точке 7 = ....!„) функция ф достигает наименьшего значения. Заметим, что а = Ц,а2, •••.о„) = -уёг*ас1 ф(Г) и что </ = О

тогда и только тогда, когда а = 0. В случае ц ф 0 функция /(0 = Ф(7 + г-а) является квадратичной

функцией с положительной второй производной. Решив уравнение/'(/) = 0. найдем точку минимума для целевой функции вида (5):

а

1=—м-X

ч

л-1

х-—-х

Я

п-2

Ц

Р 0.03^14

* 1 у

Й.1

Так как в точке 5 производная функции Ф по направлению вектора а положительна,

то /'(0) > 0; следовательно / ф 0. Произведем коррекцию значений .....:

** =*к+1-ак, к = 1,п. После этого проверяем условие

тахк1*щг (п)

\skin \t\yln

Если неравенство (11) выполняется, то требуемая точность считается достигнутой и расчет заканчивается. Тогда

т. е. расстояние между двумя последними итерациями в пространстве Л" не превосходит е. В случае невыполнения условия (11) повторяются расчет величин и проверка

указанного условия.

Таким образом, вектор оценок (л|.Т2.....7п)

итерационно корректируется так. чтобы целевая функция ф(^,Т2.....Т„) достигла своего

наименьшего значения. На некотором шаге итерационного процесса выполнится условие

б)

Рис. 1. Графики зависимости стош от параметров метода а и (3 для сигналов, описывающихся экспоненциальной («). гармонической (о), параболической (в) функциями, а также сигналом треугольной формы (г)

4

(10) и вычисления прекращаются. Полученный вектор оценок (¿¡,72.....5„) с заданной точностью станет точкой наименьшего значения целевой функции .....1„) при заданных

начальных условиях.

Для исследования эффективности сглаживания предлагаемым методом введем критерий среднеквадратической погрешности полученных оценок относительно значений полезной составляющей:

i

ILih-'kf

iUI

и-1

(12)

При проведении имитационного моделирования были получены значения параметров метода, зависящие от величины дисперсии аддитивной шумовой составляющей и функции полезной составляющей. Графики, показывающие выбор множителей аир, приведены на рис. 1 и 2.

Анализ результатов, представленных на рис. 1. показывает, что в случае использования предлагаемого метода для обработки цифровых сигналов, не имеющих резких перепадов в функции полезной состовляющей. параметры сглаживания для целевой функции (4) лежат в пределах 0 < а < 0.5 и 7,5 < р < 8,0. При неправильном выборе параметров а или р погрешность сглаживания увеличивается в среднем на 4 %. Невозможность точного выбора параметров а и р обусловлена характером функции стош(а, р). минимум которой расположен не в одной точке плоскости (см. рис. 1, а-г). а в нескольких, где каждому параметру а соответствует параметр р, отвечающий минимальному

ß CUM

Рис. 2. График зависимости сгош от параметров метода аир для сигнала прямоугольной формы

значению а : правда, значения а в этих точ-

ОШ* " OUI

ках отличаются не более чем на 2 %.

Анализ результатов, представленных на рис. 2, показывает, что при наличии в функции полезной составляющей входного цифрового сигнала с резкими изменениями значений, т. е.

Г1 при п/Ъ<к <2п/Ъ

Sk ~ [0 при к < л/3, 2я/3 > к ' минимальная ошибка согласно критерию ( 11 ) и целевой функции (4) наблюдается при а = 0.11 и Р = 3.40. В случае а > 2 ошибка при выборе параметра а приводит к увеличению погрешности выделения в среднем на 4 %, а в случае Р > 5 — на 3 %. Результаты проведенных исследований представлены в табл.

Итак, в результате проведенных исследований разработан метод на основе целевой функции. сглаживающей одновременно по нескольким критериям: найден и получен алгоритм, позволяющий реализовать данньш метод в виде программы. В ходе имитационного моделирования получены графики для выбора сглаживающих параметров а. Р и показаны их диапазоны.

