ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАЗЛИВА НЕФТЕПРОДУКТОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.312 ГРНТИ 27.35.47

DOI: 10.47501/ITNOU.2021.1.92-98

Г.А. Доррер, С.В. Яровой, А.Ю. Комаров

СибГУ им. М.Ф.Решетнева

ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАЗЛИВА НЕФТЕПРОДУКТОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

Рассматривается возможность создания цифровой модели процесса разлива нефтепродуктов с проникновением их в грунт и прилегающий водоем, которые наносят значительный ущерб окружающей среде и экономике, особенно в северных регионах. Предложен подход к решению этой задачи, основанный на представлении области загрязнения грунта в виде набора плоских слоев, каждый из которых рассчитывается по методу подвижных сеток.

Ключевые слова: цифровые модели динамических процессов на поверхности Земли, разлив нефтепродуктов с проникновением их в грунт и водоемы.

G.A. Dorrer, S.V. Yarovoy, A.Yu. Komarov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

DIGITAL MODEL OF THE OIL SPILL PROCESS OM THE EARTH'S SURFACE The possibility of creating a digital model of the process of oil spills with their penetration into the ground and the adjacent water body, which causes significant damage to the environment and the economy, especially in the northern regions, is being considered. An approach to solving this problem is proposed, based on the representation of the soil contamination area in the form of a set of flat layers, each of which is calculated by the method of moving grids.

Key words: digital models of dynamic processes on the Earth's surface, oil spills with their penetration into the ground and water bodies.

Введение

Происходящая в настоящее время Четвёртая промышленная революция (Fourth Industrial Revolution) и создаваемая при этом Индустрия 4.0, предполагают массовое внедрение киберфизических систем (КФС, Cyber Physical Systems - CPS) в производство и обслуживание человеческих потребностей, включая быт, труд, обеспечение безопасности и досуг. Ожидается, что вызванные этой революцией изменения охватят самые разные стороны жизни: рынок труда, жизненную среду, политические системы, технологический уклад, человеческую идентичность и другие. Не останется в стороне и взаимодействие человека с окружающей средой, которое должно перейти на новый уровень, обеспечивая гармонизацию потребностей человечества. Большую роль ки-берфизические системы могут сыграть в природоохранной сфере.

В частности, представляет интерес создание цифровых моделей одного класса природных объектов, которые получили название динамических процессов на поверхности Земли [1]. В общем случае, таким процессом может быть названо любое явление (природного или антропогенного характера), которое можно представить в виде подвижной области, контура или бегущей волны, распространяющейся по поверхности Земли. Примерами таких процессов могут служить опустынивание, наводнения, сели, оползни, природные пожары, разливы нефтепродуктов на поверхности земли и водое-

мов. Эти объекты имеют разную физическую природу, но их объединяют следующие общие черты:

• Все указанные процессы могут быть описаны как подвижные области, имеющие способности к расширению, сужению, перемещению, разделению и слиянию.

• В первом приближении границы таких областей или множеств можно представить как пространственные волны, которые подчиняются принципу Гюйгенса.

• Описание указанных процессов должно происходить с использованием цифровых моделей местности, основанных на применении геоинформационных систем, содержащих данные об объектах местности и ее характеристиках.

Благодаря описанным выше особенностям, их динамику и управление можно описать с помощью единого математического аппарата. Такой аппарат, в свою очередь, позволяет создавать цифровые модели данных объектов, которые, являются обязательной частью всех киберфизических систем.

В настоящей работе рассматривается возможность создания цифровой модели одного из видов динамических процессов - процесса разлива нефтепродуктов и проникновения их в грунт и прилегающий водоем.

Актуальность создания подобных моделей стала очевидной после экологической катастрофы, чрезвычайной ситуации федерального масштаба, произошедшей 29 мая 2020 года при разгерметизации бака с дизельным топливом на ТЭЦ-3 в Кайеркане (район г.Норильска) [2]. Это одна из крупнейших в истории утечек нефтепродуктов в арктической зоне, создающая угрозу для экосистемы Северного Ледовитого океана.

