Учёт влияния благоприятного градиента давления при моделировании ламинарно-турбулентного перехода в рамках подхода RANS Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.526.3

P.A. Штин, A.A. Савельев

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Центральный аэрогидродинимический институт им. профессора Н. Е. Жуковского

Учёт влияния благоприятного градиента давления при моделировании ламинарно-турбулентного перехода

в рамках подхода RANS

Рассмотрена проблема моделирования ламинарно-турбулентного перехода в присутствии благоприятного градиента давления, а также методы моделирования переходных течений, основанные на решении уравнений Рейнольдса. Дан подробный анализ формулировки модели ламинарно-турбулентного перехода SST-7-alg из семейства LCTM. Продемонстрировано, что эта модель не воспроизводит эффект «ламинарной корзины» при обтекании аэродинамического профиля. Предложена модификация модели SST-7-alg, учитывающая влияние благоприятного градиента давления на положение ламинарно-турбулентного перехода. Модификация заключается в увеличении критического числа Рейнольдса в области благоприятного градиента давления с помощью дополнительного множителя-поправки. Для тестирования модифицированной модели рассматриваются две задачи: ламинарно-турбулентный переход на пластине и обтекание аэродинамического профиля NLF(1)-0414F. Показано, что применение модифицированной модели приводит к лучшему согласованию расчётных и экспериментальных данных при моделировании естественного сценария перехода. Также продемонстрировано, что модифицированная модель SST-7-alg воспроизводит эффект «ламинарной корзины» с достаточной для практических приложений точностью.

Ключевые слова: пограничный слой, ламинарно-турбулентный переход, благоприятный градиент давления, модель SST-7-alg, LCTM, ламинарная корзина, EWT-ЦАГИ

R.A. Shtin, A.A. Savelyev

Moscow Institute of Physics and Technology Central Aerohydrodynamic Institute named after N. E. Zhukovsky

Taking into account the influence of favorable pressure gradient for modeling the laminar-turbulent transition

in the RANS approach

The problem of modelling the laminar-turbulent transition in the presence of a favourable pressure gradient is considered. Methods of modelling transient flows based on the solution of Reynolds equations are considered. A detailed analysis of the formulation of the laminarturbulent transition model SST-7-alg from the LCTM family is given. It is demonstrated that this model does not reproduce the «drag bucket» effect in airfoil flow. A modification of the SST-7-alg model, which takes into account the influence of a favourable pressure gradient on the position of the laminar-turbulent transition, is proposed. The modification consists in increasing the critical Reynolds number in the region of favourable pressure gradient by means of an additional correction multiplier. To test the modified model, two problems are considered: laminar-turbulent transition on a plate and flow over an NLF(1)-0414F airfoil. It is shown that the application of the modified model leads to better agreement of computational and experimental data when modelling the natural transition scenario. It is also demonstrated that the modified SST-7-alg model reproduces the «drag bucket» effect with sufficient accuracy for practical applications.

© Штин P. А., Савельев A. A., 2024

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

Key words: boundary layer, laminar-turbulent transition, favourable pressure gradient, SST-7-alg model, LCTM, drag bucket, EWT-TSAGI model

1. Введение

Сегодня чаще всего для проведения промышленных аэродинамических расчётов используется подход RANS, заключающийся в решении пяти уравнений Навье - Стокса, осреднённых по Рейнольдсу:

др + дрик

dt дхк

dpUi + 9 f

dt дхк f'

дрЕ + 9 f

dt dxk f'

(1)

д

дхк

+ М с ^L

V Pr PrJ р дхк

Данная система уравнений является неполной и требует замыкания с помощью той или иной модели турбулентности. Наиболее популярной моделью турбулентности (наряду с моделью Спаларта - Аллмареса) является модель ББТ [1], состоящая из двух дополнительных уравнений для кинетической энергии турбулентности к и удельной скорости её диссипации ш. Итого, семь дифференциальных уравнений переноса:

дрк д

dt дхк дрш д

dt дхк

дк '

pkUk - (ß + окßt)

дш дхк

pwUk - (ß + ßt)

= Рк + Dk,

(2)

= Рш + CDW - ,

В уравнении для к член, отвечающий за производство кинетической энергии Рк, активен с самого начала нарастания пограничного слоя, турбулизируя его, а значит, эта модель не включает в себя явного механизма моделирования ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП). Это ограничивает область применения модели, так как на практике часто встречаются задачи, в которых необходимо учесть ЛТП. Поэтому моделирование ЛТП в рамках оригинильной версии SST невозможно, и эта модель требует модификации.

Современные подходы к решению данной задачи можно условно разделить на два класса. К первому относятся подходы, воспроизводящие физические механизмы ЛТП, например методы семейства eN [2,3], основанные на анализе устойчивости ламинарных пограничных слоёв. Ко второму классу относятся методы, использующие эмпирические корреляции, полученные из экспериментов. К данному классу относится рассматриваемое в настоящей работе семейство локальных корреляционных моделей ЛТП (Local-Correlation-based Transition Modeling, LCTM). Свойство локальности этих моделей заключается в том, что в рамках конечно-объёмного подхода к решению системы уравнений переноса (1), (2) вычисления внутри каждой ячейки требуют обращения к малому (ограниченному шаблоном разностной схемы) числу соседних ячеек в расчётной области.

