Удар тела о препятствие Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.66

Удар тела о препятствие

© В.В. Лапшин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрена плоская задача упругого удара тела о шероховатую поверхность (препятствие) в рамках стереомеханической модели удара (модели удара Ньютона). Предполагается, что контакт тела с поверхностью осуществляется в одной точке. Формулы для расчета параметров удара и характеристик движения тела после удара зависят от особенностей скольжения пятна контакта в процессе удара. Скольжение может прекратиться в фазе деформации или в фазе восстановления, может продолжаться в течение всего удара в одном направлении, возможно и изменение направления скольжения в процессе удара. Показано, что тип удара или характер движения пятна контакта в процессе удара определяется с помощью графической картины на плоскости параметров угол трения и угол падения, который определяет направление скорости точки контакта тела с поверхностью до удара. В качестве границ, разделяющих области, соответствующие различным типам удара, выступают кривые, поведение которых зависит от положения точки контакта относительно центра масс тела, радиуса инерции тела, угла трения и коэффициента восстановления при ударе.

Ключевые слова: удар, сухое трение, стереомеханическая модель.

Введение. Явление удара часто встречается при движении механических систем, в том числе при работе различных машин и механизмов [1-23]. Известны различные модели удара [1, 3, 4, 7, 9, 13-16, 18, 21-23].

В работе рассмотрен косой удар тела о неподвижную шероховатую поверхность (препятствие) в предположении, что тело совершает плоское движение и контакт имеет точечный характер. Предполагается, что ударные силы взаимодействия существенно больше остальных сил и действием последних можно пренебречь.

Наиболее точная модель удара связана с исследованием динамики движения вязкоупругопластичных деформируемых тел [4, 7, 9, 16], сложна и требует большого объема численных расчетов.

Модель удара Ньютона (стереомеханический удар) [15] основана на гипотезе, что время удара бесконечно мало и перемещением тела в процессе удара можно пренебречь. Ньютон сделал предположение, что при коллинеарном ударе коэффициент восстановления (отношение модулей скоростей тела после удара и до удара) определяется материалом, из которого изготовлены тела, и не зависит от скорости соударения. Он разделил процесс удара на две фазы. В фазе деформации скорость тела уменьшается до нуля и накапливается энергия упругих деформаций. В фазе восстановления накопленна потенциальная энергия освобождается, тело разгоняется и движется в противоположном направлении.

Пуассон [23] ввел другое определение коэффициента восстановления: отношение импульсов ударной силы взаимодействия в фазах восстановления и деформации. При коллинеарном ударе эти два определения коэффициента восстановления совпадают. В задаче о косом ударе тела о неподвижное препятствие (движение тела до удара и после удара произвольное) эти определения не эквивалентны и следует использовать определение Пуассона.

Модель удара Ньютона не позволяет определить многие важные параметры удара, его продолжительность, максимальную силу взаимодействия тел, их деформацию и т. д.

Широко распространена линейная вязкоупругая модель удара Кельвина — Фойхта [4, 7, 9, 16], согласно которой контактная сила взаимодействия тел при ударе сводится к линейной силе упругости и сопротивления Е = Е (х, х) =—сх — цх, где с и ц — постоянные коэффициенты упругости и сопротивления; х — деформация тела и препятствия при ударе. В процессе удара значение х > 0. Уравнение движения тела при ударе является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и имеет аналитическое решение. Коэффициент восстановления при ударе постоянный. Модель противоречит естественным физическим представлениям. Сила взаимодействия тел в начале и конце удара равна силе сопротивления и отлична от нуля. Если в процессе деформации меняется пятно контакта, предположение о линейной зависимости упругой силы взаимодействия и силы сопротивления от деформации является некорректным.

Герц [21] предположил, что упругая сила контактного взаимодействия тел при ударе зависит от деформации х так же, как и в случае статического равновесия. Он показал, что если тело и препятствие в окрестности точки контакта имеют сферические поверхности и их деформации малы по сравнению с радиусами, то с учетом увеличения пятна контакта и ростом деформации х сила упругого взаимодействия Е (х) = —сх32, где с — константа, ее значение определяется радиусами этих сферических поверхностей и материалом, из которого изготовлены тела. Отметим, что Герц рассматривал абсолютно упругий удар. В этом случае уравнение движение тела имеет интеграл энергии и интегрируется в квадратурах, т. е. его решение сводится к вычислению определенного интеграла.

