Учет влияния отраженных токов в синтезе магнитных полей Текст научной статьи по специальности «Физика»

I

УДК 621.314

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ОТРАЖЕННЫХ ТОКОВ В СИНТЕЗЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Н.К. АНДРЕЕВ, А.Н. ЦВЕТКОВ

Казанский государственный энергетический университет

Рассмотрено влияние отраженных в плоских полюсных наконечниках токов на поля прямолинейных проводников в центре зазора магнита с железными наконечниками. Предложены оптимальные плоские прямоугольные катушки для создания градиентов первого и третьего порядка, а также предложен вариант реализации системы из восьми прямоугольных катушек, который позволяет независимо регулировать градиенты первого и третьего порядка.

Во многих приборах и элементах автоматики для создания магнитных полей с заданными свойствами применяются токовые катушки, расположенные в зазоре магнитов и электромагнитов с железными полюсными наконечниками. В этом случае в рабочей области от отраженных в наконечниках токов возникают магнитные поля, которые складываются с собственным полем катушек.

В реальной практике применяются полюсные наконечники различных форм. В данной работе предлагаются варианты реализации градиентных катушек в зазоре магнита с плоскими железными наконечниками.

Учет полей отраженных токов от плоских полюсных наконечников рассматривался неоднократно [1,2,3]. Синтез полей заданного пространственного профиля производится с помощью систем, симметрично расположенных относительно центра магнита прямоугольных катушек с током.

Рассмотрим поле прямоугольных катушек с током, расположенных вблизи полюсных наконечников (рис. 1). Будем считать, что координатная ось г совпадает с продольной осью магнита. Центр координат поместим в центре зазора. Введем обозначения: 28 - ширина воздушного зазора магнита; 21 - длина рабочих сторон катушек; /ц, ^2 - расстояния соответственно внутренних и внешних рабочих сторон катушек от оси г.

Синтезированные магнитные поля предназначены для коррекции градиентов компоненты Нг. Система двух симметричных пар прямоугольных

катушек с одинаковым направлением токов в одноименных проводах, у которых длинная сторона расположена параллельно оси х, создает нечетные

градиенты оу1 = дНг / ду , Оуз = д3 Нг / йу3 вдоль оси г. Одним из требований к

катушкам коррекции является то, чтобы каждая катушка создавала только один градиент. Используя принцип суперпозиции, можно построить всю систему

Введение

Теория

© Н.К. Андреев, А.Н. Цветков

Проблемы энергетики, 2003, № 9-10

ортогональных корректирующих катушек. Поэтому рассмотрим поле одного замкнутого прямоугольного витка.

Рис. 1. Общий вид градиентных катушек на полюсе магнита

При выводе используем закон Био-Савара-Лапласа, учтем влияние магнитной проницаемости наконечников с помощью бесконечного набора отраженных токов [1]. Пренебрегаем влиянием боковых сторон катушек, в силу их значительного удаления от центра зазора и малой длины. Тогда можно

получить следующее выражение для корректирующего поля н^ от одного витка

на оси у:

где г = к — у ,а к - коэффициент пропорциональности, зависящий от числа

витков и тока в катушках. В работе [1] вычисление произведено путем перехода от суммирования к интегрированию и замены реальных переменных интегрирования комплексными. Нами составлена программа, позволяющая суммировать большое количество членов в этом ряду. Однако для аналитических расчетов удобнее пользоваться приближенной формулой, полученной в работе [1],

Прежде чем анализировать полученное выражение, положим, что размер зазора равен 8 = 1,5 см, ток равен 1 А, коэффициент к = 1. Для начала примем по установленным в магнитном резонансе рекомендациям [2], что для получения линейного градиента поля центр и стороны рамки должны располагаться при

Однако расчет по формуле (1) при принятых данных показывает, что поле в зазоре магнита отличается от поля в воздухе и кроме линейного градиента содержит также градиент третьего порядка. Необходимо также отметить, что

н 1 = Ы т'£ [2 + (2т +1)2 521"1 ]2 + г 2 + (2т +1)2 52 ]"Ш »

т=-»

(1)

Ус = л/25, Нх = ус-5 и *2 = Ус +5.

(2)

вклад второго слагаемого в формуле (1) при l > 10 см составляет не больше 1 % от вклада первого слагаемого, а при l > 5 см - не более 2 %.

Если пренебречь вторым слагаемым в формуле (1), то получаются следующие выражения для градиентов:

дH1 / dy = d2сЬ 2q ;

д3 И\/ dy 3 = 2d 4(2сЬ-^ - 3)/сИ^;

д2^ / dy2 = -2й3shq • ch-3q ; q = пh/25•

(3)

Результаты

Выбором размеров катушек можно создать систему коррекции линейного градиента, не содержащую градиента третьего порядка. Для этого нужно решить уравнение

(2^ 2ql - 3)/^^ = (2^ ^2 - 3)/ ch4q2 •

(4)

согласно которому сумма градиентов третьего порядка от внутренних и внешних сторон катушек равна нулю. В работе [1] дано аналитическое решение

= d_11п(Ь + 4ь-Л ),

Ь

2Ь - 3

ь

2Ь - 3

-1

(5)

Для получения более удобной для монтажа системы сразу положим, что ^ = 1,5 см. Тогда Ь = 6,284, а h2 = 0,832 см. Заметим, что результаты отличаются от приведенных в работе [1], в которой предлагалось значение 3/2 < Ь < 3. Результаты расчетов приведены на рис.2.