Принцип работы моделей из семейства LCTM можно описать следующим образом. Вводится коэффициент, перемежаемости 7, физический смысл которого — отношение времени, в течение которого пограничный слой считается турбулентным, к общему времени наблюдения:

^ _ Tfurb

Tobserv

Так, значение 7 _ 1 соответствует полностью турбулентному течению, а значение 7 _ 0 — наоборот, полностью ламинарному. В моделях семейства LCTM коэффициент перемежаемости играет роль переключателя между ламинарным и турбулентным режимами течения.

0

В уравнениях ББТ коэффициент перемежаемости используется для активации члена, отвечающего за производство кинетической энергии турбулентности. Активация регулируется путём обычного домножения: Рк ^ ^Рк- Тогда уравнение переноса для кинетической энергии турбулентности к принимает вид

дрк д

dt дхк

дк

pkUk - (fr + <гк fr)

дхк

= 1Рк + Dk.

В общем случае LCTM-подход полагает, что коэффициент перемежаемости 7 должен быть функцией отношения двух чисел Рейнольдса:

=^ (IS) • (3>

где Re# — число Рейнольдса, определённое по толщине потери импульса в, a Re#c — критическое число Рейнольдса. Способ вычисления 7, Re# и Re#c определяет конкретную модель ЛТП.

Эволюция моделей семейства LCTM началась с алгебраической нелокальной модели, в которой для вычисления критических чисел Рейнольдса начала и конца ЛТП применялась алгебраическая корреляция [4]. Затем появилась модель, в которой для 7 использовалось дифференциальное уравнение переноса, а критическое число Рейнольдса назначалось перед началом расчёта [5]. После в работах [6,7] была описана модель SST-7-Re#, которая содержит два дополнительных дифференциальных уравнения переноса: для 7 и Re#c, а для вычисления Re# использует алгебраическую корреляцию с числом Рейнольдса завихренности. Таким образом, эволюция моделей ЛТП семейства LCTM прошла путь постепенного усложнения, начав с алгебраической модели и закончив моделью с двумя дополнительными дифференциальными уравнениями. Дальнейшее развитие моделей пошло по пути упрощения. Так появилась модель SST- 7 с дифференциальным уравнением для 7 и алгебраической корреляционной формулой для Re#c. Данная модель и её модификация подробно описаны в работах [8] и [9]. Наконец, в 2022 году в работе [10] была описана полностью алгебраическая модель SST-7-alg, в которой 7, Re# и Re#c вычисляются с помощью локальных алгебраических формул.

Более подробный анализ данных моделей можно найти в работе [11], где наибольшее внимание уделено самой новой из них — модели SST-7-alg.

Дальнейший текст статьи имеет следующую структуру. В разделе 2 приводится формулировка модели SST-7-alg, обсуждается пузырьковый сценарий ЛТП. В разделе 3 представлены результаты тестовых расчётов: рассматривается переходное течение на гладкой пластине и обтекание профиля NLF(1)-414F. Раздел 4 посвящён проблеме ламинарной корзины. В разделе 5 приводятся описания модификаций модели STT-7-alg и результаты их тестирования. В заключительном разделе сделаны выводы.

2. Формулировка алгебраической модели ЛТП SST-7-alg

Как было отмечено ранее, способ вычисления 7, Re# и Re#c определяет конкретную модель ЛТП. В модели SST-7-alg все эти величины вычисляются с помощью алгебраических локальных формул.

2.1. Базовая формулировка

Согласно идее LCTM-подхода (3), необходимо вычислить отношение чисел Рейнольдса RatRe:

max(Re#, 60)

лаг Re = -^->

а затем вычислить сам коэффициент перемежаемости алгебраической формулой:

7 = tanh (EaiRe) . (4)

Для вычисления числа Рейнольдса толщины потери импульса в модели используется его корреляция с числом Рейнольдса завихренности Rey:

S — sJlSij Sij,

Rey —

Q — \J 2 Q j j QQ'j , Q dlp

P

Re0 —

Q — max(S", Q, 0.1w), Rey

2.2

Здесь Sij — 1 ( ^ + ^ ) — тензор скоростей деформации, Q ^ — 2 ( ffj- - j^r

dv,j

dui ЭХа

dv,j

тен-

зор завихренности, ш — удельная скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, р — плотность, р — динамическая вязкость, а — расстояние до стенки. Член 0.1ш в выражении для О необходим, чтобы обеспечить равенство 7 единице в свободном потоке вдали от стенок.

Для вычисления критического числа Рейнольдса используется алгебраическая корреляция, основанная на работе [4] и подробно описанная авторами модели в [10]:

Re#c — FTu ■ FPG,

(5)

FTu — min ReCm

: CTu,

crit '

ReCc

TUL

'Cci \

ReCc^ ,

FPG

Ími mi

min [max (1 - CFPG ■ Xei; 0.25); 4] , Xei > 0, min [max (1 - CAPG ■ \ei; 0.25); 4] , \ei < 0.

