CC BY
484
КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СКОРОСТИ ПРИ УДАРЕ ПОД УГЛОМ
B. А. Лашков
C.-Петербургский государственный университет,
канд. техн. наук, ст.н.с., нач. отд., gasdyn@pobox.spbu.ru; Valeriy.Lashkov@paloma.spbu.ru
Введение. При решении задач обтекания поверхности тела потоком газа, в котором содержатся твердые частицы, необходимо описать граничные условия для твердой фазы. Как правило, частицы взаимодействуют со стенками канала или тела под разными углами к поверхности в широком диапазоне скоростей. Если рассматривать задачи, относящиеся к авиационно-космической технике, то речь может идти в основном
о диапазоне скоростей удара от 100 до 1000 м/с. При таких скоростях удар сопровождается сложными процессами упругих и пластичных деформаций, разрушением и нагревом. Частицы, присутствующие в воздухе, представляют собой мелкие обломки породы, которые обладают весьма высокой твердостью и имеют неправильную форму. Для упрощения задачи обычно их рассматривают как недеформируемые сферы.
Теоретическое определение динамики ударного взаимодействия частиц с поверхностью представляет собой весьма сложную задачу. Обычно для решения задачи вводят в рассмотрение коэффициенты восстановления нормальной ап и касательной а4 составляющих скорости частиц:
К V
а'п ~ ~аг ~ IV
где V), V — скорости частицы соответственно до и после удара, индексы п и £ обозначают проекции, соответственно, на нормаль и касательную к поверхности.
Известно несколько моделей ударного взаимодействия частицы с поверхностью. В классической теории удара принимается, что касательные силы в точке контакта не действуют, т. е. а4=1, что не подтверждается эмпирическими данными [1, 2]. Для разрешения этого противоречия разработаны полуэмпирические модели [3, 4]. В них помимо коэффициента восстановления нормальной составляющей скорости частицы вводится понятие коэффициента динамического трения [3] или коэффициента сопротивления движению частицы в касательном направлении [4]. Однако с увеличением скорости удара растет погрешность результатов расчета параметров отскока частицы с использованием этих моделей.
Определение коэффициента восстановления при прямом ударе шара по полубеско-нечному стержню можно найти в работе [5], где сравниваются результаты расчета с данными экспериментов [6] для диапазона скоростей удара 9-57 м/с. В [7] предложен приближенный подход для определения коэффициента восстановления для прямого удара в квазистатической постановке. Там же проведено сравнение полученных коэффициентов восстановления с результатами экспериментов [8], полученных при скоростях удара до 200 м/с. Таким образом, задача определения коэффициента восстановления скорости при прямом ударе имеет удовлетворительное решение. В то же время определение коэффициентов восстановления при ударе под углом сопряжено со значительными сложностями и в настоящее время еще требует своего решения. Основная
© В. А. Лашков, 2010
трудность состоит в установлении зависимости между местной деформацией и силой в месте контакта.
Среди экспериментальных исследований по измерению коэффициентов восстановления скорости частиц при ударе под углом можно отметить работу, в которой испытывались различные материалы при скоростях удара до 30 м/с [9]. Использовались сферические частицы, а также частицы, имеющие неправильную форму. Экспериментальное определение коэффициентов восстановления скорости проводилось также в [1]. В работе представлено исследование зависимости коэффициентов восстановления от угла падения частиц при скоростях около 100 м/с. В [10] описаны детальные экспериментальные исследования процесса взаимодействия частиц газовзвеси со стенками канала при скоростях удара около 20 м/с. В качестве твердой фазы в потоке использовались стеклянные бусинки и частицы из кварца. Проводились исследования коэффициентов восстановления для различных материалов стенки канала. Показано влияние угла падения частиц и величины шероховатости стенки канала на коэффициенты восстановления. В работе [2] приведены результаты экспериментальных исследований коэффициента восстановления при ударе частиц из электрокорунда по плоским образцам, установленным под разными углами к направлению двухфазного потока. Для широкого диапазона скоростей удара (до 300 м/с) получены коэффициенты восстановления для различных материалов поверхности (сталь, дуралюмин, медь, свинец). Результаты исследований показывают, что коэффициенты восстановления касательной и нормальной составляющих скорости уменьшаются с увеличением угла наклона поверхности к направлению скорости частиц.
