Удосконалення методики моделювання просторових коливань колії та рухомого складу Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 625.032.432

РИБК1Н В В., д.т.н., професор (ДНУЗТ); ПАНЧЕНКО П.В., аспiрант (ДНУЗТ).

Удосконалення методики моделювання просторових коливань колil та рухомого складу

Найважливiшою задачею удосконалення залiзничного транспорту Украши е пiдвищення швидкостей руху поiздiв [1]. Постiйний 1'х рiст, тдготовка напрямкiв, для руху з високими швидкостями пiд час ЕВРО - 2012 визвали увагу до забезпе-чення плавносп руху залiзничних екша-жей, комфортабельностi 1'зди пасажирiв, а також забезпеченню безпеки руху. Оскь льки впровадження прискореного руху в Укрш'ш вiдбуваеться вперше, то це приз-вело до вивчення процеав динамiки рухомого складу та колп, а це не можливо без експериментальних та теоретичних дослщжень. Теоретичнi дослiдження ба-зуються на багатьох методиках [2-9]. Але в уах них е недолши, якi не дають можливосп бiльш точнiшого дослiдження процесiв взаемодп коли та рухомого складу при швидкостях понад 140 км/год, а саме:

- вважаеться, що в рухомому складi виникають лише малi коливання, тому ви-

Г?

Е Рг?

d 2 2(г)

Л 2 d 2 У(Й Л 2

( 2 х^)

Л 2 Л 2р(0

dt2 Л 2у(г)

dt2 Л 2в(г)

л2

г=1_.

т

ГУ

Е ^гУ

_г=1_.

т

Гх

Е ^х

г=1_.

т

( Г(

користовуеться принцип геометрично'1 ль ншносп, тобто sin(р) = р; сох(р) = 1.

- не мае можливосп моделювання дисипативних та пружних характеристики силово'1 взаемодп тш, iнерцiйних характеристик тiл, як змшних у часi та змшних в залежностi вiд мiсця розташування у коли;

- не мае можливосп моделювати ко-л^ у фактичному станi за натурними об-мiрами.

Всi перелiченi вище недолiки приво-дять до удосконалення методики моделю-вання рейкових екшажей. Методика моделювання складаеться з основних насту-пних частин.

Математичне моделювання системи диференцшних р1внянь динам1ки т1ла

Функцiя, яка описуе ус сили та мо-менти сил, що д^ть на тiло за допомогою диференцiйних рiвнянь мае наступний ви-гляд:

тУ

Е (-Р^х + Lz ^т(р(0)+Ly ^т(р(0))+^х^? -Lx ^т(р(0)-Ly ^т(0(О)))+ Е

Ы,

г=1

г =1

гУ

(1)

№

х + Ly ^(^ОН Lz ^^(р^)))- FiX■(Ly + Lx*т.(фЦ))-Lz •sin(0(t))))+Е

Ыг

г =1

г =1

Е ^ ^т(0(О)+Lx)))—^У■(ь?-Ly •sin(р(t))))+ "Е Ыг х

г=1 г=1 .

Ух

де: /к, /у, /х - кшьюсть сил, що дiють на тiло у площиш к, у, х, шт;

/<р, /у, /в - кшькють сил, що дiють на тiло вiдносно вiсей 0у,0к,0х, шт;

ту, тк, тх - кiлькiсть моментiв сил, що дшть на тiло вщносно вiсей 0у,0к,0х, шт;

Fz, Fy, Fx - сили, що д^ть на тiло у площинi к, у, х, кН;

Му, Ык, Мх - моменти сил, що д^ть на тiло вщносно вiсей 0у,0к,0х, кН>м;

Ьх, Ьу, Ьк - координати сил (вщносно центра тяжшня тiла), що д^ть на тiло у плоскосп к, у, х, м; т - маса тiла, т;

Jx, Зу, ^ - моменти шерци тiла вщнос-

2

но вюей 0у№,0х, т-м ;

), у(?), х(?) - лiнiйнi координати пе-ремiщення центра тяжiння тша у часi, м;

(¡з(? ),у(? ),в(?) - кутовi координати пе-ремiщення центра тяжiння тша у чаа, м.