(6)

(7)

Здесь FTu — это функция, зависящая от локальной оценки степени турбулентности Tul, a FPG — это функция, зависящая от локальной оценки градиента давления \$i. ReCmax, ReCci, ReCc2 — это константы модели. Величины CTucr¡t, CFPG и CAPG — это характеристики турбулентности, благоприятного и неблагоприятного градиентов давления соответственно. Для их вычисления используются следующие формулы:

CTucrit — CTuHigh (1 — FRV1) + CTuLowFRV1,

CFPG — CFPGHigh (1 - Frvi) + CFPGlowFrvi, CAPG — CAPGHigh (1 - Frvi) + CAPGlowFrvi,

где величины вида (0High и (')low — это константы модели, a Frvi — переключатель между естественным и обходным сценариями ЛТП. Все эти формулы, а также выражения для вычисления Tul ^ei и Frvi приведены в работе [10].

2.2. Учёт пузырькового сценария ЛТП

При пузырьковом сценарии ЛТП, когда переход происходит в сдвиговом слое оторвавшегося ламинарного пограничного слоя, исходная модель турбулентности ББТ недооценивает производство кинетической энергии турбулентности в слое смешения на границе пузырька и поэтому сильно завышает размер отрывного пузырька. Чтобы исправить это в модели ББТ^-а^, в работе [10] было предложено ввести поправку 7ВцЬЫе, которая бы увеличила значение коэффициента перемежаемости в области отрывного пузыря. Тогда с учётом (4) выражение для 7 примет вид

7 = tanh (Ш^) + 7впьыв.

Выражение для 7ВцЬЬ1е, являющееся локальной алгебраической формулой, можно найти в работе [10].

3. Тестирование модели

Модель ЛТП SST-7-alg была реализована в программе ZEUS [12], входящей в пакет прикладных программ EWT-ЦАГИ [13]. Основные соотношения используемой методики расчёта описаны в [14], а результаты верификации и валидации программы — в [15] и [16].

Затем модель была протестирована на ряде задач. Результаты тестов сравнивались с экспериментальными данными и с результатами модели SST-7-alg, реализованной в академическом коде СПбПУ NTS (Numerical Turbulence Simulation) и в коммерческой программе Ansvs Fluent (эти результаты представлены в работах [10,11]). Для тестирования реализованной модели были взяты следующие задачи: пограничный слой на пластине, обтекание аэродинамического профиля NLF(1)-0414F.

3.1. Пограничный слой на пластине

Одним из классических сценариев тестирования моделей ЛТП является ламинарно-турбулентный переход пограничного слоя на гладкой пластинке.

Экспериментальные данные были взяты для серии тестов из открытой базы данных ERCOFTAC [17] (тесты без градиента давления: ТЗА, ТЗА-, ТЗВ; тесты с градиентом давления: ТЗС2, ТЗСЗ, ТЗС4, ТЗС5). В этих тестах степень турбулентности набегающего потока достаточно велика (больше 1%), что соответствует обходному сценарию ЛТП. Чтобы протестировать поведение модели на случае естественного сценария ЛТП, использовался тест Шубаэра - Клебанова (SK) [18], в котором пластина обтекалась потоком с низкой степенью турбулентности. Полное описание тестов приведено в табл. 1.

Таблица1

Описание тестовых случаев с ЛТП на гладкой пластине

case U0, м/с Tu, % Vt/V р, Па т, К к, (м/с)2 1 W, с 1

SK 50.10 0.03 1.0 101325 290 0.34 ■ 10-3 22.84

ТЗА- 19.80 0.90 8.0 101325 290 0.48 ■ 10-1 401

ТЗА 5.40 3.30 12.0 101325 290 0.48 ■ 10-1 268

ТЗВ 9.40 6.50 80.0 101325 290 0.56 ■ 100 472

ТЗС2 5.29 3.00 8.0 101325 290 0.38 ■ 10-1 318

ТЗСЗ 4.00 3.00 5.0 101325 290 0.22 ■ 10-1 291

ТЗС4 1.37 3.00 2.0 101325 290 0.25 ■ 10-2 85

ТЗС5 9.00 3.00 15.0 101325 290 1.09 ■ 10-1 491

Здесь Щ — это скорость набегающего потока, Ти — его степень турбулентности (в процентах), а ^ь/^ — отношение коэффициентов динамической вязкости. Данные параметры были установлены авторами эксперимента. Для проведения расчётов необходимо установить соответствующие значения давления р, температуры Т, кинетической энергии турбулентности к и частоту турбулентных пульсаций ш. Значения давления и температуры были фиксированными, а начальные значения для к и ш вычислялись по следующим формулам:

/Ти ■ Ио\2 3 рк 5 ( Т У'5 273 + 122

к =-0 •-, ш = —, ц = 1.72 ■ 10-5 ■ ---.

V 100/2' ^ V 273/ Т + 122

Для вычисления плотности р используется газовая постоянная для воздуха, а ламинарная динамическая вязкость ц, вычисляется с помощью формулы Сазерленда.

На рис. 1 изображены расчётные области для вышеописанных тестов. Проведённые расчёты были трёхмерными с одной ячейкой в продольном направлении. Для тестов без градиента давления использовалась прямоугольная расчётная область с условием симметрии на верхней границе. Для каждого теста с градиентом давления верхняя стенка имела специальную форму, повторяющую форму линии тока из эксперимента.

