CC BY
66
УДК 537.533.2 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 2
А. Ю. Антонов, Н. В. Егоров
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР, ЗАДАННЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
1. Введение. Коэффициент прохождения электронов через потенциальный барьер (прозрачность барьера) является определяющей характеристикой для таких параметров систем, связанных с эмиссией электронов, как плотность тока, полуширина энергетического спектра, распределение электронов эмиссии по энергиям и углам вылета. Именно поэтому методам расчета прозрачности барьера уделено значительное внимание (см., например, [1, 2]). Чаще всего рассматривается случай, когда в силу определенных обстоятельств процесс эмиссии можно считать установившимся. Тогда коэффициент прохождения может быть найден из решения стационарного уравнения Шрёдингера
Н2 ¿2гЬ
где Я - постоянная Планка, деленная на 2-7г; т - масса электрона; ф - волновая функция электрона; и (ж) - потенциальная энергия электрона; Е - полная энергия электрона. В силу вновь возникшего интереса к плоским катодам [3, 4] и для упрощения задачи будем рассматривать одномерный случай.
Решение уравнения (1) возможно при условии задания функции С/(ж). Вид этой функции вблизи поверхности катода оказывает большое влияние на все упомянутые параметры эмиссионных систем. В изучаемом случае одноэлектронного приближения вид функции и(х) должен определяться взаимной потенциальной энергией рассматриваемого электрона, электронов в межэлектродном пространстве и индуцированного заряда на поверхностях электродов во внешнем электрическом поле. Решение последней задачи получить тяжело, и часто в качестве потенциальной энергии электрона используется функция, удовлетворяющая нужным условиям лишь в отдельных областях определения, например на большом расстоянии от поверхности электродов. При этом полагается, что в прикатодной области действует соотношение неопределенностей Гей-зенберга, и значение потенциальной энергии необходимо определять на основе других доступных физических соображений. Но тогда полезным был бы расчет прозрачности барьера, заданного в параметрической форме, так как класс параметрических функций шире класса явных функций. Так, зная потенциальную энергию одного электрона в глубине катода и вакууме на значительном расстоянии от поверхности, можно представить потенциальный барьер в виде параметрической кривой Безье, проходящей, по определению, через первую и последнюю точки из совокупности точек, необходимых для ее построения. Кроме того, решение обратной задачи об определении потенциальной энергии по известному коэффициенту прохождения можно было бы проводить на более широком классе функций.
Если потенциальная энергия электрона задана в параметрическом виде (с параметром £), для расчета коэффициента прохождения потребуется решить вспомогательную задачу построения явной функции [/(¿(ж)), т. е. задачу о нахождении обратной функции ¿(ж). Оказывается, этого можно избежать, проведя преобразования в уравнении Шрёдингера.
© А. Ю. Антонов, Н. В. Егоров, 2006
и(х), хо, эв
10
6
8
6
4
2
а
Рис. 1. Потенциальная энер- 0 -.ь----.----------1--- I ^ —^
гия электрона (модельная за- _д 5 Q и о § ^ д ^ ^
дача)" ' х(Ц нм
2. Решение модельной задачи. Рассмотрим модельную задачу, в которой потенциальный барьер представляет собой четверть эллипса (рис. 1):
где величина а указана в метрах (или для удобства нанометрах), Ь - в джоулях (или для удобства электронвольтах), х & (0,а). Слева и справа от барьера потенциальная энергия электрона положена равной нулю. Выражение (2) было выбрано в качестве потенциальной энергии вследствие удобного представления как в явной, так и в параметрической форме:
здесь £ е (0,7г/2).
Данный вид потенциального барьера не соответствует ситуации на границе твердое тело—внешняя среда в процессе электронной эмиссии. Более конкретные, с физической точки зрения задачи (расчет плотности тока полевого эмиттера, расчет вероятности перехода сквозь барьер Шоттки на границе металл—полупроводник), планируется поставить в следующих работах.
