Плоская задача об упругом ударе тела о препятствие Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.66

Плоская задача об упругом ударе тела о препятствие

© В.В. Лапшин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрена плоская задача упругого удара тела о шероховатую поверхность в рамках модели удара Ньютона (стереомеханической модели удара). Определена зависимость характера движения тела после удара от положения точки контакта относительно центра масс тела, момента инерции тела, коэффициента восстановления, коэффициента трения и скорости точки контакта тела с поверхностью (либо скорости центра масс тела и его угловой скорости) до удара. Дана соответствующая графическая интерпретация.

Ключевые слова: удар, сухое трение, стереомеханическая модель.

Введение. Явление удара часто встречается при движении механических систем, в том числе при работе различных машин и механизмов. Многие прикладные задачи могут быть исследованы в соответствии с теорией удара Ньютона [1-7]. Аналитическое решение плоской задачи об ударе тела о шероховатую поверхность при точечном контакте тела с поверхностью получено в [1, 2]. В этом случае однозначно определяются импульс ударной силы реакции и характер движения (скорости) тела после удара. В данной работе показано, что тип удара или характер движения точки соприкосновения в процессе удара определяется с помощью графической картины на плоскости параметров «угол трения ф и угол падения Р» (направление скорости точки соприкосновения тела с поверхностью до удара). В качестве границ, разделяющих области, соответствующие различным типам удара, выступают кривые, поведение которых зависит от положения точки соударения относительно центра масс тела, радиуса инерции тела, угла трения и коэффициента восстановления при ударе.

Исследование процесса удара. Рассмотрим плоский упругий удар тела массой т о неподвижную шероховатую поверхность (рис. 1). Пусть С — центр масс тела, £ — точка контакта тела с поверхностью при ударе. Радиус инерции тела относительно центра масс обозначим р. Единичные векторы тип определяют касательное и нормальное направления к поверхности в точке контакта £. Обозначим через И = (Ях, Я„) касательный и нормальный импульсы ударной силы реакции в точке £. Положение центра масс С относительно точки £ определяется параметрами Н > 0 и Ь. Не нарушая общности, можно считать, что центр масс С лежит слева от точки контакта £, при этом

Ь > 0. (1)

Для случая Ь < 0 (центр масс С лежит справа от точки контакта £) все результаты могут быть получены из соображений симметрии.

Обозначим через V = (V , V,) касательную и нормальную скорости центра масс С , и = (их, ип) — касательную и нормальную скорости точки контакта £, ш — угловую скорость тела. За положительное примем направление угловой скорости против хода часовой стрелки. Скорости точек С и £ Рис. 1. Схема взаимодействия связаны кинематическими со-тела с препятствием отношениями

их = VI + шк, ип = \п + шЬ. (2)

Процесс удара разделим на две фазы: в фазе деформации нормальная составляющая скорости точки контакта уменьшается до нуля, оставаясь отрицательной, а в фазе восстановления — увеличивается от нуля до некоторого положительного значения.

Нормальная скорость точки £ до удара отрицательна, в конце фазы деформации равна нулю, после удара положительна, а нормальная составляющая импульса ударной силы реакции должна быть неотрицательной:

и-< 0, иП = 0, и+> 0, Я, > 0. (3)

Значения всех скоростей до удара будем обозначать верхним индексом «-» , значения скоростей после удара — «+», а значения скоростей в конце фазы деформации (или начале фазы восстановления) — «'».

Уравнения удара (движения центра масс и изменения кинетического момента тела относительно центра масс) в фазе деформации имеют вид

т(V; -V-) = Я, тV -V-) = ЯП, тр2(ш'-ш-) = ЯПЬ + Я[к, (4) а в фазе восстановления —

тV -V; ) = Я, т V - V,) = ЯП , тр2(ш+ -ш' ) = ЯПЬ + Я'к. (5)

Здесь ЯП , R* , ЯП , R" — нормальные и касательные составляющие импульса ударной силы реакции соответственно в фазах деформации и восстановления. При этом для нормальных составляющих [1-7] R = kR, где 0 < k < 1 — коэффициент восстановления при ударе. При абсолютно неупругом ударе k = 0, а при абсолютно упругом — k = 1.

