Учет влияния малых несовершенств формы поперечного сечения на напряженное состояние неподкрепленных тонкостенных круговых цилиндрических оболочек под действием перепада давлений Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982

М 3

УДК 624.074.4

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕПОДКРЕПЛЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЙ

В. П. Тияохин

Для тонкостенных цилиндрических оболочек с малыми отклонениями формы сечения от круговой построены аналитические зависимости, позволяющие определять напряженно-деформированное состояние оболочек в случае нагружения их перепадом давлений. Полученное аналитическое решение подтверждено сопоставлением с экспериментом.

Развитие строительных, авиационных, судостроительных и других конструкций во многих случаях связано с использованием тонкостенных неподкреп-ленных оболочек. Неподкрепленные круговые цилиндрические оболочки используются, как правило, в качестве основпого силового элемента, воспринимающего перепад давлений. Любое отклонение формы поперечного сечения от круговой создает при нагружении моментное напряженное состояние. Поэтому несовершенства формы сечепня ограничиваются нормативными документами. Так, для сосудов давления (см. [1]) регламентируется овальность Д:

А— — Ашп , 100% 7 (I)

О0

где £>тах> £>тт и Д> — максимальный, минимальный и номинальный наружные диаметры в одпом сечении.

Моментное напряженно-деформированное состояние круговых оболочек с овальностью поперечного сечения достаточно подробно исследовано экспериментом [2]. Данные [2] убедительно свидетельствуют о том, что овальность практически не влияет на несущую способность оболочек, изготовленных из пластичных материалов. В то же время она существенно снижает величину разрушающего давления (по эксперименту — до двух раз) при использовании хрупких материалов типа асбоцемента.

В случае работы конструкции на восприятие наружного давления несовершенства формы могут в значительной мере снизить критическое давление [3]. Важно поэтому иметь аналитические зависимости, по которым при заданной начальной форме сечения можно было бы определять- напряженно-деформированное состояние конструкции с учетом изменения формы в процессе нагружения.

В [41 приведено приближенное решение такой задачи в предположении, что исходная форма сечения — эллипс. Сопоставление в (2] материалов эксперимента с расчетом по [4] показывает существенное расхождение результатов

<в 1,3—1,5 раза). Анализ показал, что причина расхождения—в отличии начальной формы сечения от эллипса. Поэтому можно говорить лишь о неприменимости [4] к расчету оболочек, исследованных в [2], а практическая важность вопроса (см., например, [5]) диктует необходимость построить такое решение для произвольного закона отклонения формы сечения от круговой.

С этой целью рассмотрим сначала кольцо единичной ширины с номинальным радиусом г, толщиной стенки /г (рис. 1). Кольцо тонкостенное, т. е.

Периметр кольца 5 измерен; 5 круговой и задана в виде

2кг. Форма кольца отличается от

R (?)=/(?),

(2)

где R (®) — модуль радиус-вектора рассматриваемой точки контура кольца; /(сс) — известная функция.

Кольцо нагружается равномерно распределенной погонной нагрузкой q; будем считать кольцо нерастяжимым.

Разложим (2) в выбранной системе координат (см. рис. 1) в ряд Фурье:

00 СО

R (?) = /■+ £d£c°s(/i<p) + £ ^sin(ncp), (3)

я=2 п-2

где а°п и Ь^п — коэффициенты Фурье при q — 0.

В процессе загружения происходит постепенное изменение формы кольца и приближение ее к идеальной круговой. Таким образом, задача определения напряженного состояния кольца с учетом изменения формы является геометрически нелинейной. Введем упрощающие предположения. Согласно [2] обычно

R (?) * ;, (4)

поэтому предположим, что

I (R (*)-г)/г і <0,1

г

<0,1, п = 2,3,

(5)

Предположение (5) позволяет рассматривать нашу задачу как задачу с малой нелинейностью и тем самым существенно упростить ее решение. Загрузим кольцо элементарной погонной нагрузкой Д<?. На основании 2-й и 3-й теорем Марбека [6] приращение момента ДЛ1 в любом сечении определится по формуле:

Ш = _1_Д9(^(?)-Р2), (6)

где

/

R4°)

EJ

dS

dS

EJ

(?)

Так как жесткость кольца постоянна, получим

га

2к

, А \2 / А \3'

1 + 3 —+ 3(—) +(-7

где

п = 2

п=2

Пренебрегая в (8) согласно (5) членами более высокого порядка малости, чем А'[г, получим

р2 = г*. (9)

Подставим (9) в (6) и запишем ДтИ в виде

/ 00

'00 со \

Ш (?) = Дяг | ^ а°п сой (яф) + Ь°п зт (и<р) . (10)

\я=2 п—2 /

Вычислим радиальные перемещения ДУ^(9) сечений кольца. Подставляя (10) в дифференциальное уравнение для радиальных перемещений (например, [7]) и

/ А\ 2 / А \з

пренебрегая величинами порядка и “) , нолучим

г3 Д а

^(?)=-ег

£ Д°С08(/1У) ^ >л«1п(я«р) 1

2-1 «2 — 1 + 2-Л Л2- 1 • ( }

.п = 2 п = 2 J

Таким образом, вследствие введения предположения (5) каждая гармоника в (3) дает соответствующую гармонику в (11). Это позволяет заменить в (11) а°п и Ь°п на ачп и Ъчп [аяп и Ьчп — значения коэффициентов Фурье в (3) при текущем значении д], нерейти к пределу и проинтегрировать (11) с использованием (3):

г3 д

ая =, а° е Е}

п пе

т* д

1)Я — Ф а (л2 — I) ип ~ ип е

(12)

Тогда из (Ю) следует ЕЗ

\п-2

-ь

оз ’ Г

-о!'

