Учет времени перемещения производственных ресурсов при подготовке производства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

УЧЕТ ВРЕМЕНИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ РЕСУРСОВ ПРИ ПОДГОТОВКЕ ПРОИЗВОДСТВА В.И. Алферов, В.Н. Колпачев, И.С. Суровцев

В данной статье авторы рассматривают процесс распределения ресурсов типа мощности для случая, когда время перемещения между пунктами выполнения работ соизмеримо со временем выполнения работы

Ключевые слова: перемещение, производство, ресурсы, работа

Рассмотрим процесс распределения ресурсов типа мощности для случая, когда время перемещения между пунктами выполнения работ соизмеримо со временем выполнения работы.

Предполагается, что заданы времена перемещения бригады от работы к работе и времена перемещения бригады из пункта расположения к месту выполнения каждой работы, т.е. задана матрица

(1 ^) времен, где 1 ^ - время перемещения бригады

с места выполнения работы 1 в место расположения

работы ], 1 о1 время перемещения бригады из места

ее расположения в место выполнения работы 1, 1 ^

время перемещения бригады из пункта) в пункт о.

Обозначим через ti - момент завершения работы 1, Д - планируемый срок завершения работы 1. В этом случае разность Д. = ti - Д. определяет величину запаздывания завершения работы 1 (срыв плановых сроков) или величину резерва, если ti < Д. В качестве критерия оптимальности расписания примем величину максимального запаздывания

Д = тах Д. (1)

Задача заключается в определении очередности выполнения работ, минимизирующей (1).

Если времена перемещения бригады с работы на работу малы по сравнению с временами выполнения работ и ими можно пренебречь, то задача решается элементарно. Оптимальной очередности соответствует выполнение работ в порядке возрастания Д. .

Если временами (1 ^) пренебрегать нельзя,

то задача становится сложной (№- трудной) задачей оптимизации. Достаточно сказать, что ее част-

Алферов Виктор Иванович - ВГАСУ, докторант, тел. (473) 276-40-07

Колпачев Виктор Николаевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 276-40-07

Суровцев Игорь Степанович - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 276-40-07

ным случаем является известная задача коммивояжера.

В следующих пунктах рассматриваются методы решения задачи для различных транспортных схем.

Пусть матрица (1 ^) является симметричной (1 ч = 1 ^ для всех 1, ]). Рассмотрим применение для решения задачи метода ветвей и границ. Для применения метода ветвей и границ необходимо определить способ ветвления (разбиения множества решений на подмножества) и способ получения нижних оценок целевой функции на подмножествах решений. Рассмотрим сначала способ получения нижних оценок целевой функции. Построим кратчайшую связывающую сеть (кратчайшее дерево) на вершинах 1, п . Очевидно, что длина этого дерева (сумма длин ребер дерева) дает оценку снизу длины маршрута из пункта О, проходящего через все остальные пункты (без учета времени возвращения в начальный пункт). Действительно, среди всех деревьев существует гамильтонова цепь, начинающаяся в вершине О. Эта цепь определяет некоторый допустимый маршрут бригады. Теперь определим способ ветвления. Разобьем множество всех очередностей (перестановок из п пунктов) на п подмножеств.

В подмножество (1) входят все решения, в которых работа в пункте 1 выполняется последней.

Утверждение 1. Оценка снизу целевой функции на подмножестве решений (1) определяется выражением

Д.) = V + т1п 1 . (2)

где V - длина кратчайшего дерева, построенного на вершинах (1, п).

Доказательство. Если 1 - пункт, работа в котором выполняется последней, то очевидно, что мы не можем эту работу выполнять первой. В лучшем случае первой будет выполняться работа, расстояние до которой равно т1п 1 . Это доказывает

о 0

утверждение.

Зная оценку (2) можно определить оценку снизу критерия (1). Она равна

Ф(0 = ДО+е- Д (3)

где в = Т Т - суммарная продолжительность всех

/'

работ.

Согласно методу ветвей и границ для дальнейшего ветвления выбирается подмножество 1 с минимальной оценкой.

Рассмотрим способ получения оценок для произвольного подмножества. Обозначим через Як = (г1, г2>..Л) подмножество решений, в которых последними выполняются работы в пунктах /1,/2,...,/к в обратной очередности (работа 11 выполняется последней, работа 12 - предпоследней и т.д.).

Обозначим через М (/'1; /к) длину кратчайшего дерева, построенного на вершинах графа за исключением вершин (/1, /к) , в(/1,/к) - суммарная продолжительность работ за исключением работ (/и/к).

Развиваем подмножество рк на (п - к) подмножеств Як+1(0) = (/1,/2,...,/к,0), где 0 ф /х, 5 = 1,к

Подмножество Як+1 (0) содержит все решения подмножества Як, в которых работа) выполняется непосредственно перед работой 1к.