Экспериментальные данные, приведенные в монографии Гольд-смита [4], показывают, что с ростом скорости соударения тел коэффициент восстановления монотонно убывает.

Хант и Кроссли [6, 22] предложили модель, которая является развитием модели Герца на случай, когда тело и препятствие подчиняются законам вязкоупругого деформирования. В рамках этой модели

коэффициент восстановления убывает с ростом скорости соударения, и результаты согласуются с экспериментальными данными [4].

В волновой теории удара [4, 7, 9, 16] тела являются упругими и отсутствует остаточная деформация тел. Потеря энергии при ударе обусловлена возникающими при ударе упругими волнами распространения деформации. Скорость распространения этих волн зависит от свойств материала. В инженерной практике на основе волновой теории проводят расчет удара стержней о препятствие. Если время прохождения упругих волн через все тело меньше продолжительности удара и происходит несколько отражений волн за время удара, влиянием упругих волн можно пренебречь [4].

Многие прикладные задачи можно исследовать на основе теории удара Ньютона [1-23]; при условии что деформации при ударе малы, можно пренебречь волновыми процессами и остаточной деформацией. Эти предположения обусловливают ограничения на скорость соударения, используемые материалы, форму и размеры тела. Модель справедлива для компактных тел, изготовленных из достаточно жесткого материала. Скорость соударения должна быть достаточно высокой, чтобы ударные силы достигали больших значений и можно было пренебречь конечными силами, но в то же время и достаточно малой, чтобы не вызвать значительной деформации тела или его разрушения. Для того чтобы предположение о постоянстве коэффициента восстановления выполнялось, необходимо ограничиться узким диапазоном скоростей соударения.

Аналитическое решение плоской задачи об ударе тела о шероховатую поверхность при точечном контакте тела с поверхностью получено в [14, 17]. В этом случае однозначно можно определить импульс ударной силы реакции и выяснить характер движения (скорости) тела после удара. В настоящей работе показано, что тип удара или характер движения пятна контакта в процессе удара можно определить с помощью графических зависимостей на плоскости параметров угол трения ф и угол падения р (который определяет направление скорости пятна контакта тела с поверхностью до удара). Границами, разделяющими области, соответствующие различным типам удара, служат кривые, поведение которых зависит от положения точки контакта относительно центра масс тела, радиуса инерции тела, угла трения и коэффициента восстановления при ударе.

Рассматриваемая статья является естественным продолжением работы [10], в которой аналогичные результаты были получены для абсолютно неупругого удара.

Исследование процесса удара. Рассмотрим плоский упругий удар тела массой т о неподвижную шероховатую поверхность (рис. 1). Пусть С — центр масс тела, Б — точка контакта тела с поверхностью

при ударе. Радиус инерции тела относительно центра масс обозначим р. Единичные вектора т и п определяют касательное и нормальное направление к поверхности в точке контакта Б. Обозначим Я = (Я, Яп) — касательный и нормальный импульсы ударной силы реакции в точке Б. Положение центра масс С относительно точки Б определяется параметрами к > 0 и Ь. Не нарушая общности, можно считать, что центр масс С лежит слева от точки контакта Б , при этом

и

Рис. 1. Схема взаимодействия тела с препятствием (неподвижной поверхностью)

Ь > 0.

(1)

Для случая Ь < 0 (центр масс лежит справа от точки контакта) все результаты могут быть получены из соображений симметрии.

Обозначим V = (ут , \п) — касательную и нормальную скорости центра масс, и = (ит, ип) — касательную и нормальную скорости точки контакта Б, ш — угловую скорость тела. За положительное примем направление угловой скорости против хода часовой стрелки. Скорости точек С и Б связаны кинематическими соотношениями

Процесс удара разделим на две фазы: в фазе деформации нормальная составляющая скорости точки контакта уменьшается до нуля, оставаясь отрицательной, а в фазе восстановления нормальная составляющая скорости точки контакта увеличивается от нуля до некоторого положительного значения.

