Погрешности измерения момента инерции произвольного твердого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.535

С.Е. Пилипосян

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Приведена оценка погрешностей измерений момента инерции неоднородного твердого тела, проведенных по методу регистрации периодов колебаний.

В измерениях применяются двойной жесткий подвес, секундомер, линейка и угломер. Выявлены условия эксперимента, в которых погрешности измерений минимальны и не превышают 0,5%.

Ключевые слова: момент инерции неоднородного твердого тела, физический маятник, двойной жесткий подвес, погрешность измерения коррелированных случайных величин, функция Н.Е. Жуковского.

Введение

Сложность геометрических форм и неоднородность выпускаемых изделий и механизмов затрудняют теоретический расчет важных характеристик этих тел - момента инерции и положения центра масс. В настоящее время успешно применяются различные методы, позволяющие измерить момент инерции и находить точку центра масс как для гигантских гидротурбин, самолетов, вагонов скоростных поездов, автомобилей так и для миниатюрных элементов часового механизма. Для каждого изделия (или его макета) применяется определенная методика и создается специальная установка, учитывающая его массу, размеры, форму и обеспечивающая минимальные погрешности в измерениях момента инерции.

В работе [1] показано, что метод регистрации периода колебаний для изделий или их макетов, обладающих радиусом инерции Я < 0,50 м (относительно центральной оси выбранного направления), обеспечивает большую точность, чем метод измерения приведенной длины. В приложении приведено описание методики и схема экспериментальной установки (подробнее см. [1]), позволяющих измерить момент инерции неоднородного тела с точностью не ниже 0,5 % и находить точку его центра масс с погрешностью не более чем 1 мм.

Такие измерения позволяют еще в стадии проектирования изделий (автомобилей, летательных аппаратов, вагонов, кораблей и т. д.) решить вопросы их маневренности (момент инерции) и устойчивости (положение центра масс). Высокая точность измерений требует всесторонней и точной оценки статистических и систематических погрешностей измерений, что позволяет уточнить соответствующие оценки, приведенные в работе [2].

1. Производные периода колебаний и чувствительность метода

Если центральная ось инерции твердого тела массы т фиксирована, то его центральный момент инерции 3 и радиус инерции Я относительно выбранной оси являются константами: 3 = тЯ. Период малых колебаний такого физического маятника вокруг оси, параллельной к выбранной центральной оси и находящейся от нее на расстоянии а, имеет вид

О, а)=^/4ЯЯ (аIЯ + Я /а)/* 4*Я (X + X1)/£ =7Ф+Х) =0' Х) ,0)

где X=а IЯ - безразмерный параметр, удобный для дальнейшего рассмотрения.

В этом случае между переменными а и X устанавливается взаимно однозначная связь и для описания движения физического маятника они являются равносильными:

а=ЯX, Са=Я(Х, Да=ЯДХ, (I(а)Аа=(/(X)ДХ.

В теории функций комплексного переменного выражение 0,5 ( z+117 ), где 7=х + \у -комплексное число, называют функцией Н.Е. Жуковского [3], ввиду того, что он весьма

© Пилипосян С.Е., 2012.

успешно применил эту функцию для решения многих важных практических задач. Из формулы (1) видно, что при Я = 0,125 м, когда Г.л =1 с, период колебаний можно представить в виде

или Т = w .

То (Я, X)=^(4ПЯI Я)(X + X1) 0,5(X + Х-1) ,

Если 0 < X <1 или 1< X <да, то связь Т и X является взаимно однозначной [3]. По-

видимому, обсуждаемую здесь задачу можно считать еще одним приложением функции Жуковского для действительного переменного X.

Постоянство Я означает, что если для расстояния а период колебаний равен Т, то для расстояния а получим такое значение периода Т , которое удовлетворяет равенству

Я2=агТо1% I ()- а2 = а2То2%1 (4П) - а2.

или аХ2 -ОС=(а22 -а12)4П1=(а -а1)(а2+а1)4П1.

