CC BY
7Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2022. Т. 22, № 2. С. 64-70 Liquid Crystals and their Application. 2022. Vol. 22, No. 2. P. 64-70 ISSN 1991-3966 (print), 2499-9644 (online), Journal homepage: http://nano.ivanovo.ac.ru/journal/ru/
Научная статья УДК 532.783
УЧЕТ ИНЕРЦИОННОГО ЧЛЕНА В УРАВНЕНИИ НАВЬЕ-СТОКСА В МОДЕЛИ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ДОМЕНОВ ДЛЯ НЕМАТИКА С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ ДИАМАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
Андрей Владиславович Голованов*
Институт элементоорганических соединений им. А. Н. Несмеянова РАН, Москва, Россия
И Н Ф О Р М А Ц И Я
А Н Н О Т А Ц И Я
История статьи:
Поступила 25.03.2022 Одобрена 20.04.2022 Принята 25.04.2022
Ключевые слова: нематический мезоген, магнитогидродинамические домены,
уравнение Навье-Стокса, инерционный член, число Эриксена, число Рейнольдса
Рассмотрена модель магнитогидродинамических доменов, описывающая движение нематической жидкости с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости в геометрии деформации кручения. В уравнении Навье-Стокса модели учтен инерционный член. Это позволило ввести в модель три безразмерных параметра - отношения чисел Эриксена к числу Рейнольдса, которые не зависят от характерных величин изучаемой задачи, а определяются только параметрами среды.
DOI: Для цитирования:
10.18083/LCAppl.2022.2.64 Голованов А. В. Учет инерционного члена в уравнении Навье-Стокса в модели
магнитогидродинамических доменов для нематика с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости // Жидк. крист. и их практич. использ. 2022. Т. 22, № 2. С. 64-70.
*Адрес для переписки: gav@ineos.ac.ru © Голованов А. В., 2022
Research Article
INERTIAL TERM ACCOUNTING IN NAVIER-STOKES EQUATION OF MAGNETOHYDRODYNAMIC DOMAINS MODEL FOR A NEMATIC WITH NEGATIVE ANISOTROPY OF DIAMAGNETIC SUSCEPTIBILITY
Andrey V. Golovanov*
Institute of Organoelement Compounds of RAS, Moscow, Russia
A R TIC L E IN FO:
A B S T R A CT
Article history: Received 25March 2022 Approved 20April 2022 Accepted 25 April 2022
Key words: nematic,
magnetohydrodynamic domains,
Navier-Stokes equation, inertial term, Eriksen number, Reynolds number
A model of magnetohydrodynamic domains describing the motion of nematic fluid with negative anisotropy of diamagnetic susceptibility in the geometry of torsion deformation is considered. In the Navier-Stokes equation of the model, we account an inertial term. This made it possible to introduce three dimensionless parameters into the model, namely the ratio of the Eriksen numbers to the Reynolds number have been committed. These parameters do not depend on the characteristic values of the problem under study, but determined only by parameters of the medium.
DOI: For citation:
10.18083/LCAppl.2022.2.64 Golovanov A.V. Inertial term accounting in Navier-Stokes equation of magnetohydrody-
namic domains model for a nematic with negative anisotropy of diamagnetic susceptibility. Liq. Cryst. and their Appl., 2022, 22 (2), 64-70 (in Russ.).
Corresponding author: gav@ineos.ac.ru © Golovanov A. V., 2022
Введение
Жидкие кристаллы известны уже более 100 лет. Их классифицируют как термотропные -сложные органические соединения, состоящие из молекул анизометрической формы, мезофазы которых возникают при плавлении, и лиотроп-ные (органические, неорганические и минеральные), образующие мезофазы при растворении. Структурными элементами последних являются не молекулы, а анизометрические конгломераты молекул (мицеллы). При определенной концентрации они образуют упорядоченные жидкокристаллические структуры, на которые влияют электрические и магнитные поля, а также течение.