На рис. 2 изображено распределение коэффициента трения Cf вдоль поверхности пластины для тестов без градиента давления. Резкому возрастанию значения Cf соответствует положение ЛТП на пластине. Можно отметить, что ширина переходного участка, предсказываемая моделями, сильно короче, чем это наблюдалось в эксперименте (это особенно заметно в тестах ТЗА и ТЗА-). Такое поведение обусловлено способом активации модели (формула (4)): резкая ступенька гиперболического тангенса почти мгновенно активизирует источник кинетической энергии турбулентности, что приводит к резкому возрастанию трения на поверхности пластины.

Рис. 1. Расчётная область для тестов с ЛТП на пластине без градиента давления (слева) и тестов с градиентом давления (справа) (рисунок из работы [11])

На рис. 3 изображены аналогичные результаты для тестов с градиентом давления. Можно заметить, что в тестах ТЗСЗ и ТЗС4 коэффициент Cf принимает отрицательные значения, что говорит об отрыве пограничного слоя и пузырьковом сценарии ЛТП, а значит, здесь активизируется слагаемое 7Bubble. Модель, реализованная в EWT-ЦАГИ, в тесте ТЗС2 предсказывает положение ЛТП значительное раньше, чем модель реализованная в NTS. Данное различие обусловлено различием исходных кодов вычислительных комплексов и было устранено коррекцией константы CFPGHigh со значения 0.6 до значения 0.3 (см. рис. 4).

° Во 0.5 1 0 1 5 2 0 "2'8.0 0.5 1.0 1.5 2.0 "2 В.О 0.5 1.0 1.5 2.0 °"8 0 0.5 1.0 1 5 2 0

х х х х

Рис. 3. ЛТП на гладкой пластине с градиентом давления (CFPGHigh = 0.6)

Рис. 4. ЛТП на гладкой пластине с градиентом давления (CFPGHigh = 0.3)

3.2. Обтекание профиля ГчГЬЕ(1)-0414Е

Экспериментальное исследование обтекания аэродинамического профиля 1\ЪГ(1)-0414Г представлено в работе [19]. В настоящей работе рассматриваются три режима обтекания, отличающиеся числом Рейнольдса набегающего потока: Ие = 3 • 106 ), Ие = 6 • 106

(N1^2), Ие = 10 • 106 (N1^3). Каждый режим исследуется для углов атаки от —5° до 5°. Геометрия профиля взята из онлайн-базы данных аэродинамических профилей [20].

Как и в предыдущем тесте, местоположения ЛТП на верхней и нижней поверхностях профиля определяются по резкому возрастанию Cf. Также были получены зависимости положения ЛТП от угла атаки набегающего потока и зависимость коэффициента подъёмной силы Су от коэффициента сопротивления Сх (поляра). На рис. 5 и 6 представлено сравнение экспериментальных данных с результатами расчётов по моделям ЭЭТ и ЗЭТ-7-а^. На этих рисунках видно, что модель ЭЭТ предсказывает полностью турбулентный пограничный слой, а расчёты по моделям 88Т-7-а^ хорошо согласуются с экспериментом. Исключением является область пониженного сопротивления при близких к нулю значениях угла атаки (ламинарная корзина).

Рис. 5. Зависимость положения ЛТП на верхней поверхности профиля от угла атаки

4. Ламинарная корзина

На рис. 6в видно, что в тестовом случае NLF3 (Re = 10 • 106) экспериментальная поляра имеет характерный изгиб, соответствующий значительному снижению сопротивления при малых углах атаки (-2° ^ а ^ 2°).

Данное явление, носящее название Ламинарная корзина (в англоязычной литературе — Drag Bucket), объясняется стабилизирующим эффектом благоприятного градиента давления на устойчивость пограничного слоя. При малых углах атаки на обеих поверхностях (верхней и нижней) профиля NLF(1)-0414F формируется благоприятный градиент давления, затягивающий ЛТП почти до задней кромки. Как можно заметить, ни оригинальная модель, реализованная в NTS, ни модель, реализованная в EWT-ЦАГИ, не могут смоделировать это явление и предсказывают ЛТП слишком рано. Описанные далее модификации сделаны для решения этой проблемы.

5. Модификация модели

5.1. Настройка констант модели

Модель SST-7-alg содержит 12 констант, от которых зависит поведение модели в разных условиях. В табл. 2 приводятся краткое описание констант и значения, которые предлагают использовать авторы модели SST-7-alg. Так, например, константа CFPGHigh регулирует поведение модели в области благоприятного градиента давления с большой степенью турбулентности, a CAPGlow — в области неблагоприятного градиента давления при низкой степени турбулентности. Данное обстоятельство даёт основания полагать, что настройка констант, отвечающих за поведение в области благоприятного градиента давления, поможет решить Drag Bucket-проблему.