Для отношения приращений величин Т и а , с учетом (1) получим

= (X - X-1)

Да ёа Т^3"

(2)

8

43

4,00

2,00

0,00

-2,00

-4,00

-6,00

,00

-10,00

-12,00

-14,00

-16,00

1 Лямбда

00 п, 00 2, )0 3, 00 4, 00 5, 00 6,0

' <

00

Рис. 1. Зависимость йТй I ёа от X

Если а > Яс, то ёТ01 ёа >0, а когда а < Яс, то ёТ01 ёа <0 (рис. 1). Кроме того,

-да, если а ^ 0 ( X ^ 0 )

с1Т

—= <¡0, если а = Я (X = 1) . (3)

ёа с

0, если а ^да (X ^да)

Из рис. 1 видно, что когда X существенно меньше единицы, нахождение расстояния а путем измерения периода колебаний Т (с заданной погрешностью ДТ ), позволяет более точно определить а, поскольку небольшое изменение а приводит к значительному изменению Т •

Момент инерции тела с массой т относительно оси вращения, параллельной к заданной центральной оси тела и находящейся от нее на расстоянии а представляется выражением

/ = таТ^/(4п2) =/ + та = тЯ2 + та = т(а ), где Т - период гармонических колебаний твердого тела. Следовательно,

/ = таТ^к / (4п2 ) —та = тЯ. (4)

Момент инерции тела можно представить в виде функции

У = У (т, а, Т) или У = У (т, а, Я ).

Центральный момент инерции / в этом случае оказывается функцией двух переменных т, Я. Величина Т в этих условиях является однозначной функцией расстояния а.

Следовательно, Т и а не являются независимыми переменными.

Погрешность измерения У необходимо оценить с учетом этой связи.

Дифференцируя выражение (4) для / по а, найдем зависимость приращения / от

изменения расстояния а на Да . Если считать, что т, g, п , известные с большой точностью, константы, то получим

а/

Д/ Да =

с аа

Г2таТ£ ёТ , mT02g

Л

— 2та

V

Да.

(5)

У

4п ёа 4п

Относительное изменение значения У , если значение а изменилось на малую величину Да и, вследствие этого, значение Т изменилось на ДТ, будет:

(/).

д/ 1 а/

у / аа

Да =

2таТК ёТ тТV

Л

V

'тКаТ^ + т^ — 2та2

4п'

Л

ёа 4п

— 2та

Да

У

тЯ

V

2п

ёа

4п

Д а

тЯ а

Щ-

2 ёТ

а Т—0 + / — та V2п ёа . у

Да

тЯ^а

С учетом формулы (2), получим

( ^/с )а, Т

тК Л

ёТ

V 2п

аТ—1 + тЯ — та

2лЛ/Я VX

ёа (*—1)

Да

У

тЯ а

V 2п2

кТ-

ёа

- +1 — X2

1 Да

У

Я X

+ 1 — X2

ТК)

^^ ^л/^+ХДТ — ( Х Х ) п^Я Я

\ с с

Да =_£_а.д. — м)д.=

Я X 2п2 Я ёа Я

(6)

Да=

^+1—X'

Да Я X

= 0.

То есть истинное значение / не зависит от значения а, если расстояние а и соответствующее значение периода колебаний Т измерены без погрешностей. Однако на эксперименте измерение Т и а производится независимо и с ненулевой погрешностью. Следова-

с

с

тельно, несмотря на то, что измеряемые переменные Т и а жестко связаны, тем не менее, измерения их значений с погрешностью ДТ и Да, соответственно, не зависят друг от друга.

Чтобы выяснить, связаны ли знаки их отклонений от соответствующих средних значений ( Т ± ДТ, а ± Да ) или ( Т ± ДТ, а + Да ), необходимо провести множество совместных измерений этих величин в одних и тех же условиях эксперимента и, рассчитав коэффициент корреляции, убедиться, что в обсуждаемой нами задаче для этой пары величин он имеет отрицательное значение [4, 5]

* (Т' a Ь^ГТТТ1 < 0 • (7)

° ( T0 ) П ( a )

Если предположить, что случайная величина J = J (m, a, T0) распределена по нор-

мальному закону, то на основании выражения (6), получим

Л

( )a, T

Г maaTg dT 2 2

-0--0 + mR - ma

V

2п da

Да X Tog dTo

У

mR'a 2% a da

Да + (l-X2

2\Да.

a

^Tg^Ji Wx-1 + X ду. | (X-1 -X)

(8)

2nXR

дт+(1-x2;

П

R

Дa.

