CC BY
88
В обязательном порядке необходимо устранять возможные концентраторы напряжений, как у фиксаторов, так и у кости при подготовке каналов под винты, и т. д.
Исследование проведено в рамках гранта фонда Гумболътда № 3.4 - Fokoop - UKR/1070297.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский В. Л. Методика и результаты исследования деформационных и прочностных свойств дистального межберцового синдесмоза / Красовский В. Л., Лоскутов А. Е., Постолов О. М. // Theoretical foundations of civil engineering. - Warsaw: WP. - 1998. - № 6. - Р. 481 - 488.
2. Лоскутов А. Е. Механические свойства связок дистального межберцового сочленения и латерального отдела голеностопного сустава / Лоскутов А. Е., Красовский В. Л., Постолов О. М. // Ортопедия, травматология и протезирование. - 1999. - № 2. - С. 49 - 54.
3. Лябах А. П. Оперативне л^вання переломiв шсточок гомшки - коли потрiбне блокування мiжгомiлкового синдесмозу? / Лябах А. П., Мiхневич О. £., Василенко А. В. // Матерiали Пленуму Асощацп ортопедiв-травматологiв Украши. - Кшв - Вшниця - 2004. - С. 51 - 54.
4. Оганесян О. В. Восстановление формы и функции голеностопного сустава / Оганесян О. В., Иванников С. В., Коршунов А. В. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний : Медицина, 2003. - 120 с.
5. Органов В. В. Биомеханика вторичных смещений стопы при пронационных повреждениях голеностопного сустава / Органов В. В., Тяжелов А. А., Мусса Д. // Ортопед. травмат. - 2001 - № 1. -С. 25 - 27.
6. Faraj A. A. Reccurent ankle sprains secondary to nonunion of lateral malleolus fracture / Faraj A. A., Alcetic I. // J. Foot Ankle Surg. - 2003. - № 42(1). - P. 45 - 47.
УДК 539.3:624.074.435:624.073
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ ГЕОМЕТРИИ НА КРИТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ УПРУГИХ ГЛАДКИХ ПОЛОГИХ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
М. А. Варяничко, к. т. н., А. Г. Карасев, асп., О. В. Лихачева, асп., В. Л. Красовский, д. т. н., проф.
Ключевые слова: замкнутые пологие конические оболочки, начальные несовершенства, внешнее давление, устойчивость, программный комплекс.
Проблема. Чувствительность критических нагрузок гладких изотропных оболочек к начальным несовершенствам формы серединной поверхности (погиби), является хорошо известным фактом [5; 6]. В то же время, степень чувствительности существенно зависит как от идеальной формы оболочки, так и от вида ее нагружения. Наибольшая чувствительность критических нагрузок к начальной погиби характерна для изотропных круговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии и, в равной степени, - сферических оболочек при внешнем радиальном давлении. При внешнем давлении и кручении критическая нагрузка цилиндрической оболочки в значительно меньшей степени реагирует на начальные погиби [5; 6].
В принципе, чувствительность к начальным несовершенствам требует использования различных подходов к определению критических нагрузок для уже существующих реальных объектов и проектируемых конструкций, которые существуют только на "бумаге" в стадии проекта, т. е. на том этапе, когда их реальная геометрия неизвестна. Очевидно, что достаточно точная (в зависимости от используемых способов обмера и методов расчета оболочек с начальной погибью) оценка критических нагрузок таких конструкций возможна, по сути, только при поверочном расчете, когда известна действительная геометрия оболочки. Тем не менее, из-за сложности и трудоемкости процессов, связанных с обмером реальных конструкций и их расчетом, такая оценка в настоящее время проводится сравнительно редко (при освидетельствовании дорогостоящих, уникальных конструкций, а также объектов особой ответственности и опасности). Как правило, критическую нагрузку для оболочки определяют на этапе ее проектирования, когда возможность учета реальной погиби конкретной конструкции отсутствует. В этом случае обращаются к эксперименту, и учет несовершенств при определении критических нагрузок проводят путем введения понижающего коэффициента (С < 1), на который умножают критическую нагрузку, полученную при расчете идеальной оболочки. Наиболее точно определить величину коэффициента С можно при испытании оболочек, аналогичных проектируемым. Однако проведение таких испытаний на практике далеко не всегда возможно и является скорее исключением, чем правилом. В этой связи величина С устанавливается, как правило, по нижней границе экспериментальных данных, полученных при испытании оболочек и конструкций, типичных для тех или иных отраслей промышленности либо, что, безусловно, значительно лучше, технологий изготовления оболочечных конструкций. Для круговых цилиндрических оболочек значения коэффициентов С приводятся в нормативных документах соответствующих отраслей промышленности в
зависимости от параметра тонкостенности R/h (стройиндустрия [12], общее машиностроение [3], авиа- и ракетостроение [2]).
Актуальность и цель работы. Влияние начальных несовершенств на устойчивость конических оболочек, в том числе и замкнутых, и пологих, изучалось в ряде работ [1; 14; 16; 18]. Однако уровень проработки этого вопроса, в особенности для замкнутых пологих конических оболочек, по сравнению с цилиндрическими оболочками, остается явно недостаточным. Как расчетные, так и экспериментальные данные о влиянии начальных несовершенств на устойчивость рассматриваемых объектов являются весьма ограниченными и несистематическими. В то же время такие оболочки находят широкое применение в качестве покрытий различных резервуаров, силовых и ограждающих элементов аппаратов химической промышленности, судо-, ракето- и авиастроения.