Учитывая соотношения (2)-(3), из выражений (4)-(5) получаем формулы для изменения скорости точки контакта S в фазе деформации

mp2 (u* - ux") = R- (p2 + h2) + Rnbh, - mp2u- = Rn (p2 + b2) + R-bh (6) и фазе восстановления mp2 (wx+ - u" ) = R-(p2 + h2) + kRnbh, mp2u+ = kRn (p2 + b2) + R-bh. (7)

Отсюда получаем mp2 (w+ - u-) = R* (p2 + h2) + Rnbh, mp2 (w+ - u-) = Rn (p2 + b2) + R*bh,

где Rn = (1 + k) Rn, R- = R-+ R-.

Примем гипотезу о том, что при ударе трение сводится к сухому трению [1-3, 5] с коэффициентом f т. е. |RX| < fRn. Если точка контакта в процессе удара в течение некоторого (бесконечно малого) интервала времени имеет постоянное направление касательной скорости, в этой фазе удара R* = - fRn sign u*.

В результате удара точка контакта S может в касательном к поверхности направлении остановиться или скользить в течение всего удара. При этом если в процессе удара под действием трения касательная скорость u* становится равной нулю в некоторый момент времени t* е [t- , t+], то это не означает, что в дальнейшем в процессе удара она останется равной нулю. Действительно, чтобы u* = 0 *+

при t е [t , t ], должны выполняться соотношения

2 / + *\ ^ т-»** ^ 2 1 2 \ п**т , т-»** /• т-»** * ^

mp^u*-u*) = 0 = R* (p2 + h2) + Rnbh, R* < fRn , где u* = 0 — ка* ** **

сательная скорость точки контакта в момент t , а R* , Rn — импульсы ударной силы реакции за время [t*, t + ] . Отсюда

bh P2Th2

f (8)

Если условие (8) нарушено, то в силу геометрического положения тела точка контакта при / е [/*, /+ ] скользит направо (см. рис. 1), т. е. их > 0, так как Я** = -Я и тр2(и+- и*) = тр2и+= = Я**(р2 + к2) + ЯП*Ък > 0 . В этом случае может произойти изменение направления скольжения точки контакта. При /*[/-, / + ] точка контакта скользит налево, т. е. их < 0, или с отрицательной скоростью, которая под действием силы трения уменьшается до нуля, а затем начинает скользить направо с увеличивающейся положительной скоростью.

Перейдем к рассмотрению различных типов удара в зависимости от того, как осуществляется скольжение в процессе удара.

Скольжение прекращается в фазе деформации Мх =Мх =

Из уравнений удара (6)-(7) получаем

-и- (р2 + к2) + и-Ък и-Ьк - и- (р2 + Ъ2) Яп = т-2-2-2-, Ях = т-2-2-2-,

р2 + Ъ2 + к2 р2 + Ъ2 + к2

Я' = —Т^тЯ, и+ = (р2 +Ъ2 +к2)ЯП. р2 + к2 т

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия:

u-< 0, f > 2"" 2 , u-(P2 + h2) -u-bh < 0,

bh P2Th2

u- [bh + /(P2 + h2)] - [p2 + b2 + fbh] < 0, (9)

u- [bh - f (p2 + h2)] - м- [p2 + b2 - fbh] > 0.

Скольжение прекращается в фазе восстановления

sign = sign иХ, Ux+ = 0, R _-fR sign Mx. Из уравнений удара (6)-(7) имеем

_ -mp2u- - - bh - f (p2 + h2)signux

Ли _ т Т2 ТТ"! i , ux _ ux - ии

р2 + b - fbh sign ux p2 + b - fbh sign ux

R„ _ kR'bh + mp2u'x + _ kR(p2 + b2) + RXbh Rx _ ^ ^ , un _ '

p2 + h2 mp

2

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия:

а) при скольжении направо

п ЬН , Р2 + Ь2 ип < 0, их > 0, -1Г—1 < / ,

р2 + Н2 ЬН

ип [ЬН - /(р2 + Н2)] - их- [р2 + Ь2 -/ЬН] < 0, (10)

(1 + к)иП [ЬН - /(р2 + Н2)] - и- [р2 + Ь2 - /ЬН] > 0;

б) при скольжении налево

_ _ _ ^ /* ЬН

ип < 0, их < 0, / > •

p2+h2'

un[bh + f (p2 + h2)] -ux"[p2 + b2 + fbh] > 0, (11)

(1 + k) un [ bh + f (p2 + h2)] - u- [ p2 + b2 + fbh] < 0.

