Туннелирование частицы через двойной дельтаобразный барьер с зависящим от времени потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 538.94

Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2013. Вып. 3

Д. В. Ковалевский

ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ДВОЙНОЙ ДЕЛЬТАОБРАЗНЫЙ БАРЬЕР С ЗАВИСЯЩИМ ОТ ВРЕМЕНИ ПОТЕНЦИАЛОМ

Введение. Значительные успехи в области технологии изготовления и экспериментального исследования сверхрешёток и других полупроводниковых гетероструктур стимулировали появление многочисленных теоретических работ, посвящённых изучению динамики носителей заряда в одномерных потенциалах различной формы. При этом ряд задач последнего времени — например, связанных с многообещающими практическими приложениями в области спинтроники, — потребовал изучения зависящих от времени одномерных потенциалов [1, 2].

Периодические во времени внешние потенциалы способны существенно влиять на перенос заряда и спина в мезоскопических системах. В качестве примера можно привести эффект «квантовой накачки» (quantum pumping), в последнее время привлекший значительное внимание теоретиков и экспериментаторов. Теоретически обосновано и экспериментально подтверждено, что при периодической деформации потенциала, ограничивающего сообщающуюся с двумя резервуарами электронов квантовую точку, путём приложения к двум контактам потенциалов равной частоты, но со сдвигом по фазе, через квантовую точку начинает протекать постоянный ток [3, 4].

Исследуется также воздействие внешнего электромагнитного поля на туннелирова-ние носителей заряда в полупроводниковых сверхрешётках и других гетероструктурах. Так, изучалось теоретически и экспериментально туннелирование с участием фотонов (photon-assisted tunneling) в туннельных диодах на основе двух связанных квантовых ям [5] и в сверхрешётках [6]. Исследования в данной области в значительной степени стимулируются необходимостью разработки новых генераторов терагерцевого диапазона, которая сулит прорывы в целом ряде задач практики [7, 8].

В зависящем от времени потенциале энергия частицы не является сохраняющейся величиной. Однако если потенциальная энергия является периодической функцией времени, волновая функция частицы может быть найдена при помощи теоремы Флоке, аналогичной теореме Блоха для движения в пространственно-периодическом потенциале [9, 10]. Теорема Флоке утверждает, что собственные функции уравнения Шрёдингера с периодически зависящим от времени потенциалом

гН^ = Я (t)*, H(t + Т) = H(t), (1)

имеют вид

= ехр tj u(t), (2)

где u(t) — периодическая функция времени: u(t + T) = u(t). По аналогии с квазиимпульсом в теории твёрдого тела величину е в соотношении (2) называют квазиэнергией, или энергией Флоке (ниже будем использовать последний термин).

Дмитрий Валерьевич Ковалевский — кандидат физико-математических наук, Международный центр по окружающей среде и дистанционному зондированию им. Нансена (Фонд «Нансен-центр»); Санкт-Петербургский государственный университет; Центр по окружающей среде и дистанционному зондированию им. Нансена (Берген, Норвегия); e-mail: [email protected]

© Д. В. Ковалевский, 2013

Одной из простейших содержательных моделей одномерного профиля потенциала в теории сверхрешёток является потенциал, составленный из совокупности дельта-функций. При этом в зависимости от знака нормировочного множителя дельтаобраз-ный потенциал может моделировать и потенциальный барьер и квантовую яму.

В работе [11] с помощью теоремы Флоке исследовалось прохождение частицы через одиночный гармонически осциллирующий дельтаобразный потенциал, в то время как в работе [12] решена задача о движении частицы в пространственно-периодическом потенциале, составленном из тождественных дельтаобразных барьеров с идентичными, синфазно гармонически осциллирующими потенциальными добавками. В настоящем сообщении исследуется система иной геометрии, а именно двойной дельтаобразный барьер, в котором одна из дельта-функций имеет гармонически осциллирующую добавку.