Следует отметить, что широкому распространению конических оболочек, в частности в строительстве, способствует высокая их технологичность, которая заключается в том, что коническая оболочка, как развертывающаяся поверхность, может быть получена из плоского листа. Причем в зависимости от размеров оболочки она может быть изготовлена из одного листа с одним сварным швом вдоль образующей либо из нескольких листов, в частности, из нескольких конических панелей, ограниченных двумя образующими и криволинейной кромкой основания тонкостенного конуса. Очевидно, что в последнем случае, из-за наличия в радиальных направлениях (вдоль образующей) нескольких сварных швов, в окружном направлении будет возникать периодическая начальная неоднородность конической оболочки. Эта неоднородность может проявляться, в первую очередь, в форме несовершенств геометрии серединной поверхности оболочки, а также в виде неоднородности механических свойств ее материала и остаточных сварочных напряжений в области сварных швов. В принципе, последние два фактора можно представить в виде дополнительных несовершенств геометрии. Таким образом, гладкую коническую оболочку, полученную путем сварки из нескольких панелей, можно рассматривать как тонкостенный конус с периодической в окружном направлении начальной погибью. Эта погибь, как правило, имеет характер слабой огранки кругового конуса, ребрами которой являются сварные швы.
Если оболочка изготовлена из одного листа с одним сварным швом, неоднородность механических свойств материала локализуется в окружном направлении, а начальная погибь, как правило, близка к осесимметричной. Наиболее выраженной при этом является первая гармоника разложения прогибов в тригонометрический ряд.
Цель настоящей работы заключается в изучении и использовании возможности построения расчетной модели геометрически несовершенной упругой замкнутой пологой конической оболочки и численной оценке влияния на ее критическое давление периодической в окружном направлении и осесимметричной начальной погиби с одной полуволной по образующей.
Постановка исследования. Численный анализ влияния несовершенств на устойчивость проводился при расчете оболочек заданной геометрии в широком диапазоне изменения показателя тонкостенности (R/h = 100 ^ 2 000) и угла наклона образующей к плоскости основания (а = 2° ^ 20°) (см. рис. 1). Толщина (h) всех оболочек принималась равной 4 мм, материал - сталь (модуль Юнга - Е = 2*105 МПа; коэффициент Пуассона v = 0,3). Нагружение осуществлялось равномерно распределенным по всей поверхности конуса внешним поперечным давлением (q). Условия закрепления кромки основания конуса соответствовали как неподвижной жесткой заделке, так и неподвижному шарниру. При проведении расчетов определялись: величина критического давления (qcr) и формы потери устойчивости линейного бифуркационного расчета с учетом геометрически линейного докритического деформирования.
Методика исследования. Наиболее эффективное решение поставленной задачи можно получить в среде программного комплекса (ПК) ANSYS. Обусловлено это, с одной стороны, широкими возможностями этого ПК при анализе устойчивости оболочек, с другой - особыми его возможностями, связанными с построением геометрической модели оболочки с начальной погибью рассматриваемого вида (смотри ниже).
Для создания расчетной модели конической оболочки использовался элемент SHELL 181 из стандартной библиотеки элементов ПК ANSYS, предназначенный для расчета оболочек с малой и умеренной толщиной. Элемент имеет четыре узловые точки, у каждой из которых шесть степеней свободы: три перемещения в направлении осей X, Y, Z узловой системы координат и три поворота относительно этих осей. Применим он для расчета линейных и геометрически нелинейных задач с большими деформациями и поворотами.
Построение геометрической модели замкнутой конической оболочки осуществлялось в интерактивном режиме при помощи графического редактора ПК ANSYS путем вращения относительно оси конуса его образующей и назначения толщины оболочки h. При этом получали модель замкнутой конической оболочки идеальной геометрии. В то же время, наряду с таким простым и эффективным методом моделирования оболочки вращения, ПК ANSYS предлагает также метод "восходящего моделирования", согласно которому вначале задаются ключевые точки поверхности, затем связанные с ними линии и собственно поверхности. При этом в случае ориентации на конечный элемент SHELL 181, графический редактор ПК ANSYS по умолчанию строит геометрическую модель из четырех частей (панелей) (рис. 2). Метод "восходящего моделирования" рассматривается в литературе как более
мощный и универсальный и считается предпочтительным, поскольку при его использовании имеется возможность назначения средств контроля размера и требуемой формы элементов.