Таблица2

Описание констант модели ЛТП SST-7-alg

константа роль константы значение

CTuHigh значение СТисги в случае обходного сценария ЛТП 1.06

CTUlow значение СТисги в случае естественного сценария ЛТП 2.25

CFPGHigh значение СЕРО в случае обходного сценария ЛТП 0.6

CFPGlow значение СЕРО в случае естественного сценария ЛТП 1.0

CAPGHigh значение САРО в случае обходного сценария ЛТП -0.5

CAPGlow значение САРО в случае естественного сценария ЛТП -0.5

ReCd эмпирическая константа 210

ReCo2 эмпирическая константа 1.0

ReCmax максимальное значение ЕТи 1000

KV1 switch разделитель обходного и естественного сценариев ЛТП 1000

CbubbleC1 эмпирическая константа-усилитель ЬиЬЫе-члена 0.5

CbubbleC2 порог ЛТП по толщине пограничного слоя 2.5

Для поляры, представленной на рис. 6в, можно выделить две точки интереса: 1) угол атаки а = — 1°, где значение коэффициента сопротивления, полученное моделью 88Т-7-а^, сильно отличается от экспериментального; 2) угол атаки а = 4°, где экспериментальное и посчитанное моделью значения коэффициента Сх совпадают. На рис. 7 изображено, как распределены значения коэффициентов трения Cf и давления Ср на верхней поверхности профиля 1\ЪР(1)-0414Г для данных двух точек интереса. Видно, что в случае а = 4° ЛТП происходит в зоне неблагоприятного градиента давления и предсказывается своевременно, а в случае а = —1° положение перехода предсказывается преждевременно (на благоприятном градиенте давления), что увеличивает значение коэффициента сопротивления.

х/с х/с

Рис. 7. Распределение значений коэффициентов трения Cf и давления Ср на верхней поверхности

профиля 1ЧЬР(1)-0414Р

Проанализировав формулы (5), (6) и (7), можно сделать два вывода: 1) при достаточно

малых значениях Ти (Ти < 0.1) функция РТи равна ИеСтах; 2) функция РРО принимает значения от 0.25 до 4. Таким образом, при естественном сценарии перехода критическое значение числа Рейнольдса зависит от функции градиента давления РРО и может

принимать значения от 0.25ИеСтах до 4ИеСтах. Однако константы модели (см. табл. 2) подобраны так, что функция РРО всегда остаётся меньше единицы. Это значит, что функция РРО уменьшает критическое значение как при неблагоприятном, так и при благоприятном градиенте давления.

Согласно табл. 2, настройка констант CFPGнigh

и CРPОLow должна помочь улучшить результат для а = — 1° и те изменить результат для а = 4°. Для того чтобы увеличить критическое число Рейнольдса в зоне благоприятного градиента давления, величина СРРО

было принято решение дать константам СРРОн^ и СРРОь^ одинаковое значение, тем самым регулируя величину СРРО напрямую: CFPGнigh = СРРОь^ = СРРО. Были про-

СРРО = 0

влияет на Ке#с; 2) СРРО = —0.6 — умеренное увеличение в зоне благоприятного градиента давления; 3) СРРО = —1 — более сильное увеличение Ке#с. Графики распределения трения и кинетической энергии турбулентности для рассмотренных вариантов представлены на рис. 8.

Рис. 8. Распределение коэффициентов трения и давления (слева) и кинетической энергии турбулентности (справа) на верхней поверхности профиля при значениях констант

(CFPGнigh, СРРО^) е {(0.6,1.0), (0,0), (—0.6, —0.6), (—1, —1)}

Результаты расчётов показывают, что слабые изменения значений констант влияют на положение ЛТП недостаточно. Дальнейшее уменьшение констант привело к ошибочному моделированию турбулентного участка пограничного слоя. На рис. 8 видно, что в зоне турбулентного пограничного слоя (х > 0.45) кинетическая энергия турбулентности мала, что приводит к низкому значению Cf.

5.2. Учёт благоприятного градиента давления

В предыдущем параграфе было показано, что изменение констант не позволяет в полной мере учесть стабилизирующее влияние благоприятного градиента давления на пограничный слой. Здесь с этой целью рассматривается модификация формулы (5).

Чтобы при а = —1° отдалить положение ЛТП, нужно в текущей точке перехода уменьшить значение а значит, нужно увеличить Ке#с. Сделать это можно с помощью дополнительного множителя (1 + НРО), который будет принимать значения больше 1 при благоприятном градиенте давления и будет равен 1 при неблагоприятном градиенте давления. Для его вычисления использовалась следующая формула, согласно которой НРО —

это часть ступеньки гиперболического тангенса:

ИРО

аср

€ (-то; -5)и(0, +то),

БУ + 1 ■ (ИУ - БУ) ■ ^апЬ ^—ЯЬР ■ + ^ , е1ве.

(8)

Здесь БУ и ИУ — нижнее и верхнее значения ступеньки гиперболического тангенса соответственно, а 8ЬР — коэффициент наклона, чем он больше, тем более резкой будет ступенька. Чтобы ограничить действие поправки только на малые градиенты давления, было

добавлено ограничение образом:

йС

—— ^ —5. Сам градиент давления —— ав ав

вычисляется следующим

ас

а

и

Чж

о (> )

рж

V

Чж =

V«

2

Здесь дж — скоростной напор набегающего потока, а Ьо — характерный масштаб задачи. В данном случае для обеих тестовых задач было взято значение Ьо = 1.