Полное скольжение (без изменения направления) sign u- =

= sign u+, R* =-f R^ sign u-, R- = -f Rn sign u- = -f kRn sign u-. Из уравнений удара (6)-(7) получаем

R = -mp2u„ + = _k-

Rn = 2 ,2 , . , un = kun, p2 + b2 - fbh sign u-

u+= u-- (1 + k)u„-bh2-^-(2p2 + h2)sign* .

p2 + b2 - fbh sign u*

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия:

а) при скольжении направо

п г p2 + b2

un < 0, u- > 0, f <F ,

bh

un [bh - f (p2 + h2)] - u- [p2 + b2 - fbh] < 0, (12)

(1 + k) un [ bh - f (p2 + h2)] - u-- [ p2 + b2 - fbh] < 0;

б) при скольжении налево

u- < 0, u- < 0, (1 + k)u-[bh + f (p2 + h2)] -u-[p2 + b2 + fbh] > 0. (13)

Изменение направления скольжения. В процессе удара точка контакта £ сначала скользит налево, а затем направо. Этот случай имеет место, когда не выполнено условие (8) или

bh p2 + b2 f <-^т <-

p2 + h2 bh Здесь кроме (8) использовано неравенство

bh (14)

p2 + h2 bh

которое всегда справедливо. Действительно, в силу (1) b > 0 и неотрицательности h оно эквивалентно неравенству b2h2 <(p2 + b2)x

x(p2 + h2), где радиус инерции p ^ 0.

Изменение направления скольжения в фазе деформации. В

— * f + * г\ *

этом случае t < t < t < t и un < 0, где t — момент изменения направления скольжения в процессе удара.

На первом этапе фазы деформации при t е [t-, t*] точка контакта скользит налево u- < 0, u* = 0, R-* = fRn , где u*, u* — скорость

точки контакта S в момент смены направления скольжения; RС, R-* — импульсы ударной реакции в течение первого этапа фазы деформации. Из уравнений удара для первого этапа фазы деформации

R* = -mp2u- * = - - [p2 + b2 + fbh]

Rn — л л , un — un u* т т .

bh + f (p2 + h2) bh + f (p2 + h2)

На втором этапе фазы деформации при t e[t*, t'] точка контакта

скользит направо: u* = 0, u- > 0, u'n = 0, R-** = - fRn*, где R^*, R- * — импульсы ударной реакции в течение второго этапа фазы деформации. Из уравнений удара для этого этапа

R' ** = -mp2un ' = * [bh - f (p2 + h2)]

Rn — ^ ^ , u- — un z z .

p2 + b2 - fbh p2 + b2 - fbh

При t e[t' , t + ] точка контакта скользит направо:

u- >0, u+ >0, uC = 0 , R- = -fRn , Rn = kRn,Rn = R* +R;T . Из уравнений удара для фазы восстановления (6) получаем

и+ = и' + —ЯП[Ък - /(р2 + к2)], и+=-^2 —ЯП (р2 + Ъ2 - /Ък). тр2 тр2

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполнены условия:

Л . Ък

ип < 0, их < 0, / <

р2 + к2 (15)

и-[Ък + /(р2 + к2)] - и-[р2 + Ъ2 + /Ък] < 0.

Изменение направления скольжения в фазе восстановления:

t- < I' < t* < I + и и* > 0. В фазе деформации при t е [/-, t'] и на первом этапе фазы восстановления при t е^' , t*] точка контакта скользит

налево: и- <0, и' <0, и* = 0, Я' = /Я* , Я'* = /ЯП*, где и*, и* — скорость точки контакта £ в момент смены направления скольжения; Я**, Я'* — импульсы ударной реакции в течение первого этапа фазы восстановления. Из уравнений удара для фазы деформации (5) и первого этапа фазы восстановления получаем

_' = -тр2и- и'= __ _ [Ък + /(р2 + к2)]

Яп — л л , и' — и' и* о о ,

Ък + / (р2 + к2) Ък + / (р2 + к2)

Я„* = -тр2и' * = , р2 + Ъ2 + /Ък

Ък + / (р2 + к2) Ък + / (р2 + к2)