Здесь следует отметить, что при построении рассматриваемыми средствами части конической поверхности необходимо использовать в качестве исходных (опорных) 4 линии (две образующие и две направляющие). Если эти 4 линии задаются, например, в случае усеченного конуса (кривые верхнего и нижнего оснований конуса и две образующие), действительно получаем коническую поверхность панели, и здесь прием "восходящего моделирования" приводит в результате к построению из отдельных частей цельной идеальной круговой конической усеченной оболочки. Однако в случае замкнутой оболочки построение идеальной конической поверхности из нескольких конических панелей невозможно, поскольку средствами графического редактора ПК ANSYS невозможно получить саму панель с идеальной конической поверхностью. Связано это с тем, что при построении панели замкнутой конической оболочки в качестве исходных задаются не 4, а 3 линии: две образующие и одна направляющая (вторая направляющая вырождается в точку). В этом случае графический редактор строит так называемую поверхность Кунса (Coons patch), которая близка к конической, но конической не является. В дальнейшем модель оболочки, полученную из панелей с поверхностями Кунса, будем рассматривать как неидеальную коническую оболочку с периодической в окружном направлении начальной погибью, изменяемость которой (к) равна числу панелей.
Расчетные модели метода конечных элементов оболочек строились при помощи генератора сеток ПК. На первых этапах расчета для всех оболочек число конечных элементов (N) принималось близким к 600. С целью получения достоверных результатов сетка последовательно сгущалась путем приближенного удвоения N. Окончательные расчеты проводились при N, увеличение которого вдвое приводило к изменению критического давления не более чем на 0,7 % (когда зависимость критического давления от N стабилизировалась). При этом в зависимости от значений параметров R/h и а, а также R в окончательных расчетах принималось N = 3 800 - 6 900. Во всех случаях для идеальной и несовершенной оболочек одной геометрии N принималось близким, причем определялось это N из условия стабилизации критического давления для несовершенной оболочки, поскольку критическое давление таких оболочек оказалось более чувствительным к изменению N.
Рис. 1. Расчетная схема замкнутой пологой Рис. 2. Модель несовершенной конической
конической оболочки при внешнем давлении и оболочки (4 панели) с жесткой заделкой контура
неподвижном шарнирном опирании контура при внешнем давлении
Результаты исследования и их обсуждение. На рисунке 3, а для оболочки с геометрией R/h = 500, а = 10° (R = 2,0 м, h = 0,004 м, H = 0,353 м) приведены формы четырех поперечных сечений идеальной модели и модели с несовершенствами (при к = 4). Наружная окружность соответствует сечению в основании моделей. Три остальных сечения выполнены на одинаковых уровнях: у основания, у вершины конуса, а также в сечении с максимальным отклонением поверхности несовершенной оболочки от идеальной. На этом рисунке видно, что поверхности идеальной и несовершенной оболочек совпадают у основания и по четырем образующим, где стыкуются панели неидеальной оболочки, включая вершину. Для остальной поверхности несовершенной оболочки характерно наличие ребер и уменьшение кривизны в окружном направлении (поперечные сечения в виде криволинейных квадратов) с амплитудным отклонением поверхности от идеального конуса в среднем радиальном сечении панели. На рисунке 3, б для этих же моделей в координатах "высота оболочки - текущая радиальная координата" ("Н - р") показана образующая идеального конуса (прямая 1) и форма сечения поверхности Кунса в радиальном амплитудном сечении (кривая 2), откуда видно, что для несовершенной оболочки на основной ее части характерна незначительная отрицательная гауссова кривизна. На рисунке 3, в в этом же сечении даны форма и величина начального прогиба (отклонения поверхности Кунса от идеального конуса, нормального к его поверхности - w), отнесенная к толщине оболочки (w/h).
Следует отметить, что амплитудное (с максимальным отклонением поверхности Кунса от идеального конуса - w0) поперечное сечение для всех несовершенных оболочек в диапазоне параметров R/h = 100 ^ 2 000, а = 2° ^ 20° располагается в пределах уровней (0,562 ^ 0,588) Н от основания конуса.
Широко используемый в теории оболочек параметр начальных несовершенств в виде отношения величины амплитуды прогиба к толщине оболочки (w0/h) для рассматриваемых несовершенных моделей при постоянном значении а линейно зависит от R/h, а также линейно зависит от а при R/h = const (в исследуемых пределах изменения а = 2° ^ 20°). На рисунке 4, а даны зависимости относительного
амплитудного прогиба (wo/h) от R/h при различных углах а (значения а приведены на графике). Здесь значки на прямых линиях соответствуют полученным расчетным значениям показателей w0/h.
2£ h
6
0.5
1.5
р,м
Рис. 3. Формы поперечных сечений поверхности идеального конуса и поверхности Кунса из 4 панелей (а), образующая идеального конуса и форма амплитудного сечения поверхности Кунса (б), начальный прогиб неидеальной оболочки (Кунса) в амплитудном сечении (в)
Поскольку величина амплитудного отклонения поверхности Кунса от идеального конуса w0 связана только с размерами поверхности (R и а), использование в качестве параметра начальных несовершенств отношения максимального начального прогиба к радиусу основания конуса (w0/R) позволяет для несовершенных оболочек с h = 4 мм объединить зависимости, приведенные на рисунке 4, а. Эта зависимость охватывает весь рассматриваемый диапазон изменения параметра R/h (рис. 4, б).
Из приведенных зависимостей видно, что максимальное отклонение поверхности Кунса при к = 4 от идеального конуса (оболочка с R/h = 2 000 и R а = 20°) и в относительных и абсолютных величинах составляет 52h или 0,208 м, что, при габаритах оболочки Н = 2,91 м и R = 8 м, представляется вполне реальным.