На рис. 9 изображён график зависимости (ИРО + 1) от градиента давления при следующих значениях констант: БУ = —3, ИУ = 3, йЬР = 2. В этом случае в области благоприятного градиента давления поправка увеличивает в четыре раза.

Рис. 9. График зависимости (ИРО + 1) от градиента давления

5.3. Локализация поправки

Поправка (8) учитывает стабилизирующее влияние благоприятного градиента давления на пограничный слой, т.е. увеличивает длину ламинарного участка пограничного слоя при благоприятном градиенте давления. Это происходит за счёт увеличения Ке#с. Однако теперь из-за поправки ИРО критическое число Рейнольдса увеличивается не только в ламинарном пограничном слое, но и в турбулентном, что приводит к тому, что модель недооценивает производство кинетической энергии турбулентности в турбулентном пограничном слое.

Таким образом, завышение критического числа Рейнольдса в турбулентном пограничном слое приводит к неправильному поведению модели.

Для того чтобы устранить данную проблему, требуется исключить действие поправки ИРО в вязком подслое турбулентного пограничного слоя. Данное ограничение не повлияет на моделирование ЛТП, т.к. переход зарождается в середине пограничного слоя, где поведение функции ИРО не изменится. В качестве критерия отключения поправки используется характеристика вязкого подслоя из модели турбулентности ЭЭТ:

500^ рй1 и'

0

2

Величина vsc (viscous sublayer characteristic), посчитанная формулой (9), резко возрастает в зоне вязкого подслоя и принимает малые положительные значения в остальных областях. Значит, действие поправки HPG можно локализовать вне вязкого подслоя следующим образом:

HPG = (1 - tanh (vsс2)) • HPG. (10)

Формула (10) построена так, чтобы множитель (1 + HPG) не влиял на значение критического числа Рейнольдса в вязком подслое (т.е. был равен 1). Итоговая формула для вычисления Re#c примет вид

Re0c = FTu • FPG • (l + HPG) .

5.4. Результаты

Описанная выше поправка была реализована в коде ЕШТ-ЦАГИ, и тестовые задачи снова решены. По аналогии с рис. 7 были снова построены распределения трения по поверхности профиля, изображенные на рис. 10.

Рис. 10. Сравнение решений по базовой версии модели (base) и модифицированной версии модели (mod) для тестовых случаев NLF3 с углом атаки а = — 1° (слева) и а = 4° (справа)

На рис. 10 видно, что распределение трения в случае а = 4° не изменилось, т.е. поправка не повлияла на поведение модели при неблагоприятном градиенте давления. В случае же а = —1° картина изменилась: ЛТП сместился в область неблагоприятного градиента давления, что и требовалось от поправки. На рис. 11 изображены зависимости коэффициента подъёмной силы Су от коэффициента сопротивления Сх, полученные модифицированной моделью. При сравнении с рис. 6 видно, что модифицированная модель 88Т-7-а^ описывает ламинарную корзину лучше.

NLF1

NLF2

NLF3

1.4

1.2

1.0

0.6

0.2

0.0

■ CA|J

—y-alg (EWT)

- y-alg (NTS)

---SST(EWT)

Г2

Jc ■ / / /

Г* 1 ■ / /

\l 1 1

k \ ■ \ Vk. ■ 1 1 \

\

1.4

1.2

1.0

0.6

0.4

0.2

0.0

> ■/

Jr /у ■ / /

1У ■ 1 / 1 1

■ t ■■ \ 1 1 I 1 \ 1

^^ \

\ \

1.4

1.2

1.0

0.6

0.4

0.2

0.0

/ ■

f я ■

/

// / ST '

,-r ■ / / / 1

•■A 1 1 1

■ I I \ 1 \ 1

¥ \ \

0.000

0.005

0.010

0.015

0.000

0.005

0.010

0.015

0.000

0.005

0.010

0.015

Рис. 11. Зависимость коэффициента подъёмной силы Су от коэффициента сопрот ивления Сх-> полученная модифицированной моделью 88Т-7-а^

На следующем этапе предлагаемая поправка была протестирована на задачах с ЛТП на гладкой пластине (серия ТЗ). Результаты тестов представлены на рис. 12. Результаты в тестах без градиента давления в пограничном слое качественно не изменились — можно увидеть незначительное смещение ЛТП, объясняющееся присутствием небольшого благоприятного градиента давления, возникающего из-за нарастания пограничного слоя. Серию тестов с градиентом давления можно разделить на две группы: 1) ТЗСЗ, ТЗС4 — тесты, в которых ЛТП происходит в зоне неблагоприятного градиента давления; 2) ТЗС2, ТЗС5 — тесты, в которых ЛТП происходит в зоне благоприятного градиента давления. Поправка ИРО не оказывает влияние на тесты из первой группы, но заметно влияет на тесты второй группы.

Рис. 12. Распределение значений коэффициентов трения С/ на поверхности гладкой пластинки, полученное с помощью модифицированной модели 88Т-7-а^

На рис. 13 совмещены распределения трения и давления по поверхности пластины для второй группы тестов. Видно, что поправка (1 + HPG) сместила ЛТП с благоприятного градиента давления вниз по потоку. Из-за этого различие результата с экспериментальными данными и с результатами модели SST-7-alg, реализованной в NTS и Ansys Fluent, сильно увеличилось. Данный результат говорит о том, что предлагаемая поправка HPG не может быть использована для моделирования обходного сценария ЛТП.