Нормальная скорость точки Б до удара отрицательна, в конце фазы деформации равна нулю, после удара положительна, а нормальная составляющая импульса ударной силы реакции — не отрицательна:

Значения всех скоростей до удара будем обозначать верхним индексом «-», значения скоростей после удара верхним индексом «+», а значения скоростей в конце фазы деформации (или начале фазы восстановления) верхним индексом «'».

Уравнения удара (уравнения движения центра масс и изменения кинетического момента тела относительно центра масс) в фазе деформации имеют вид

ит = ут+шк, ип = уп +шЬ.

(2)

и-< 0, и'п = 0, и+> 0, Яп > 0.

(3)

т От-О = Я , т (Уп - V- ) = Яп ,

2 (4)

тр 2(ш'-ш-) = Я-Ъ + Я"И, а в фазе восстановления —

т (<- V') = Я", т (у+- V-) = Я- , ( )

(5)

тр2(ш+-ш') = Я-Ъ + Я>

Здесь Я-, Я", Я-, Яг" — нормальные и касательные составляющие импульса ударной силы реакции в фазах деформации и восстановления соответственно. При этом для нормальных составляющих [23] Я- = кЯ'п, где 0 < к < 1 — коэффициент восстановления при ударе. При абсолютно неупругом ударе к = 0, а при абсолютно упругом ударе к = 1.

Учитывая соотношения (2)-(3), из выражений (4)-(5) получаем формулы для изменения скорости точки контакта Б в фазе деформации:

тр2 (и' - м-) = Я"(р2 + И2) + Я'-ЪИ, -тр2м- = Я- (Р2 + Ъ2) + Я"ЪИ и фазе восстановления

тр2(м+-м" ) = ЯГ(р2 + И2) + кЯ-ЪИ, тр2м+ = кЯ- (р2 + Ъ2) + ЯЪИ. Отсюда находим

тр 2(м+-и- ) = Я" (р2 + И2) + ЯпЪИ,

тр 2(м+-м- ) = Яп (р2 + Ъ2) + Я"ЪИ,

где Яп = (1 + к)Я-; Я" = Я" + Я"'.

Примем гипотезу о том, что при ударе трение сводится к сухому трению [18, 23] с коэффициентом трения /:

(6)

(7)

fRn •

Если точка контакта в процессе удара в течение некоторого (бесконечно малого) интервала времени имеет постоянное направление касательной скорости, в этой фазе удара R = - fRn sign u т.

В результате удара точка контакта S может в касательном к поверхности направлении остановиться или скользить в течение всего

удара. При этом если в процессе удара под действием трения касательная скорость ит становится равной нулю в некоторый момент

* — +

времени / е , / ], это не означает, что в дальнейшем в процессе

удара она останется равной нулю. Действительно, чтобы ит = 0 при

* +

/ е [/ , / ] должны выполняться следующие соотношения: тр2« — и*) = 0 = С(р2 + Н2) + |<| < /<, где и* = 0 — ка-

сательная скорость точки контакта в момент /*, а К**, К* — им-

*+

пульсы ударной силы реакции за время [/ , / ]. Отсюда

ЪН

р2 + Н2

/ ^"^гт. (8)

Если условие (8) нарушено, то в силу геометрического положения

*+

тела точка контакта при / е [/ , / ] скользит направо (см. рис. 1), т. е.

/-ч л** т** 2/ + *\ 2 + п** / 2 1 2\

ит >0, так как К = —/к* и тр (ит — ит) = тр иТ = К (р + Н ) +

** т

+ Я„ЪН > 0. В этом случае произойдет изменение направления

скольжения точки контакта. При /* е[/—, /+ ] точка контакта скользит

налево, т. е. ит < 0, или с отрицательной скоростью, которая под действием силы трения уменьшается до нуля, а затем начинает скользить направо с увеличивающейся положительной скоростью.

Перейдем к рассмотрению различных типов удара в зависимости от того, как осуществляется скольжение в процессе удара.

Скольжение прекращается в фазе деформации. При этом

и = ит = Из уравнений удара (6)-(7) получаем

т ~и— (р2 + Н 2) + и—ЪН К ти—ЪН — и— (р2 + Ъ 2) К»= т-2——-, Кх = т-

р2 + Ъ2 + Н2 1 р2 + Ъ2 + Н2

К' = —г+гг, и+ = к(р2 + ъ2 + н2)К.