Значения расчетного критического давления для несовершенной (q^p ) и идеальной (qcr) конической оболочки указанной геометрии при жесткой заделке ее основания составляют: q= 703 Па, qcr = 880 Па, а их отношение q^ = qcc1mp / qcr = 0,799. Близкие значения критических показателей получены и при шарнирном опирании основания этих оболочек: qC = 694 Па, qcr = 867 Па, = 0,798.
а б
Рис. 4. Зависимости "w0/h - R/h " при различных а (а) и "w0/R - а " при различных R/h (б)
(случай к = 4)
б
в
Наряду со снижением критического давления, которое при указанных несовершенствах можно считать незначительным, последние привели к кардинальному изменению формы потери устойчивости. На рисунке 5 приведены расчетные формы выпучивания идеальной (а) и несовершенной оболочек (б) при защемленном основании. На этих рисунках видно, что характерная для потери устойчивости конической оболочки периодическая в окружном направлении закритическая конфигурация с вмятинами, симметричными относительно образующей, сменяется смешанной формой, симметричной относительно 4 ребер начальной погиби.
Также близкими к реальным оказываются несовершенства оболочек во всех рассматриваемых диапазонах изменения R/h и а. В частности, для несовершенной оболочки с показателями R/h = 500, а = 10° (R = 2,0 м, h = 0,004 м, H = 0,353 м), форма и геометрия которой приведены на рисунке 3, относительный и абсолютный прогибы составляют w0= 6,7 h = 0,027 м, что для указанных выше габаритов оболочки вполне отражает возможное реальное качество ее изготовления. Критические характеристики для такой оболочки
(несовершенной и идеальной) в случае жесткой заделки основания составляют: qcjrmp = 7,07 кПа, qcr = 9,68 кПа, q= 0,730. Формы потери устойчивости для этих оболочек при защемленном основании приведены на рисунке 5 (в - идеальная, г - несовершенная модели).
а б в г
Рис. 5. Формы потери устойчивости идеальных (а, в) и несовершенных (б, г) оболочек с параметрами R/h = 2 000, а = 20° (а, б) и R/h = 500, а = 10° (в, г)
Аналогичная картина отмечается и для реальных малогабаритных замкнутых пологих конических оболочек, полученных из плоской заготовки (сектор круга) толщиной h = 0,23 мм путем ее свертки и клеевого соединения "внахлест", расположенного вдоль образующей конуса. Результаты испытаний таких оболочек на устойчивость при внешнем давлении были приведены в работах [10; 11]. Эти оболочки были сгруппированы в четыре серии по показателю тонкостенности R/h = 183; 245; 304; 452. В каждой серии испытывалось по три оболочки с номинальной величиной а = 4°; 6°; 8°; 10°; 12°; 15°; 20° и 25°, всего порядка 100 образцов. В этих же статьях было проведено сопоставление критического давления, полученного в
эксперименте (qf), с расчетными значениями (q^), полученными в среде ПК ANSYS, а также на основе
других подходов и теорий. К сожалению, в этих работах при выполнении расчетов была допущена ошибка: геометрическая модель замкнутой конической оболочки строилась с использованием приема "восходящего моделирования", по умолчанию, из четырех конических панелей с поверхностями Кунса, т. е. проводился расчет не идеальной, а несовершенной оболочки с начальной погибью. Отметим, что наибольший относительный и абсолютный амплитудный прогиб у расчетной модели испытанных оболочек (оболочка серии 4 с R/h = 452, а = 25°, R = 104 мм) составил w0 = 14,9 h = 3,43 мм. При габаритах рассматриваемой оболочки это достаточно большое отклонение геометрии, которое на реальном объекте легко фиксируется визуально. В эксперименте, к сожалению, измерений начальной погиби не проводилось, однако, согласно визуальному контролю, качество образцов по мере увеличения показателя R/h снижалось, что, в принципе, соответствовало изменению качества расчетных моделей. Естественно, что такие отклонения геометрии от идеальной формы привели к значительному снижению расчетного критического давления. В таблице 1 для рассматриваемых четырех серий оболочек приведены расчетные
— er cr ! „er
значения qjmp = qimp / q , отражающие максимальное снижение критического давления из-за несовершенств.
Т а б л и ц а 1
Минимальные значения q^ для оболочек серий 1 - 4
Условия закрепления Серия 1 Серия 2 Серия 3 Серия 4
Жесткая заделка 0,682 0,667 0,730 0,692
Шарнирное опирание 0,734 0,682 0,762 0,702
Для оценки влияния рассматриваемых несовершенств на устойчивость конических оболочек, а также с целью исправления ошибки, допущенной в [10; 11], на рисунке 6, а - г представлены зависимости экспериментальных и расчетных критических давлений от H/2R (а, °) для оболочек серий 1 - 4. Здесь светлые кружки и ромбики соответствуют экспериментальным значениям критического давления несимметричного выпучивания, темные кружки - осесимметричной выворотке. Расчетные кривые 1 и 2
соответствуют неподвижному шарнирному закреплению и жесткой заделке основания оболочки. Звездочками помечены расчетные зависимости для идеальных оболочек.
