CC BY
41
УДК 62-75 О.Е. Носкова
УЧЁТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ В РАСЧЁТЕ ГИБКОЙ ОБОЛОЧКИ
ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧИ
В статье приведен расчёт напряжённо-деформированного состояния гибкой оболочки волновой зубчатой передачи с учётом дополнительной деформационной нагрузки. Получены дифференциальные уравнения для определения усилий и перемещений в гибкой оболочке и кольце волновой передачи. Решение уравнений представлено в одинарных рядах Фурье.
Ключевые слова: гибкая оболочка, волновая зубчатая передача, деформационная нагрузка, перемещение.
O.E. Noskova
CONSIDERATION OF ADDITIONAL STRAIN LOADING IN CALCULATION OF THE WAVE GEARING FLEXIBLE SHELL
Stress and strain state calculation of the wave gear flexible shell taking into account additional strain loading is given in the article. The differential equations for determination of the loadings and motions in the flexible shell and ring collar of the wave gear are received. The solution of the equations is shown in the unary Fourier's series.
Key words: flexible shell, wave gear, strain loading, motion.
Основным требованием к механизмам поворота антенн является обеспечение заданного срока активного существования (САС) каждого элемента и системы в целом с сохранением точностных, динамических и прочностных параметров.
Работоспособность привода и его функциональные характеристики определяются качественными показателями и работоспособностью волновой передачи, а именно её главного элемента гибкой оболочки, подкреплённой кольцом, на котором выполнены зубья или резьба.
Поэтому стоит задача увеличить срок активного существования основного элемента волновой передачи - гибкой оболочки с сохранением основных, качественных показателей.
В данной работе рассматривается гибкий элемент волновой передачи, представляющий цилиндрическую оболочку, подкреплённую кольцевыми шпангоутами-кольцами, которые являются основной функциональной деталью передачи, используемой в зацеплении с выходной ступенью механизма поворота антенн спутников связи.
Вопросам прочности и долговечности гибких колес посвящено много трудов [1-6]. Существующие методы расчёта гибкого элемента, основанные на представлении его в виде цилиндрической оболочки, нагруженной четырьмя силами, даёт большой разброс по точностным, деформационным и динамическим показателям для реальной конструкции механизма поворота антенны на орбите. В работе [1] рассматривается гибкий элемент в виде цилиндрической оболочки, но нагруженной локальными нагрузками в виде моментов в поперечном и окружном направлениях, силовых окружных, осевых и радиальных нагрузок.
Цель исследований. Получить уравнения для определения усилий и перемещений гибкого элемента волновой передачи с учётом дополнительной деформационной нагрузки, распределённой по закону деформирования гибкого элемента, - оболочки регулируемым генератором волн (рис.).
Расчетная схема гибкого элемента волновой передачи
В качестве расчётной схемы выбрана цилиндрическая оболочка с кольцом на расстоянии /7 от свободного торца, к которому и прилагается деформационная нагрузка.
При работе волновой передачи на гибкий элемент действуют нагрузки (рис.): а) деформативная радиальная, распределённая по закону*: щ=со()со82(р\ б) распределённая осевая и окружная нагрузки:
соз(п(р/2(рг), Цр — соз(п(р/2(р1), которые приложены с некоторым эксцентриситетом относительно срединной поверхности оболочки, а потому создают распределённые моменты на кольце. тк = д0/г7 соз(тр/2(р{), т -
На гибкий элемент, кроме указанных нагрузок, действует радиальная распределённая нагрузка ^ со стороны генератора волн, но, взаимодействуя через оболочку (деформированную на величину со0), она
воспринимается жёстким элементом и будет создавать в месте контакта генератора волн с жёстким элементом через оболочку (кольцо) только лишь контактные напряжения и, следовательно, она не будет влиять на распределение напряжений изгиба, растяжения и сжатия по всей оболочке.
Средняя линия кольца принимается нерастяжимой и лежащей на средней линии оболочки. Материал кольца и оболочки при деформировании следует закону Гука, а деформация сечений следует гипотезе Лява-Киргофа.
В работе [1] получены зависимости для исследования напряжённо-деформированного состояния оболочки и кольца гибкого элемента волновой передачи без учёта деформационной нагрузки.