Модель процесса распространения жидкости, попавшей в грунт

Процесс распространения жидкости в грунте мы будем рассматривать в трехмерной области Д каждая точка которой определяется вектором А= (х, у, г) £ В, где координаты у - проекция точки на горизонтальную плоскость, ъ - глубина расположения точки.

Попавшая в грунт загрязняющая жидкость распространяется в соответствии с законом фильтрации жидкости в пористой среде. В соответствии с законом Дарси [3,4], вектор скорости фильтрации определяется уравнением

где — коэффициент фильтрации,

р - плотность жидкости [кг/м3],

g - ускорение свободного падения [кг/м2],

д - коэффициент динамической вязкости [кг/м

к - коэффициент проницаемости среды [м2],

Рх

дгас1 р = р0 =

Ру Ргг

е е к. ; р уклона местности [м/м].

Контур процесса (его внешняя граница) в каждый момент времени рассматривается как непрерывная дифференцируемая поверхность, уравнение которой задано в неявном виде [5]

ф(х,у,0 = 0, {х,у,г) Е О.

(2)

В каждой точке границы процесса должно выполняться условие неразрывности, что определяется соотношением = 0. Учитывая, что х=х(1), у=у0), г 2(1), пол-

ную производную еЕф/еЕг = 0 можно представить в следующем виде

(3)

Воспользуемся матричным представлением написанного выражения. Обозначим:

у=

(1х

¿у ■-сзг-

еектор скорости, дгсм1ф =

Эх

Зф

~8у дф

градиент процесса,

откуда следует уравнение Гамильтона-Якоби []:

йф

-Ь V1дгса1ф = О,

(4)

где значок Т означает транспонирование. Выражение Н = V1 дга(1ф называется функцией Гамильтона данного процесса. Можно ввести нормальную скорость движения границы

V

{дгайф}

-V

(5)

где

С дта й ф|)

\дгайф\

движения границы примет вид йф

\дгайф\

- единичный вектор нормали к границе. С учетом (3) уравнение

(6)

при начальных условиях:

при t = О ф{х,у,г, 0) = ф0(х,у,2). (7)

Здесь V у г; = - - уравнение внешней границы области Г I в начальный момент времени.

В рассматриваемой модели вектор нормальной скорости '.'. является определяющим параметром процесса. Этот вектор в каждой точке границы зависит от вектора скорости фильтрации ю и направления нормали к границе процесса - вектора тг. Эта зависимость может быть представлена следующим образом:

■л.. = V- ■ :■■«). (8)

Функция У {а ) называется индикатрисой нормальной скорости процесса распространения (фигуротрисой), она показывает, как изменяется скорость распространения процесса в зависимости от направления нормали п . В формуле (8) а - угол между направлением нормали к границе процесса и направлением вектора 1:~1: а = ■-*п), где значок * обозначает скалярное произведение векторов.

Фигуротриса обладает следующими свойствами:

1. : £ :;

2- Х(Р) = 1 - наибольшая скорость распространения процесса происходит при совпадении направления нормали п с направлением вектора скорости фильтрации

3- Х{а ) = Х{~а X 0 ~—а — к — фигур отриса симметрична относительно знака угла а.

Цифровая модель местности

Для решения практических задач по моделированию рассматриваемого процесса должна быть с помощью ГИС-системы приготовлена цифровая модель местности, где этот процесс происходит, которая была обозначена как область О.

Основой модели местности служит электронная карта интересующего нас участка местности с нанесенными на ней топологией слоев и характеристиками грунта на необходимую глубину. Следует также выделить однородные участки грунта и для них определить коэффициенты фильтрации

кр , векторы уклона местности р0 и фигуротрисы ^д),

Должны быть определены характеристики разлитой жидкости, обозначен начальный контур разлива и указан его дебет.

Подробный анализ процесса фильтрации нефтепродуктов через грунт содержится в работах [3,4]. В данной работе используется приближенная оценка коэффициента фильтрации

ку на основе приведенных ниже табличных данных,которые могут быть достаточными для решения инженерных задач (http://sdspmk.ru/dvizeniepw).