Постановка задачи. Применение теории Флоке. Рассмотрим одномерный зависящий от времени гамильтониан вида

h2 д2

H(x,t) = - — т—т + (lh + Vcoswt)b(x) + Uob(x - a). 2m dx2

(3)

Соответствующий профиль потенциала схематично изображен на рис. 1. Отметим, что в работе [11] рассматривался случай и = и2 =0.

Рис. 1. Потенциал, в котором движется частица, составлен из двух дельтаобразных барьеров мощностью и и и2 с гармонически осциллирующей добавкой к первому барьеру мощностью V

U + V .--

U н

U - V

0

В соответствии с теоремой Флоке будем искать решение уравнения Шрёдингера (1) в виде ряда

^ /

г

V

Ф(ж, t) = ^^ Уп(ж) exp ( — у(е + nhw)t J .

(4)

Подставим разложение (4) в уравнение Шрёдингера (1) с гамильтонианом (3), учтём, что coswt = (eiwt + e-imt)/2 и приравняем зависящие от пространственной координаты коэффициенты при экспонентах в левой и правой частях, осциллирующих с частотой nw (соответствующий член ряда (4) будем называть n-й модой). Получим бесконечную систему связанных уравнений

^ ч , ч h2 d2wn(x)

(е + nhw)\\fn(x) = ----—--Ь

2m dx2

V

U iV„(x) + — (\|/n_i(.x) +\|/n+i(.x))

S(x)

+ U2yn(x)b(x — a), n = —ж, . ..,ж. (5)

Ш

a

n= —oo

Введём обозначения:

/2ш(£ + пЙш) 2шЦ1 2ши2 2тУ

*» = У-*-. VI = ^ = — (6)

Временно примем соглашение о том, что энергия Флоке е лежит в диапазоне 0 < е < Йш (данное ограничение будет снято ниже). Тогда кп будет вещественным и положительным при п ^ 0 и чисто мнимым с положительной мнимой частью при п < 0. Заметим также, что в развиваемой теории не делается предположения о малости амплитуды е осциллирующей добавки к потенциалу.

В новых обозначениях система (5) принимает вид

(12у„(х)

X2

+

е

У1Уп(ж) + -(\|/„_1(ж) + уп+1(х)) 6(ж) + у2у„(ж)6(ж - а)

= кп Уп(хх), п = -ж, ...,ж. (7)

Рассмотрим п-е уравнение системы (7). Вне дельтаобразных барьеров имеем уравнение свободного движения для п-й моды, не связанное с соседними модами: -3?уп(х)/3,х? = кП~Цп{х), откуда ~Цп(х) ~ е±гкпХ. в точках х = 0, х = а амплитуда уп(х) остаётся непрерывной, а её производная терпит разрыв, равный мощности соответствующей дельта-функции, что приводит к четырём условиям сшивания решений:

¥п(+0)= Уп(-0), (8)

е

^(+0) - ^(-0) = У1¥п(0) + 2 (¥п-1(0) + ¥п+1(0)), (9)

Уп(а + 0)=уп(а - 0), (10)

<(а + 0)- у'гЛа - 0) = У2¥п(а). (11)

Желая рассматривать частицу, движущуюся из области х = -ж в сторону потенциального барьера, ищем решение задачи в виде суперпозиции плоских волн

Апе^х + впе-^кпХ, х < 0, уп(х) = { Спе^пх + Ппе-<,кпХ, 0 < х < а, (12)

Епегкп'х, х > а,

где амплитуды Ап считаются заданными, а прочие амплитуды подлежат определению. Заметим, что с учётом сделанного выше замечания о мнимости кп при п < 0 допустимо задавать лишь такие наборы {Ап}, для которых Ап = 0 при п < 0 (это необходимо, чтобы избежать нефизических решений, экспоненциально растущих при х ^ -ж). Подставляя соотношения (12) в условия сшивания решений (8)—(11), получаем систему уравнений

Ап + Вп = Сп + Бп, (13)

е

1кп(Сп -Оп-Ап + Вп) = у1 (Ап + Вп) + —(Ап-1 + Вп_! + Ап+1 + Вп+1), (14)

Спе^а + Бпе-^ = Епе^а, (15)

¡кп(Епе}к^а - Спе*к"-а + Впе-*кпа) = у2Епе1^. (16)

Решая систему (13)—(16) при n = -ж,..., ж, можем выразить наборы амплитуд {Bn}-{En} через набор амплитуд {An}.