р + Н т

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия

ЪН

и— < 0, / у, и— (р2 + Н2) — и—ЪН < 0,

р2 + Н

и— [ЪН + /(р2 + Н2)] — и— [р2 + Ъ2 + /ЪН] < 0, (9)

и— [ЪН — /(р2 + Н2)] — и— [р2 + Ъ2 — /ЪН] > 0.

Скольжение прекращается в фазе восстановления. При этом

signUT = signuT, u+ = 0, R[=-fR'n signuT. Из уравнений удара (6)-(7) имеем

-тр 'it,, u , u _ u _ bh - f (p2 + ^2)signuT R„=^-;-, u T = uT -un

n 2 7 2 /*7 i 5 T T n 2 7 2 /*7 7 5

р + b - fbhsign uT р + b - fbhsign uT

D„= kR' bh + mp2uT + = kRn (р2 + b2) + R^bh

RT = 2.72 , un = 2 •

р + h тр

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия:

а) при скольжении направо

- ^ - ^ bh , р2 + b2 un< 0, uT > 0, < f <w

p2 + h2 bh u- [bh - /(р2 + h2)] - u-[p2 + b2 - fbh] < 0, (10)

(1 + k)u- [bh - f (p2 + h2)] - u- [ p2 + b2 - fbh] > 0; б) при скольжении налево

bh

u- < 0, u-< 0, f >

p2 + h2

u-[bh + f(p2 + h2)]-u-[p2 + b2 + fbh] > 0, (11)

(1 + k) u- [ bh + f (p2 + h2)] - u- [ p2 + b2 + fbh] < 0.

Полное скольжение (без изменения направления). При этом sign u- = sign u+, R = -f R sign uT, R = -fR sign uT = -f kR sign uT. Из уравнений удара (6)-(7) получаем

R -wpX , u - u - bh- f (p2 +h2)signux Rn = ^-;-, uT = uT -un

n p2 + b2 - fbh sign uT' T T n p2 + b2 - fbh sign uT

u + u , , kR'n[bh- f (p2 + h2)signuT]

ux = u t +-2-

rnp

bh - f (p2 + h2)signuT p2 + b2 - fbh sign uT

u+=u--(1+k)u- ; Jj 51, u+=-kun.

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия:

а) при скольжении направо

и— < 0, и— > 0, / ,

ЪН

и— [ЪН—/(р2 + Н2)] — и—[р2 + Ъ2 — /ЪН] < 0, (12)

(1 + к) и— [ЪН—/(р2 + Н2)]—и— [р2 + Ь1 — /ЪН] < 0;

б) при скольжении налево

и— < 0, и— < 0, (1 + к)и*[ЪН + /(р2 + Н2)] — и— [р2 + Ъ2 + /ЪН] > 0.

(13)

Изменение направления скольжения. В процессе удара точка контакта Б сначала скользит налево, а затем направо. Этот случай имеет место, когда не выполнено условие (8) или

ЪН р2 + Ъ2

/ <—2-7 <-.

р2 + Н2 ЪН Здесь кроме (8) использовано неравенство

(14)

р2 + Н2 ЪН

которое всегда справедливо. Действительно, в силу выражения (1) значение Ъ > 0 и неотрицательности Н оно эквивалентно неравенству Ъ2Н2 < (р2 + Ъ2)(р2 + Н2), где радиус инерции р ф 0.

Изменение направления скольжения в фазе деформации. При

— * 1 + * /~\ * этом X < X < X < X и и* < 0, где X — момент изменения направления скольжения в процессе удара.

На первом этапе фазы деформации при X е[£—, X ] точка контакта скользит налево, и— < 0, ит = 0, К = /К* , где и„, ит — скорость

точки контакта Б в момент смены направления скольжения; К* ,

*

Ят — импульсы ударной реакции в течение первого этапа фазы деформации. Из уравнений удара для первого этапа фазы деформации получаем

К'* = -тр2и— * = _ и_ [р2 + Ъ2 + /ЪН]

'= ън+/(р2 + н2)' и" = и" ~и ън+/(р2 + н2).