Для получения оценки снизу целевой функции на подмножестве Як+1(]) вычисляем

оценку снизу момента завершения работы ]

т 0)=М (/1л )+ ¥)

4 7 V / V / /,4€0к+1( J)

где в(х,/к) суммарная продолжительность работ

/ £ Як.

Далее, определяем оценки снизу моментов завершения работ /1, /2,..., /к

т (0 )=т (0)+т(1 /■+,/■ +т), где .ш=0

0=а

Наконец определяем оценку снизу целевой функции на подмножестве Як+1 /к, 0)

ф(1Х0)= тах|д -т(^Х0-Т (^Х0))]

Далее процедура продолжается, пока не будет получено решение, значение целевой функции которого меньше или равно нижних оценок целевых функций всех остальных подмножеств.

Рассмотрим случай произвольной матрицы расстояний. В этом случае для получения нижних оценок целесообразно применить способ приведения матрицы расстояний. Однако, этот способ необходимо модифицировать, учитывая, что нас интересует незамкнутые маршруты. Кроме того, как и в предыдущем случае, выбираем не дихотомическую схему ветвления. В работе описан модифицированный алгоритм получения нижних оценок.

Рассмотрим частный случай задачи, когда все пункты расположены в линию (например, вдоль автострады) (рис. 1).

Рис. 1. Линейная схема расположения объектов

В этом случае 1и = ^ - ,/.| , где ^ - время переезда бригады из начального пункта 0 в пункт ].

Обозначим через 1 к номер пункта, работа в котором выполняется в к-ю очередь. Пусть задана последовательность лк = (/к,/к+1,...,/п) ,(к<п) из (п-к+1) пунктов. Получим оценку снизу момента окончания работы в пункте 1к. Для этого обозначим через р максимальный номер пункта, не вошедшего

в последовательность пк (то есть р ф ,0 = к, п ).

Определим длину кратчайшего пути из пункта 0 в пункт 1к проходящего через все пункты за исключением пунктов последовательности пк . Эта длина равна

Мпк, /к )=2 р- % (4)

Зная Л(пк, /к) можно получить оценку снизу момента окончания работы в пункте 1к

t к =л(к А )+Тк + Тт (5)

Зная (5), можно получить оценку снизу

моментов завершения работ во всех пунктах последовательности пк

0-11 I 0 ------

^ = tik + Щ, - + Тт,, 0 = к +1,п (6)

к ,=к+1

Зная оценки снизу моментов окончания работ в каждом пункте, определяем оценки снизу критерия Д на подмножестве решений, в которых работы в пунктах пк выполняются в последнюю очередь (в заданной очередности)

с (пк)=та>4-- д] (7)

к<j<nL 0 0 л

Опишем метод ветвей и границ для реше -ния задачи на основе полученной оценки.

1 шаг. Разобьем множество всех решений на подмножества п(/) / = 1, п , такие что в подмножестве п(1) работа в пункте 1 выполняется последней. Вычисляем оценку (1) для каждого подмножества.

Общий шаг. Рассматриваем все полученные подмножества (висячие вершины дерева ветвлений) и выбираем подмножество с минимальной оценкой. Пусть это подмножество определяется последовательностью пк = (/к, /к+1,..., /п) Разбиваем это подмножество на (к-1) подмножеств, определяемых последовательностями пк-1(/) = (/, /к, /к+х,..., /п) ,

где / ф ,0 = к, п . Для каждого подмножества вычисляем оценку снизу.

Алгоритм заканчивается при получении подмножества (решения) п1 = (/1,/2,...,/п) , такого что оценки снизу всех остальных подмножеств дерева ветвлений больше или равны С(п1). Полученное решение оптимально, поскольку С(л1)=Ф(л1), а оценки снизу критерия Д для всех остальных подмножеств больше или равны С(п1).

Описанный подход можно применить к ряду других схем расположения пунктов. Пусть все пункты расположены вдоль кольцевой дороги (рис. 2)

Рис. 2. Кольцевая схема

Обозначим через Р - множество пунктов, не входящих в последовательность, пк, 81 - максимальный номер среди пунктов 1ер. В случае одностороннего движения оценки Л(пк, /к) определяются следующим выражением Я(пк,/к) = Ь + , ^, если /к ф 51,

л(пк, /к ) = , если / к = где Ь - длинна кольцевой дороги.

В случае двустороннего движения оценка Л(пк, /к) получается более сложным образом, поскольку возможны различные варианты выполнения работ (рис. 2).

Для их перечисления обозначим через Р1 -номер первого после пункта 0 из всех пунктов множества Р (при движении по часовой стрелке), Р2еО - номер пункта, такой что Р2 < 1к а между Р2 и 1к нет пунктов 1е0, и наконец

82еР - номер пункта, такой что 82>1к и между 82 и 1к нет пункта 1еР (номера пунктов О, Р1 Р2, 8Ь 82 могут совпадать).