Представляют интерес наборы амплитуд прошедших волн {En} и отражённых волн {Bn}. Опуская алгебраические преобразования, приведём лишь результаты. Вводя вспомогательные обозначения

In = 1 + (e2ikna - !).

2ikn

Hn = Yiln + Y2 - 2 ikn = Yi + Y2 + 7M1 (е2<*"° 2%k«>

получаем бесконечную систему уравнений для набора амплитуд {En}: £ £

VnE„ + - + - = -2iknAn, п = -оо,..., оо, (17)

где правая часть, как отмечалось выше, предполагается заданной. Разрешив систему (17) относительно набора амплитуд {En}, можем затем легко вычислить набор амплитуд {Bn} по формуле

Bn In En An.

В дальнейшем будем рассматривать специальный набор амплитуд {An} вида

Ao = 1; An =0 n = 0. (18)

Физически это соответствует монохроматической волне, падающей из области x < 0 на потенциальный барьер. Легко убедиться, что тогда все уравнения системы (17) при n = 0 являются однородными, и это существенно упрощает решение задачи. После того как набор амплитуд {En}, соответствующий набору амплитуд {An} (18), найден из системы (17), вероятность прохождения частицы через двойной барьер может быть рассчитана по формуле

T = £ \En\2. (19)

n=0

Отметим, что в ряд (19) входят лишь слагаемые с n ^ 0, соответствующие вещественным волновым векторам kn (см. первое из определений (6)). Моды с n < 0 соответствуют волновым функциям, экспоненциально затухающим при x ^ ±ж, и потому исключены из соотношения (19).

Частный случай: статический потенциал. Если положить в уравнении (7) £ = = 0, решение будет соответствовать случаю статического потенциала. Решим задачу в данном частном случае, поскольку полученные результаты будут использованы при дальнейшем рассмотрении.

Очевидно, при £ = 0 уравнения системы (17) расцепляются. С учётом соотношения (18) достаточно рассмотреть лишь уравнение для n = 0. Оно имеет вид

^oEo = -2iko, откуда, в согласии с формулой (19), находим

T = 4

ко 2 Цо

Выпишем последнее соотношение в развёрнутой форме:

Т=-г-г .-Т2- (2°)

1 + ТТТ {со^2к0а - I) 4ко

+

71 + То , У1Уо . 0,

+ —ту 81П 2к^а

2к0 4 ко

Дифференцируя знаменатель дроби (20) по ко, легко находим, что точки экстремума вероятности прохождения через барьер даются при у1 = 0, уо = 0 решениями трансцендентного уравнения

Ч2к0а=Щр^. (21)

4к0 - У1У0

Данное уравнение имеет бесконечное множество решений, причём при больших к0 имеем приближённо tg2kоa ~ 0, откуда коа ~ л/4 + пт/2 при целых положительных т. Вероятность прохождения (20) будет иметь бесконечное число чередующихся максимумов и минимумов, постепенно приближаясь к единице при ко ^ Рассмотрим несколько частных случаев.

а) симметричный потенциал: у1 = уо = уо. В точках максимума вероятность прохождения Т строго равна единице (резонансное туннелирование);

б) антисимметричный потенциал: у1 = —уо, Уо = Уо (система «яма+барьер»). Уравнение (21) решается точно, в точках экстремума имеем строгое равенство коа = = л/4 + лт/2 при целых положительных т. В точках максимума вероятность прохождения Т, как и в случае а), строго равна единице;

в) случай отсутствия первого барьера: у1 =0, уо = уо. Немедленно получаем из общей формулы (20)

т= 1 + (уоАо)2' (22)

т. е. вероятность прохождения Т монотонно возрастает с ростом ко и не имеет экстремумов.