При условии независимости погрешностей ДТ и Да, можно считать, что

_ I/ г-

( ^ X. т|

( X-1 - X )

Л2

Дa

R

(9)

Из этой формулы, следует, что когда X=a / R = 1, то есть когда значение a=R = const, относительная погрешность измерения (SJ ) т определяется только погрешностью измерения времени ДТ . Для тела с радиусом инерции R = 0,125м она принимает значение

(SJ ) - ДТ = -1,4 ДТ=1,^78ДТ=3,96-ДТ •

( c Л' Т V п2 0 л/0,125 0 , 0 , 0

При ДТ = 0,001c, получим

( J )a

=3,96 - ДТ = 0,4% •

(10)

(11)

Относительная погрешность, связанная с измерением массы тела, будет

Т2

Т Т g 2 п2

J = ma—--ma = mR ,

c 4п2 c

( J )

V . /m

1 J

, __c

J dm

Дm= —— R2Дm= . Следовательно, mR c m

( J )m, a, t| = J ^ )2 ^ ^^

Y

WX-1 + XДT

( X-1 - X )

V

Дa

R

(12)

Из (12) видно, что при Х=1, Ц < 0,125м, ДТ = 0,001с и Дт / т = 0,1%, относительная погрешность измерения момента инерции главным образом определяется абсолютной погрешностью измерения периода колебаний. Пусть значения величин п, т, Ц, Т, а нам известны абсолютно точно. Тогда изменение значения а на Да приведет к такому изменению значения Т , что центральный момент инерции останется неизменным. Приравнивая правую часть (12) к нулю, снова приходим к равенству (2)

c

c

c

ДТ^ ёТ0 (я, X) _ п (X — ^)

Да ёа ^[Кя ^ + X3

Это равенство показывает, насколько и в какую сторону (уменьшения или увеличения) сдвинется истинно среднее значение гауссова распределения периода малых колебаний Т твердого тела, обладающего радиусом инерции Яс, если истинно среднее значение гауссова распределения расстояния центральной оси тела от оси его вращения а=Яс X изменится на величину Да=Яс^. График этой зависимости в области определения 0<Xявляется важной характеристикой обсуждаемого метода измерения момента инерции твердого тела (рис. 1).

В этой связи представляют интерес производные более высокого порядка

(Я, X)/ ёа , являющиеся непрерывными функциями, обладающими двумя асимптотами и одним экстремальным значением (см. рис. 2-4).

В табл. 1 для заданного значения Да=0,001м (абсолютная погрешность измерения расстояния от оси вращения), Яс=0,05м, а=Да/Яс =0,02, ДГ=0,001сек (абсолютная погрешность измерения периода колебаний), и текущего значения X, приведены значения величин

ёТ ё2Т ё3Т ёТ

Т, Ь , —,

' пп' '

пр ёа ёа

. Величина X по необходимости меняется с небольшим шагом

ёа ёа

ДХ= 0,000001 в интервале значений 0,05 <Х<100,0.

Поставленную в этой работе задачу лучше решить, выполняя два измерения при разных значениях а0. Сначала находим значение ё для расстояния а0, удовлетворяющего условию

X=а / Я =(а + ё)/ Я = 0,5 . Большое значение к обеспечивает высокую точность определения ё (рис. 1). Момент инерции в этих условиях, как следует из (12), определяется с относительной погрешностью ( &/) « 3 %. После нахождения центральной оси проводится ещё одно измерение

при X=а / Я =( а + ё) / Я =1,0, обеспечивающее высокую точность определения

12,00

: ё Т

■ ёа

X

00 1, 00 2, 00 \ 3, 00 4, )0 5, )0 6, 00 7, 00 8,

1 0,00 - -

,00

,00

4,00

2,00

0,00

-2,00

-4,00

00

(5J ) »0,5% (на рис. 5 видно, что при 0,95R <a<1,05R значение AJ / J »0,4%).

^ с ' m, a, T с с с с

Рис. 2. Зависимость d2T0 / da2 от X

Согласно равенству (2) при X=a = 1 ^ dT = 0.

R dX

с

dT (Л^

Величина —=R— меняет знак при переходе точки X=a / R = 1. dX с da с

В интервале 0 < X <1 ^ dT < 0, lim dT = -го.

dX dX

В интервале 1< X <+да ^ dT > 0, lim dT = 0.

dX dX

Следовательно, в интервале 1< X <+да величина dT / dX обладает максимумом (рис. 1) и в точке максимума вторая производная равняется нулю (рис. 2).