Таблица 1

Характеристика пород Коэффициент фильтрации м/сутки

Очень хорошо проникаемые галечники с крупным песком 100 - 1000 и более

Хорошо проникаемые галечники и гравий с мелким песком, крупный песок, чистый среднезернистый песок, 100 - 10

Проницаемые галечники и гравий с мелким песком, средензернистые и мелкозернистые пески 10 -1

Слабопроницаемые тонкозернистые пески, супеси 1 -0,1

Слабопроницаемые суглинки 0,1 -0,001

Глины, мергели, монолитные скальные породы менее 0,001

Алгоритм моделирования процесса распространения жидкости в грунте

Алгоритм основан на использовании уравнения Дарси и решении уравнения Га-мильтона-Якоби методом подвижных сеток [5,6] с учетом трехмерного пространства.

Предполагается, что на поверхности грунта разлилась загрязняющая жидкость объемом У0, которая проникает в грунт и распространяется в нем.

При этом принята гипотеза, что процесс распространения может быть представлен в виде набора плоских горизонтальных слоев к = = 0,1, расположенных один под другим на разной глубине.

Расчет процесса распространения ведется в дискретном времени £= 0,1, ...,АГ с шагом А£, при этом слои Ск отображаются на карте местности.

Скорость движения жидкости в грунте определяется законом Дарси с учетом уклона местности, определенным вектором рй ,и характеристик грунта. Фигуротриса процесса распространения /Ха) определяется уклоном местности, характеристиками грунта и интенсивностью процесса.

На нулевом шаге при £ = 0 на поверхности грунта помещается начальный контур разлива жидкости С0. Далее, методом подвижных сеток рассчитываются контуры процесса для последующих слоев.

При переходе от слоя Ск к следующему слою С?1+1 в момент £ + 1 для всех узлов контура процесса Сь определяются векторы нормали р[ как для плоской задачи и по методу подвижных сеток определяются все точки слоя Сь+1.

Новый слой Сь+1 «опускается» на нужную глубину. Расстояние между соседними слоями по глубине равно

Аг =\у рх Л£,поэтому слой С?1+1 оказывается на глубине ¿¡.+1 =\у ряД£(к+ 1).

Для каждого слоя подсчитывается его площадь и объем поступившей в слой жидкости Ук = Дг, а также ее общий объем:

Процесс моделирования останавливается на N - м шаге либо при достижении заданной предельной глубины расчета либо когда общий объем попавшей в грунт жидкости станет равным объему источника Уа : > Уа .

В случае, если процесс распространения жидкости встречается с водоносным слоем или открытым водоемом, скорость распространения пятна загрязнения определяется законами гидродинамики. В данной работе этот вопрос не рассматривается

Пример моделирования процесса распространения жидкости в грунте

Ниже приведен простой пример расчета процесса распространения нефтепродуктов в грунте.

Исходные данные:

• жидкость - дизельное топливо,

• плотность при 200 С - 800 кг/м3

• кинематическая вязкость при 200 С - 0.08 см2/с,

• грунт - однородный участок: гравий с мелким песком,

• коэффициент фильтрации = 10 м/сутки

• величина уклона местности 1 = 0.1 м/м,

• скорость фильтрации н^ = к^ |р„ | =1 м/сутки,

• фигуротриса ^(ог) = (1 — е)/(1— е со$ <р) — эллипс с эксцентриситетом е = 0.5,

• шаг расчета по времени Дt = 1 сутки,

• расстояние между соседними слоями Дг = 0.1 м,

• максимальное число слоев N = 4.

На рисунке 1 приведен эскиз ситуации. Показан источник жидкости С0 и проекции на горизонтальную плоскость контуров слоев Ск,к = 1, ...,4, которые рассчитаны по методу подвижных сеток с последующим сглаживанием. Показана проекция на горизонтальную плоскость вектора уклона местности р0 = дгасI р и указатель пространственного масштаба рисунка.

к

¿ = 1

Площадь слоев и их объем приведены в таблице 2.