С учётом деформационной нагрузки зависимости между моментами и перемещениями, а также условие нерастяжимости средней линии кольца, будут иметь вид:
Подставляя необходимые производные (1) в уравнения равновесия [1], получаем систему из трёх дифференциальных уравнений, которыми описывается напряжённо деформированное состояние участка гибкого элемента волновой передачи, на котором расположены зубья или резьба.
б
>
(1)
в
Щ+^0+у'к=0.
д
* Все обозначения соответствуют [1].
Я
(м>к+^Г+2(wk+wJя+(wk+w0)'-q —=0; а
Е1Х
щ+щ-К^кУЧх
Я4
Е1
-+т
Я
ЕК
--0;
2 2
3
Я
1к у а2 ^Я^к -а23к _ — 0.
б
(2)
Уравнения (2, б, в), описывающие напряжённо-деформированное состояние кольца, имеют такой же вид, что и в случае расчёта, когда не учитывается деформационная нагрузка [1].
Уравнения, описывающие напряжённо-деформированное состояние оболочки, имеют такой же вид, что и в случае расчёта кольца, когда не учитывается дополнительная деформационная нагрузка.
Решение дифференциальных уравнений производится в рядах, поэтому эту дополнительную деформационную нагрузку представим в виде разложения в ряд Фурье Ш0 —О)0п С08П(р, где О)0п общий член разложения дополнительной деформационной нагрузки в ряд Фурье по косинусам в пределах:
О <<р< 0,5^, п -0,5<£\ <ср<л; ] а при 0,5^ <ср<л- 0,5^3, =>/Оа1
(3)
Зная пределы интегрирования (3), найдём общий член разложения этой деформационной нагрузки в ряд Фурье.
— \б)оп созпср с1(р = — \о)0 с0$2фс05п(рс1(р = —О)0 л ■’ ж л
ып 4, — пГд ят41 + п~д 2< + >0
4-1^ г
ж
2 4~п
ып С - п вт^ + пГд
2 4 + п
5<Л
24-
24 + 1
гг-0,5
°,5^
2п
4 — П
т.п т.п
П СО8 (р 1 57>2--------2я'И0, 008----
V 41 2 41 2 ;
(4)
выражение для общего члена разложения деформационной нагрузки в ряд Фурье будет иметь вид:
4м>„
А
2п
(5)
Весь остальной расчёт усилий и перемещений кольца и оболочки волновой передачи ничем не отличается от методики [1].
Приведём только окончательные уравнения для усилий и перемещений в кольце и оболочке.
Т = ЕЙ*}':
п>2
ту Л Ры , 8 К 1 л а \
РА! ——---------1-----м>0 А10Р2п )С08П<р;
■9п
/32п ) я тгкр;
(6)
(7)
в
М7 =
оп
0
v =
Z
n>2
P л Pin , 4w0 p2n \ .
— A3 ——:--------1-------------Ац —— )sinncp;
и —
2 /if и X9n
A
7V
Я
9n
{—A4
2 Я22пЯ9п
n>2
w =
n>2
p_
2 P
2 A?2n X9n
8w0R p2n \
■ A22 — ) cos пер;
71
я.
'9n
z<^- p"
4wo л Р2П \
■A13 — )cosn<p;
71
Я
9n
Uk =
Z
n>2
V ^2n-^9n
8RI w0 p2 n \
■ A14 —— ) cos n<p;
7Г
Л.
■9n
Wk =
Z'
n>2
P 4 Pin 4w0 л P2n \
■ A7 ——;----------------------------Ai5 —— ) cos пер;
2 Я2n Я9п
-nu *
7Г
Я
9 n
'1^ + ^LA
2 n 17
sjr
yk , iJ9 .2 . 1 J±n 7 )sinri(p,
n>2 \ 2 ^In^n П Л>л
где
A =
R3^„
X-
EI2l
З
'ЗА,
'Єп
I ^ Xgn
R4nf.