I вариант. Выполняем работы во всех пунктах 1е0, двигаясь по часовой стрелке, и затем идем в пункт 1к также по часовой стрелке

МПк А )= Ь + ,/к

II вариант. Выполняем работы во всех пунктах 1е0, двигаясь по часовой стрелке, и затем идем в пункт 1к против часовой стрелки

Л (пк, /к )= 2,з, - ,к

III вариант. Выполняем работы во всех

пунктах 1еР от Р1 до Р2

(по часовой стрелке), затем от пункта Р2 идем против часовой стрелки, выполняя работы во всех

пунктах 1еС) от 81 до 82, и наконец, выполняем работу в пункте 1к. получаем Л3 (пк, /к) = Ь - - 2,Р

IV вариант. Выполняем работы во всех пунктах 1^5, двигаясь против часовой стрелки, и затем идем в пункт 1к также против часовой стрелки

Л4 (пк, к )= 2Ь - ,к

V вариант. Выполняем работы во всех пунктах 1^5, двигаясь против часовой стрелки, а затем идем в пункт по часовой стрелке

Л5 (пк, / к )= Ь - - 2,Р,

VI вариант. Выполняем работы во всех пунктах 1е£) от 81 до 82, двигаясь против часовой стрелки, затем идем из 82 по часовой стрелке, выполняя работы в пунктах 1^) от Р1 до Р2, и наконец выполняем работу в пункте 1к.

Л6(пк,/ к)= 2(Ь - ,8г) - ,/к

Сравнивая все шесть вариантов, берем вариант с минимальной величиной

Л6 (пк а )=тпл(пк а)

1</<б

Оценка снизу критерия Д получается по формулам (6) и (7).

Рассмотрим вариант линейной схемы, когда начальный пункт расположен между пунктами, в которых должны выполняться работы рис. 3. Для определенности примем, что пункт 1к расположен справа от начального пункта.

І1 42 Чз (-І4 Чз

Оі От Оз 04 Оз

Рис. 3. Линейная схема расположения объектов

Обозначим через 8 самый удаленный от начального пункта слева из всех і^), а через Р - самый удаленный от начального пункта справа из всех і*). В этом случае Л(пк,ік) = 2qs + 2qP -

Оценка критерия Д также получается по формулам (7), (8).

Рассмотрим еще один частный случай, когда транспортная схема является радиальной (рис. 4)

Заметим, что время а1 перемещения из начального пункта в пункт 1, где выполняется работа

1, в общем случае не равно времени р1 возвращения в начальный пункт. Дело в том, что р1 может включать время на подготовительные работы, подбор инструмента и т.д., а р1 может включать время на подготовку техники и инструмента к отъезду. Таким образом, время перехода бригады от пункта 1 в пункт) равно Л = в+а0

Продолжительность выполнения всех операций одной бригадой равна

т = Ъ(а+Р1-т)

/

с учетом времени возвращения бригады в начальный пункт. Рассмотрим задачу определения очередности выполнения работ, минимизирующей критерий Д.

Пусть п = (/1,/2,...,/п) очередность выполнения работ. Тогда

t. + у(а + в +т, )+а. +т, =

0к *->\ /0 И/0 /0 ! % к

0=1

=х(+/в,1+т. у в (9)

0-1

Заметим, что

Д=тк1х(^к- у (10)

В работе показано, что оптимальным является выполнение операций в очередности возрастания (неубывания) величины ( + Д).

Литература

1. Бурков В.Н., Ланда Б.Д., Ловецкий С.Е., Тейман А.И., Чернышев В.Н. Сетевые модели и задачи управления. М.: Советское радио, 1967. - 144 с.

2. Алферов, В.И. Разработка графиков движения бригад по объектам строительства. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, Г. Д. Юшин // ВЕСТНИК Воронежского государственного технического университета, Том 5, № 1, 2009 - с. 30 - 35.

3. Алферов, В.И. Прикладные задачи управления строительными проектами. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, Н.В. Хо-рохордина, В.Н. Шипилов В.Н. // Воронеж: «Центрально - Черноземное книжное издательство», 2008. - 765 с.

4. Алферов, В.И. Управление проектами в дорожном строительстве. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, П.Н. Курочка // Воронеж: «Научная книга», 2009 -с. 340.

5. Баркалов, С. А. Системный анализ и его приложения. [Текст] / С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, В.И. Новосельцев - Воронеж «Научная книга» 2008. - 439 с.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

THE ACCOUNT OF TIME OF MOVING INDUSTRIAL RESOURCES AT PREPARATION OF MANUFACTURE V.I. Alfyorov, V.N. Kolpachev, I.S. Surovtsev

In given clause authors consider process of distribution of resources of type of capacity for a case when time of moving between items of performance of works is commensurable in due course performance of work

Key words: moving, manufacture, resources, work