Учет упрочнения при локализации деформаций по схеме жесткопластического течения и устойчивость деформаций в задачах механики разрушений Текст научной статьи по специальности «Физика»

В силу (2), (5), (6) согласно лемме при m = 0:

D+ +1/2 gt)(x) е H f-a-1/2 [0;1], i = 1,2.

Значит, n(x) е H0гпт!Л -a -1/2,12-“2-1/2}[0;1].

Теорема. Пусть функции x), g2(x) удовлетворяют условиям (2), действительные константы A1, A2, B1, B2, а1; а2,11; 12- условиям (3)-(6). Тогда задача 1)-4) для уравнения (1) имеет

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 668 с.

2. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

3. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

4. Kilbas A.A., Repin O.A., Saigo M. Solution in Closed Form of Boundary Value Problem for Degenerate Equation of

Hyperbolic Type// Kyungpook Math. J. 1996. V. 36. №2. P. 261-273.

5. Kilbas A.A., Repin O.A., Saigo M. Nonlocal Problem for the Hyperbolic Equation with Fractional Derivatives in the Boundary Condition// Math. Japan. 2003. V. 33. №2. P. 1-8.

6. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.N. А maximum principe for a class of hyperbolic equation and applications to

mixed elliptic-hyperbolic type// Communs Pure and Appl. Math. 1953. V. 4. №4. P. 455-470.

Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.3:4 С.Л. Степанов

УЧЕТ УПРОЧНЕНИЯ ПРИ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ ПО СХЕМЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМАЦИЙ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЙ

Предложена модельное представление, которое в явном виде учитывает большие деформации в пластических зонах у вершины трещины при плоском напряженном состоянии по схеме жесткопластического течения.

В работах [1,2] утверждается, что решение основной задачи механики разрушения о расположении тонкой пластины с начальной трещиной «некорректно в смысле устойчивости деформаций» и дано приближенное решение, удовлетворяющее условию устойчивости. Это решение предполагает, что локальные условия разрушения механизма вблизи трещины должны соответствовать равновесной диаграмме деформирования. В упомянутых работах такая диаграмма аппроксимировалась различными видами парабол, в частности в работе [1] была дана следующая зависимость:

где <г - напряжения, действующие на продолжение линии трещины вблизи ее вершины; е -

Es

соответствующие им деформации; Ь = ——- постоянная величина; E - модуль упругости; ив

- предел прочности материала.

Это соотношение использовалось в [1] для определения напряжений на линии трещины в приближении Дагдейла и в предположении, что пластическая зона мала по сравнению с длиной трещины. В силу этого соответствующая краевая задача не решалась и использовалось асимптотическое решение основной задачи линейной механики разрушения.

Рассмотрим задачу о растяжении пластины с центральной трещиной в плоском напряженном состоянии. Обычно считают, что в этом случае выполняется гипотеза Дагдейла о том, что пластические области у вершин трещины занимают узкие, вытянутые вдоль линии, трещины зоны, высота которых соответствует толщине пластины h.

Поступила 11.11.2004 г.

(1)

Представим процесс деформирования материала в этих зонах как жесткопластическое течение по схеме Прагера [3]. Рассмотрение статики и кинематики этого течения с учетом изменения границы приводит к связи между напряжениями и смещениями на берегах пластических зон, которая имеет вид [4]:

а=Ч1-т} (2)

Здесь а - напряжения, приложенные на берегах пластических зон; V - соответствующие смещения, ан - предел текучести материала на растяжение.

Необходимо отметить, что использование (2) в качестве граничных условий для рассматриваемой задачи приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого находится в рядах Неймана.

2V

Отношение — в (2) можно интерпретировать как деформацию материала в пластической h

зоне. Тогда согласно жесткопластической схеме, предельная деформация должна быть равной единице при уменьшении толщины пластины у вершин трещины до нуля. Но поскольку для конструкционных материалов такое состояние никогда не реализуется, формально отношение 2V ~Н

представим как отношение текущей деформации е к предельной епр < 1.