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 Н/2Я 2,3 4,6 6,8 9,1 11,3 13,5 15,6 17,7 19,8 21,8
в
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 H/2R 2,3 4,6 6,8 9,1 11,3 13,5 15,6 17,7 19,8 21,8 а°
Рис. 6. Зависимости экспериментальных и расчетных критических давлений от H/2R (а, °) для
оболочек серии 1 (R/h = 183, R = 42 мм) (а), серии 2 (R/h = 245, R = 56,25 мм) (б), серии 3 (R/h = 304, R = 70 мм) (в) и серии 4 (R/h = 452, R = 104 мм) (г)
Анализ приведенных зависимостей показывает, в первую очередь, хорошее соответствие экспериментальных данных расчету с учетом начальных несовершенств. Здесь следует отметить, что в работах [10; 11] проводилось сравнение приведенных экспериментальных данных с наиболее известными результатами теоретических исследований замкнутых тонкостенных конусов. Эти исследования были выполнены на основе геометрически нелинейной теории пологих оболочек (Н. В. Валишвили [4]), а также различных вариантов линейной теории, получивших экспериментальное подтверждение в классе непологих оболочек (П. Сейд [17]; И. И. Трапезин [13]; А. В. Кармишин, В. А. Лясковец, В. И. Мяченков и А. Н. Фролов [7]).
Проведенное сравнение показало, что расчет в среде ПК ANSYS с учетом начальных несовершенств дает наилучшее соответствие с экспериментом. В то же время, если не учитывать несовершенства, в наилучшем соответствии с экспериментом оказывается расчет на основе простой формулы П. Сейда -И. И. Трапезина, а также более сложных соотношений линейной теории А. В. Кармишина и др [7]. Расчет на основе наиболее совершенной расчетной модели, учитывающей нелинейное докритическое деформирование [4], так же как и расчет в среде ПК ANSYS (учитывает линейные докритические перемещения), дает завышенный по сравнению с экспериментом результат. Все это хорошо иллюстрируют приведенные на рисунке 7 зависимости от H/2R (а, °) экспериментальных и расчетных критических давлений, полученных на основе различных подходов и теорий для оболочек серии 3, взятые из [11] и дополненные кривыми расчета на базе ПК ANSYS идеальных оболочек (кривые 1* и 2*). Здесь, как и на предыдущих рисунках, кривые 1, 2 соответствуют значению критического давления, полученному в среде ПК ANSYS, для оболочек с шарнирно опертым и защемленным основанием. Как отмечено выше, звездочками помечен расчет для идеальных моделей. Кривыми 3 и 4 представлен расчет шарнирно опертого и жестко защемленного тонкостенного конуса на основе геометрически нелинейной модели Н. В. Валишвили. Кривые 5 и 6 соответствуют критическому давлению шарнирно опертой и защемленной оболочки, полученному по методике, приведенной в монографии А. В. Кармишина и др [7]. Кривая 7 построена по формулам П. Сейда - И. И. Трапезина, а кривая 8 - по формуле СНиПа. По поводу формул П. Сейда и И. И. Трапезина отметим, что получены они на основе полубезмоментной теории, имеют абсолютно одинаковую структуру и отличаются только числовыми коэффициентами (С): (П. Сейд - С = 2,85) (И. И. Трапезин - С = 2,8) [13; 17]. Из сравнения коэффициентов следует, что разница между расчетом П. Сейда и И. И. Трапезина во всем возможном диапазоне изменения а составляет 1,75 %.
Расчетные зависимости, аналогичные приведенным на рисунке 6, были получены также для крупногабаритных оболочек при различных значениях R/h из рассматриваемого диапазона изменения
этого показателя. Характерная зависимость qcr и qcjrmp от а для оболочек с R/h = 500 приведена на
рисункке 8. Здесь кривые 1 соответствуют шарнирному опиранию основания оболочки, кривые 2 - жесткой заделке. Звездочками помечены номера кривых идеальных оболочек. На рисунке 9 даны расчетные
зависимости относительного критического давления q^p от а для жестко заделанных оболочек с
различным параметром тонкостенности, из которых видно, что максимальное снижение критического давления из-за погиби составляет ~ 28 %.
Как и в случае малогабаритных оболочек, при шарнирном опирании основания влияние начальных несовершенств проявляется в меньшей степени, чем при заделке.