На втором этапе фазы деформации при X е[£ , X'] точка контакта скользит направо, ит = 0, ит > 0, и* = 0, К = —/ К* , где К„ ,

К — импульсы ударной реакции в течение второго этапа фазы деформации. Из уравнений удара для второго этапа фазы деформации получаем

К«, = -тр 2ип

иТ = —и*

р2 + Ъ2 — /ЪН'

[ЪН — / (р2 + Н2)] р2 + Ъ2 — /ЪН '

При X е [X', X+ ] точка контакта скользит направо, иТ > 0,

и+ > 0, и* = 0, K = _/K, К* = кК*, К* = К** + К" Из уравнений удара для фазы восстановления (6) получаем

и += иТ+^ кК* [ЪН — / (р2 + Н2)], тр

и+я=-рТ К (р2 + Ъ2 — /ЪН). тр

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия

- л — л /• ън

ип <0, иТ <0, /<-

р2+Н2 (15)

и— [ЪН + /(р2 + Н2)] — и— [р2 + Ъ2 + /ЪН] < 0.

Изменение направления скольжения в фазе восстановления.

При этом X < X' < X* < X + и и* > 0. В фазе деформации при X е [X—, X'] и

*

на первом этапе фазы восстановления при X е [X , X ] точка контакта

скользит налево, и— < 0, и'Т < 0, и* = 0, К' = /К*, К' * = /К* *, где

и*, и* — скорость точки контакта Б в момент смены направления

скольжения, Я* , К — импульсы ударной реакции в течение первого этапа фазы восстановления. Из уравнений удара для фазы деформации (5) и первого этапа фазы восстановления получаем

К ' = -тр2и— , = __ — [ЪН + / (р2 + Н2)]

К* ЪН + /(р2 + Н2), и и и* ЪН + /(р2 + Н2) ,

» = —тр2иТ и* = , р2 + Ъ2 + /ЪН

* = ЪН + /(р2 + Н2)' и* =—ит ЪН + /(р2 + Н2)'

На втором этапе фазы восстановления при / е , /+ ] точка контакта скользит направо, иТ = 0, иТ > 0, ип > 0, ии > 0, Я = -/Яп ,

ЯП = ¿К, ^П'** = ^^П - ЯП'*- Из уравнений удара для второго этапа фазы восстановления имеем

и+ =-1^ ккп - я:*)[ьн - / (р2+н2)],

тр

ип+ = и* +-Р^(кЯ'п -Я:*)(р2 + Ь2 -/ЬИ)-тр

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия

- Л - Л /• ън

ип < 0, ит < 0, / < 2 ,2,

р2 + И

и- [ЬИ + /(р2 + И2)] - и- [р2 + Ъ2 + /ЬИ] > 0, (16)

(1 + к)и- [ЬИ + /(р2 + И2)] - и- [р2 + Ъ2 + /ЬИ] < 0.

Для всех рассмотренных выше случаев определены условия, при которых они имеют место, а также скорость точки контакта Б после удара и импульсы ударных сил реакции опорной поверхности для фаз деформации и восстановления- Найдем полные импульсы ударных реакций в течение всего удара: Яп = Я'п + Я' = (1 + к)Я'п, Ят = = ЯТ+ ЯТ'. Причем, если изменяется направление скольжения точки Б в фазе деформации, получаем Я'п = Я'* + Яп**, ЯТ = ЯТ* + ЯТ**. Если изменяется направление скольжения точки Б в фазе восстановления,

Т}ГГ Т}"* , Т}"**

имеем ЯТ = ЯТ + ЯТ .

Значение угловой скорости тела после удара определяется треть-

/„ч /гч + - ЯпЬ + ЯТИ

ими уравнениями (4)-(5), ш = ш +--2—- Скорость центра масс

тр

тела после удара вычисляется с помощью соотношений (2).

Графическая интерпретация условий, соответствующих различным типам удара. В предыдущем разделе рассмотрены типы движения тела при ударе и получены условия, при которых имеет место тот или иной тип удара. Однако эти условия достаточно сложны и зависят от значений следующих параметров: положения точки контакта относительно центра масс, определяемого параметрами Ь и И; радиуса инерции тела относительно центра масс р; коэффициента трения / тела о поверхность и скорости точки контакта Б в начале удара. Непротиворечивость этих условий и корректность модели

удара (т. е. однозначность определения характеристик движения в конце удара для любого тела и любых значений скоростей в начале удара) далеко не очевидна.