Графики Т для этих случаев представлены на рис. 2, 3, 4, 5 как вспомогательные кривые.

Решение в общем случае. Приведём алгоритм численного решения системы уравнений (17) в общем случае, когда е = 0, следуя идеям, изложенным в [11]. С учётом соотношения (18) рассматриваемая система принимает вид

ее

¡ло^о + ^ + 2 = (23)

ее

\ьпЕп + - + - 1п+1Еп+1 =0, п ф 0. (24)

Разделим обе части уравнения (23) на Ео, а обе части уравнения (24) — на Еп и введём вспомогательные величины

Е

/» = -р^. (25)

Еп+1

Рис. 2. Зависимость вероятности прохождения Т от безразмерного волнового вектора ка в динамическом случае (жирная кривая) при следующих параметрах системы:

ух« = у2® = У0® = 10, еа = 5, П = 0,1; для сравнения показана та же зависимость для «осреднённого» статического случая у^а = у^« = уоа = 10

1,0 -

Рис. 3. Зависимость вероятности прохождения Т от безразмерного волнового вектора ка:

жирная кривая соответствует тому же динамическому случаю, что и на рис. 2; тонкая сплошная кривая — статический случай, отвечающий «мгновенному снимку» максимума динамического потенциала (у|4а = (уо + е)а = 15, « = У0« = 10); тонкая пунктирная кривая — статический случай, отвечающий «мгновенному снимку» минимума динамического потенциала (У?« = (уо - г)а = 5, = уоа = 10)

Тогда система (23), (24) примет вид

е , е 1 2гко е е 1

М-п + Чп-1/п-1 + ^ Чп + 1у~ = 0, п ^ 0.

(26) (27)

20

Рис. 4. Зависимость вероятности прохождения Т от безразмерного волнового вектора ка:

то же, что и рис. 2, но статическая часть левого барьера равна нулю (уга = 0, у2а = уоа = 10, га = уоа = 10); жирная кривая — вероятность прохождения в динамическом случае (П = 0,1), тонкая кривая — в «осреднённом» статическом случае (у®4а = 0, у?^а = уоа = 10)

1,0

20

Рис. 5. Зависимость вероятности прохождения Т от безразмерного волнового вектора ка:

жирная кривая — тот же динамический случай, что и на рис. 4; тонкая сплошная кривая — статический случай, отвечающий «мгновенному снимку» максимума динамического потенциала (у|4а = га = уоа = 10, у?4« = уоа = 10); тонкая пунктирная кривая — статический случай, отвечающий «мгновенному снимку» минимума динамического потенциала (у^а = -га = -уоа = -10, у^а = уоа = 10)

Уравнение (27) при п — 0 приводит к рекуррентной формуле для /п:

/п—1 — -

£

п+1

1

п — 1

£п—1 /п

(28)

Будем использовать её при п ^ 0. Задавшись подходящим граничным условием для /п при п = +с, можем в принципе последовательно найти из (28) все /п при п ^ 0, на каждом шаге уменьшая индекс п на единицу.

Альтернативная рекуррентная формула, также вытекающая из уравнения (27), имеет вид

1п = . • (29)

е1„+1 "Г 1„+1

Будем использовать её при п < 0. Задав подходящее граничное условие для /п при п = —ж, последовательно найдём из (29) все /п при п < 0, на каждом шаге увеличивая индекс п на единицу.

После того как все /п найдены, подставим /_1 и /о в уравнение (26) и вычислим амплитуду Ео. Теперь все прочие амплитуды Еп могут быть найдены по вытекающим из определения (25) формулам:

Ео

Еп = ^Г", п > 0,

П /к

к=0

Е_т = ЕоП /_к, —т < 0.

