CC BY
15
Исходя из полученных данных видим, что в результате приложенных перемещений в средней части сосуда происходит движение лимфатической жидкости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Release 14,0 documentation for ANSYS [Электронный ресурс], ANSYS, Inc -2012.
2. Elaheh Rahbar, James E. Moore Jr. A model of radially expanding and contracting lymphangion // Journal of Biomechanics 2011. Vol. 44. P. 1001 - 1007.
3, Arun M. Venugopal, Randolph H. Stewart, Glen A. Laine, Christopher M. Quick. Nonlinear lymphangion pressure-volume relationship minimize edema // Am, J, Physiol Heart Care"Physiol. 2010. September. Vol.299(3) . P. H876-H882.
4. David C. Zawieja. Contractile Physiology of Lymphatics // LYMPHATIC RESEARCH AND BIOLOGY. 2009. Vol. 7, №2. P. 87-96.
УДК 532.5:533.6.011.5
В. С. Кожанов, С. В. Сорокин
УЧЁТ ТРЕТЬЕЙ ПОПРАВКИ В ЗАДАЧЕ О ТОЧЕЧНОМ ВЗРЫВЕ С ПРОТИВОДАВЛЕНИЕМ
Рассматривается задача об одномерном точечном взрыве (ТВ) в пространстве, заполненном идеальным совершенным газом при адиабатическом течении с противодавлением. Для решения задачи используется метод возмущений, в котором учёт противодавления реализуется с помощью поправок к автомодельному решению задачи о сильном точечном взрыве (СТВ). Этот метод впервые был применён Н.С. Мельниковой и независимо Сакураи, получившими первую поправку. В данной работе метод распространён до приближений третьего порядка. Приводятся детали алгоритма решения.
Система уравнений, описывающих течение в области, ограниченной расходящейся ударной волной (УВ), в безразмерных переменных имеет вид [11
2(1 - q)
Y + 1
f - А
(1 - q)f+
дА
[Y + 2 + (y - 1)(1 - q)][Y + 1 - 2(1 - q)] dh
+
2Y (Y + 1)g
(1 - q) f - ^'
дА
Г2
dq
dr?
= 0,
2(1 - д)
7 + 1
+
-/ - Л 1 дд + 2(1 - д)
] д дЛ 7 + 1 1 дд 2
д дд 7 + 1 — 2(1 — д)
дЛ + Л
+
Г2
¿д ^Г2
= 0,
2(1 — д)
7 + 1
+
/—Л
дН _
дд
дН 27 (1 — д) дЛ + 7 + 1 27Н '
[27 — (7 — 1)д]д.
/ + V—1 /
дЛ + Л
Н+
Г2
¿д ¿Г2
= 0.
где Л и д - независимые безразмерные переменные (0 < Л < 1), /(Л,д), д(Л,д), Н(Л, д) - безразмерные представители скорости частицы жидкости V плотности р и давления р соответственно, г2 = т2(£) - закон движения УВ, 7 - показатель адиабаты, V - тип симметрии течения.
Система (1) дополняется граничными условиями на У В (Л = 1)
/ (1, д) = д(1,д) = Н(1,д) = 1 Л=0 / (0,д) = 0.
Следуя методу возмущений, решение системы (1) ищем в виде
то то
/(Л,д) = /о(Л) + £дк/к(Л), д(Л,д) = до(Л) + £дкдк(Л),
(2)
(3)
к=1
ТО
к=1
МЛ,д) = Но(Л) + ^дкНк(Л), Г2= vд/ ( 1 + ^ А
то
(4)
к=1
к=1
Подставляя (4) в (1) и собирая коэффициенты при одинаковых степе-д
ренциальных уравнений (ОДУ) для определения функций к-го приближения /к (Л) дк (Л) Нк (Л). Начиная с но мера к = 1 в каждую очередную систему входит коэффициент Ак, который также подлежит определению. В качестве начального приближения /0(Л) д0(Л) и Но (Л) выступает автомодельное решение задачи о СТВ.
Для функций /к (Л), дк (Л) Нк (Л) получаются следующие граничные условия: /к(1) = дк(1) = Нк(1) = 0 - та УВ и /к(0) = 0 - в ЦС.
к
ставляет собой двухточечную краевую задачу с особой точкой типа седло
к
на одной из границ (в ЦС). Для её решения применяется метод пристрелки (shooting method). Основная его идея состоит в том, что интегрирование системы ведётся от значения А =1, соответствующего УВ, к А=0
вой fk(А). Целью решения является подбор такого значения Ak, при котором график функции fk(А) входит в точку (А = 0,fk(0) = 0) вдоль сепаратрисы седла. При прочих значениях Ak график функции fk(А) будет отклоняться вверх или вниз ( рис. 1).
Зададим параметр ek > 0 и выберем некоторое значение Ak = Ak-
Введём в рассмотрение функцию, характеризующую расстояние от произвольной точки кривой fk(А) до ЦС:
1(А) = f (А) + А?. (5)
Вычислим производную (5)
г'(А) = [А + fk(А)Я(А)] /¿(А). (6)
Минимум функции (5) соответствует равенству нулю числителя в (6). Пусть этот минимум достигается в некоторой точке Ам £ (0,1). Таким образом, численное интегрирование ведётся от 1 до Ам- Затем проверяется выполнение условия
¿(Ам) < £k. (7)
Если условие (7) выполнено, то итерационный процесс заканчивается, и краевая задача для определения функций k-го приближения решена.
Если же при текущей итерации условие (7) не выполнено, то требуется определить, в какую сторону отклонилась интегральная кривая. Математическим индикатором поведения кривой является величина М = fk(Ам). Если д < 0, то график отклонился вверх, а если д > 0 - то вниз. В первом случае значение A£ необходимо уменьшать, а во втором _ увеличивать_ Из (7) следует, что параметр £k характеризует степень приближения искомой интегральной кривой к сепаратрисе седла.
Отметим, что при использовании метода пристрелки абсолютное совпадение с сепаратрисой седла принципиально не достижимо. Однако это не мешает получить достаточно высокую точность вычисления коэффи-Ak
0.4
Рис. 4
0,6
0.4
0.2
/'
—у/
//
/ч
ч
4 А
1 А
1
--- ---1_
2
0.2
0.4
0.6
Рис. 5
Результаты расчётов приводятся для случая сферической симметрии течения (V = 3). На рис. 2 представлены графики зависимостей А1(7), ^2(7) И ^3(7).
На рис. 3 5 демонстрируются графики распределения безразмерных представителей скорости, плотности и давления при 7 = 7/5 для двух значений параметра д (для д = 0.2 - слева, для д = 0.6 - справа). Цифрами 1 4 обозначены кривые, построенные с учётом 1 4 слагаемых в (4) (к = 0,1, 2, 3) соответственно. Для небольших значений д учёт поправок третьего порядка даёт незначительный вклад в распределения параметров по сравнению с результатами и с учётом двух поправок [2]. При
д
можным с физической точки зрения результатам: плотность и давление становятся отрицательными в отдельных областях за У В.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Коробейников В. П., Мельникова Н. С., Рязанов Е. В. Теория точечного взрыва. М.: Физматгиз, 1961. 332 е.
2. Лягаева Т. В., Чернов И. А. К учёту противодавления в задаче о сильном взрыве // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2011. Вып. 13. С. 150-153.
