Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

Дифференциальные уравнения

УДК 517.956.32 С.В.Ефимова

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ

Поставлена и исследована новая нелокальная краевая задача для частного случая уравнения влаго-переноса. Характерной её особенностью является наличие операторов дробного интегродиффе-ренцирования в краевом условии. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи, причём её решение получено в явном виде.

Введение. Рассмотрим уравнение

Lu = У2uxx - uyy + ux = 0 (1)

в области D, являющейся объединением двух характеристических треугольников: АABC1 = D1 с вершинами A (0; 0), B (1; 0), C1 (1/2; -1) и А ABC2 = D2 с вершинами A, B, С2 (1/2; 1).

Введём следующие обозначения: I = AB, 00(1)(х) и 00(2)(х) - аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х; 0) е I, с характеристиками AC1 и AC2

соответственно; (I0+ f)(х), (D0+ f)(х) - операторы дробного интегродифференцирования в

смысле Римана - Лиувилля [1, 2]; H1 [0; 1] (0 < 1< 1) - класс функций, удовлетворяющих на отрезке [0;1] условию Гёльдера порядка 1 ; H01 [0; 1] ={f(х) е H я[0;1]: f(0) = f(1) = 0}

(0 < 1 < 1), H1 (p, [0; 1]) = {f (х): p(х) f (х) е H1 [0; 1]} (0 < 1 < 1, p(х) > 0).

Для уравнения (1) поставим и исследуем следующую задачу.

Задача. Найти функцию и(х;у) со свойствами:

1) Lu ° 0 в области D = D1 и D2;

2) и (х; у) е C (d )n C1(d \ I )n C2 (D \ I);

3) и (х; - 0) = и(х; + 0) (х е I ),lim иу (х; у) = lim иу (х; у) (х е I);

у ®0- г у ®0+ г

4) AIZ+ и (001) (х)) + B110а+ и (х; - 0) = g (х), "х е I,

A2 10+2 и (002) (х)) + B2 I0+2 и (х; + 0) = g2 (x), "х е I, где g1(х), g2(х) - заданные функции такие, что

g, (х) е H [0; 1], i = 1,2, (2)

A1, A2 , B1, B2 , a1, a2 , l1, l2 -заданные константы такие, что

A1A2 (A1 + B1 )(A2 + B2 )> 0; (3)

2A1A2 + A1B2 + A2 B1 ф 0; (4)

ax > 0, i = 1,2; (5)

a +1/2 <1, < 1, i = 1,2. (6)

Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Вве-

дём обозначения:

и(х; -0) =т1(х), и(х; + 0) =т2(х), lim иу(х; у) = у1(х), lim иу(х; у) = у2(х). (7)

у ®0- г у ®0+ г

Используя решение задачи Коши в областях D1 и D2 [3]

1 1 2 Л/

і(х; у) = т(х + - у2) + у [ у(х +(1 - 2/) ) ~г:

2 2 0 2 V/

О

находим

«(00‘ЧX)) = X,(X) + (-1)' 1+2V,.)(х), , = 1, 2. (8)

Подставив (8) в краевое условие 4) с учётом формулы [4]

(Iа (10+ /)а))(х) = (Iо“++У/)(х), У > 0, (9)

и обозначений (7), получим соотношения между х, (х) и V, (х), ' = 1, 2, принесённых на I из областей £1 и £2 соответственно:

( + Бг )(с х,)(х) + (-!)■' ^ (і а+ + -/Ч)(х) = Я,. (X). (-О)

Применяя к обеим частям (10) оператор 10+“‘ +1/2) и используя свойства операторов дробного интегродифференцирования (9), соотношение [5]

(10+“/)(х) = (£>0+ /)(х), а > 0, (11)

что возможно в силу (5), а также учитывая (3), имеем

V, (X) = (-1) ‘-А

л/л

А Л*1/2я,)(х) -^ (о;;2х,)х)

(12)

Согласно краевому условию 3) положим

х( х) =х1( х) =х2( х)- (13)

Тогда при §1(х) = g2(х) = 0 равенства (12) перепишутся так:

п,( х) = (-!)'*■' (о;+2х)( х).

Vр А,

В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [6] положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х; у) достигается в областях £1 и £2 в точке (х0; 0) е I. Пользуясь тем, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [2], и учитывая (3), получаем: п1(х0) и V2(х0)- разных знаков. Это противоречит условию сопряжения 3). Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи.

