CC BY
47УДК 53.088.23
С.Е. Пилипосян
УГОЛ ОТКЛОНЕНИЯ, ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ И ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Прецизионные измерения центрального момента инерции неоднородного твердого тела, проведенные по методу регистрации периода колебаний, требуют особого внимания к оценке погрешностей измерений. Приведена оценка влияния амплитуды на период колебаний и оценка вклада этой зависимости на погрешность измерения центрального момента инерции. Полученные результаты, позволили уточнить соответствующие формулы оценки систематических и статистических погрешностей, приводимые в литературе.
Ключевые слова: физический маятник, связь периода и амплитуды колебаний, полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра первого рода, погрешность измерения момента инерции.
Измерение главных или центральных моментов инерции неоднородных твердых тел является актуальной технических задачей [1-3]. В этих измерениях часто используется метод гармонических колебаний испытуемого тела вокруг заданной оси, при этом измеряется период малых колебаний испытуемого тела как физического маятника. С целью уменьшения погрешности измерения периода колебаний, как правило, приходится измерять совокупное время как можно большего числа (около 100) колебаний маятника, выведенного из состояния устойчивого равновесия. Действия диссипативных сил приводят к затуханию колебаний, поэтому провести измерения при малых колебаниях физического маятника бывает невозможным. То есть когда число колебаний, после которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз, меньше ста (N <100), значение угла начального отклонения ф должен быть достаточно большим ( ф^ 1 > 20°). При сухом трении в точках опоры подвеса амплитуда колебаний уменьшается по арифметической прогрессии. При некотором, ненулевом значении амплитуды, эти колебания прекращаются из-за явления застоя, присущего сухому трению. При жидком трении в точках опоры подвеса амплитуда колебаний уменьшается по геометрической прогрессии, и формально колебания длятся бесконечно [4].
имеет общее решение, которое описывает негармонические, но также периодические колебания, с амплитудным (уже немалым) значением угла 0 < ф^ 1 < п. Период этих колебаний Т
зависит от угла ф^ 1. Максимальный угол отклонения колеблющегося маятника от состояния равновесия не может быть больше п, в противном случае возникнет вращательное движение. Приведем связь Т с Т0 [5]. Напомним, что Т0 - период колебаний с амплитудным значением угла отклонения ф^ ^ 0. Так как математический маятник является частным случаем физического маятника, то общее решение приведенного дифференциального уравнения полностью удовлетворяет уравнениям движения математического маятника.
Умножая обе части этого второго порядка линейного однородного дифференциального уравнения на dф и интегрируя, получим
Введение
Связь угла отклонения и периода колебаний
Уравнение движения физического маятника
(1)
© Пилипосян С.Е., 2011.
d 2ф dt2
dф = -го2 sin9d9, d
f I т \2\
1 / аф
f2\ dt,
= го d ( cos9 ),
1df2(d) P ro0d(cos<p)' 2(d) =ra0cos<p+
Постоянную интегрирования С найдем, записывая начальные условия для угла отклонения физического маятника. Пусть, когда t = 0, ф = ф^ dф / dt = 0. Тогда
С1 —^ф^ •
/ ч О
dф dt
1 dф
Следовательно, (^) = 2ю|; ( шзф - cos9maxl) или ^ = roJ 2 ( шзф - cos9maxl),
V dt ) ^
откуда следует, что dt=
ГО0 V2 ( COs9 - COs9max1 ) Для интегрирования произведем замену переменных, согласно равенствам
d(sin (5))=. , ' ,/(sin (ф/2)), 51п(Ф»„1/ 2) sin lA«/ 2)
( 5 )=
sin ( 5 1 =
cos
, ч 1 cos ( ф / 2) , ч cos (5)
(5)d5=1.s (Ф 2L ^ ^=2sin(Фтах1/2) s (d5.
2sin ( Фтах1 / 2 ) COs ( ф / 2 )
Интервалу значений 0 < ф < ф^ соответствует интервал значений 0 < ^ < п / 2 переменной то есть одна четвертая часть целого колебания. Следовательно,
1 dф _ 1 dф _
dt-
го„
.,у2(С0$ф—C osфl 1 1
maxl ) 4^2 (1 - 2sin2 ( Ф / 2) - 1 + 2sin2 ( ф^ / 2))
^(-s1n2 (Ф / 2) + sm2 ( Фтах1 / 2))
го„
2sin (Фmax1 / 2)"
cos
(5)
cos
(5)
cos(ф/2) 1 1
d5 =
cos
(5)
го0 1
__-d'5 = ._
cos(Ф/2) Ю^1-sin2(5) cos(Ф/2)
d5 1 _d5__ 1 _d5_
d5 =
го„
cos(ф/2) 7 гоо
T / 4 п / 2
Таким образом, | dt=— |
о го0 0
d5
или, разложив в ряд подынтегральную функцию, получим
П / 2
I
d'5
Т02 j(1-sin2(ф^/2)sin25)-1/2d5 =
+ ... ) d5 =
0 п
I (1 + 1sin2(Ф,^/2)sm25 +1 • 3(srn (Фmaxl/2)sm25)2 + ... )
п „ \ 2 2 4 /
гр 2 п
= То" Т
п2
1 + (1) sin2 ( Фт* / 2) + ( 3) ( sm ( Фта. / 2)) + ...