Для упрощения анализа этих условий введем угол трения ф и углы у0, Уь у2, Уз, У0, Уъ У2, У3:

* . * р2 + Ъ2 * ЪН

ф = аг^ /, У0 = аг^ ——, У! = аг^ ———,

ЪН р2 + Н2

* р2 + Ъ1 + /ЪН * р2 + Ъ2 — /ЪН

У 2 = аГС1§^-„2 ,2^ ? 3 = агс1§^-„2 ,2^ (17)

ЪН + /(р2 + Н ) ЪН - /(р2 + Н )

При этом

у г = аг^*-^, I = 0,1,2,3. 1 + к

у 0 +ф

у 2 = уг

у 3 = у1

У1 +1§ Ф

у 0 - ф у1 -ф

п

Учитывая неравенство (14), получаем 0 < у1 < у2 < у0 < —.

Отметим, что здесь и далее агСв х е [0, п] при х е (—сх>, + сх>), т. е.

* Г агСв х, если х > 0, ш-^ х = ^

[агСв х + п, если х < 0.

При этом агСв*(±ю) = п/2; агС£* х — 0, если х — 0 и х > 0;

*

агС£ х —> п, если х — 0 и х < 0.

Введем следующие множества значений скорости точки контакта Б в начале удара, и— , и— :

П-^(м— , ип): м— < 0}, П—={(м — , м* ): и -< 0}, П+={(м — , и*): и -> 0} , П1 = {(м — , К): К(р2 + Н2) - и— ЪН < 0} = {(м — , ): М-- иТtgУ1 < 0}, П2 = {(м- , и-): м-[ЪН + /(р2 + Н2)] - м— [р2 + Ъ2 + /ЪН] < 0} = = {{ , и* м- У 2 < 0},

П 2 = {(и- , и-): (1 + к и [ЬИ + / (р2 + И2)] - щ [р2 + Ь2 + /ЬИ] < 0} =

= {{ , иТ- у 2 < 0},

П3 = {(и- , и-): и- [ЬИ - /(р2 + И2)] - и- [р2 + Ь2 -/ЬИ] > 0} =

= {(и- , и-) : и- - и- у3 < 0 пРи ф > Уъ и-- и-у з > 0 при ф<у1, и-< 0 при ф = У1},

п з = {(и- , и-): (1+к и [ЬИ - / (р2 + И2)] - иТ [р2 + Ь2 - /ЬИ] > 0} = = {(и- , и-): и-- и-у з < 0 при ф > У], и-- и-Уз > 0 при ф<уь

и-< 0 при ф = у1}.

Каждое из этих множеств представляет собой полуплоскость. В силу условий (9)-(13), (15), (16) имеем, что в течение удара точка контакта Б:

останавливается в фазе деформации тогда и только тогда, когда (и-,и-)еПп иПип2иПз и ф>уь

скользит направо и останавливается в фазе восстановления тогда и только тогда, когда (и- ,и-) еП- иП+ и —Пз иПз и у0 > ф > у1;

скользит налево и останавливается в фазе восстановления тогда и только тогда, когда (и-, и-) е П- и П- и —П2 и П2 и ф > уь

скользит направо (полное скольжение) тогда и только тогда, когда (и-, и- ) еП - и П+ и —п з и —п з и ф<у 0;

скользит налево (полное скольжение) тогда и только тогда, когда (и-,и-) еИ„ иП- и —П2;

изменяет направление скольжения в фазе деформации (сначала скользит налево, а затем направо) тогда и только тогда, когда (и-,и-) еП- ип- ип2 и ф<уь

изменяет направление скольжения в фазе восстановления (сначала скользит налево, а затем направо) тогда и только тогда, когда (и-, и-) еП - и П- и —П 2 и П 2 и ф<У1.

Отметим, что характер движения точки контакта Б в процессе удара зависит от направления скорости точки Б до удара и не зависит от ее модуля. Введем угол

* ип

= аг^ —,

их

где в е [0, п], который является углом падения точки £, отсчитываемым от касательного к опорной поверхности направления (см. рис. 1). Тип удара или характер движения точки контакта £ в процессе удара определяется соотношением значений угла трения ф, угла падения в и

углов уг, уг (г = 0,1,2,3). На рис. 2 приведена зависимость углов у 2, у 3, у 2, у 3 от угла трения ф и по осям отложены значения углов

Уo, Уь Уo, У1.