Рис. 13. Сравнение решений по базовой версии модели (base) и модифицированной версии модели

(mod) для тестовых случаев ТЗС2 и ТЗС5

6. Вывод

В работе рассмотрена модель турбулентности 88Т-7-а^, относящаяся к локальным корреляционным моделям ЛТП и позволяющая моделировать переход в рамках подхода

ИА^. Модель реализована в программе Е\¥Т-ЦАГИ и верифицирована на тестах с переходным обтеканием гладкой пластины и профиля XI.К( 1 )-() 11 II-'. Тесты с пластиной показали, что модель ББТ^-а^ позволяет с достаточной для практических приложений точностью предсказывать положение ЛТП, включая пузырьковый сценарий перехода. Тесты с профилем показали, что наибольшие ошибки в предсказании аэродинамических характеристик наблюдаются в области ламинарной корзины — зоны уменьшенного сопротивления профиля в окрестности нулевого угла атаки. Явление ламинарной корзины связано со стабилизирующим влиянием благоприятного градиента давления на пограничный слой при естественном сценарии ЛТП. Данный эффект не удаётся воспроизвести с помощью модели ББТ^-а^, даже прибегнув к перекалибровке констант. В связи с этим в работе предложена модификация модели, заключающаяся в увеличении критического числа Рейнольдса в области с благоприятным градиентом давления. Введение данной поправки позволило улучшить моделирование ламинарной корзины и, тем самым, повысить точность предсказания аэродинамических характеристик профиля. Однако расчёты переходного пограничного слоя на пластине показали, что предлагаемая поправка даёт неверный результат при моделировании обходного сценария ЛТП.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-29-00660, https: //rscf.ru/project/22-29-00660/.

Список литературы

1. Menter F.R., Kuntz М., Langtry R. Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model 11 Turbulence, Heat and Mass Transfer. 2003. V. 4, P. 625-632.

2. Smith A.M.O., Gamberoni N. Transition, pressure gradient, and stability theory, Douglas aircraft со, Report N es. 26388, 1956.

3. van Ingen J.L. A suggested Semi-empirical Method for the Calculation of the Boundary Layer Transition Region, Delft University, Report N VTH-71 and 74 1956.

4. Abu-Ghannam B.J., Shaw R. Natural Transition of Boundary Layers — The Effect of Turbulence, Pressure Gradient, and Flow History // Journal of Mechanical Engineering Scince. 1980. V. 22, I. 5. P. 213-228.

5. Menter F.R., Esch Т., Kubacki S. Transition Modelling Based On Local Varibales // Engineering Turbulence Modelling and Experiments. 2002. N 5. P. 555-564.

6. Menter F.R., Langtry R.B., Likki S.R., Suzen Y.B., Huang P.G., V"olker S. A Correlation-Based Transition Model Using Local Variables - Part I: Model Formulation // Journal of Turbomachinerv. 2006. V. 128. P. 413-422.

V"olker S.

Based Transition Model Using Local Variables - Part II: Test Cases and Industrial Applications // Journal of Turbomachinerv. 2006. V. 128. P. 423-434.

8. Menter F.R., Smirnov P.E., Lio Т., Avancha R. A One-Equation Local Correlation-Based Transition Model 11 Flow Turbulence Combust. 2015. V. 95. P. 583-619.

9. Матяш E.G., Савельев А.А., Трошин A.M., Устинов M.B. Учёт влияния сжимаемости газа в 7-модели ламинарно-турбулентного перехода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, № 10. С. 1779-1791.

10. Menter F.R., Matyushenko A., Lechner R., Stabnikov A., Garbaruk A. An Algebraic LCTM Model for Laminar-Turbulent Transition Prediction // Flow, Turbulence and Combustion. 2022. V. 109, I 4, P. 841-869.

11. Матюшенко А.А. Усовершенствованные версии к — ш SST модели турбулентности для расчета аэродинамических характеристик крыльев и турбинных лопаток, СПБПУ Петра Великого, дисс. на соискание ученой степени к.ф-м.н. 2023.

12. Михайлов С.В. Принципы построения программного кода для решения задач аэродинамики и аэроакустики // Математическое моделирование 2017. Т. 29, № 9. С. 49-61.

13. Bosnyakov S., Kursakov I., Lysenkov A., Matyash S., Mikhailov S., Vlasenko V., Quest J. Computational tools for supporting the testing of civil aircraft configurations in wind tunnels // Progress in Aerospace Sciences. 2008. V. 44. P. 67-120.

14. Власепко В.В. О математическом подходе и принципах построения численных методологий // Труды ЦАГИ. 2007. № 2671. С. 20-85.

15. Боспяков С.М., Горбушин А.Р., Курсаков И.А., Матяш С.В., Михайлов С.В., Подаруев В.Ю. О верификации и валидации вычислительных методов и программ на основе метода Годунова // Учёные записки ЦАГИ. 2017. V. 48, № 7. Р. 3-17.