Выбор параметров метода сглаживания

Параметр Значение парамет эа для формы полезной составляющей

прямоугольной гармонической экспоненциальной параболической треугольной

а (а ) oui4 min7 0.11 0.2 0,3 0.2 0.2

о (Р ) Olli nun 3.4 8.3 8.0 8.4 8.3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Практические аспекты цифровой обработки сигналов (Practical aspects of digital signal processing). Монография /Под ред. В.И. Марчука. Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. 207 с.

2. Марчук В.И., Румянцев К.Е., Шранфсль И.С. Двухкритериальный метод обработки результатов

измерений // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 12. С. 33-35.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.. 1974. 832 с.

4. Ссменищев Е.А., Марчук В.И.. Шерстобитов Л.И. Исследование эффективности модифициро-

ванного метода сглаживания результатов измерений ных и технических науках. Матер, междунар. науч. на основе двухкритериальной целевой функции // конф.: Таганрог, 2006. С. 35-37.

Статистические методы в естественных гуманитар-

В. И. Марчук, С. В. Токарева Способ обнаружения аномальных значений

на основе метода размножения оценок исследуемой реализации нестационарного случайного процесса

При регистрации, обработке и обмене данных в современных измерительно-вычислительных и информационных системах потоки сигналов искажены действием помех (шумов); природа их возникновения весьма различна. Шумовая составляющая также может содержать аномальные значения. Для решения задачи выделения полезной составляющей нестационарного случайного процесса применяются различные классические процедуры фильтрации, результаты которых зависят от наличия в исследуемом процессе аномальных значений. Аномальными считаются значения, которые резко выделяются по величине и статистическим свойствам на фоне основной группы значений реализации процесса. Природа возникновения и источники аномальных значений различны: это могут быть импульсная помеха, кратковременные повышения уровня шумов на входах приемников, сбой в работе регистрирующей аппаратуры и т. п. До недавнего времени на практике для обнаружения аномальных значений широко применялись ручные способы, основанные на визуальном просмотре зарегистрированных реализаций нестационарных случайных процессов и их сравнение с контрольными реализациями известной формы. Для преодоления отмеченных недостатков, как показано в работах [1. 2], предлагается использовать теорию статистических решений, которая позволяет формализовать алгоритмы проверок и выбрать критерий обнаружения аномальных значений. Возможно применение как параметрических, гак и непараметрических методов теории решения. В первом случае необходимо располагать априорными сведениями как о функции полезной составляющей, так и законе распределения шумовой составляющей.

а также о параметрах закона (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция и др.). Использование непараметрических методов обработки требует значительно меньше априорной информации, но их эффективность определяется параметрами обработки, которые в свою очередь зависят от функции полезной и закона распределения шумовой составляющих процесса.

В связи с этим значительный интерес представляют разработка и исследование способа обнаружения аномальных значений при анализе нестационарных случайных процессов, представленных единственной реализацией в условиях ограниченного объема априорной информации.

В работах [2, 3]. представлен метод выделения полезной составляющей нестационарного случайного процесса, который имеет высокую эффективность в условиях априорной неопределенности. Суть метода состоит в размножении не самой реализации исходного процесса, а оценок, получаемых определенным образом. Автор статей [3, 4], основываясь на принципах метода размножения оценок, предлагает свой метод обнаружения аномальных значений при анализе нестационарных случайных процессов. К одному из достоинств указанного метода обнаружения можно отнести также применение двухпорогового критерия принятия решения об аномальности значения: критерия, который позволяет при увеличении аномальных значений получить оценки вероятности ошибки первого рода а. стремящиеся к минимальным значениям, а оценки вероятности правильного обнаружения р — стремящиеся к максимальным значениям [2, 3]. Наряду с достоинствами предлагаемого метода обнаружения аномаль-