Целью работы является разработка метода расчета коэффициентов восстановления при внедрении недеформируемой сферы под углом к поверхности полупространства.
Определение механических напряжений на контактной поверхности внедряемого тела при ударе под углом. Расчет локальных напряжений в зоне контакта с учетом физико-механических свойств материала при высоких скоростях удара под углом к поверхности является трудной задачей, до сих пор не имеющей удовлетворительного решения. Поэтому интерес представляют экспериментальные данные по исследованию реакции материала, определяющей меру взаимодействия соударяемых тел. Так, например, в работах [11, 12] в результате большого количества экспериментов была установлена зависимость силы Г сопротивления металла полупространства внедрению в него недеформируемого конуса (ударника):
Г = (Н1 +8т2 а . р1У2)Б, (1)
где Н1 —динамическая твердость металла полупространства; а — полуугол при вершине конуса; р1 —плотность металла полупространства; V — мгновенная скорость конуса; Б — площадь проекции контактной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси конуса.
Сила сопротивления складывается из постоянной части, которая не зависит от ориентации поверхности ударника относительно вектора скорости, и слагаемого, которое показывает влияние на силу сопротивления скорости удара и формы головной части внедряемого тела (конкретно от угла при вершине конуса), причем коэффициент сопротивления вычисляется по Ньютону [12]. Легко заметить, что второе слагаемое представляет собой произведение плотности металла на квадрат скорости, нормальной к поверхности ударника. Таким образом, сила сопротивления зависит от механических
свойств материала и от нормальной к поверхности скорости деформации. Это позволяет предположить, что выражение (1) можно применить к любому элементу поверхности сложного по форме внедряющегося тела.
Если рассмотреть прямой удар недеформируемого кругового конуса по металлическому полупространству и принять, что нормальные N и тангенциальные T напряжения постоянны по всей поверхности контакта, то несложно получить выражение для силы сопротивления внедрению
F = S(N + T ctga). (2)
Приравняем выражения (1) и (2):
N + Tctga = Hi + piV2 sin2 a.
Чтобы получить выражения для нормальных N и касательных T напряжений, воспользуемся законом Амонтона, T=fN, где f — коэффициент трения. Величина коэффициента трения зависит от многих факторов, основными из которых являются скорость скольжения, скорость приложения нагрузки, состояние поверхности и ее шероховатость. Величина коэффициента трения при увеличении относительной скорости скольжения обычно переходит через максимум [13, 14]. Положение максимума на кривой зависит от давления на трущуюся пару и от твердости каждого из трущихся тел.
Из известных формул для коэффициента трения (Боше, Вихерта и Франке) была выбрана формула Вихерта, как более универсальная. Формула Вихерта имеет вид
1 + av * ~ 1 + 6«
где v — скорость скольжения в км/час; для чугунных тормозных колодок по стальным бандажам a=0.0112, 6=0.060, для сухих поверхностей fo=0.45.
Таким образом, если связь между касательными и нормальными напряжениями установлена, то можно найти выражения для этих напряжений:
дг_ Нг + pxV^sm2 а _ Н1 +<oiVr2sin2 a
1 + /ctga ’ 1 + /ctga
Внедрение недеформируемой сферы под углом к металлическому полупространству. Рассмотрим инерционное внедрение абсолютно жесткой сферы радиуса К и плотностью р2 под углом к полупространству, материал которого обладает плотностью рі и прочностной характеристикой Ні (см. рис. 1).
Систему координат ХУZ свяжем с полупространством, систему координат хуг — со сферой. Положим, что вектор угловой скорости вращения ш сферы направлен перпендикулярно плоскости ХУ. Будем считать, что действие сил сопротивления внедрению сферы симметрично относительно плоскости ХУ, поэтому движение сферы происходит в этой же плоскости координат.