Рис. 7. Зависимости экспериментальных и расчетных критических давлений для оболочек серии 3
imp
0 9
0.8
0.7
\
\ 1 д
11
14
17
Рис. 8. Зависимости qcr и qcr
1 J- imp
от а для идеальных и несовершенных оболочек с R/h = 500 (h = 4 мм)
qcr - а " для оболочек
J- imp
Рис .9. Зависимости
с R/h = 100 (кривая 1); 500 (2); 1 000 (3); 1 500 (4); 2 000 (5)
Выше были рассмотрены несовершенные оболочки с неосесимметричной периодической в окружном направлении начальной погибью, изменяемость которой к = 4. Здесь следует отметить, что расчетную модель замкнутого тонкостенного несовершенного конуса можно, в принципе, построить из любого практически возможного числа панелей к с поверхностями Кунса. Это позволяет получить соответствующую изменяемость периодических несовершенств в окружном направлении. Однако при увеличении к величина амплитудного отклонения от идеального конуса уменьшается. В качестве примера, на рисунке 10, а для оболочек с параметрами R/h = 500, а = 10° (h = 4 мм) приведена зависимость относительного амплитудного прогиба w0/h от числа панелей к, которая при увеличении к является монотонно убывающей и близка к гиперболической. Темные точки на кривой соответствуют значениям w0/h, полученным в расчете. Аналогичный характер имеет рассматриваемая зависимость и для оболочек с другими геометрическими параметрами. Необходимо отметить, что из-за резкого увеличения начального прогиба, при уменьшении к в области малых его величин, у оболочек с минимальным значением к = 2 эти прогибы достигают очень больших величин. В частности, для рассматриваемой оболочки величина w0 достигает практически 30h (рис. 10, а), что в 4,2 раза больше начального прогиба при к = 4. Рассматривать такую оболочку как круговую с начальной погибью некорректно. Поэтому в дальнейшем оболочки с к = 2 из рассмотрения исключались.
На рисунке 10, б - е приведены зависимости относительного критического давления q^ от числа
панелей к для оболочек с а = 10° и различными значениями R/h, которые являются характерными для всего исследуемого диапазона тонкостенности конусов. Точки, полученные в результате расчета, для наглядности условно объединены кривыми.
Рис. 10. Характерные зависимости "w0/h - к" для оболочек с R/h = 500 и а = 10° (а), а также " q/mp - к " для оболочек с а = 10° и R/h = 100 (б), 500 (в), 1 000 (г), 1 500 (д) и 2 000 (е)
Наиболее характерные формы потери устойчивости при различных значениях к даны на примере оболочек с геометрией R/h = 500 и а = 10° на рисунке 11.
б
а
в
г
д
е
а б в г д
Рис. 11. Характерные формы потери устойчивости несовершенных оболочек с R/h = 500, а = 10°
при к = 5 (а); 7 (б); 9 (в); 12 (г); 20-36 (д)
Из приведенных зависимостей (рис. 10, б - е) видно, что все они носят немонотонный колебательный характер. В процессе увеличения к снижение критического давления дважды сменяется его ростом, причем рост превалирует, и в итоге величина критического давления несовершенной оболочки приближается к его значению, полученному для идеального тонкостенного конуса. Следует отметить, что во всех случаях, как это видно из представленных зависимостей, стабилизация результатов расчета критического давления
несовершенных оболочек происходит на уровне, который на 2 - 3 % ниже уровня критического давления идеальной оболочки. Здесь уместно напомнить, что число конечных элементов N при расчете идеальных и несовершенных оболочек с одинаковой геометрией принималось близким (практически одинаковым) и составляло для исследуемых оболочек в зависимости от величины R/h, а и к от 4 800 до 6 000.
Колебательный характер зависимостей " qCp - к" связан с избирательностью оболочки к
изменяемости начальных несовершенств к в окружном направлении. На всех зависимостях первый характерный минимум критического давления, по данным предварительных исследований, отражает эффект "статического резонанса", выявленный в исследованиях [8; 9]. Проявляется в данном случае этот эффект в том, что максимальное снижение критического давления по сравнению с идеальной оболочкой реализуется при изменяемости несовершенств к, соответствующей изменяемости формы оболочки первого тона собственных поперечных колебаний. Максимальная величина этого снижения во всем исследуемом диапазоне параметров оболочки R/h и а, а также изменяемости несовершенств к не превышает 40 %.
Наряду с периодическими в окружном направлении несовершенствами исследовалось влияние на устойчивость рассматриваемых оболочек осесимметричной погиби с одной полуволной вдоль образующей с прогибом к центру оболочки. Форма образующей при этом принималась подобной форме радиального амплитудного сечения поверхности Кунса при к = 4 (см. рис. 3, б). Геометрическая модель такой несовершенной оболочки строилась в интерактивном режиме при помощи графического редактора ПК, как и для идеального конуса, путем вращения образующей относительно его оси. При этом для оболочки определенной геометрии задавалась начальная погибь различной величины, что позволяло исследовать влияние на устойчивость интенсивности несовершенств - w0.
На рисунке 12, а для несовершенных оболочек с параметрами R/h = 500, а = 10°, приведены
— cr
характерные расчетные зависимости относительного критического давления qimp от относительного амплитудного значения рассматриваемых осесимметричных начальных несовершенств w0/h. Кружки на кривых соответствуют расчетным значениям q^p (светлые - шарнирное опирание основания, темные -
жесткая заделка). Здесь же треугольниками представлены соответствующие расчетные значения qС для
оболочек этой же геометрии, но с неосесимметричной периодической погибью с изменяемостью к = 4.