16. Savelyev A.A., Kursakov I.A., Matyash E.S., Streltsov Е. V., Shtin R.A. Application of the Nonlinear SST Turbulence Model for Simulation of Anisotropic Flows // Supercomputing Frontiers and Innovations. 2022. V. 9, No. 4, pp. 38-48.

17. Savill A.M. Evaluating Turbulence Model Prediction of Transition: An ERCOFTAC Special Interest Group Project // Applied Scientific Research. 1993. V. 51. P. 555-562.

18. Schubauer G.B., Klebanoff P.S. Contributions on the Mechanics of Boundary-Layer Transition. 1995.

19. Robert J.M., Jeffrey K.V., Werner P., William, D.B., William, D.H. Experimental Results for a Flapped Natural-Laminar-Flow Airfoil with High Lift/Drag Ratio // NASA Technical Memorandum. 1985. N 85788.

20. http://airfoiltools.com/airfoil/details?airfoil=nlf414f-il

References

1. Menter F.R., Kuntz M., Langtry R. Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model. Turbulence, Heat and Mass Transfer. 2003. V. 4, P. 625-632.

2. Smith A.M.O., Gamberoni N. Transition, pressure gradient, and stability theory, Douglas aircraft co, Report N es. 26388, 1956.

3. van Ingen J.L. A suggested Semi-empirical Method for the Calculation of the Boundary Layer Transition Region, Delft University, Report N VTH-71 and 74 1956.

4. Abu-Ghannam B.J., Shaw R. Natural Transition of Boundary Layers — The Effect of Turbulence, Pressure Gradient, and Flow History. Journal of Mechanical Engineering Scince. 1980. V. 22, I. 5. P. 213-228.

5. Menter F.R., Esch T., Kubacki S. Transition Modelling Based On Local Varibales. Engineering Turbulence Modelling and Experiments. 2002. N 5. P. 555-564.

6. Menter F.R., Langtry R.B., Likki S.R., Suzen Y.B., Huang P.G., V"olker S. A Correlation-Based Transition Model Using Local Variables - Part I: Model Formulation. Journal of Turbomachinerv. 2006. V. 128. P. 413-422.

7. Langtry R.B., Menter F.R., Likki S.R., Suzen Y.B., Huang P. G., V"olker S. A Correlation-Based Transition Model Using Local Variables - Part II: Test Cases and Industrial Applications. Journal of Turbomachinerv. 2006. V. 128. P. 423-434.

8. Menter F.R., Smirnov P.E., Lio T., Avancha R. A One-Equation Local Correlation-Based Transition Model.Flow Turbulence Combust. 2015. V. 95. P. 583-619.

9. Matyash E.S., Savelyev A.A., TroshinA.I., Ustinov M. V. Accounting for the influence of gas compressibility in the 7-model of the laminar-turbulent transition. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2019. V. 59, N 10, P. 1779-1791. (in Russian).

10. Menter F.R., Matyushenko A., Lechner R., Stabnikov A., Garbaruk A. An Algebraic LCTM Model for Laminar-Turbulent Transition Prediction. Flow, Turbulence and Combustion. 2022. V. 109, I 4, P. 841-869.

11. Matyushenko A. Improved versions of k — w SST turbulence model for calculation of aerodynamic characteristics of wings and turbine blades, Peter the Great SPbPU, Dissertation for the degree of Candidate of Physics and Mathematics. 2023. (in Russian).

12. Mikhailov S. V. Principles of software code construction for solving problems of aerodynamics and aeroacoustics. Mathematical modelling. 2017. V. 29, N 9, P. 49-61. (in Russian).

13. Bosnyakov S., Kursakov I., Lysenkov A., Matyash S., Mikhailov S., Vlasenko V., Quest J. Computational tools for supporting the testing of civil aircraft configurations in wind tunnels. Progress in Aerospace Sciences. 2008. V. 44. P. 67-120.

14. Vlasenko V. V. On the mathematical approach and principles of construction of numerical methodologies. Trudy TSAGI. 2007. N 2671, P. 20-85. (in Russian).

15. Bosnyakov S.M., Gorbushin A.R., Kursakov I., Matyash S., Mikhailov S, Podaruev V. On verification and validation of computational methods and programmes based on the Godunov method. Scientific Notes of TsAGI. 2017. V. 48, N 7, P. 3-17. (in Russian).

16. Savelyev A.A., Kursakov I.A., Matyash E.S., Streltsov E.V., Shtin R.A. Application of the Nonlinear SST Turbulence Model for Simulation of Anisotropic Flows. Supercomputing Frontiers and Innovations. 2022. V. 9, No. 4, pp. 38-48.

17. Savill A.M. Evaluating Turbulence Model Prediction of Transition: An ERCOFTAC Special Interest Group Project. Applied Scientific Research. 1993. V. 51. P. 555-562.

18. Schubauer G.B., Klebanoff P.S. Contributions on the Mechanics of Boundary-Layer Transition. 1995.

19. Robert J.M., Jeffrey K. V., Werner P., William, D.B., William, D.H. Experimental Results for a Flapped Natural-Laminar-Flow Airfoil with High Lift/Drag Ratio. NASA Technical Memorandum. 1985. N 85788.

20. http://airfoiltools.com/airfoil/details?airfoil=nlf414f-il

Поступим в редакцию 06.12.2023