Пусть в некоторый момент времени сфера внедрилась в полупространство на глубину Ус. Скорость центра масс сферы в этот момент времени обозначим Ус. Произвольная точка М на поверхности контакта сферы движется относительно полупространства со скоростью V, которую разложим на две составляющие — нормальную УП и касательную У к поверхности сферы.
Предположим, что напряжения, действующие на каждый элемент контактной поверхности ударника, могут быть определены по формулам (3).
Уравнения динамики сферы в проекциях на оси координат XYZ принимают вид
где т8 = 4/ЗпД3Р2 —масса сферы; N = (# + р1У„2)/(1 + /(У^ф), Т = f(Уф(#1 +
Р1^2)/(1 + I (УМ) — соответственно нормальные и касательные напряжения, действующие на элементарную площадку с точкой М; I(Уф — функция коэффициента трения, аргументом которой является модуль касательной скорости Уф
Интегрирование осуществляется по области $ — проекции контактной поверхности сферы на плоскость 0жг. Под контактной поверхностью будем понимать поверхность шарового сегмента, отсекаемую от сферы плоскостью поверхности полупространства и плоскостью, походящей через центр сферы перпендикулярно вектору скорости ее движения. Очевидно, что площадь поверхности контакта меняется в процессе внедрения сферы и является функцией времени.
Рис. 1. Схема взаимодействия недефор мируемой сферы с полупространством.
В начальный момент времени t = 0 задаются расположение центра инерции сферы Xc = Yc = Zc = 0; проекции вектора скорости центра масс сферы: Vcx = Vcox, Vcy = Vcoy, Vcz = 0; начальное значение угла поворота сферы ф = 0; начальная скорость вращения сферы wz = шoz.
Результаты расчета взаимодействия недеформируемой сферы с полупространством. Для того чтобы апробировать методику, были проведены расчеты глубины внедрения сферы в металлическое полупространство при условиях удара, которые описаны в работе [6], где представлены результаты экспериментального исследования
соударения невращающейся (шо% = 0) сферы с металлическими балками. Использованы данные для сферы диаметром 12,7 мм, которая имела начальную скорость 45,7 м/с и падала на стальную балку под разными углами (от 0 до 85° к нормали поверхности).
На рис. 2 показано, как меняется глубина внедрения сферы Н в зависимости от угла падения а. Результаты расчета и экспериментальные данные показывают удовлетворительное совпадение.
Рис. 2. Глубина внедрения сферы при ударе под углом.
Линия — расчет, точки — эксперимент [6].
Также была проведена оценка относительной ширины лунки, оставленной после удара, (отношение ширины лунки к ее длине). Расхождение результатов расчета с опытными данными [6] не превышает 10-15%. Учитывая, что в эксперименте сфера падала на балку, а расчет проводился для полупространства, совпадение результатов можно считать удовлетворительным. Также следует отметить, что при косом ударе вокруг кратера образуется несимметричный венчик из выдавленного металла. Это обстоятельство, очевидно, тоже приводит к появлению расхождения в результатах расчетов и экспериментов.
На рис. 3 представлены результаты расчета коэффициентов восстановления скорости сферы при ударе под углом к поверхности. В расчетах принималось, что &ог = 0. С увеличением угла удара коэффициент нормальной составляющей скорости монотонно уменьшается до нуля. При малых углах удара коэффициент восстановления имеет достаточно большую величину: при а = 5°, например, ап = 0.5. С увеличением угла удара коэффициент восстановления касательной составляющей скорости также падает.
Рис. 3. Коэффициенты восстановления нормальной (сплошная линия) и касательной (штриховая линия) составляющих скорости при ударе сферы под углом к поверхности.
Следует отметить, что предложенная модель удара не учитывает упругие силы полупространства, действующие на сферу при отскоке. Очевидно, такой подход оправдан,
при рассмотрении больших скоростей соударения, когда вкладом упругих сил можно пренебречь.