Математичне моделювання перемь щення будь-яких точок на тш1 з ураху-ванням геометричноТ не л1н1йност1

Використовуючи принцип описання взаемодп тiл [4] можна написати наступш рiвняння.

Загальна функцiя перемщень будь-яких точок на тш в часi мае наступний вигляд:

X (? ) I • зт(р(0) - у • зш(в(?)) + х(0 '

у «) > ~ < X • зт(в(0) -1 • эт(у(0) + у(0

I (0 - X • зт(^(г)) + У • $'т{у(г)) + к(г)

(2 )

Загальна функщя швидкостi пере-мiщень будь-яких точок на тш в часi мае наступний вигляд:

^ ( о'

ёУ (?)

о. (?)

де: [X, Y, I] - координати точки на тш по вiсi 0х, 0у, 0z, м;

[х(?), у (Г), )] - перемiщення центра тяжшня тша в час по вюям х, у, z, м; Жу(Х) Жк(?) Л & &

I • С08(<?(?)) • - У ■ 0О8(в(?))--— + —^

& & &

X • С08(в(?))--— - I • С0Э(у(?)) ' +

& & &

- X • сов(^)) • ^ + У • )) • ^ + ^)

(3 )

), в(?), у(?)] - кут^ перемщен-

ня тша в час вiдносно вiсей у, х; z, рад;

~ йфЦ) Cв(f) )" & ' &

швидкiсть ку-

- швидюсть пе-

тових перемiщень тша в час вiдносно вь сей у, х, z, рад\с.

ремщення центра тяжiння тiла в час по вiсям х, у, z, м\с;

Математичне моделювання силовоТ тами i описуються рiвняннями напруже-взаемодн т1л1 ного сплайну [10], яке мае вигляд:

Функцп, що описують сили мiж вза-емодiючими тiлами задаються координа-

^(£) _ К -1 ^("(х - Ь)) | К нк(4а ■ (Ь - х -1)) +

а нк(4а ■ к]) а нк(4а ■ к]) 4)

/ К] - Ч - Ь\ / К]\ 4 - х - Ч ■ Д7

+(У] -1--К^—) +(У]--и—,-), ] = 2"Ы

а к] а к]

де:а- параметр, який задаеться i сання» мiж точками (див. рис. 1) коефщь може бути вщ 0 до безкiнечностi. Чим енти К2-^ отримуються при виршенш вище його значення, тим менше «прови- системи рiвнянь:

К] ^___1_+К].((ск^ак4 +ск( ак+1)-

а ■ к] \[а ■ як(4а ■ к]) нк(4а ■ к]) нк(4а ■ к] +1) 4а

- )) + К] + !■(——-^-) = 5)

а к] к] +1 а ■к] +1 л]а ■ нк(л/а ■к] +1)

_У +1 - У] У] - У] -1 ] = 2М -1

к] +1 к]

Рiвняння для знаходження коефще-нтiв К1 та КN

(

К1 ■ (- —1— - Ск( а к2)) + К 2 ■ (—1— ^ V ) = у'1 - У2-У1 6)

а■ к2 $к(4а ■кт) а■ к2 -,\а ■нк41а ■кт) кг

(

Кы ___1_) + Кы- + Ск( а ■к)) = у' N - У - Уы -1 7)

а■ кы нк(\1 а ■кы) а■ кы нк(л/а ■к-Г) кы

де L - перемщення, мiж тiлами, м; [ х, у] - координати (абсциса та ордината), яю описують показники сили в характерних точках, [м, кН];

К - коефщенти напруженого сплайна;

hj - рiзниця мiж хj та хj-1 при j=2..N;

у'1 - похщна у точцi х1; у'N - похщна у точщ хN. Використовуючи апроксимащю силово'1 взаемодп мiж тiлами можливо моде-лювати бшьш реальний (плавний, набли-жений до натури) процес коливань тш.

d(t), м

— Фактичш значення

— Значення апраксимоват напруженим сплайном

— Значення апраксимоват куб1чним сплайном

Рис. 1. Приклад моделювання силового зв'язку мiж тiлами при апроксимацп хара-

ктерних точок рiзними видами сплайнiв Для моделювання силово'1' взаемодп мiж тшами (див. рис. 2), може бути вико-ристан вираз наведений у формулi 8.