На втором этапе фазы восстановления при t е ^*, t + ] точка контакта скользит направо: и* = 0, и+ > 0, и* > 0, и+ > 0, Я''** = -/Я**,

ЯП = —Я*, Я*** = —Я* - Я*'*. Из уравнений удара для второго этапа фазы восстановления имеем

1

тр"

и+ =^2(кК -К*)[Ък- /(р2 + к2)],

и*+ = и* + —^ (—Я* - Я" )(р2 + Ъ2 - /Ък). тр2

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда выполнены условия:

- ^ - ^ л ЬН и- < 0, и- < 0, / < ———,

р2 + Н2

и— [ЬН + /(р2 + Н2)] - и--[р2 + Ь2 + /ЬН] > 0, (16)

(1 + к)и-[ЬН + /(р2 + Н2)] - и--[р2 + Ь2 + /ЬН] < 0.

Для всех рассмотренных выше случаев определены условия, при которых они имеют место, а также скорость точки контакта £ после удара и импульсы ударных сил реакции опорной поверхности для фаз деформации и восстановления. Найдем полные импульсы ударных реакций в течение всего удара Яп = Я- + Я- = (1 + к) Я'п, Ят = Я- + Я- . Причем, если изменяется направление скольжения точки £ в фазе деформации, то Я- = Я-- + Я-**, Я- = Я-* + Я-**. Если изменяется направление скольжения точки £ в фазе восстановления, то

р» _ о"* I р»**

Я- = Я- + Я- .

Значение угловой скорости тела после удара определяется третьи-

/„ч /^ч + - ЯпЬ + Я-Н ^ ми уравнениями в (4)-(5) и равна ш = ш +--2—. Скорость центр2

тра масс тела после удара вычисляется с помощью соотношений (2).

Графическая интерпретация условий, соответствующих различным типам удара. Выше рассмотрены типы движения тела при ударе и получены условия, при которых имеет место тот или иной тип удара. Однако эти условия достаточно сложны и зависят от значений шести параметров: положения точки контакта относительно центра масс, определяемого параметрами Ь и Н; радиуса инерции тела относительно центра масс р; коэффициента трения тела о поверхность / и скорости точки контакта £ в начале удара. Непротиворечивость этих условий и корректность модели удара (т. е. однозначность определения характеристик движения в конце удара для любого тела и любых значений скоростей в начале удара) неочевидна.

Для упрощения анализа этих условий введем угол трения ф и углы у0,у1,у2,7э,70,71,72,Уз:

* * р2 + Ь2 * ЬН

ф = аг^ /, 70 = аг^ —-—, 71 = а аг^ ——

ЬН

р2 + Ь2 + /ЬН у2 = аг^ т1 ^ 2——, уз = аг^

7 г = аг^'

ЬН + / (р2 + Н2)

7 г

р2 + Н2 р2 + Ь2 - /ЬН ЬН - /(р2 + Н2)

(17)

1 + к

,г = 0,1,2,3.

Учитывая неравенство (14), получаем 0 < у1 < у 2 < у о < л/ 2. Замечание. Здесь и далее агС^* х е [0, л] при х е (-да, + да), т. е.

аг^ х =

| аг^ х, если х > 0, I аг^ х + л, если х < 0.

При этом аг^* (±да) = л/2; аг^* х — 0, если х — 0 и х > 0;

аг^* х —> л, если х — 0 и х < 0.

Отметим, что характер движения точки контакта £ в процессе удара зависит от направления скорости точки £ до удара и не зависит от ее модуля. Введем угол

Р * ип

= аг^ —, и-

где Ре[0,л], который является углом падения точки £, отсчитываемым от касательного к опорной поверхности направления (рис. 1).

Тип удара или характер движения точки контакта £ в процессе удара определяется соотношением значений угла трения ф, угла падения Р и углов уг-,уг- ( = 0,1,2,3). Анализ условий (9-13), (15-16), определяющих тип удара, показывает, что некоторые из этих условий являются избыточными. На рис. 2 показаны области значений угла трения ф и угла падения Р, которые соответствуют различным типам ударов. р

В качестве границ, ^Т То У о

разделяющих эти области, выступают кривые, которые соответствуют зависимости углов у 2,

Уз, у2, Уз от угла трения ф.