Расчеты показывают, что даже без учета разгрузки материала полупространства сфера обладает конечной не нулевой скоростью отскока (исключение составляет прямой удар). Это объясняется асимметричным действием сил сопротивления. Также за счет действия сил трения сфера приобретает вращение. Энергия вращения частично преобразуется в поступательную энергию отраженной сферы. Таким образом, в формировании величины коэффициента восстановления при ударе под углом участвуют не только упругие силы материала мишени.
На рис. 4 показаны результаты экспериментальных исследований коэффициентов восстановления скорости для частиц неправильной формы при высокоскоростном ударе. Скорость удара составляла 85 и 160 м/с. Методика и техника эксперимента описаны в работе [2].
а б
Рис. 4- Сравнение результатов расчета с данными эксперимента.
а — коэффициент восстановления нормальной оставляющей скорости; б — коэффициент восстановления касательной составляющей скорости; точки — экспериментальные данные; линии — расчет (квадратики и сплошная линия — 85 м/с, треугольники и штриховая линия — 160 м/с).
Анализ результатов показывает, что чем выше скорость удара, тем ближе расчетные данные коэффициента восстановления нормальной составляющей скорости частицы ложатся к результатам физических измерений. На скорости удара 160 м/с наблюдается хорошее совпадение результатов расчета и измерений. С уменьшением скорости удара характер зависимости сохраняется, но можно отметить, что результаты расчета отличаются от данных эксперимента практически на постоянную величину. Эта величина равна коэффициенту восстановления при прямом ударе.
Таким образом, можно предположить, что импульс упругих сил не зависит от угла удара. По-видимому, это объясняется тем, что с уменьшением угла удара падение величины силы взаимодействия компенсируется увеличением времени контакта. Таким образом, коэффициент восстановления скорости при прямом ударе является важной величиной, характеризующей вклад упругих сил при ударе под любым углом.
С увеличением угла а до 70° расчетный коэффициент восстановления касательной составляющей скорости частиц монотонно уменьшается, затем остается на постоянном уровне. Данные эксперимента показывают, что с увеличением угла коэффициент сначала падает, а затем, начиная с углов 40-45° — возрастает. По-видимому, это связано с
тем, что в эксперименте [2] форма используемых частиц была далека от сферической. Влияние формы частиц и шероховатости поверхности отмечается в работах [10, 15-17] как значительное. Следует также отметить, что не всегда коэффициент восстановления касательной составляющей скорости показывает тенденцию к росту при больших углах удара [2, 9].
На рис. 5 представлены результаты исследований влияния начального вращения сферы на коэффициенты восстановления скорости. Безразмерная угловая скорость сферы (угловая скорость, отнесенная к Усо/К) принимала значения -0.25, 0, 1. Скорость центра масс сферы при ударе 85 м/с.
а б
Рис. 5. Влияние скорости вращения сферы на коэффициенты восстановления.
а — коэффициент восстановления нормальной оставляющей скорости; б — коэффициент восстановления касательной составляющей скорости; точки — эксперимент, линии — расчет; Сплошная линия — ^0 = 0; штриховая линия — = 1; штрих-пунктирная — ^о = -0.25.
Скорость вращения сферы влияет на величину и характер поведения коэффициентов восстановления скорости, причем влияние на коэффициент восстановления нормальной составляющей скорости не велико и начинается с углов удара 30°. Наиболее заметное влияние на коэффициент восстановления касательной составляющей скорости вращение сферы оказывает на углах, больших 40°, причем характер зависимости может меняться: на рис. 5 видно, что с увеличением угла удара коэффициент восстановления касательной составляющей скорости может как уменьшаться, так и возрастать. Характер поведения зависит от величины и знака угловой скорости сферы перед ударом.
Очевидно, что при экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости важно учитывать начальную скорость вращения частицы. Это также говорит о том, что вращение частицы оказывает существенное влияние на параметры ее отскока, что необходимо принимать во внимание при расчете движения газовзвеси по сложному каналу, когда наблюдаются неоднократные взаимодействия частицы со стенками канала.