Уравнение (1) можно записать как систему двух уравнений с помощью замены:
(2)
у(г) =
ж(£) = а сов^),
(3)
йх (1х
(4)
<Рф _ _ 2т С1х2 (1х К2
(и(х)-Е)г1.
Коэффициент прохождения
1,0 г
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
10 15
Энергия электрона, эВ
Рис. 2. Вероятность прохождения электрона через потенциальный барьер.
Если выполнены условия существования производной обратной функции для х система (4) может быть записана для (3) в виде
dZi(t(x)) _ dZi dt dt dx
dx
dZ2(t(x)) dx
Окончательно получаем
= Z2(t(x)),
dZ2 dt 2m ~WTx = -W{v{t{x))
E)Z1(t(x)).
dZ\ _ dx ~df ~dt 2'
dZ2 dx 2m, , . _
(5)
В системе (4) вектор-функция Z — (Zi,Z2)T зависит от переменной х, в системе (5) -от переменной t.
Поскольку потенциальная энергия электрона постоянна вне барьера (обозначим эти области I и III), уравнение Шрёдингера имеет аналитическое решение в указанных областях. Причем в области III присутствует лишь волна, соответствующая распространению электрона только в положительном направлении. Положим, что коэффициент при ней равен единице. Это позволит, используя условие непрерывности волновой функции и ее производной, поставить задачу Коши для системы (5). После ее решения любым численным методом можно вычислить амплитуды при падающей и отраженной волнах. Коэффициент прохождения окажется равным обратному квадрату модуля амплитуды падающей волны.
В результате проведенных расчетов была получена зависимость коэффициента прохождения электрона от его полной энергии (рис. 2). Использовались следующие значения параметров: Ь — 10 эВ, а — 1 нм. На рис. 2 видно, что большая доля электронов с полной энергией, превышающей высоту барьера, отражается от него. Этот факт
находится в полном соответствии с аналитическими выкладками для барьера прямоугольной формы. Значительная ширина рассмотренного барьера не позволяет пренебрегать коэффициентом надбарьерного отражения, что достаточно важно для расчета плотности тока, полученного на основе комбинированной термополевой эмиссии. Решения системы уравнений (4) для барьера (2) и системы уравнений (5) для барьера (3) были проведены методом Рунге-Кутты 5-го порядка со вложенным методом 4-го порядка для контроля локальной погрешности на шаге. Коэффициенты прохождения барьера, полученные из решения систем (4) и (5), не отличаются. Следовательно, в случае, когда потенциальная энергия электрона представлена параметрически заданной функцией, задача о прохождении электрона через потенциальный барьер может быть решена с помощью модификации уравнения Шрёдингера вместо использования решения вспомогательной задачи об обратной функции. Такой подход значительно сокращает количество необходимых для получения результата вычислений.
3. Заключение. При рассмотрении задачи о расчете коэффициента прохождения потенциального барьера было выявлено, что в более общей постановке, когда потенциальная энергия электрона задана в параметрической форме, она может быть решена путем преобразования уравнения Шрёдингера.
Summary
Antonov A. Yu., Egorov N. V. Calculation of the parametric potential barrier transmissivity.
The problem of parametric potential barrier transmissivity calculation is discussed. The method of Schrodinger equation transformation is used. This method is applied for model problem solution with parametric and explicit potential energy.
Литература
1. Pang T. A numerical scheme for quantum tunneling // Computers in Physics. 1995. Vol. 9. P. 602-605.
2. Rangaswamy K., Cahay M., Jensen K. L. Shot noise power spectrum of planar field emitters // J. Vac. Sci. Technol. B. 2005. Vol. 23, N 2. P. 380-388.
3. Bihn Vu Thien, Adessi Ch. New mechanism for electron emission from planar cold cathodes: The solid-state field-controlled electron emitter // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85, N 4. P. 864-867.
4. Sernet V., Bihn Vu Thien, Zhang J. P. et al. Composite-layered solid-state field controlled emitter for a better control of the cathode surface barrier // J. Vac. Sci. Technol. B. 2005. Vol. 23, N 2. P. 824-830.
Статья поступила в редакцию 11 декабря 2005 г.