А / м

1) У =0,1 9656 + 0,35777 Х + 0,39243 X2 -0,27969 X

Рис.2. Зависимость магнитного поля рамки с током на оси у:

1) кривая, рассчитанная по формуле (1), и ее интерполяция полиномом третьего порядка; 2) интерполяция расчетной кривой прямой линией

3

У

Кривая 1 и ее интерполяция полиномом третьей степени Y = A + Bi x + B2 x2 + B3 x3 c коэффициентами A =0,19656±5,2163-10"4;

B1 = 0,35777 ± 0,00594; B2 = 0,39426 ± 0,01778; B3 =-0,27969 ± 0,01458 получены на основе размеров катушки, рассчитанных по формулам (2) и (1), а кружками изображены точки прямой 2, которая является наилучшим приближением кривой 1 по минимуму среднеквадратичного отклонения Y = A + B1 x с коэффициентами

A =0,18595±4,72-10-18; B1 = 0,556 ± 1,81517 ■ 10-17. Расчеты проведены с помощью программ МаШсай и Origin.

Обсуждение результатов

Как видно из рис.2, среднеквадратичное отклонение кривой третьего порядка от линейности на расстоянии ± 0,8 см по оси y пренебрежимо мало, что является очень хорошим результатом.

Для получения чистого градиента первого порядка можно воспользоваться тем, что градиент первого порядка в зависимости от расстояния h монотонно убывает, а градиент третьего порядка при малых значениях h возрастает от отрицательных значений до некоторого положительного критического значения hk, после чего монотонно спадает к нулю. Следовательно, если на близких расстояниях h < hk токи в ближних катушках 1 и 2 направить в одну сторону, градиент Gy 3 подбором взаимных положений и соотношением количества витков «1 : n2 можно обратить в нуль, и, наоборот, можно увеличить Gy3, если

направить токи в противоположную сторону. В соответствии с этим алгоритмом были предложены следующие катушки, состоящие из четверки двойных прямоугольных катушек: а) h1 = 0,315 h2 = 0,96; h3 = 1,3 см;

«1 : «2 : «3 = 1:2: (-3); б) h1 = 0,3 h2 = 0,97; h3 = 3,2 см; «1 : «2 : «3 = 1: (-2): 1. Первая система создает чистый градиент первого порядка, а вторая - третьего порядка. Знаки при величинах щ означают относительные направления токов в катушках.

В заключение приведем результаты реализации корректирующих полей первого и третьего порядка с помощью двух четверок прямоугольных катушек, имеющих частично общие токи. Каждая четверка катушек создает комбинацию линейного и кубического градиентов:

1 3

Hz1 = ^1(й1 У + а3У Ь

Hz2 = I2(b1y + ¿3У3) , где I1 и I2- соответствующие токи коррекции. Часть тока первой катушки направим во встречном направлении во вторую катушку, и наоборот. При этом суммарное поле всех восьми катушек в начале координат равно

+ НЯ = [1 - ßb1 )I1 + (b1 - aa1)12 ]y + [(a3 - ß*3)I1 + (¿3 - aa3 )12 ]y 3 . Значения коэффициентов a и ß для деления токов выбираются из условий

¿1 — aa1 = 0;

a3 - ßb3 = 0 ;

а-р^ 1.

При этих условиях ток /1 будет управлять только линейным градиентом, а ток /2 - только градиентом третьего порядка.

Выбираем h1 = 0.62; h2 =3,62; h1 = 0,81; h2 = 3,81 • При токе /2 = /2 = 1 А

коэффициенты равны: а1 = 0,731; а3 = -0,029; b1 = 0,573; b3 = 0,534, так что а = -0,053; в = 0,932. В результате коэффициент при токе /1 равен -0,386, а коэффициент при токе /2 равен 0,523. Оптимизацию значений коэффициентов с учетом минимума энергоемкости катушек предполагается выполнить в последующих работах.

Выводы

Таким образом, в данной работе рассмотрены различные варианты градиентных катушек в зазоре магнита с плоскими полюсными наконечниками. Предложены новые варианты оптимальных прямоугольных катушек для градиентов первого и третьего порядка. Кроме того, предложен вариант реализации системы из восьми прямоугольных катушек, который позволяет независимо регулировать градиенты первого и третьего порядка.

Summary

The influence of image currents is discussed on the field at the center of a magnet with plane ferromagnetic poles. Optimal plane rectangular coils are proposed for generating of the gradient fields of the first and third order. The realization of the coil system is considered that allows us regulate independently first and third order gradients.

Литература

1. Любимов А.Н., Вареник А.Ф. О расчете катушек коррекции однородности

поля магнита ЯМР-спектрометра высокого разрешения

//Радиоспектроскопия. Вып.11: Межвуз. сб. научных трудов. Пермский ун-т, 1978. - С.98-102.

2. Webster D.S., Marsden K.H. Improved apparatus for the NMR measurement of self-diffusion coefficients used pulsed field gradients //Rev. Sci. Instrum, 1980, V. 45, No.9, P.1232-1234.

3. Oedberg G., Oedberg L. On the use of a quadrupole coil for NMR Spin-eecho diffusion studies // J. Magn. Resonance, 1974. V.16, P.342-347.

Поступила 16.04.2003