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

d(t), м

Рис. 2. Приклад моделювання багатолшшно'!' пружньодисипативно'1' функцп

Багатолiнiйна пружньодисипативна функцiя

F (?) =

у1+^( )-х1)+Й1-| yi+Ъ)-Xi)+bi+1 уп+^+!•( )-хп)+Ьп+1

dz(t)

Л

) )

кЦ )< х1

Xi+1> )> Xi, I = 1.п -1;

)> хп

Функцiя «сухе тертя»:

F (?) = к • ) + • sign

(?У

(9)

де: п - загальна кшьюсть ординат характерних точок, шт;

у - ординати характерних точок, що описують залежнiсть сили вщ перемщен-ня тiла, кН;

х - абсциси характерних точок, що описують залежшсть сили вщ перемщен-ня тiла, м;

к(?) - перемiщення тiла або двох взаемод^чих тiл, м;

(? )

швидкiсть перемiщення тша

або двох взаемодiючих тiл, м\с2; Ftr - сила сухого тертя, кН; к - жорстюсть зв'язка мiж двома тi-лами, кН\м;

Ь - коефщент дисипацп зв'язка мiж двома тшами, кН>м\с.

40 30 20 10 0 -10 -20 -30

-3 -2 -1 0 гф, м 1 2 3

Рис. 3. Приклад моделювання функцп «сухого тертя»

Моделювання силового зв'язку мiж колесом та рейкою можливо записати у наступному виглядг

^у11

Ру12

FXll

FXl2

КН • С08(п11) + Rkzll • 8т(п11) + К21 • С08(п21) + Rkz2l • 8т(п21) К12 • С08(п12) - Rkzl2 • 8т(п12) + К22 • С08(п22) - Rkz22 • 8т(п22)

Fxll + ^х21 ^х12 + Гх22

(10)

де: FXij, i = 1..2, j = 1..2; - сили, що

, i = I. 2, ] = 1-2; - сили, що дiють на колiсну пару та рейку вщносно дiють на колюну пару та рейку вщносно вiсi х, кН; вiсi у, кН;

ка]

Рхц =

/(1 + Ш]2) т] '

г • х • к], i = 1..2, ] = 1..2;

- сили, що д^ть на колесо або рейку вздовж Bici x в точках контакту тш, кН;

kcij

Kij = , 2 =F■syij■kij, i = I--2, j = l.-2; + hij 2)■sij2

- сили, що д^ть на колесо або рейку вздовж Bid y в точках контакту тш кН;

hij = kcij , i = 1--2, j = 1-.2; Rkzij ■ftr

kcij = Rkzij ■ (235 - Rkzij ■ (2.4 - 0.01 ■ Rkzij)), i = 1..2, j = 1..2;

я] = л/(яху2 +У2), г =1.2, ] =1.2;

- вiдносна швидкiсть проковзування колеса по рейщ;

v ■ drij

dy(t )

sxij = —^ + (-1) j+1 ■ i = 1..2, j

rj

dt

- вiдносна швидкiсть проковзування колеса по рейщ по вiсi х ;

dy(t) , dd(t) dw(t ) syij =—--r1j---v-

dt

dt

dt

- вiдноcна

г = 1..2, ] = 1..2;

швидкють проковзування колеса по рейщ по вiсi у;

(гу = ((-1)]+' ■Щ^У(Г) -щ ■(пегруг) + (п1 -щ)), г= 1..2, ] = 1..2;

- змiна радiуса колеса у точках г, ] , м;

^к? + dgr1i > 0

Rкz - вертикальна статична сила у точщ контакту колеса та рейки, кН;

Р?/], г = 1..2, ] = 1..2 - динамiчнi ве-ртикальш сили, що виникають мiж колесом та рейкою у точках контакту, кН;

сру - жорсткють коли вщносно вiсi у, кН\м;