Из приведенных зависимостей видно, что, по мере увеличения амплитуды начального прогиба, значения критического давления вначале снижаются, а затем резко возрастают, и при w0/h ~ 8 величина критического давления оказывается больше, чем у идеальной оболочки. Объяснить это можно увеличением изгибной жесткости оболочки в окружном направлении при увеличении кривизны образующей. Из
расположения в поле величин " qZ,P ~ w0/h" расчетных кривых и данных расчета оболочек с
неосесимметричной погибью можно заключить, что по степени влияния на устойчивость осесимметричная погибь с одной полуволной вдоль образующей является менее опасной, чем регулярные неосесимметричные несовершенства с такой же амплитудой. Для исследуемых параметров оболочек максимальное снижение критического давления, обусловленное рассматриваемой осесимметричной погибаю, не превышает 30 % от критического давления идеальной оболочки. Причем, в отличие от случая неосесимметричных несовершенств, в данном случае влияние погиби на критическое давление в большей степени
асг■
J imp 1
0.9 0.8 0.7
Рис.12. Зависимость " q^ - w0/h" для оболочек (R/h=500 и а=10°) с осесимметричной погибью (а) и формы их потери устойчивости (б, в)
Формы потери устойчивости идеальной и несовершенных оболочек с осесимметричной погибью были одинаковы (рис. 12, б) и только для оболочки с W(/h = 8 число волн в окружном направлении увеличилось на единицу (рис. 12, в).
Рассматривая результаты проведенных исследований в целом, следует отметить, что начальные несовершенства геометрии упругих замкнутых пологих конических оболочек, характерные для реальных конструкций, как по форме, так и по интенсивности, приводят к снижению критического давления в основном на 20 - 30 % и в отдельных случаях (при начальных неосесимметричных прогибах с w0/h > 10) до 35 %. Это свидетельствует о том, что чувствительность критического давления к начальным несовершенствам геометрии рассматриваемых оболочек, а также к их интенсивности значительно ниже чувствительности критического давления к начальной погиби сферических оболочек, включая пологие сферические сегменты. В то же время, очевидно, что и при проектировании новых конструкций, включающих тонкостенные пологие конусы, и при расчете реальных пологих конических оболочек на устойчивость необходимо учитывать влияние начальных несовершенств геометрии.
Сравнительно низкая чувствительность критического давления к интенсивности начальной погиби позволяет на этапе проектирования конструкций использовать понижающий коэффициент С, на который следует умножать значение критического давления идеальной оболочки. Величину этого коэффициента, в зависимости от принятой технологии изготовления, можно принимать в пределах С = 0,6 ^ 0,9. При этом критическое давление идеальной оболочки целесообразно определять в средах ПК высокого уровня, в частности, в среде ПК ANSYS, высокая эффективность которого подтверждается в настоящей работе путем сравнения результатов расчета на базе этого ПК как с данными экспериментов, так и теоретическими данными, полученными на основе других расчетных моделей и методов. Заметим, что аналогичными возможностями обладает и отечественный ПК ЛИРА, который, по предварительным данным наших исследований, при расчете критического давления дает результаты, хорошо согласующиеся с данными расчета в среде ПК ANSYS. Эти же ПК могут быть использованы и при расчете реальных конструкций, начальные несовершенства которых, в принципе, известны и могут быть введены в расчет путем соответствующего построения геометрической и расчетной модели.
Отметим, что в работе не затрагивалась проблема геометрически нелинейного деформирования и выпучивания рассматриваемых оболочек при достижении предельной точки. Данные настоящих исследований показывают, что при рассматриваемых граничных условиях эта проблема действительно актуальна при значениях а < 4° и то только для R/h < 200. Этот вопрос ждет более детального исследования, в том числе и с учетом начальных несовершенств.
Также дальнейших исследований ждет вопрос, касающийся "статического резонанса" у пологих конических оболочек при внешнем поперечном давлении. Судя по приведенным в настоящей работе данным, максимальное влияние на устойчивость таких оболочек периодической в окружном направлении начальной погиби реализуется именно при "резонансной" ее изменяемости.
Заметим, что наиболее эффективным инструментом для изучения указанных выше вопросов, по нашему мнению, является ПК ANSYS.
Выводы. 1. В среде ПК ANSYS проведено численное исследование влияния на критическое давление упругих замкнутых пологих конических оболочек начальной погиби, периодической в окружном направлении, а также осесимметричной, характерной для реальных конструкций (с амплитудой, составляющей несколько толщин оболочки). При этом, путем сравнения результатов расчета на базе этого ПК с данными экспериментов, а также теоретическими данными, полученными на основе других расчетных моделей и методов, была подтверждена высокая эффективность ПК ANSYS как инструмента при исследовании рассматриваемых задач.
2. Результаты исследования показали, что начальная погибь приводит к снижению критического давления максимум до 35 %. Это указывает на то, что чувствительность критического давления к начальной погиби исследуемых оболочек, а также к их интенсивности значительно ниже чувствительности критического давления к начальной погиби пологих сферических сегментов.
3. Сравнительно низкая чувствительность критического давления к интенсивности начальной погиби позволяет на этапе проектирования пологих конических оболочек использовать понижающий коэффициент С, величину которого, в зависимости от принятой технологии изготовления конструкции, можно принимать в пределах С = 0,65 ^ 0,9.
4. Критическое давление существующих конструкций оболочек, начальные несовершенства которых известны, могут быть получены в среде ПК ANSYS путем введения начальной погиби в геометрическую и расчетную модели оболочки.
5. Выявлена существенная чувствительность критического давления исследуемых оболочек к изменяемости начальной погиби в окружном направлении, характерная для эффекта "статического резонанса".