К настоящему времени теоретически и экспериментально изучен процесс зарождения и развития магнитогидродинамических (МГД) доменов двух видов, возникающих в термотропных и лио-тропных нематиках при скачкообразном приложении к ним магнитного поля выше порога Фреде-рикса: полосатых (первого и второго рода) и паркетных. Полосатые домены первого рода являются линиями вихря, лежащими в плоскости слоя нема-тика [1]. Домены второго рода - это линии вихря, расположенные перпендикулярно плоскости слоя нематика [2]. Паркетные домены - линии вихря, расположенные в плоскости слоя нематика под углом друг к другу в виде паркета [3, 4]. Появление доменной структуры происходит за порогом гидродинамической неустойчивости [5]. Нахождение порога неустойчивости (критического магнитного поля доменообразования) требует совместного решения уравнений Навье-Стокса (НС) и движения директора [6], записанных в линейном приближении. При решении этой задачи в моделях [1-3]
инерционным членом р— в уравнении НС прежде
брегают ввиду его малости по сравнению с другими слагаемыми.
Целью данной работы является рассмотрение модели МГД доменов второго рода с учетом инерционного члена в уравнении НС и сравнения с результатом, полученным в [2].
Эксперимент
Модель доменной структуры с учетом инерционного члена
Эксперименты показывают, что при резком включении магнитного поля величиной больше критического поля Фредерикса Не для деформации кручения, в слое лиотропного нематика (коллоидный раствор органического красителя дисульфо-индантрона в воде) с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости (х < 0) через некоторое время появляется периодическая структура [7]. Визуально она определяется как совокупность темных и светлых полос - доменов, перпендикулярных направлению магнитного поля (рис. 1). В [2] решена задача о возникновении доменной структуры в планарном слое нематика с Ха < 0 и конечной энергией сцепления на границах при деформации кручения.
Рис. 1. Фото магнитогидродинамических доменов в лиотропной нематической фазе системы дисульфоиндантрон - вода
Fig. 1. Magnetohydrodynamic domains in lyotropic nematic phase of disulfoindanthrone - water system
На рисунке 2 представлена геометрия задачи. Вектор n0 невозмущенной ориентации нематика направлен вдоль оси х декартовой системы координат, ось z перпендикулярна плоскости слоя, начало координат выбрано в центре слоя толщиной d. Вектор напряженности магнитного поля H, в связи с тем, что %a < 0, сонаправлен директору n0. Поворот
директора на угол Ö происходит в плоскости слоя.
Для описания доменной структуры периодической вдоль оси х в модели рассматриваются малые возмущения директора и вектора скорости течения нематика
n = (1, в(х, z), 0); V = (0, (х, z), 0) .
Рис. 2. Геометрия задачи Fig. 2. Geometry of the problem
Как сказано выше, в модели инерционным членом в уравнении НС пренебрегают. Запишем уравнение НС, учитывая инерционный член. Тогда система уравнений в линейном приближении, описывающая движение нематика, имеет вид:
д _v _3v
y y P--= %-3
дх dt дх
-а
д 3v _>_
dxdz2
а
дд
дх2 l dt
дд , , H2д k д2в K д2в 71 — = \7 H2д + K3 —- + K2 —- - а2 —-
Л 1 3 дх2 2 _z 2 дх
, (1)
где р - плотность нематика, щ2 = (а4 +а5 —а2),
у1 =а3 — а2- вращательная вязкость, аг, аз, а, а5
- коэффициенты вязкости Лесли, К2 и Кз - константы упругости. Граничные условия для скорости
V I = 0.
* и=± 2
В модели исследуется вопрос о влиянии энергии сцепления на процесс доменообразования. Поскольку для цели данной работы это несущественно, будем считать, что директор жестко закреплен на границах - ^ да. Тогда граничные
условия для директора следующие:
=
Для дальнейшего анализа запишем (1) в безразмерном виде:
д f _v
дх ^д? дд
_3v 1 2'
д 3V
= M—г + ~М2-г + M—т\ ~
" дх3 2 ШZ2 дх2 \ д?
дд
д2д д2д _v
(2)
_ = h2d+к 2 дЛ дх _Z дх
п _ п _
где х =—х и z =—z - безразмерные координаты,
d d
t v t =--безразмерное время, V = — - безразмерная
скорость, ц =
а
PK2
Ml =
7l^2 PK2
m2 =7701-, h = -H
PK2
Hf
K = — - безразмерные параметры задачи,
K2
7\d2 п2 K2
характерное время задачи, v0 = -
nK2
а
п
характерная скорость задачи, HF =—
K2
dV k
кри-
тическое поле Фредерикса для деформации кручения. Безразмерные параметры ц, Ц1, являются отношениями чисел Эриксена (Ег) к числу Рейноль-дса (R) [8]. Граничные условия для безразмерной скорости:
V = о.