> Т.
1
Это решение можно представить в общем виде [6]: Г Г ф \\
т тах
T 2
— = -K
T п
sin
V
V 2 JJ
2K ( k )=. F (I, 1; 1; k2)
п ж 2 \2 2 /
f (2,2; i; k)=i+(2 )2 k5+(2 ■ 4 )2 * =i+(2
+ ■■■=
(3)
V 2 ;
\/i з\2. 4Гф, л
+1---1 sin
2 4
Jt /2
где K ( к )= K ( sin ( фтах / 2 ))= K ( sin ( а ))= J
dx
dx
sina)2 (sinx)2 o <^1-к2 (sinx)2
является полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра первого рода. Он, как убедились, не выражается через конечное число элементарных функций, рассчитывается методом приближений и приводится в виде таблиц [6]. Значения K (sin (a)) в таблицах [6] приводится в зависимости от значения угла а, который в данном случае представляется равенством a=фтах / 2. Величина F(a, b; c; z) в выражении для T - гипергеометрическая функция [6], являющаяся решением гипергеометрического дифференциального уравнения
Гаусса: z(i-z)d—w + [c-(a + b + l)z]dw-abw = 0 . Она выражается формулой dz2 dz
77/ a \ i ab 1 a (a +1) b (b +1)
-F(a, b; c; z) = 1+—z+---^--L.
c (c + 1)
dw
w = F
c; z ) = H--z +---
c 2!
-z2 +
из которой следует, что
f (2, 1; 1; k )=1+(1 )2 k+(2 ■ 4 ) k4
+
T / T
0
1,07
1,06
1,05
1,04
1,03
1,02
1,01
0 10 20 30 40 50 60 (град.) Рис. 1. Зависимость периода от амплитуды угла колебаний
2 4/
На рис. 1 и в табл. 1 приведены значения отношения Т / Т для широкого интервала значений амплитуды угла отклонения 0 < ф < п.
ттах
Очевидно, что при ф^ <10°
((Т-Т)/Т)<0,2% .
Если же ф > 23°, то
ттах '
((Т - Т) / Т )> 1,0%.
Поскольку неравенство Т > Т выполняется для
всех значений 0 < ф < п, то
ттах1 '
возникает систематическая погрешность измерения периода колебаний, которая, в свою очередь, приводит к систематической погрешности измерения центрального момента инерции ^ испытуемого тела.
Таблица 1
Зависимость периода колебаний от амплитуды угла отклонения маятника
фшах(град) 0 10 20 30 40 60 90 120 150
T/T0 1 1,0019 1,0076 1,0179 1,0313 1,0732 1,1803 1,3729 1,7622
Во время эксперимента маятник выводится из положения устойчивого равновесия на определенный угол ф и измеряется совокупное время т для N »1 колебаний. Регистрируется амплитудное значение угла отклонения после N колебаний - фтжЛГ. Для этих N колебаний определяются среднее время одного колебания T=t / N и среднее значение амплитуды угла отклонения ф =( ф ,+ ф „)/ 2 .
J "max V ~max1 ~maxN /
— 2 t=t -к
П
sin
t max
V 2 У У
I A2 ■ 2 ( Фтах 1 /1 3\2 .
I —) sin -jmaxL +1---1 si
\2! V 2 У \2 4/
T < 1+ - sin2
+---sin
t max
V 2 y
V 2 У
(4)
Поскольку неравенство Т > Т выполняется для всех значений 0 < ф < п, то возникает систематическая погрешность измерения / .
Период колебаний и погрешность измерения центрального момента инерции
Центральный момент инерции тела / определяется, согласно равенствам
J (m, a, T ) =
ma
Г ^2 Л
gT
--a
4п2
=mR2, Jc (m, a, T ) =
ma
f 7f2 Л
gT- - a
V
4П
(5)
У
где т - масса тела; Л - его радиус инерции; а - расстояние точки центра масс тела от оси вращения.
Следовательно, систематическую абсолютную погрешность измерения центрального момента инерции А/ можно представить выражением
J = J (m, a, T)-J (m, a, T )=~T -T)
c, Ф c\'' / c V ' ' ° / . 2 V ° /
4n2
^ T2 (i-t / T2 )=( Jc ( m, a, T ) + ma2 )f 1-( ^K ( sin ( a )))"* '
(6)
ф ф , + ф
_ Tmax Tmax 1 Tmax N
где a=-=-.