=R d2T=п irl (-x6+6X4+3X2) (13)

dX2 с da2 2)1 g (X5 + X3)3/2 . ( )

d 2T

Вторая производная равняется нулю, когда —Х6 + 6Х4 + 3Х2 = 0. Ввиду того, что Х > 0, получаем равенство Х4 — 6Х2 — 3=0. Единственным физическим корнем этого уравнения является Х=2.5424. В этой точке d2T / dХ2 меняет знак с положительного на отрицательный (рис. 2). Величина d2T / dХ2 достигает своего минимума при некотором значении Х, после чего с ростом Х —монотонно стремится к нулю d2Т/ d)Х ——0. Чтобы найти значение Х, при котором dT / dХ принимает минимальное значение, вычислим величину (ГТ / d)).

^кз зп Ц Х4 (Х6 —15Х4 — т2—5) dХ3 ~cda3 " 4)1 % (Х5 + Х3 )5 / 2 .

Когда Х —^+0, то величина dъT / dХ ——да.

т г л d3Т Зп Цс 1 „

Когда Х—+да, то величина-—— —-—+0 .

dХ3 4 \ % Х5 / 2

Найдём значение Х, при котором = 0 .

dХ3

Для этого нужно решить уравнение Х — 15Х4 — 13Х — 5=0 . После обозначения у = Х2, получим кубическое уравнение у —15у —13у—5=0.

С помощью обозначения у=х+5 приведём его к виду х3 — 88х—320=0. Решив это уравнение методом Кардана [6], получим х=10,84; у=15,84; Х=3,98.

В точке Х = 3,98 величина diT/d)) меняет свой знак с отрицательного на положительный (рис. 3).

Далее, после достижения своего максимума, с ростом Х монотонно стремится к

dХ3

нулю, оставаясь положительным. Чтобы найти значение Х в точке этого максимума, продифференцируем по Х и приравняем к нулю.

^ # = 3п КХ6 +140>6 +154>4 + 1т2 + 35)

ёХ4 с ёа4 8 \ g ' ' ,ч7'2

( х5+х3)7

(15)

15,00

10,00

5,00

0,00

-5,00

-10,00

-15,00

-20,00

-25,00

-30,00

X

00 2, 00 4,0 30 6, )0 8, 00 10 00 12

1

00

Рис. 3. Зависимость Ст / ёа от X

Л1СЛ .А ё4Т 105п К 1 Из выражения (15) видно, что когда Х ^+0, то величина-^- —-,

ёХ4 8 У g Х9 / 2

когда Х , то величина-^

ёТ -15л К 1

ёХ4 8 У g X'

С Т

Между этими асимптотическими предельными значениями функция- принимает ну-

ёХ4

левое значение, и при некотором значении X достигает своего минимального значения (рис. 4). Введя обозначение у = Х2, в равенство -5Х8 + 140Х6 + 154Х! +124Х2 + 35 = 0, получим

4 з 154 2 124 _ _

у - 28у--у--у - 7 = 0.

5 5

С 3Т

(16)

Решив (16), найдём значение X, при котором - достигает максимума. На рис. 1-4

ёХ3

приведены графики функций -,

ёт а2т аът с?т

ёа ёа2 ёаа ёа

для испытуемого тела с радиусом инер-

ции К = 0,05 м в зависимости от переменной X. Если привести эти графики для тела с радиусом инерции К =1 м (когда а=Х -1м), то эти же функции для тела с другим значением радиуса инерции Яс можно получить простым умножением на соответствующую степень Яс.

Систематическая относительная погрешность измерения 3 , связанная с немалым значением амплитуды угла отклонения физического маятника, представляется выражением / ч 3 (т, а, Т)-3 (т, а, Т) / 2ч/ 4 , , , ЧЛЧ2 \

(53= * ( ' , 7 ) ^ ' 0) =(1 + Х)(4(К(™(а))) -1).