Т_к, к=1

При численных расчётах встает вопрос о граничных значениях /п при п = ±с. Здесь могут помочь следующие соображения. Ясно, что \Еп \ ^ 0 при п ^ ±сю. Оборвём цепочку уравнений (24) на К-м уравнении в направлении возрастания индекса п и на (—М)-м уравнении в направлении убывания индекса п (М > 0) и примем ЕN +1 = = Е_м_1 = 0. Тогда приближённо находим из уравнения (24) при п = N, п = —М:

/ лг—1 — -

/_

м

е1_м+1

2^_м

после чего применяем вышеописанную рекуррентную схему.

Отметим, что в работе [11] решение системы, аналогичной системе (23)—(24), представлялось в виде комбинации бесконечных цепных дробей. Описанная нами рекуррентная процедура эквивалентна указанному решению, если учесть, что при практических расчётах бесконечная цепная дробь должна быть оборвана.

Результаты численных расчётов. Обращаясь к описанию результатов численных расчётов, сделаем важное предварительное замечание [11]. Выше предполагалось, что энергия Флоке ё заключена в пределах 0 < ё < Ню. Однако по самому смыслу вышеописанной вычислительной процедуры выведенные формулы могут быть распространены на случай произвольных ё > 0, если принять соглашение о включении в ряд (19) членов с отрицательными п, для которых, тем не менее, ё + пНш > 0. (Аналог из теории твёрдого тела: квазиимпульс при движении в одномерной решётке определён с точностью до кратного числа периодов обратной решётки.)

Введём безразмерную частоту

^ 2та2 \1 = -со

Н

и волновой вектор

12тг

к = к о

К2 '

который, в соответствии с вышесказанным, может принимать теперь сколь угодно большие значения.

Рассмотрим случай у1а — у-а — уоа — 10, га — 5, П — 0,1 (см. рис. 2, 3). Статическая часть потенциала соответствует случаю а), описанному выше (симметричный барьер, У? — У-1 — Уо), поэтому вероятность прохождения Т для статического случая (тонкая кривая на рис. 2) в точках максимума равна единице. Видно, что «включение» низкочастотной добавки к потенциалу приводит к уменьшению максимальных значений Т, однако этот эффект ослабевает с ростом ка (жирная кривая на рис. 2). Полезно сопоставить результат для динамического случая (см. рис. 3, жирная кривая) с вероятностью прохождения для статических систем с параметрами у^1 — уо + г, у-1 — уо («мгновенный снимок» максимума динамического потенциала, сплошная тонкая кривая на рис. 3) и у®1 — уо — г, у-1 — уо («мгновенный снимок» минимума динамического потенциала, пунктирная тонкая кривая на рис. 3). В асимметричном случае максимумы вероятности прохождения Т уже не равны единице, и видно, что наблюдается хорошее согласие значений максимумов Т при у! — уо ± г между собой и с динамическим случаем.

Представление о временном спектре волновой функции Ф(х,£) при х > а в обсуждаемом случае даёт рис. 6, на котором изображены вероятности различных мод, т. е. |£П|2 при ка — 2,68, что соответствует первому динамическому максимуму (см. рис. 2). Отметим, что при построении временного спектра учтено соглашение о перенумерации мод, упомянутое в начале данного раздела. Видно, что временной спектр волновой функции при выбранных параметрах задачи является весьма узкополосным.

Рассмотрим теперь случай у1а — 0, у-а — уоа — 10, га — уоа — 10, П — 0,1 (см. рис. 4, 5). В данном случае статическая часть первого потенциального барьера равна

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Рис. 6. Временной спектр волновой функции при х > а (вероятности мод с различными номерами п) в точке первого динамического максимума (ка = 2,68) (см. рис. 2)

нулю, т. е. «в среднем» имеем систему, соответствующую случаю в) раздела «Частный случай». Вместе с тем, «мгновенный снимок» максимума динамического потенциала соответствует случаю а), а минимума — случаю б). Все эти особенности проявляются на графике T(ka) (жирная кривая на рис. 4, 5). На рис. 4 видно, что в целом кривая для T в динамическом случае близка к кривой «осреднённого» статического случая (тонкая кривая на рисунке), описываемой соотношением (22). Однако на кривой T(ka) для динамического случая видны характерные сдвоенные пики, резкие при малых ka и постепенно сглаживающиеся при ka ^ ж. На рис. 5 хорошо видно, что максимумы этих пиков согласуются с максимумами резонансного туннелирования на графиках T для статического случая y®t = е = уо, y|t = уо (тонкая сплошная кривая) и случая y®t = —е = — уо, y|t = у0 (тонкая пунктирная кривая).