E

Для учета уточнения введем параметр 1 = —— , 1 < 1. Тогда деформации, соответствую-

E

щие пределу текучести eS и пределу прочности ев, определяются следующим образом:

сг ? г — СГ ?

eS = —, ев = е15 +—-------- . (3)

SE в Ш

При е< ех имеем зависимость между напряжениями и деформациями в виде закона Гука г = Ee , при е > ен получается следующее выражение

( г г \\

а = E

Представляя это выражение в (2), получим

а = E

+ її є-------s

E і E

(4)

1 — є|. (З)

V є«р 0

d&(s)

Величина є определяется из условия

dє

= 0 и сг(е) =

є=є

2(2ав — (| — f))

1E

При 1 = 1 зависимость (5) с точностью до обозначений совпадает с выражением (1) для

1 4г

квазихрупкого разрушения. В этом случае е = — = —-. Отметим, что здесь этот результат

Ь E

получен на основании других физических предпосылках, чем зависимость (1).

При 1 = 0 выражение трансформируется в зависимость (2) и, следовательно, учитывает уменьшение усилий и утонение материала в результате больших деформаций в пластических зонах у вершин трещины, что позволяет рассматривать их как зоны локального шейкообразо-вания.

Таким образом, зависимость (5) определяет связь между напряжениями на берегах пластических зон у вершины трещины и смещениями этих берегов не только для квазихрупкого разрушения, но и в случае, когда длина пластических зон соизмерима с длиной трещины.

Решение краевой задачи, которая возникает при использовании (5) в качестве граничных условий, можно найти как сведением ее к различным интегральным уравнениям (см. выше), так и с помощью разложения по малому параметру. В настоящем сообщении в качестве такого параметра выбрано имеющее физический смысл отношение предела текучести материала к его

У

модулю упругости: А = —- . Для большинства конструкционных материалов малый параметр

Е

имеет величину порядка 0,01.

Перепишем (5) в виде

а = у(1 - Я) +

(

1- У(1 -1) ч Еепр 0

и, использовав (6) и соотношение гв = ке*, после некоторых преобразований получим

Здесь а1 =

1(4к +1 +12 - 2)

г = г* (1 -1) + Аа1 Ее - Аа2Ее2.

(7)

(8)

12

постоянные величины, зависящие только от

А(к + 21-2) ’ “2 2А2 (2к +1-1)

механических свойств материала.

Представим напряжения и деформации в пластических зонах в виде рядов по малому параметру:

г=Ег< а ; е=Ее<А; А=^Ег ■

i=0 i=0 Е

Подставляя эти разложения в (8), получим последовательность соотношений для у :

у = у (1 -1);

у = Еа1е0 - Еа2е02; г2 = Еа1е1 - 2Еа 2е0е1; (9)

пр

Каждому соотношению из (9) соответствует краевая задача, аналогичная задаче КРТ - модели, решение которой известно. Объединяя решения цепочки этих задач, получим решение поставленной краевой задачи.

Таким образом, в настоящем сообщении предложено модельное представление, которое в явном виде учитывает большие деформации в пластических зонах у вершин трещины при плоском напряженном состоянии (в том числе, и утонение материала) и удовлетворяет условию устойчивости деформаций. Поэтому его можно считать дальнейшим развитием модельных представлений механики упругопластического разрушения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Волков С.Д., Дубровина Г.И., Соковкин Ю.П. Устойчивость сопротивления материала в механике разрушения. Проблемы прочности, 1978, №6, с. 65-69.

2. Волков С.Д. Метод решения смешанной краевой задачи механики разрушения. Проблемы прочности, 1979, №11, с. 34-39.

3. Онат Е, Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца. В сб.: Механика, 1955, №4 (32), с. 93-122.

4. Быковцев Г.И., Лукашев Л.Г., Степанов С.Л. Об одной модели разрушения в идеальных упругопластических средах. Проблемы прочности, 1982, №3, с. 72-78.

Поступила 29.11.2004 г.