3, (т, а, Т) \п /

(17)

С поправкой на эту систематическую погрешность для 3 получим

3 (т, а, Т) = 3 (т, а, Т)-Д3 =

с \ 7 7 0 / с \ 7 7 / с, ф

= 3с (т, а, Т )-(3с (т, а, Т ) + та2)| 1 -(—К(вт(а))

2 Л

У 2

( 3с ( т, а, Т )+та2)(—К ( вт ( а ))) - та2 = 3 ( т, а, Т )(—К ( вт ( а ))

- та

Таким образом, измеренное значение момента инерции неоднородного твердого тела относительно центральной оси, параллельной выбранному направлению АА1, можно представить в виде

\2 / „ т \2 / _ т \2

3 = 3с (m, a, 70)(1 ±(53са, т) = 3 (m, ^ Т)(1^(&/.)т +(&/.)2 +(5.7.) ) =

= 3С ( т, а, Т )

1+

/ Дт

т

2

^ Хл/х1 + ХДТ

о ' П

п2Я

'( Х-1 - Х )

2

Я

Да

(18)

40,00

30,00

20,00

10,00

0,00

-10,00

-20,00

-30,00

-40,00

47 £ 1

00 2, 00 4, )0 1 6, )0 8, 00 10 00 12 00 14 00__д 16

00

3 (т, а, Т)=3(т, а, Т )(— К(вт (а)))

- та

Рис. 4. Зависимость й4Т / йа* от X

В монографии Гернета М.М. и Ротобыльского В.Ф. [2] для расчета погрешности измерений обсуждаемым здесь методом приведены две формулы, требующие уточнения:

&/ =^(&/„)2 +()2 +()2 +(ы.г)2 (ср. с формулой (I8)), где

&7 =1 1-4К

2

сф 2

п

2

I _0_

ч" К ,

(ср. с формулой (17)).

Систематическая погрешность неточно оценена (при Х=1 она равна нулю при любом значении амплитуды угла отклонения маятника) и неправильно использована. Она использована в качестве статистической, когда ее следует использовать как поправку.

В табл. 1 приведены величины Т, £ , СТ , СТ , СТ , СТ в диапазоне 0,05 < Х <100.