<иа - 1) EJ

СОЙ {щ) +

ап (л<р)

п—2

(13)

Нормальная и перерезывающая силы достаточно просто определяются по первой теореме Марбека [6], если коэффициенты аяп и Ьяп уже вычислены. Таким образом, полученное решение (12) и (13) полностью определяет напряженно-деформированное состояние кольца при любом значении нагрузки.

На рис. 2 показаны зависимости от ц амплитуд первых четырех гармоник, входящих в (13), при а°п = 1, <р =0, Е = 2*Ю5 МПа, г=1 м, й —0,01 м.

Полученное здесь решение может быть использовано и для расчета тонкостенных неподкрепленных круговых цилиндрических оболочек, если изменения формы вдоль осевой линни пренебрежимо малы. Для этого необходимо в зависимостях (12) и (13) вместо £./ использовать цилиндрическую жесткость оболочки. Покажем, к каким это приводит результатам, на примере сравнения с экспериментальными данными [2].

К сожалению, в [2] не указаны конкретные отклонения формы сечения от круговой, приводится лишь параметр А. Однако из (1) следует, что на величину этого параметра в разложении (3) влияют только отдельные члены, тогда как на напряженном состоянии сказываются все гармоники. Поэтому для определения формы сечения оболочки, которое она имела до начала эксперимента, были использованы приведенные в [2] данные об относительных деформациях в кольцевом направлении г|, £ = 1, 2, . . . , 8, в восьми точках одного сечения при

Рис. 2

<7 = 0,6 МПа (символом „э* будем отмечать принадлежность данных эксперименту). Оболочка была изготовлена из стали с Е — 2-105 МПа, имела наружный диаметр 0 = 0,325 м, а /г =0,01 м.

Если обозначить за (М) и е| (А'') относительные деформации в £-й точке сечения от момента и нормальной силы соответственно, то можно записать

г| = 4(ЛГ)+г|(ЛГ), * = 1,2,..., 8. (14)

Положим

Тогда из (14) определим е|(Л7). С другой стороны

6 М (<рй)

№Е

1,8,

(15)

где (М) — расчетное значение относительной деформации от момента в &-й точке сечения; го* — угол, соответствующий £-й точке; М (ср*)— момент в &-й точке сечения.

При определении формы сечения оболочки до загружения ограничимся четырьмя четными и тремя нечетными членами разложения (3). По методу наименьших квадратов для нахождения а°п и Ь°п можно получить разрешающую систему уравнений в виде:

Е

к- 1

8

X

(— | А3 Е [ * '5 4 2 4^ (?*>+Е п-2 п-2 5 4 ' ■ Я Ы) = °> 1 = 2,5; | }

_п~2 п=2 / = 2,4, |

} (16)

где

-о( 1-е и*-*)")

СОЭ (у«рА),

Эксперимент проводился без осевой силы в цилиндрической оболочке.

»» (?й> = 0(1 - е (т! » ° ) 31П (т<ре), В= 12^1(11) •

В результате решения системы (16) были получены значения коэффициентов а® и А®, удовлетворяющие (5), что позволило применить их для вычисления

моментов и напряжений. Результаты расчета, в сравнении с экспериментом, показаны на рис. 3, а.

Кроме данных, приведенных на рис. 3, а, в [2] получены также зависимости от давления напряжений в оболочке диаметром Ь—0, 377 м при толщине стенки

----расчет по (13)

х эксперимент И -----расчет по [4]

/г— 0,012 м. Если допустить для обоих случаев подобие начальной формы сечений, то для второго случая а°п и Ь°П можно получить из первого пропорциональным пересчетом по соотношению овальностей и диаметров. Проведя такой пересчет и определяя зависимости напряжений от давления, получим кривую рис 3, б. На рис. 3, а и 3, б для сравнения пунктиром показаны результаты расчета по [4].

Таким образом, рис. 3, а и 3, б свидетельствуют о том, что зависимости (13) достаточно точно отражают напряженное состояние круговых тонкостенных цилиндрических оболочек с несовершенствами формы при загружении их перепадом давлений и поэтому могут быть использованы для расчетного определения допустимых отклонений формы при изготовлении изделий, а также для оценки напряженного состояния действующих конструкций. Безусловно, область применения полученных зависимостей существенно сужается из-за неучета влияния переменности формы вдоль образующей. Однако, как правило, в натурных конструкциях образующие практически прямолинейны, по крайней мере в пределах одного листа, что дает полное право использовать в расчетах зависимости (11)-(13).

ЛИТЕРАТУРА

1. Правила устройства и безопасной эксплуатации сосудов, работающих под давлением. М., „Металлургия*, 1976.

2. Камерштейн А. Г. Условия работы стальных трубопроводов и резервы их несущей способности. М., Стройиздат, 1955.

3. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М., Физмат-гиз, 1963.

4. Филонов П. А. Дополнительные напряжения и деформации в круговых цилиндрических трубах от овальности. М., „Нефтяное хозяйство*, 1949, № 9.

5. Клингерт Н. В., Хохарин А. X., Фрейшист А. Р. Стальные трубопроводы гидроэлектростанций. М., „Энергия", 1973.

6. П а п к о в и ч П. Ф. Строительная механика корабля I, т. 2. М., „Морской транспорт", 1947.

7. К а н С. Н. Строительная механика оболочек. М., „Машиностроение", 1966.

Рукопись поступила 291V №80 г. Переработанный вариант поступил 27/Х} 1981 г.