Заключение. Исследование простого модельного потенциала, состоящего из двух дельтаобразных барьеров, мощность первого из которых содержит гармонически осциллирующую добавку, продемонстрировало эффективность применения теории Флоке к изучению движения носителей заряда в слоистых системах. Выведенная бесконечная система связанных уравнений на амплитуды мод уравнения Шрёдингера допускает численное решение, которое может быть получено по простому алгоритму с применением рекуррентных формул при прямом и обратном ходе. Представленные численные примеры показывают, что зависимость вероятности T прохождения частицы через двойной барьер от волнового вектора в динамическом случае несёт в себе черты как «осред-нённого» статического случая, так и решений для «мгновенных снимков» временного максимума и минимума динамического потенциала.

Теория Флоке может эффективно применяться и для более реалистичных моделей потенциальных барьеров, квантовых ям и сверхрешёток.

Автор признателен А.Е.Кучме за полезные замечания. Литература

1. Ye Cheng-Zhi, Zhang Cun-Xi, NieY.-H., Liang J.-Q. Field-assisted resonance tunneling through a symmetric double-barrier structure with spin-orbit coupling // Phys. Rev. (B). 2007. Vol. 76. 035345.

2. Xue Hai-Bin, Nie Y.-H., LiZ.-J., Liang J.-Q. Field-phase modulation of spin-dependent resonant tunneling through a symmeric double-well with spin-orbit coupling // Physica (E). 2010. Vol. 42. P. 1934-1939.

3. Brouwer P. W. Scattering approach to parametric pumping // Phys. Rev. (B). 1998. Vol. 58. P. R10135-R10138.

4. Switkes M., Marcus C. M., CampmanK., Gossard A. C. An adiabatic quantum electron pump // Science. 1999. Vol. 283. P. 1905-1908.

5. Drexler H., Scott J. S., Allen S. J. et al. Photon-assisted tunneling in a resonant tunneling diode: stimulated emission and absorption in the THz range // Appl. Phys. Lett. 1995. Vol. 67. P. 2816-2818.

6. KeayB.J., ZeunerS., Allen S. J., Jr. et al. Dynamic localization, absolute negative conductance, and stimulated, multiphoton emission in sequential resonant tunneling semiconductor superlattices // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. P. 4102-4105.

7. Gribnikov Z. S., HaddadG.I. Time-dependent electron tunneling through time-dependent tunnel barriers //J. Appl. Phys. 2004. Vol. 96. P. 3831-3838.

8. Balasekaran S., EndoK., Tanabe T., Oyama Yu. Patch antenna coupled 0.2 THz TUNNETT oscillators // Solid-State Electronics. 2010. Vol. 54. P. 1578-1581.

9. Shirley J. H. Solution of the Schrodinger equation with a Hamiltonian periodic in time // Phys. Rev. 1965. Vol. 138. P. B979-B987.

10. Holthaus M., Hone D. Quantum wells and superlattices in strong time-dependent fields // Phys. Rev. (B). 1993. Vol. 47. P. 6499-6508.

11. Martinez D. F., ReichlL.E. Transmission properties of the oscillating S-function potential // Phys. Rev. (B). 2001. Vol. 64. 245315.

12. MartinezD. F., ReichlL. E., Luna-Acosta G. A. Quasienergy band structure of the harmonically driven S-function chain // Phys. Rev. (B). 2002. Vol. 66. 174306.

Статья поступила в редакцию 20 марта 2013 г.