и=±2
Решения системы (2) будем искать среди функций периодичных вдоль оси х с безразмерным волновым вектором дх
iv = V0 sin^^cos^Z )exp( st) Id = д0 cos(qXX)cos(qZZ )exp(stt)
(3)
где - безразмерный волновой вектор вдоль оси г, £ - безразмерное обратное время включения доменной структуры. В [2] было показано, что = 1 для случая Же ^ да. Поэтому (3) запишется в виде
[V = V0 sin^) cos Z exp(sF) [d = d0 cos^ )cos Z exp(st)
(4)
что удовлетворяет граничным условиям для скорости и директора.
Подставляя (4) в (2), получим дисперсионное соотношение для величины £:
v
0
=
2 f Y - AX - 2 ц -1 ±[ Y2 + (2 BX + ц - 2)Y +
+(A2 - 4цK)X2 + (C^2 - 2B)X + 4ц22 +1 - ц2
1 >
2
(5)
где
Y =
x = q 2
A = (ц - ц + K), цию (5) на экстремум, с целью определения зависи-
B = (ц + ц- K), C = (ц-ц-K). Исследуя функ- мости Y от X получим следующее квадратное урав-
нение:
Y2 +
2BK (BC - A )ц2 1 -ц
-X ■'
+
ц-K
(2B -ц )K ц-K
X
4ц1(ц-K) ц-K
(C2 - A2)^2 + 4(A2 - BC)ц2 16ц (ц - K)
Y + (4цK - A2)K X2
ц-K
+1 = 0
(6)
Коэффициенты в (6) можно упростить для анизотропной среды. Например, для термотропных нематиков Ет/Я ~ 106 -г- 104 [6]. Используем в качестве модельной системы п-метоксибензилиден-п-бутиланилин (МВВА), поскольку для него определены все необходимые материальные константы: р = 1,088 г/см3, К2 = 4-10-7 дин, К3= 7,5-10"7 дин, «2 = -77,5 сП, а4 = 83 сП, у: = 77 сП и Ц2 = 103 сП [9]. Имеем: ц = 1,38-106, ц = 1,82-106, ц = 1,47-106, К = 1,875. Как видно, ц >> К. Следовательно, в (6) можно пренебречь: величиной К по сравнению с величиной ц в знаменателях коэффициентов при У,
X2, X и свободном члене; в коэффициенте при Утретьим слагаемым по сравнению со вторым; в коэффициентах при X2 и X первыми слагаемыми в числителе. Также пренебрегаем единицей. Тогда (6) преобразуется к виду:
У 2 + (_ + (ц ~Ц)Ц2 1У _ (Ц1 ~Ц)2 К х 2 _
{ ц ц ) ц . (7)
_ (ц _ц)цК х _ (ц _ Ц)А.К + 2(Ц _ Ц)ЦЦ2 = 0 ц 4ц
Решением (7) является выражение:
Y = (ц + црK X - (ц- ц)ц2 +
ц
4Ц
(ц -ц)2 K X2 + (ц -ц)2 цK X +
ц
2цц
ц (ц - ц) [[ - + 4ц(2ц + цK)]
16 цц2
(8)
Как видно, поведение функции (8) определяют пять коэффициентов, являющихся отношениями различных комбинаций четырех величин (ц, ц^, ц2 и К). Аппроксимация этой функцией экспериментальных данных ¿¡2( Н2), позволяет записать только переопределенную систему нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) относительно величин ц, ц1, ц и К.
Для нахождения системы уравнений, в которой количество неизвестных равно количеству уравнений, поступим следующим образом. Разложим радикал в (8) в ряд, учитывая третий порядок в разложении. Тогда
У « _SX3 + уX2 + pX + а, (9)
где «, Р, у и S - коэффициенты в разложении. В итоге получаем СНАУ относительно неизвестных ц, ц1, ц и К:
a = -
4М
4m
2M
P =
И '
7 =
Р(л- м)м2 - 2ц1(ц1- M)K2
(10)
s = -
/л1
2р2(ц/и1 - fa2) + 8ръ
M1M2
Решая систему (10), находим, что
/З2 — 4у(а - 1) р2у- 4(а - 1)г2 К =-—-; и- =
20
Mi
Р2у
25(а — 1)
; М2
2й(а- 1)
2/Зу
(11)
Проверку правильности полученных соотношений проведем, используя значения величин модельной системы МВВА. Численно решая (6) и разлагая в ряд полученное решение, находим
У «—9,93-10—6X3 +1,47X2 +4,93X + 2,31.