Анализ условий, определяющих тип удара с учетом приведенных на рис. 2 зависимостей, показывает, что некоторые из этих условий являются избыточными. На рис. 3 показаны области значений угла трения ф и угла падения в, соответствующие различным типам удара. В качестве границ, разделяющих эти области, служат зависимости углов у2, у3, у2, у3 от угла трения ф.

ъ\ъ

/ Уз/ У <

УГ * -

7 /Уз

о 7170 70 ^ ф

Рис. 2. Зависимости углов У 2, У 3, У 2, У 3 от угла трения ф

То_То

Г/ /

уз/ 7

v i

vii г

ii

72 vi ту ——

0 71 п ф

2

Рис. 3. Области 1-уш при упругом ударе

Аналитически эти условия можно представить следующим образом. В процессе удара точка контакта £ в областях:

п

I, т. е. при ф> у1, — < в< у3, скользит направо и останавливается в фазе деформации;

п

II, т. е. при ф> у1, у2 < в< —, скользит налево и останавливается

в фазе деформации;

III, т. е. при ф> у1, у3 < в< у3, скользит направо и останавливается в фазе восстановления;

IV, т. е. при ф> у1, у2 <в< у2, скользит налево и останавливается в фазе восстановления;

п

V, т. е. При Р> 2 и в> уз, скользит направо (полное скольжение);

VI, т. е. при в< у 2 скользит налево (полное скольжение);

п

VII, т. е. при ф<уь у2 <в< —, изменяет направление скольжения в фазе деформации (сначала скользит налево, затем направо);

VIII, т. е. при ф< у1, у2 <в< у2, изменяет направление скольжения в фазе восстановления (сначала скользит налево, затем направо).

Полученное решение является корректным. Любым начальным условиям соответствует единственный вполне определенный характер движения в процессе удара и наблюдается непрерывная зависимость от параметров. На границах областей и, более того, в точках бифуркации этих границ для определения характера движения тела при ударе можно использовать формулы для любой из пограничных областей. Результат будет один и тот же.

Напомним, что исследование процесса удара проводилось в предположении, что центр масс С относительно точки контакта Б расположен слева (см. рис. 1), т. е. значение Ь > 0. Случай, когда значение Ь < 0, можно исследовать аналогично либо все результаты получить исходя из соображений симметрии.

Рассмотрим также два частных случая. Если в момент удара центр масс расположен над точкой контакта Б, т. е. Ь = 0 (этот случай соответствует удару осесимметричного диска о поверхность), то у0 = п/2, У1 = 0, уз = п - у2, уз = п - у2, при этом всегда у! < ф < у0 (рис. 4).

В процессе удара точка контакта Б в областях:

I, т. е. при п <в< уз, скользит направо и останавливается в фазе деформации;

II, т. е. при у2 < в < -2, скользит налево и останавливается в фазе деформации;

III, т. е. при уз < в < уз, скользит направо и останавливается в фазе восстановления;

IV, т. е. при у2 < в < У2, сначала скользит налево и останавливается в фазе восстановления;

V, т. е. при в > уз, скользит направо (полное скольжение);

VI, т. е. при в< У 2, скользит налево (полное скольжение).

При абсолютно неупругом ударе к = 0, и в силу соотношений (17) у. = у., i = 0,1, 2, 3(рис. 5).

ß

То

YO

iii

v ii iv

Yl

Yl

к ф

Рис. 4. Области I-VI в случае, когда Рис. 5. Области I-V при абсолютно центр масс тела находится над точкой неупругом ударе

контакта тела с препятствием

В процессе удара точка контакта S в областях: п

I, т. е. при 9>Yi, ^ — ß — Уз, сначала скользит направо, затем останавливается;

п

II, т. е. при ф> у1, Y2 — ß — —, сначала скользит налево, затем останавливается;

п

III, т. е. при ß> — и ß> у3, скользит направо (полное скольжение);

IV, т. е. при ß< у2, скользит налево (полное скольжение);

п

V, т. е. ф<у1, Y2 — ß — —, изменяет направление скольжения

(сначала скользит налево затем направо).