Существование решения задачи. Подействуем на обе части (10) оператором 10“ . В силу (9), (11), (13) и условий (5), (3) придём к соотношениям

х( х)=—Г+— ( а)(х)+(п)(х),

г( х)=атЪ: !!2-)(х) - 2(А^)) ;+ч)(х),

откуда

у(11+2п)(х) = - —+— (£0“+ gl)(х) + —+— (£“_+ g 2)(х), (14)

А1 + —1 А2 + —2

4^ а24к

где У = 2(7—)+4(7—), п(х) = п1(х) 2-(х) <с“. 3)).

Применяя к обеим частям (14) оператор 10+ 2 и учитывая (9), (11), формулу [5]

£0+£0+/ = £“++р/ (а > 0, р > 0), а также (3), (4), (5), найдём п(х):

п(х)=- (.1В) £++1/2gl)(х) + (.1 _) £++1/2g2)(х).

А— + В1V г(а2 + В 2 г

Исследуем гладкость V (х). Для этого нам понадобится лемма [1].

Лемма. Пусть 0 < а < 1 < 1, 1 - а < 1 и р( х) = хт, где 0 < т < Л-а + 1. Если

р(х) е Н1 (р, [0; 1]), то £+ р)(х) е Н ^а (р, [0; 1]).

В силу (2), (5), (6) согласно лемме при m = 0:

(d£ +1/2g,)(х) єH£-*-1/2[0;1], i = 1,2.

Значит, Кх) є H0тт!Л-1/2,12-“2-1/2}[0;1].

Теорема. Пусть функции g1(х), g2(х) удовлетворяют условиям (2), действительные константы А1, А2, В1, В2, а1, а2,11,12- условиям (3)-(6). Тогда задача 1)-4) для уравнения (1) имеет

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 668 с.

2. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

3. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

4. Kilbas A.A., Repin O.A., Saigo M. Solution in Closed Form of Boundary Value Problem for Degenerate Equation of

Hyperbolic Type// Kyungpook Math. J. 1996. V. 36. №2. P. 261-273.

5. Kilbas A.A., Repin O.A., Saigo M. Nonlocal Problem for the Hyperbolic Equation with Fractional Derivatives in the Boundary Condition// Math. Japan. 2003. V. 33. №2. P. 1-8.

6. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.N. А maximum principe for a class of hyperbolic equation and applications to

mixed elliptic-hyperbolic type// Communs Pure and Appl. Math. 1953. V. 4. №4. P. 455-470.

Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.3:4 С.Л. Степанов

УЧЕТ УПРОЧНЕНИЯ ПРИ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ ПО СХЕМЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМАЦИЙ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЙ

Предложена модельное представление, которое в явном виде учитывает большие деформации в пластических зонах у вершины трещины при плоском напряженном состоянии по схеме жесткопластического течения.

В работах [1,2] утверждается, что решение основной задачи механики разрушения о расположении тонкой пластины с начальной трещиной «некорректно в смысле устойчивости деформаций» и дано приближенное решение, удовлетворяющее условию устойчивости. Это решение предполагает, что локальные условия разрушения механизма вблизи трещины должны соответствовать равновесной диаграмме деформирования. В упомянутых работах такая диаграмма аппроксимировалась различными видами парабол, в частности в работе [1] была дана следующая зависимость:

где а - напряжения, действующие на продолжение линии трещины вблизи ее вершины; е -

Еа

соответствующие им деформации; ¡3 = —- постоянная величина; Е - модуль упругости; ав

- предел прочности материала.

Это соотношение использовалось в [1] для определения напряжений на линии трещины в приближении Дагдейла и в предположении, что пластическая зона мала по сравнению с длиной трещины. В силу этого соответствующая краевая задача не решалась и использовалось асимптотическое решение основной задачи линейной механики разрушения.

Рассмотрим задачу о растяжении пластины с центральной трещиной в плоском напряженном состоянии. Обычно считают, что в этом случае выполняется гипотеза Дагдейла о том, что пластические области у вершин трещины занимают узкие, вытянутые вдоль линии, трещины зоны, высота которых соответствует толщине пластины И.

Поступила 11.11.2004 г.

(1)