пегруг - нерiвнiсть колп в плаш, м; п] = га( - середне значення радiу-са колеса, м;

Лгу - вщхилення вщ середнього значення радiуса колеса, м;

г - час взаемодп колеса з рейкою, с; V - швидкють руху колеса по рейщ,

м\с;

£ - половина вщсташ мiж кругами 1 кочення колiс, м;

^г - коефщент тертя колеса по

рейщ;

Лп] = нк г гру, ] = 1..2; - ширина колп в точках взаемодп колеса та рейки, м;

у() - координата положення колеса у час вщносно вiсi у, м;

(у (г)

dt

- швидкють змши координати

Rkz1i =

i = 1..2

Rkz + Fz1i - Rkz2i, dgr1i < 0

положення колеса у час вiдносно вiсi у, м\с;

в(г) - кут повороту колеса у час вщносно вiсi х, рад;

Rkz2i =

0, dgr1i > 0

- cpy ■ dgr1i sin(n2)

i = 1..2

dd(t) -

dt

швидкicть змiни кута пово-

, dgr1i < 0

dgг1i = (т + (-1)г ■ у(г) + (-1)г+1 ■ пегруг, г = 1..2

9

т, щ, г = 1..2,] = 1..2 - кути взаемодп колеса та рейки у точках контакту, рад;

Rkzij, г = 1..2, ] = 1..2 - вертикальш сили, що виникають мiж колесом та рейкою у точках контакту, кН;

швидкють змши кута пово-

роту колеса у час вщносно вiсi х, рад\с; р(г) - кут повороту колеса у час вь

дносно вiсi ?, рад; ) -

(г

роту колеса у час вщносно вiсi ?, рад\с;

Для визначення коефiцiентiв диси-пацп у вертикальнш та горизонтальнiй площинi при моделюванш нахилених де-мпферiв рухомого складу можна викорис-товувати наступне рiвняння:

&(?)

у?)

а(?) =

(

агс1ап

3 • Бт(а(?))

3 • cos(a(t)) к0 - к(?) у0 - у(?) + к

(11)

(12)

де: к0 - вщстань вщ верхнього до нижнього кршлення демпфера у вертика-льнш площинi;

у0 - вiдстань вщ верхнього до нижнього кршлення демпфера у горизонтальны площиш;

) - змiна вщсташ у вертикальнiй площинi за рахунок взаемодп тiла або тiл; у(?) - змiна вiдстанi у горизонталь-

нiй площинi за рахунок взаемодп тша або тiл;

к ^ 0 - допомiжна величина; Р - коефщент дисипацп демпфера.

R( х) =

да,

Моделювання геометрн колп

Геометричнi нерiвностi колп можуть бути подiленi на макронерiвностi (проект-не положення колп в план та профiлi) та на локальш нерiвностi (вiдступи вiд поганого поточного утримання колп). Геомет-рiя колп може задаватися покоординатно (за натурними вимiрами) у виглядi масиву точок апроксимованих напруженим або кубiчним сплайном.

Макронерiвностi колп подшеш на нерiвностi колп в плаш та профш. Мак-ронерiвнiсть колп в планi задаеться на-ступним чином:

- визначаеться радiус на iнтервалi х

х < 0

• I

р£1

• I , „ рк 2

1' кк + ¡рк1 +1рк 2 х

да,

> х > 0

рк1

^ кк + ¡рк1 > х > ¡рк1

1кк + ¡рк1 +1рк 2 > х >1кк + ¡рк1

х > ^ кк + ¡рк1 +1рк 2

(13)

де: х - ордината положення криво! в

Rad - радiус кругово! криво'1, м;

/

¡кк - довжина кругово! криво!', м;

- тсля визначення радiуса для отри-мання реального положення колп в плаш

кривое м; 1рк 2

71- довжина першох перехщнох .r^.

рк1 потрiбно вирiшити наступне рiвняння

довжина друго! перехщно!

кривое м;

> = <

х

d2 y( x) dx2

1 +

dy( x) dx

TV

R( x)

(14)

де: y( x) - абсциса положення криво! в залежносп вiд ординати, м.