пр ёа ёа2 СС1 ёаА

Таблица 1

Яс = 0,05м, а=Да/Я =0,001м/0,05м=0,02=2%, Да/а= а/Х=0,02/ X

X т, с Ьпр , м СТ/Са=к/2 С2Т/Са2 С3Т/Са3 с?Ша4

0,050 2,0080 1,0025 -3,996E+2 2,410E+5 -2,407Е+8 3,37Е+11

0,300 0,8548 0,1817 -2,279E+1 2,823Е+3 -4,614Е+5 1,066Е+8

0,500 0,7090 0,1250 -8,509E+0 8,055Е+2 -7,991Е+4 1,084Е+7

0,800 0,6421 0,1025 -1,762E+0 2,399Е+2 -1,638Е+4 1,387Е+6

0,990 0,6342 0,1000 -6,438E-2 1,307Е+2 -7,882Е+3 5,562Е+5

1,000 0,6342 0,1000 0,000E+0 1,268Е+2 -7,610Е+3 5,327Е+5

1,010 0,6342 0,1000 6,248E-2 1,231Е+2 -7,350Е+3 5,105Е+5

1,050 0,6346 0,1001 2,946E-1 1,094Е+2 -6,410Е+3 4,321Е+5

1,100 0,6356 0,1005 5,49Ш-1 9,461Е+1 -5,431Е+3 3,537Е+5

1,200 0,6395 0,1017 9,609E-1 7,135Е+1 -3,962Е+3 2,426Е+5

1,300 0,6451 0,1035 1,273E+0 5,425Е+1 -2,941Е+3 1,707Е+5

1,400 0,6521 0,1057 1,51Ш+0 4,146Е+1 -2,215Е+3 1,227Е+5

1,500 0,6601 0,1083 1,693E+0 3,177Е+1 -1,689Е+3 8,976Е+4

1,800 0,6883 0,1178 2,020E+0 1,411Е+1 -7,923Е+2 3,812Е+4

1,900 0,6985 0,1213 2,08Ш+0 1,059Е+1 -6,248Е+2 2,929Е+4

2,000 0,7090 0,1250 2,127E+0 7,800Е+0 -4956Е+2 2,271Е+4

2,200 0,7306 0,1327 2,184E+0 3,813Е+0 -3,162Е+2 1,397Е+4

2,540 0,7681 0,1467 2,212E+0 1,854Е-2 -1,511Е+2 6,496Е+3

3,000 0,8187 0,1667 2,183E+0 -2,183Е+0 -5,531Е+1 2,513Е+3

3,800 0,9039 0,2032 2,071E+0 -3,121Е+0 -4,155Е+0 5,448Е+2

3,980025 0,9224 0,2116 2,042E+0 -3,139Е+0 -7,707Е-6 3,871Е+2

4,200 0,9447 0,2219 2,008E+0 -3,119Е+0 3,468Е+0 2,524Е+2

5,300 1,0506 0,2744 1,846E+0 -2,729Е+0 8,564Е+0 6,418Е+0

5,393369 1,0592 0,2789 1,833E+0 -2,689Е+0 8,579Е+0 2,922Е-5

5,393370 1,0592 0,2789 1,833E+0 -2,689Е+0 8,579Е+0 -3,394Е-5

5,500 1,0689 0,2841 1,819E+0 -2,644Е+0 8,562Е+0 -6,126Е+0

7,000 1,1985 0,3571 1,644E+0 -2,059Е+0 6,792Е+0 -2,870Е+1

10,000 1,4252 0,5050 1,397Е+0 -1,313Е+0 3,522Е+0 -1,473Е+1

20,000 2,0080 1,0025 9,990E-1 -4,920Е-1 7,193Е-1 -1,733Е+0

50,000 3,1716 2,5010 6,338E-1 -1,265Е-1 7,557Е-2 -7,515Е-2

100,000 4,4846 5,0005 4,484E-1 -4,481Е-2 1,343Е-2 -6,705Е-3

Погрешность измерения центрального момента инерции, согласно формуле (18), будет

( 53,)

т, а, Т

1

( Дт

х^Х-1+ХДт

о * П

Л2

( Х-1 - Х )

Да

(20)

т' У I Я У

На рис. 5 приведен график функции (20) для трех значений радиуса инерции испытуемого тела Я = 0,05 м; Я = 0,125 м; Я = 0,5 м при фиксированных значениях

ДТ = 0,001 сек; Да = 0,001 м; (Дт) / т=0,001.

Как видно из табл. 2 и на рис. 5, момент инерции твердого тела, обладающего радиусом инерции Я = 0,125 м относительно выбранной центральной оси, можно измерить с погрешностью не хуже 0,5 %, если измерения провести в условиях, когда 0,8 < Х < 1,1. Значения периода колебаний приведенные в табл. 2 соответствуют колебаниям тела с радиусом инерции Я = 0,125 м.

Таблица 2

2

X Т(сек) 5J;0,05 5J;0,125 5J; 0,5 Лd;0,05 Лd;0,125 Лd; 0,5

0,100 2,253 0,198 0,07921 0,0198 0,00716 0,01132 0,02264

0,200 1,617 0,096 0,03843 0,0097 0,02119 0,0335 0,067

0,300 1,352 0,0607 0,02434 0,0062 0,04204 0,06647 0,13294

0,400 1,207 0,0421 0,01694 0,0044 0,07233 0,11437 0,22874

0,500 1,121 0,0302 0,01225 0,0034 0,11753 0,18583 0,37166

0,600 1,068 0,0217 0,00896 0,0027 0,18885 0,29859 0,59719

0,700 1,034 0,0153 0,00658 0,0023 0,31258 0,49424 0,98847

0,800 1,015 0,0104 0,00495 0,0021 0,56761 0,89747 1,79493

0,900 1,006 0,0072 0,00411 0,0021 1,34817 2,13164 4,26328

1,000 1,003 0,0064 0,00412 0,0022 #ДЕЛ/0! #ДЕЛ/0! #ДЕЛ/0!