Отметим, что случай удара материальной точки о шероховатую поверхность [5] нельзя получить с помощью приведенных в настоящей работе результатов предельным переходом, поскольку параметры р, b, h одновременно стремятся к нулю, а значит, невозможно в

силу (17) однозначно определить углы у о, Y i, Y 2, Y з, Y о, Y1, Y 2, Y 3.

Заключение. Показано, что в плоской задаче об упругом ударе тела о неподвижное препятствие с учетом ударных сил сухого трения

возможны различные типы удара, которые различаются характером скольжения точки контакта в процессе удара. Формулы для расчета характеристик движения тела после удара и импульсов ударных реакций зависят от типа удара. Построены области, соответствующие различным типам удара, на плоскости угол трения ф, угол падения в (угол наклона скорости точки контакта тела с поверхностью до удара). Показана корректность рассмотренной модели удара.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-01-00655-а и гранта Президента РФ № НШ-4748.2012.8 для ведущих научных школ РФ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. Москва, Физматгиз, 1960, 487 с.

[2] Болотов Е.А. Об ударе двух тел при действии трения. Известия Московского инженерного училища, 1908, ч. 2, вып. 2, с. 43-45.

[3] Виттенбург Й. Динамика системы твердых тел. Москва, Мир, 1980, 292 с.

[4] Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. Москва, Изд-во литературы по строительству, 1965, 448 с.

[5] Дубинин В.В., Гришин С.А., Лапшин В.В. Удар материальной точки о шероховатую поверхность. ИПМРАН. Препринт, 1997, № 21, 20 с.

[6] Дягель Р.В., Лапшин В.В. О нелинейной вязкоупругой модели коллинеар-ного удара Ханта-Кроссли. Известия РАН. Механика твердого тела, 2011, № 5, с. 164-173.

[7] Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. Москва, Международная программа образования, 1997, 336 с.

[8] Иванов А.П. Энергетика удара с трением. Прикладная математика и механика, 1992, т. 56, вып. 4, с. 527-534.

[9] Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы (динамика и устойчивость). Москва, Наука, 1973, 592 с.

[10] Лапшин В. В., Дубинин В. В. Абсолютно неупругий удар тела о шероховатую поверхность. ИПМ РАН. Препринт, 1998, № 18, 18 с.

[11] Лапшин В.В. Удар о поверхность тела с дополнительной опорой. Вестник МГТУим. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2006, № 2, с. 45-53.

[12] Лапшин В.В. Механика и управление движением шагающих машин. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012, 199 с.

[13] Маркеев А.П. Теоретическая механика. Москва, Наука, 1990, 414 с.

[14] Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями. Москва, Наука, 1985, 200 с.

[15] Ньютон И. Математические основы натурофилософии. Собр. тр. акад. А.Н. Крылова, т. 7. Москва; Ленинград, Изд-во АН СССР, 1936, с. 1-676.

[16] Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. Москва, Наука, 1977, 232 с.

[17] Плявниекс В.Ю. Расчет косого удара о препятствие. Вопросы динамики и прочности. Рига, Зинатне, 1969, № 18, с. 87-109.

[18] Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1. Москва, Наука, 1983, 463 с.

[19] Самсонов В.А. Очерки о механике: Некоторые задачи, явления и парадоксы. Москва, Наука, 198О, б4 с.

[20] Формальский А.М. Моделирование антропоморфных механизмов. Москва, Наука, 1982, 368 с.

[21] Herts H. Über die berührung fester elastischer körper. Journal reine und angewandte mathematik, 1882, vol. 92, ss. 156-171.

[22] Hunt K.H., Crossley F.R.E. Coefficient of restitution interpreted as damping in vibroimpact. ASME Journal of applied mechanics, 1975, № 6, pp. 440-445.

[23] Poisson S.D. Traeté de mecaniqúe. Bruxeller, Haumann,1838, 447 p.

Статья поступила в редакцию 26.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Лапшин В.В. Удар тела о препятствие. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/ 1134.html

Лапшин Владимир Владимирович родился 1954 г., окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова в 1975 г., д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической механики МГТУ им. Н.Э. Баумана. Основные научные интересы: механика и управление движением шагающих аппаратов, робототехника. e-mail: vladimir@lapshin.net