EI1
I ^ X9n 2Я8п
l
Я
Єп
hR2n2 ---------:----=x
EI2I
A* —
A2 — —
R Л,7„n
6R4/Ієп/І7п 12R5ft 6R3Ag„n4 + (x2 hi
Eld
’_t_
EIjl
хЗ^бп л ^ 7 ~~2
EI2l2 Ay* A,,
El?l2
Rn { + a2 h
n I
2
' Я§п I
R3 ft
Eli
2 A
n Ax
A4 =
EI 2I
EI2l
l\n*-l\
Xx3 Хб n
l
l
2^8 n
2 R4n*-iyt
EI^
-X
3€ I . Ядп 2Agn
Я
'6n
R^n2 4yot2 I
EI2I
x
3 Ъп«-1\ I
As —
r2x7k
El 2l R3 ftn
l
Я
x4 Л2
Eli
Rn 2 ^ + cc 2 h1
if2 4-lZ + 2juR2 +
x3
Ал —
ei2i
R3A7n , 2R4ftnl
El:
' >Я/0*7 '
El
i
- J + -
A*
R2n2 t + a2 hj EI,
Я9п >
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
l
l
l
і
2
l
n
А7 —
К2 Л? и
Ляп Л^п
ЛцЗоЛ^п
Е121 Еп2 ^ + ос2 Их
я3Г(п
Е11
' Л
х40
Л
2Л
хЗО
бп
Е1?1
ЛхзоЛ^п
Ая — —
Я2п21
■ ос
Е1 2
-'Л
9 п
2Я3 п31 { + сс2 /, Е12 Л7п
3--
Лд„ — 2 Л,
8п
Л
6п
"Э
Е1?Л
■Л
9п
2^7п
^2п ^9п 1
(П ,Л
р/^7п
Ао —
К Х7пП
Е1 2.1
ЛхЗоЛ^п п21
— Лят,1
я3 Л
2 Л
хЗО
Яп ^ + ОС2 Н2
Е171
ЛхзоЛхз
I
Е11 — Л5п12
П2 ЛХ40
Аю -
б4~1 Яр„ — 2Я,
■8 п
I
Ал —
А 2 2 ~
Хх4
Ябп
34-1'
Ап
Лд„ ~ 2Л,
2Я
хЗ
8 г,
".2
А-2 6 ~
А]4 — —3 4 21п2 ^ + а
4-1 Лд„ — 2 А:
I
Ъ2 4-1
л&п
. п2
■8 п
А15 =
2 /иК
Ях40
+ пЛ п1
4-0 , 2Лхз
х4 >
I
я7я
7 Лри
Яби
2 У
-- ' 3-
V
12
Я^и 4
2Я
хЗО
I
Лд„ — 2 Л,
8п
л
бп
А11 = 2Л^ + пХх т
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26) (27)
Итак, мы получили уравнения для определения усилий и перемещений в гибкой оболочке и кольце гибкого элемента волновой передачи с учётом деформационной нагрузки, распределённых силовых и мо-ментных нагрузок.
Напряжения в кольце и оболочке вычисляются по тем же формулам, как и в случае расчёта гибкого элемента без учёта деформационной нагрузки.
Если же на кольцо, соединённое с оболочкой, будут действовать дополнительно в моментные нагрузки в радиальной или осевой плоскостях, а также возможные другие виды нагрузок, то необходимо получить их разложение в ряд Фурье, как это сделано в выражениях (27)—(28) согласно [1] или (4)-(5). Полученные разложения далее необходимо использовать при нахождении усилий и перемещений, как это сделано в выражениях (32)-(42) согласно [1] или (6)—(31). Напряжения определяют по тем же формулам (43)-(44) согласно [1].
2
I
I
I
I
I
Литература
1. Сильченко П.Н., Турышев В.А., Василенко Н.В. Расчёт гибкого элемента волновой передачи винт-гайка // Прочность и надёжность деталей и узлов машин. - Красноярск, 1978. - С. 32-46.
2. Турышев В.А. Расчёт гибкого колеса волновой передачи при совместном действии сил зацепления и давления генератора // Машиностроение. - Красноярск, 1972. - № 6. - С. 3-9.
3. Иванов М.Н. О напряжениях в зубчатом венце гибкого колеса волновой передачи // Машиностроение. - 1974. - № 5. - С. 180-183.
4. Ковалёв Н.А. Деформированное состояние гибкого колеса механической волновой передачи // Машиностроение. - 198о. - № 1. - С. 30-34.
5. Завьялов В.М., Рубцов И.В. Экспериментальное исследование напряжений в гибких колёсах волновой зубчатой передачи // Динамика и прочность тяжёлых машин. - Днепропетровск, 1984. - С. 92-94.