1,100 1,005 0,008 0,00477 0,0025 1,82121 2,87958 5,75917

1,200 1,011 0,0106 0,00575 0,0027 1,04066 1,64542 3,29085

1,300 1,020 0,0136 0,00686 0,003 0,78566 1,24224 2,48448

1,400 1,031 0,0165 0,00802 0,0033 0,662 1,04672 2,09344

1,500 1,044 0,0194 0,00919 0,0037 0,59083 0,93418 1,86837

1,600 1,058 0,0223 0,01036 0,004 0,54585 0,86307 1,72613

1,700 1,073 0,0251 0,01153 0,0044 0,5158 0,81555 1,6311

1,800 1,088 0,0278 0,0127 0,0047 0,49504 0,78272 1,56544

1,900 1,104 0,0305 0,01385 0,0051 0,48043 0,75963 1,51927

2,000 1,121 0,0332 0,015 0,0055 0,47011 0,74331 1,48663

2,100 1,138 0,0358 0,01614 0,0059 0,46288 0,73188 1,46375

2,200 1,155 0,0384 0,01728 0,0062 0,45793 0,72406 1,44812

2,300 1,173 0,041 0,01842 0,0066 0,45473 0,71899 1,43798

2,400 1,190 0,0436 0,01956 0,007 0,45287 0,71606 1,43211

2,500 1,207 0,0461 0,02069 0,0074 0,45208 0,7148 1,4296

2,600 1,225 0,0487 0,02183 0,0078 0,45213 0,71488 1,42976

2,700 1,242 0,0512 0,02297 0,0082 0,45286 0,71604 1,43208

2,800 1,260 0,0537 0,0241 0,0086 0,45415 0,71808 1,43615

2,900 1,277 0,0562 0,02524 0,009 0,4559 0,72084 1,44168

3,000 1,295 0,0587 0,02638 0,0095 0,45802 0,7242 1,44839

Заключение

Используемый метод измерения позволяет с помощью обычного секундомера, линейки, угломера и несложной экспериментальной установки [1] измерить с высокой точностью

центральный момент инерции неоднородных твердых тел, обладающих радиусом инерции Я < 0,50 м.

с 7

Положение точки центра масс определяется с точностью не хуже 1мм, а относительная погрешность измерения момента инерции не превышает 0,5 %.

Зависимость периода от амплитуды колебаний приводит к систематическим погрешностям измерения момента инерции.

Уточнены оценки погрешностей в ранее проведенных аналогичных экспериментах с измерением периода колебаний [2]. В частности, показано, что необходим учет корреляции между периодом колебаний Т и расстоянием а центра масс тела от оси вращения.

Чтобы обеспечить приведенные точности, необходимо провести два измерения: для значений X=а / Я « 0,5 и X=а / Я «1,0.

0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

Рис. 5

Период малых колебаний и приведенная длина физического маятника выражаются функцией Н.Е. Жуковского - w с помощью формул

Т ( R, X) = 2^1 ( 2Rw) / £ = ^^L^, Lv=2Rw, Т = 2TJ2R / g, (L) = 2R ,

mm \ с о 7 V пр f min c

то есть при R = 0,125 м, Т (R, X)=yfw сек и L^= 25w м .

Удвоенное значение первой производной периода колебаний по параметру a=RX представляет собой чувствительность к используемого метода измерения величины d=a ~ a0 [1]. Поэтому приведены графики зависимости периода колебаний и его производных (до четвертого порядка включительно) от параметра X.

Приведены графики и таблицы погрешностей измерений для тел с радиусом инерции Я = 0,05 м; Я = 0,125 м; Яс = 0,50 м в зависимости от X (рис. 5).

Приложение

Для фиксации ориентации тела относительно оси вращения в этой работе используется жёсткий двойной подвес (рис. 6). На эксперименте точка центра масс С испытуемого тела оказывается на некотором расстоянии ё от выбранного направления АА1 . Поэтому закрепляем тело в точках пересечения заданного направления АА1 с поверхностью тела с помощью винтов, имеющих конусные наконечники, далее чуть-чуть расслабляем крепёжный винт А 1, вследствие чего тело свободно вращается в гравитационном поле притяжения земли вокруг оси АА1. Таким образом, точка С всегда оказывается внизу от прямой АА1 на расстоянии ё от неё в вертикальной плоскости АА1ВВ1.

Рис. 6. Схематический вид жёсткого подвеса с опытным образцом

С помощью двух пар дополнительных крепёжных винтов, имеющих конусные заострения и симметрично расположенных по отношению к точкам А и А1, фиксируем это положение (положение 1) образца. Регистрируем расстояние а0 оси АА1 от оси вращения ВВ1. Далее выводим из равновесия систему (образец + жёсткий подвес) на определенный угол

Фтах 20° и измеряем суммарное время N »1 колебаний, регистрируя амплитудное значение угла отклонения фтахЛГ после N колебаний. Находим период её колебаний Т . Поворачивая образец на угол 180° вокруг оси АА1, закрепляем его в новом положении (положение 2) и аналогичным образом измеряем период колебаний Т .

Далее образец поворачиваем на угол 90о вокруг оси АА1 по часовой стрелке или против часовой стрелки, закрепляем его в этом положении (положение 3) и снова измеряем период колебаний Т физического маятника. Поскольку на эксперименте обычно хорошо выполняется неравенство ё<<а , то в положении 3 обычно хорошо выполняется равенство % « а. Поэтому результаты измерения в этом положении могут служить приближенной оценкой для величины Jc.