25

20

* 15 10

50

100

150

x, м

200

250

300

Рис. 4. Приклад моделювання реального положення колп в плаш з радiусом 1500 м та перехщними кривими i круговою кривою з довжинами по 100 м

0.0008 0.0007 0.0006 Д 0.0005 § 0.0004 2 0.0003 0.0002 0.0001 0

50

100

150

x, м

200

250

300

Рис. 5.Приклад моделювання кривизни колп при радiусi 1500 м та перехщних кривих i кругово! криво! з довжинами по 100 м

Макронерiвнiсть колп в профш (пь двищення зовшшньо! рейки в кривiй) мо-же бути задана наступним чином:

h( x) =

Уl,

У1 +(У2 -У1 )•

Л2 i i 3 -

V x2 x1

w

V V x2 x1 y y

У 2 ,

У3 +(У 4 - У3 ^

2

3 -

V x4 x3 y

Y\

V V x4 x3 yy

У 4 ,

x < x1

x3 ^^ x ^^ x2 ;

^^ x ^^ x3

x > x

4

(15)

1

5

0

0

0

x2 > x > x1

де: ^х) - пiдвищення рейки в зале-жностi вiд ординати х, м;

у1, х1 - абсциса та ордината початку першо! перехщно! криво!, м;

у2, х2 - абсциса та ордината кшця першо! перехщно! криво!, м;

у3, х3 - абсциса та ордината кшця кругово! криво!, м;

у4, х4 - абсциса та ордината кшщ друго! перехщно! криво!, м;

0.12 0.1 0.08 3 0.06 м 0.04 0.02 0

50

100

150

х, м

200

250

300

Рис. 6. Приклад моделювання положення коли в профш при тдвищеш 0,1 м та перехiдних кривих i кругово! криво! з довжинами по 100 м

Локальна нерiвнiсть колп як у планi вань) або у наступнш математичнiй форта i у профiлi може бути задана покоорди- мг натно (за результатами натурних вимiрю-

У( х) =

0,

а (л Го (х" ¡0

—-I 1 - соя п- 2 •---

2 I I ¡2

0,

х - И > ¡2

0 < х - и < ¡2

х - и < 0

(16)

х = V • t;

де: а - глибина нерiвностi колп, м; х - ордината нерiвностi, м; ¡2 - довжина нерiвностi, м; И - ордината початку нерiвностi, м;

йу( х)

йх

V - швидюсть руху тiла по нерiвнос-

тi, м/с;

/ - час перемiщення тша по нерiвно-

стi, с.

Похщна локально! нерiвностi для визначення дисипативно! сили у контактi колесо-рейка мае наступний вигляд:

а • ят! п- 2 •

(х - ¡1 п • V

¡2 I ¡2

х - и > ¡2 0 < х - И < ¡2 х - И < 0

(17)

х = V • К

0

0

0

0.01 0.005 1 0 -0.005 -0.01 -0.015

1 2 1 4 1 6 1 8 2

х, с

Рис. 7. Приклад моделювання локально! нерiвностi колп з амплiтудою 0,01 м на довжиш 10 м з початком на 15 метрi при швидкосп руху тiла по нiй 50 км/год.

0.05 0.03

"I 0.01 £

-0.01 -0.03 -0.05

1 2 1 4 1 6 1 8 2

х, с

Рис. 8 .Приклад моделювання похщно! вщ нерiвностi колп ампштудою 0,01 м на довжиш 10 м з початком на 15 метрi зi швидюстю руху тша по нiй 50 км/год.

Висновок

Для проведення теоретичних розра-хунюв, для вивчення процесiв динамiки взаемодп колп i рухомого складу, розроб-лення нових нормативiв утримання колп [11], а також для бшьш досконалого проведення експериментальних дослщжень впливу рейкових екшажей на колш [12], була вище приведена удосконалена методика математичного моделювання взаемодп колп та будь-якого рухомого складу.