2 4
Относительная систематическая погрешность определения центрального момента инерции, обусловленная немалым значением амплитуды угла отклонения, будет
А/сф_ J (m a T) - J (m a T) _
(J) =
С,Ф J J (m, a, T)
c ,ф c \ 7 7 0 /
(J (m, a, T) + ma2)(1-(2K(sin(a)))
mR
Jc (m, a, T )
mR
R
1-( 2K ( sin ( a ))
rmR2+AJ
c c,
mR2
1-( 2 K ( sin ( a )))2 ] = (l + ( SJ )c,9 + X2 )(l-( 2 K ( sin ( a )))
Решив это линейное уравнение относительно (5J) , получим
с,ф ' 2
J =(l + ^(K(sin(a))):-l). (8)
С поправкой на систематическую погрешность (6), для J получим J (m, a, T ) = J (m, a, T )- AJ =
c \ y ' 0 / c \ ' ' / c, ф
= J (m, a, T )-(J (m, a, T ) + ma2~K(sin(a))) = = ( J ( m, a, T )+ma2)(—K ( sin ( a ))) - ma1 = J ( m, a, T )(—K ( sin ( a ))
(9)
c. m, a, 1 )+ma M — K ( sin ( a )) I - ma = J ( m, a, 1 )| _ K ( sin ( a )) I - ma1.
Таким образом, измеренное значение момента инерции неоднородного твердого тела относительно центральной оси, параллельной выбранному направлению AA1 можно, представить в виде
Jc = JС (m, a, T0)(l±( J )m, a, T ) = J (m, a, To)(l^( J £ + ( J )T + ( 5Jc )2 ), (10)
где
J (m, a, T )=J (m, a, T )(—K (sin (a))) - ma . (11)
В монографии М.М. Гернета и В.Ф. Ротобыльского [1] для расчета погрешности измерений обсуждаемым здесь методом приведены две некорректные формулы (сравни с фор-мулой(10))
5JЧ( J)2 +(5J-)2 +(5J.)2 +(J)2,
где (сравни с формулой (8)).
5J =
í 2^ i a
v- R /
i-4K:
2
V n y
Систематическая погрешность неправильно оценена. Действительно, при X=а / ^ = 1 она равна нулю при любом значении амплитуды угла отклонения маятника. Кроме того, систематическая погрешность использована в качестве статистической, когда ее следует использовать как поправку.
Разумеется, чем больше влияние диссипативных сил, тем большим должен быть угол начального отклонения для получения одинакового числа колебаний. Следовательно, тем большим окажется связанная с ним поправка периода колебаний в выражении для Ыс.
Следует отметить, что, как доказал Н.Е. Жуковский, трение в опорах влияет на амплитуду, но не влияет на изменение периода для данного значения амплитуды колебаний. На амплитуду влияют также сопротивление воздуха, упругие силы и моменты сил трения качения в опорах, однако влиянием этих факторов на период колебаний можно пренебречь.
Если испытуемое тело вместе с подвесом обладает небольшой массой, то его целесообразно качать на призмах, в противном случае необходимо использовать цилиндрические шипы и смазку.
Таким образом, для прецизионного измерения центрального момента инерции произвольного твердого тела методом физического маятника [7] проведены точная оценка и правильный учет систематических и статистических погрешностей измерений, заслуживающие доверия.
Библиографический список
1. Гернет, М.М. Определение моментов инерции / М.М. Гернет, В.Ф. Ратобыльский. - М.: Машиностроение, 1969. - 315 с.
2. Стороженко, В.А. Синхронизация вращения в задаче определения главной центральной оси инерции неоднородного твёрдого тела. Проблемы механики / В.А. Стороженко. - М.: Физматлит, 2003.
3. Стороженко, В.А. Определение направлений главных осей инерции в теле произвольной формы / В.А. Стороженко. - Киев, 1986. - 40 с.
4. Голубева, О.В. Теоретическая механика / О.В. Голубева. - М.: Физматлит, 1961. - 701 с.
5. Савельев, И.В. Курс общей физики: учеб. пособие. В 3-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика / И.В. Савельев. - СПб.: Лань, 2006. - 432 с.
6. Корн, Г.А. Справочник по математике / Г.А. Корн, Т.М. Корн. - М.: Наука, 1974.- 832 с.
7. Пилипосян, С.Е. Измерение момента инерции произвольного твердого тела // Машиностроение и автоматизация: труды НГТУ. - Н. Новгород, 2010. №4 (83). С. 100-110.
Дата поступления в редакцию 02.04.2010
S.E. Piliposian
DEVIATION ANGLE, VIBRATION PERIOD AND MEASUREMENT ERROR OF PHYSICAL PENDULUM CENTRAL MOMENT OF INERTIA
Special attention should be paid to estimation of measurement errors during precision measurements of central moment of inertia of heterogeneous solid body performed via the method of vibration period recording.
The article estimates amplitude effects on vibration period and contribution of this dependence to measurement error of central moment of inertia.
The obtained results point out the incorrectness of corresponding formulas for estimation of the systematic and statistical errors given in the monograph of M.M. Gernet and V.F. Ratobylskiy [1].
Key words: physical pendulum, connection between vibration period and amplitude, complete elliptic integral of the first kind in Legendre normal form, moment of inertia measurement error.