_ Таблица 2

t, сут- Слой жид- Глубина слоя Площадь Объем слоя,

ки кости Г. . м слоя, м2 м3

0 0 1.54 0.154

1 Ci 0.1 12.0 1.20

2 С2 0.2 25.4 2.54

3 С3 0.3 38.0 3.80

4 С4 0.4 58.8 5.88

Общий объем, м3 13.574

Заключение

В работе предложен подход к созданию цифровой модели процесса разлива загрязняющей жидкости на поверхности Земли. При дальнейшем развитии данного направления предстоит большая работа по созданию на основе ГИС-технологий трехмерных цифровых моделей местности для различных типов грунта, а также баз данных, содержащих характеристики грунтов и загрязнителей. Следует также в данную модель включить описание процесса распространения загрязнений внутри водоносных слоев и на поверхности водоемов. Кроме того, необходимо совершенствование программного обеспечения, позволяющего прогнозировать процесс разлива и фильтрации загрязняющих жидкостей в сложных по составу грунтах, включающих водоносные слои.

По мнению авторов, новыми в данной работе является постановка актуальной задачи создания цифровых моделей пространственного процесса загрязнения грунтов и водоемов, а также в предложенный подход к решению этой задачи, основанный на представлении области загрязнения грунта в виде набора плоских слоев, каждый из которых рассчитывается по методу подвижных сеток.

Литература

1. Доррер Г.А., Яровой С.В., Казаковцева О.Б. Мультиагентная система моделирования динамических процессов на поверхности Земли // Системы управления и информационные технологии. 2018. № 2 (72). С. 42-47.

2. Хисамутдинов Р. М. Технологии применения беспилотных воздушных судов для мониторинга потенциально опасных зон и ликвидации чрезвычайных ситуаций:

выпускная квалификационная работа // ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2020. 135 с.

3. Гусейнов Д. А. и др. Технологические расчеты процессов переработки нефти. // «Химия», - М:, 1964. 300 с.

4. Елфимов, Н.В. и др. Модель распространения нефтяных загрязнений по почвенному покрову для прогнозирования развития ЧС на объектах нефтегазового комплекса // Научно-технический журнал «Защита окружающей среды в нефтегазовом комплексе». 2018. № 6. С. 5-12.

5. Доррер Г.А. Динамика лесных пожаров // Изд-во СО РАН, Новосибирск, 2008. 404с.

6. Годунов С. К, Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1972. Т. 12. № 2. С. 429-439.

Сведения об авторах Георгий Алексеевич Доррер

д-р техн. наук, проф. каф. информационно-управляющих систем

СибГУим. М.Ф.Решетнева

Российская Федерация, Красноярск

Эл. почта: g_a_dorrer@mail.ru

Сергей Викторович Яровой

канд. техн. наук, доцент,

СибГУ им. М.Ф.Решетнева

Российская Федерация, Красноярск

Эл. почта:ach_bask@mail.ru

Антон Юрьевич Комаров

магистрант

СибГУ им. М.Ф.Решетнева

Россия, Красноярск,

Эл. Почта: juraanton@mail.ru

Information about authors

Georgy Alekseevich Dorrer

Dr. Techn. sciences', Professor SibSU by M.F.Reshetnev Russian Federation, Krasnoyarsk E-mail: g_a_dorrer@mail.ru Sergey Victorovich Yarovoy Assistant Professor SibSU by M.F.Reshetnev Russian Federation, Krasnoyarsk E-mail: ach_bask@mail.ru Anton Yurievich Komarov undergraduate student SibSU by M.F.Reshetnev Russian Federation, Krasnoyarsk E-mail: juraanton@mail. ru

УДК 519.6; 81'32 В. А. Акулов, В. Д. Чигищев, Д. С. Тюрина,

ГРНТИ 14.01.85 Шуджаири Марван Адил Хашим

DOI: 10.47501/ITNOU.2021.1.98-104 Самарский национальный исследовательский университет имени

академика С. П. Королёва

МОДЕЛЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ В СРЕДЕ EXCEL

Разработана цифровая модель гармонических осцилляторов для изучения свойств колебательных систем и предварительного анализа данных натурных экспериментов. Модель рассчитана на применение в технических и гуманитарных приложениях. Предусмотрено управление частотой дискретизации, масштабом графиков, архивация результатов моделирования.

Ключевые слова: техническое средство обучения, цифровая модель, осциллятор, технические и гуманитарные приложения.