Выводы. Предложен метод расчета коэффициентов восстановления скорости для недеформируемой твердой частицы, падающей под углом к поверхности полупространства. Сравнение полученных результатов расчета с данными имеющихся в литературе экспериментальных исследований показывают их удовлетворительное совпадение. Методика позволяет рассчитать взаимодействие с поверхностью тела частицы, имеющей не только сферическую форму.
Расчетным путем показано, что в условиях непрямого удара коэффициент восстановления нормальной составляющей скорости сферы при пренебрежении разгрузкой материала полупространства не является нулевой величиной. Импульс упругих сил материала можно считать постоянной величиной в широком диапазоне углов удара. Начальная угловая скорость сферы значительно влияет на величину коэффициентов восстановления скорости.
Литература
1. Табаков В., Мейлэк М. Ф., Хамед А. Измерение лазером характеристик отскакивания твердых частиц при соударении их с поверхностью из алюминиевого (2024) и титанового (6AI-4V) сплавов // Аэрокосмическая техника. 1987. №12. С. 58-64.
2. Лашков В. А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность // Инж.-физ. журнал. 1991. Том 60. №2. С. 197-203.
3. Sommerfeld M. Modelling of particle-wall collisions in confined gas-particle flows // Int. J. Multiphase Flow. 1992. Vol. 18. N6. P. 905-926.
4. Циркунов Ю. М., Панфилов С. В., Клычников М. Б. Полуэмпирическая модель ударного взаимодействия дисперсной частицы примеси с поверхностью, обтекаемой потоком газовзвеси // Инж.-физ. журнал. 1994. Т. 67. №5-6. С. 379-386.
5. Зегжда С. А. Соударение упругих тел. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. 316 с.
6. Goldsmith W., Cunningham D. M. Kinematic phenomena observed during the oblique impact of a sphere on a beam // J. Appl. Mechanics. 1956. Vol. 23. N 4. P. 612-616.
7. Кадомцев И. Г. Определение коэффициента восстановления при упругопластическом соударении тел // Механика твердого тела. 1991. №6. С. 89-91.
8. Кангур Х. Ф., Клейс И. Р. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления при ударе // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №5. С. 182-185.
9. Ушаков С. Г., Муромкин Ю. Н., Мизонов В. Е. Об ударе частиц зернистого материала о твердую поверхность // Инж.-физ. журнал. 1978. Т. 34. №5. С. 839-842.
10. Sommerfeld M., Huber N. Experimental analysis and modelling of particle-wall collisions // International Journal of Multiphase Flow. Vol. 25. 1999. P. 1457-1489.
11. Витман Ф. Ф., Степанов В. А. Влияние скорости деформирования на сопротивление деформированию металлов при скоростях удара 102 ^ 103 м/сек // Некоторые проблемы прочности твердого тела. АН СССР. 1959. С. 207-221.
12. Витман Ф. Ф., Златин Н. А. О процессе соударения деформируемых тел и его моделировании. I // Журнал технической физики. 1963. Том XXXIII. №8. С. 982-989.
13. Крагельский И. В. О зависимости силы трения скольжения от скорости // Трение и износ в машинах. Изд-во Академии наук СССР. Сб. №1. 1941.
14. Машиностроение. Энциклопедический справочник / Под ред. Е. А. Чудакова. Т. 2. ГНТИ машиностроительной литературы, 1948.
15. Деревич И. В. Вероятностная модель столкновения частиц с шероховатой поверхностью // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. №5. С. 239-244.
16. Tsirkunov Yu., Panfilov S. Particles scattering in particle-wall collisions and its effect on the particle-phase flow // Proceedings of the Estonian Academy of Science, Engineering. 2005. Vol. 11. N2. P. 126-139.
17. Лашков В. А. Взаимодействия твердых частиц газовзвеси с поверхностью сложного профиля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 4. С. 125-130.
Статья поступила в редакцию 14 января 2010 г.