Проделав ту же процедуру для (7), получаем
У «—9,93-10—6X3 + 1,47X2 + 4,93Х + 1,99 . (12)
Как видно, сведение (6) к (7) существенно на результат не влияет. Подставляя коэффициенты из (12) в (11), получаем:
К = 1,875; ц = 1,38 106; ц = 1,81106; ц = 1,46-106. Значения полученных величин совпадают со значениями, представленными выше.
Итак, можно заключить, что учет инерционного члена в уравнении НС вводит в модель МГД доменов отношения чисел Эриксена к числу Рей-нольдса. Это позволяет экспериментально находить отношения этих чисел при наблюдении процесса доменообразования в нематиках различной природы.
Результаты для модели без учета инерционного члена
В модели МГД доменов, представленной в [2], получены следующие результаты для случая, когда ^ да. Дисперсионное соотношение для величины £ и функция дКИ2) имеют вид, соответственно:
s =
(h2 - Kql -1)(1 + nqD 1 + (п - a)q2x
И2 = ^Од,) + 2 Щ +(\ +а ].
а а ( а)
Из последней формулы следует, что обработка с помощью нее результатов эксперимента д2( И2) позволяет получить лишь отношения констант вязко-
сти п =
a
K3
a = —2— и упругости K = —, а
а7 K2
П 7<п2 также — = 1 /
a a
Выводы
Таким образом, проведенное исследование позволяет сделать следующий вывод. Пренебрежение инерционным членом в уравнении НС в рассмотренной модели МГД доменов делает ее менее информативной. Действительно, соотнесение этой модели с экспериментом приводит только к определению отношений констант вязкости и упругости для нематика. Учет же инерционного члена вводит в модель отношения чисел Эриксена к числу Рей-нольдса. Получение величин этих чисел в эксперименте по наблюдению за МГД доменами, в свою очередь, позволяет оценивать относительную роль упругих и вязких сил в нематиках различной природы.
Благодарность: Работа выполнена в рамках Государственного задания № 075-00697-22-00 Министерства науки и высшего образования РФ.
Acknowledgments: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Contract / agreement No. 075-00697-22-00).
2
Список источников / References
1. Guyon E., Meyer R., Salan J. Domain structure in the ne-matic Freederiksz transition. Mol. Cryst. Liq. Cryst., 1979, 54, 261-273.
2. Kaznacheev A.V. Influence of the anchoring energy on the threshold characteristics of magneto-hydrodynamic domains in nematics. Mol. Mater, 1993, 2, 283-293.
3. Hurd A.J., Fraden S., Lonberg F., Meyer R.B. Field-induced transient periodic structures in nematic liquid crystals: the splay Frederiks transition. J. Phys. France, 1985, 46(6), 905-917.
4. Fraden S., Hurd A., Meyer R., Cahoon M., Caspar D.L.D. Magnetic-field-induced alignment and instabilites in ordered colloids of tobacco mosaic virus. J. Phys. Colloque C3, 1985, 46, 85-112.
5. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с. [Berge P., Pomeau Y., Vidal C. L'or-deredansle chaos. Versune approche deterministe de la turbulence. Paris: Hermann, Editeurs des sciences et des arts, 1988, 352 p.].
6. Пикин С. А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М. : Наука, 1981. 336 c. [Pikin S.A. Structural transformations in liquid crystals. Moscow : Nauka, 1981, 336 p. (in Russ.)].
7. Golovanov A., Kaznacheev A., Sonin A. Viscoelastic properties of a lyotropic chromonic nematic. Mol. Mat., 1993, 3, 147-155.
8. Leslie F.M. Theory of phenomena in liquid crystals. Advances in liquid crystals. New York : Acad. Press, 1979, 4, 82 p.
9. Блинов Л. М. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов. М. : Наука, 1978. 384 с. [Blinov L.M. Electro- and magnetooptics of liquid crystals. M. : Nauka, 1978, 384 p. (in Russ.)].
Голованов А. В. - https://orcid.org/0000-0002-5029-8488.
Поступила 25.03.2022, одобрена 20.04.2022, принята 25.04.2022 Received 25.03.2022, approved 20.04.2022, accepted 25.04.2022