Исследование проведено в рамках гранта фонда Гумболътда № 3.4 - Fokoop - UKR/1070297.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бабич Д. В. Устойчивость конических оболочек с малыми искривлениями / Бабич Д. В. // Прикладная механика. - 1999. - № 7. - Т. 35. - С. 36 - 40.
2. Балабух Л. И. Основы строительной механики ракет / Балабух Л. И., Колесников К. С., Зарубин В. С., Алфутов Н. А. и др. // - М. : Высшая школа, 1969. - 496 с.
3. Биргер И. А. Расчет на прочность деталей машин : Справочник / Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. // - М. : Машиностроение, 1979. - 702 с.
4. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек на ЭЦВМ / Валишвили Н. В. // М. : Машиностроение, 1976. - 278 с.
5. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / Вольмир А. С. // М. : Наука, 1967. - 984 с.
6. Григолюк Э. И. Устойчивость оболочек / Григолюк Э. И., Кабанов В. В. // М. : Наука, 1978. - 360 с.
7. Кармишин А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. // М. : Машиностроение. - 1975. - 376 с.
8. Красовский В. Л. О явлении "статического резонанса" в тонкостенных цилиндрических оболочках / Красовский В. Л. // Новини науки Придшпров'я. - 2004. - № 6. - С. 54 - 64.
9. Красовский В. Л. "Статический резонанс" в цилиндрических оболочках при периодически неоднородном сжатии (эксперимент и численное исследование) / Красовский В. Л., Колесников М. В., Шмидт Р. // Theoretical foundations of civil engineering. - Warsaw : WP. - 2008. - № 16. - Р. - 189 - 200 с.
10. Красовский В. Л. Устойчивость пологих конических оболочек при внешнем давлении в физическом и численном эксперименте / Красовский В. Л., Прокопало Е. Ф., Варяничко М. А. // Новини науки Придшпров'я. - 2005. - № 2. - С. 20 - 31.
11. Красовский В. Л. Экспериментальное и теоретическое исследование устойчивости замкнутых пологих конических оболочек при внешнем давлении / Красовский В. Л., Прокопало Е. Ф., Варяничко М. А. // Theoretical foundations of civil engineering. - Warsaw : WP. - 2005. - № 13. -Р.175 - 188.
12. СНиП II-23-81*. Стальные конструкции / Госстрой СССР. -М : ЦИТП Госстроя СССР, 1990. - 96 с.
13. Трапезин И. И. Экспериментальное определение величин критического давления для конических оболочек / Трапезин И. И. // Расчеты на прочность. - М. : Машиностроение, 1960. - № 6. - С. 217 - 230.
14. Шихранов А. Н. Численный анализ нелинейного деформирования пологих оболочек вращения с неосесимметричными несовершенствами формы / Шихранов А. Н. // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов. - 1997. - Т. 2. - С. 127 - 131.
15. Шубин И. А. Экспериментальное исследование устойчивости пологих конических оболочек при статическом нагружении давлением / Шубин И. А., Шкутин Л. И. // Прикладная механика. - 1966. - Т. 2, № 6. - С. 63 - 70.
16. Goldfeld Yiska. Imperfection sensitivity of conical shells / Goldfeld Yiska, Sheinman Izhak, Baruch Menahem. // AIAA Journal #3. - 2003. - Vol.41. - P.517 - 524.
17. Seide P. A survey of buckling theory and experiment for circular conical shells of constant thickness / Seide P. // NASA TN D-1510. - 1962. - P. 401 - 426.
18. Weingarten V. I. Buckling of thin-walled truncated cones / Weingarten V. I., Seide P. // NASA SP-8019. -1968. - 32 p.
УДК 539.3
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА И ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
И. В. Андрианов*, д. ф.-м. н., проф., В .В. Данишевский, д. т. н., доц.
Институт общей механики, Технический университет г. Аахен, Германия
Ключевые слова: композитный материал, асимптотическое осреднение, волна, дисперсия.
Введение. Осредненные модели используются в механике композитов более ста лет, начиная с пионерских работ В. Фойгта [1], предложившего вычислять свойства поликристаллов путем арифметического осреднения свойств их компонентов (кристаллитов). Если характерный размер I внутренней структуры композита существенно меньше макроскопического размера задачи Ь, то исходный неоднородный материал можно приближенно заменить однородной средой с некоторыми осредненными (т. н. эффективными) характеристиками. При этом осцилляции физических полей на микроуровне сглаживаются и заменяются средними значениями. Размер Ь может быть связан, например, с минимальной длиной волны или минимальным периодом удерживаемых в разложении внешней нагрузки в ряд Фурье гармоник.
В 1970-х годах была осознана асимптотическая природа метода осреднения и разработан соответствующий математический аппарат. Физические процессы в композитах моделируются уравнениями в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. Асимптотические решения таких уравнений удобно искать при помощи двухмасштабных разложений. Метод многих масштабов и метод усреднения были разработаны в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и успешно применялись для задач нелинейных колебаний, включающих члены с разной изменяемостью по времени [6; 15]. В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов [14] и Н. С. Бахвалов [3] одними из