Представлена методика мае наступш удосконалення та доповнення до рашше вщомих тим, що можливо:

- моделювати процеси взаемодп колп та рухомого складу без ппотези геоме-трично! лiнiйностi перемiщень та дефор-мацiй. Це дозволяе отримувати бшьш то-чнi результати шж з використанням ппо-тези у кривих радiусом менше нiж 1000 метрiв та при швидкостях руху понад 140 км/год;

- задавати фактичний стан колп за результатами натурних вимiрiв вагона ко-

лieвимiрювача та ручно! зйомки колп, що е особливо дуже важливим пiд час прове-дення експериментальних дослiджень;

- моделювати дисипативнi та пружнi характеристики силово! взаемодп тiл, ше-рцшних характеристик тiл, як змiнних у час та змiнних в залежносп вiд мiсця роз-ташування у колп.

Список лггератури

1 Стратегия розвитку залiзничного транспорту на перюд до 2020 року. [Текст] Ршення КМУ вiд 16.12.2009 р. №1555-р .

2 Хусидов, В. В. Динамика пассажирского вагона и пути модернизации тележки КВЗ-ЦНИИ [Текст] / В. В. Хусидов, А. А. Хохлов, Г. И. Петров, В. Д. Хусидов // - М.: МИИТ, 2001. - 162 с.

3 Popp, K. System Dynamics [Текст] / K. Popp // GmbH, Heidelberg. - 2003. -490с.

4 Мямлин, С. В. Моделирование динамики рельсовых экипажей.[Текст] / С. В. Мямлин -Д.: Новая идеология, 2002. - 240 с

5 Вериго, М.Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава [Текст] / М.Ф. Вериго, А. Я. Коган//. - М.: Транспорт, 1986. - 559 с.

6 Ушкалов, В. Ф. Математическое моделирование колебаний рельсовых транспортных средств [Текст]/ В. Ф. Ушка-лов, Л. М. Резников, В. С. Иккол, и др. АН УССР. Ин-т техн. Механики. - Киев: Наук. Думка, 1989. - 240 с.

7 Говоруха, В. В. Моделирование движения рельсовых экипажей [Текст]. -Киев: Наук. Думка, 2006. - 460 с.

8 Ромен, Ю.С. О нелинейных колебаниях железнодорожного экипажа в кривых произвольного очертания [Текст]. -МежВуз., сб. науч. трудов/ ВНИЖТ, 1967, вып. 347, с 5-26.

9 Рибкш, В. В. Особливосп матема-тично! моделi взаемодп колп та рухомого складу в межах стршочного переводу [Текст] / В. В. Рибкш, К. Л. Каленик // Вь сник Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. тр-ту iм. акад. В. Лазряна, - 2009. -Вип. 30. - С. 204-207.

10 В. В. Носач Решение задач аппроксимации с помощью персоналных компьютеров [Текст] - М.:МИКАП, 1994. - 382 с.

11 Техшчш вказiвки щодо оцшки стану рейково! колп за показниками ко-лiевимiрювальних вагошв та забезпечення безпеки руху поiздiв при вщступах вщ норм утримання рейково! колп. ЦП/0267 [Текст] / В. В. Рибкш, О. М. Патласов, П.В. Панченко та шшь// - К.: Транспорт Украши., 2012. - 42 с.

12 Рибкш В. В., Експерементальш дослщження взаемодп колп та рухомого складу при швидкостях руху до 160 км/год [Текст] / В. В. Рибкш, О. М. Патласов, П. В. Панченко // Збiрник наукових праць Донецького ш-ту залiзн. тр-ту, -2011. № 25. - С. 191-198.

Анотацн:

Викладена удосконалена методика матема-тичного моделювання рухомого складу та коли. Приведена методика може бути використана та використовуваеться для взаемодп коли та будь-яких рейкових екшажей при швидкостях руху по-над 140 км/год

Приведена усовершенствованная методика математического моделирования подвижного состава и пути. Данная методика может быть использована и используется для изучения взаимодействия пути и любых рельсовых экипажей при скоростях движения свыше 140 км/час.

The advanced technique of mathematical modelling of a rolling stock and way is resulted. The given technique suits studying of interaction of a way and any rail crews at speeds over 140 km/hour..