Аналитически эти ус- п

ловия имеют следующий ~2 вид. В процессе удара

точка контакта £: в обла- '{)

сти I, или при ф > у1, У О

скользит на-

л

- <Р<Уз,

право и останавливается в фазе деформации; в области II, или при ф>у1,

Г/ /

V I

VII Г II

72 VI "Ту

71

71

71

Рис. 2. Области, соответствующие различным типам удара

-Л

у2 <Р<% скользит налево и останавливается в фазе деформации; в

области III, или при ф> уь уз <Р< уз, скользит направо и останавливается в фазе восстановления; в области IV, или при ф>у1,у2 <Р<у2,

скользит налево и останавливается в фазе восстановления; в области V, %

или при р> — и Р > уз, скользит направо (полное скольжение); в области VI, или при Р< у2, скользит налево (полное скольжение); в области

%

VII, или при ф < у1, у2 < Р < —, меняет направление скольжения в фазе

деформации (сначала скользит налево, затем направо); в области VIII, или при ф< у1, у2 <Р< у2, меняет направление скольжения в фазе восстановления (сначала скользит налево, затем направо).

Полученное решение является корректным. Любым начальным условиям соответствует единственный вполне определенный характер движения в процессе удара и имеет место непрерывная зависимость от параметров. На границах областей и, более того, в точках бифуркации этих границ для определения характера движения тела при ударе можно использовать формулы, соответствующие любой из пограничных областей — результат будет один и тот же.

Напомним, что исследование процесса удара проводилось в предположении, что центр масс С относительно точки контакта £ расположен слева (см. рис. 1), или Ь > 0. Случай Ь < 0 может быть

исследован аналогично, либо все результаты легко получаются из соображений симметрии.

Если в момент удара центр масс расположен над точкой контакта или Ь = 0 (этот случай имеет место при ударе осесимметрично-го диска о поверхность), то у 0 = -2,

у1 = 0, уз = %-у2, у3 = = %- у2. Всегда у1 < ф < < у0, и зависимость типа удара от скорости точки контакта до удара показана на рис. з.

Л

др

Рис. 3. Области, соответствующие различным типам удара, в случае, когда центр масс тела находится над точкой контакта тела с препятствием

%

В процессе удара точка контакта S: в области I, или при — < ß < уз,

скользит направо и останавливается в фазе деформации; в области II, %

или при у2 < ß < —, скользит налево и останавливается в фазе деформации; в области III, или при у3 < ß < у3, скользит направо и останавливается в фазе восстановления; в области IV, или при у2 <ß<y2, сначала скользит налево и останавливается в фазе восстановления; в области V, или при ß > у3, скользит направо (полное скольжение); в области VI, или при ß^ 2, скользит налево (полное скольжение).

Заключение. Показано, что в плоской задаче об упругом ударе тела о неподвижное препятствие с учетом ударных сил сухого трения возможны различные типы удара, которые отличаются характером скольжения точки контакта в процессе удара. Формулы для расчета характеристик движения тела после удара и импульсов ударных реакций зависят от типа удара. Построены области, соответствующие различным типам удара, на плоскости угол трения ф, угол падения ß (угол наклона скорости точки контакта тела с поверхностью до удара). Показана корректность рассмотренной модели удара.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-01-00655-а и гранта Президента РФ № НШ-4748.2012.8 для ведущих научных школ РФ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Плявниекс В.Ю. Расчет косого удара о препятствие. Вопросы динамики и прочности, 1969, № 18, с. 87-109.

[2] Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями. Москва, Наука, 1985, 200 с.

[3] Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. Москва, Международная программа образования, 1997, 336 с.

[4] Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. Москва, Наука, 1977, 232 с.

[5] Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел, т. 1. Москва, Наука, 1983, 463 с.

[6] Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы (динамика и устойчивость). Москва, Наука, 1973, 592 с.

[7] Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. Москва, Изд-во литературы по строительству, 1965, 448 с.

Статья поступила в редакцию 05.02.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Лапшин В.В. Плоская задача об упругом ударе тела о препятствие. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 1. иКЬ:М1р://епэошгпа1.ш/саШо$/е^ЛеогтесЫ1195.кт1

Лапшин Владимир Владимирович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической механики МГТУ им. Н.Э. Баумана. Основные научные интересы: механика и управление движением шагающих аппаратов, робототехника. е-таП: v1adimir@1apshin.net