Во всех трёх положениях стараемся измерять совокупное время как можно большего числа N колебаний при соблюдении условии, что угол ф поддается наблюдению невооруженным глазом. В каждом положении измерение повторяем три раза и определяем среднее значение периода (т). Периоды Т1 и Т2 соответствуют расстояниям % = % + ё, % = % ~ё от выбранной центральной оси тела до оси вращения ВВ1. В данном случае известна сумма расстояний параллельных осей от выбранной центральной оси твердого тела % + % = 2% и

необходимо найти ё= (% — % ) / 2 .

Конструкция подвеса позволяет изменять значение величины % дискретно с шагом, равным 15 мм. Равенство АВ=А1В1 выполняется с точностью 0,5 мм. Силы трения в точках В и В1 незначительны (качание на цилиндрических шипах со смазкой).

Величина ё определяется формулой (см. равенство (13) в работе [1])

ти)_. („.о

1Ч*2—(?+Т2:) (Т+т:)—1Чп21«

В зависимости от конкретных значений величин Я, %, ё во время измерений возможны три варианта: 1) X2 < \ <1; 2) X2 < 1 < \; 3) 1 < X2 < \ .

С учетом (П.1) и того, что % > % = % — 2ё, получим

Если 0<ё<а <%+ё<Я ^ X <X <1, то

0 0 с 2 1 3

Т >Т1 >тт1„ ^ Т — Т <(Т+Т22)—^ / я.

Следовательно, критерием первого варианта будет

% < 0,125- 0,99456- Т=0,12432- Т м.

Если же Я < а — ё < %+ё ^ 1< X < X , то

с 0 0 2 1 3

Т- < Т < Т ^ 16%0^2 / я—(Т+?22) > 0.

Следовательно, критерием третьего варианта будет

% >0,12432(Т2+Т2)/2 м .

Наконец, если % — ё <Я <%+ё ^ X2 <1<X, то

0,12432 (Т +Т2) / 2 м < % < 0,12432 Т 2м.

Это двойное неравенство является критерием второго варианта.

Вычисление значения ё по формуле (П.1) позволяет определить положение центральной оси, параллельной к заданному направлению АА1. Далее определяется момент инерции относительно найденной центральной оси при X«1,0 (второй вариант). Аналогично находится центральная ось в перпендикулярном к АА1 направлении. Таким же путём определяется направление третей центральной оси инерции, перпендикулярной к первым двум, и положение точки центра масс. Использованный метод и конструкция подвеса позволяют также определить центробежные моменты инерции испытуемого неоднородного тела для найденной тройки центральных ортогональных осей [7].

Учет массы и момента инерции жесткого подвеса приведен в работе [1].

Библиографический список

1. Пилипосян, С.Е. Измерение момента инерции произвольного твердого тела // Труды НГТУ. - Н.Новгород, 2010. № 4(83). С. 100-110.

2. Гернет, М.М. Определение моментов инерции / М.М. Гернет, В.Ф. Ратобыльский. - М.: Машиностроение, 1969. - 315 с.

3. Лаврентьев, М.А. Методы теории функции комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

4. Худсон, Д. Статистика для физиков: [пер. с англ.] /Д. Худсон; под ред. Е.М. Лейкина. - 2-е изд. - М.: Мир, 1970. - 292 с.

5. Яноши, Л. Теория и практика обработки результатов измерений: [пер. с англ.] /Л. Яноши; под ред. Н.П. Клепикова. - 2-е изд. - М.: Мир, 1968. - 462 с.

6. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. В 2-х т. Т 1. / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1967. -480 с.

7. Стороженко, В.А. Синхронизация вращения в задаче определения главной центральной оси инерции неоднородного твёрдого тела. Проблемы механики / В.А. Стороженко. - М.: Физма-тлит, 2003.

Дата поступления в редакцию 13.04.2012

S.E. Piliposian

MEASUREMENT ERROR OF RANDOM SOLID BODY MOMENT OF INERTIA

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.Y. Alekseev

The article contains the estimation of random solid body moment of inertia measurement error. The measurements were performed based on the method of vibration period recording.

A dual hard suspension, a ruler, an angle gage and a time-interval recorder were used in measurements. The work identifies experiment conditions, which provide minimum (not exceeding 0.5%) measurement error.

Key words: heterogeneous solid body moment of inertia, physical pendulum, dual hard suspension, measurement error of correlated varieties, Joukowski function.