Троичные марковские последовательности в стохастистических моделях Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 519.2

ТРОИЧНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В СТОХАСТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

©2019 С. Н. Матюшина1, Н. Д. Писарева2

1канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа и прикладной математики e-mail: snm0905@gmail. com 2учитель ОБОУ «Лицей-интернат №1», магистрант кафедры математического анализа и прикладной математики

e-mail: nata.pisareva. 96@mail. ru

Курский государственный университет

В статье рассматриваются троичные однородные марковские последовательности, с помощью которых строятся стохастические модели для исследования динамики суточных сумм осадков для различных регионов РФ.

Ключевые слова: цепи Маркова, матрица переходных вероятностей, стационарное распределение, стохастические модели, метеорологические измерения.

Теория марковских цепей при вероятностном моделировании различных случайных процессов позволяет учитывать взаимосвязь между последовательными измерениями рассматриваемых величин. Большинство методов статистической обработки данных применимы лишь при наличии условия независимости выборочных значений, которое далеко не всегда имеет место в реальных условиях. В результате вопросы, связанные с анализом степени зависимости результатов наблюдений занимают особое место в статистических исследованиях.

Конечные цепи Маркова применяются в стохастическом моделировании в различных областях знаний [5], в том числе и в метеорологии. Двоичная марковская модель, описывающая последовательность дождливых и солнечных дней, была построена ещё в 1962 г. в работе Габриэля и Неймана (Gabriel, Neumann) по статистике выпадения дождей в Тель-Авиве [3]. В дальнейшем двоичные марковские последовательности были использованы в моделировании суточного уровня осадков для других климатических регионов [2]. Статистическая оценка наиболее вероятных продолжительностей сухих и дождливых периодов в целом адекватно отражает их относительную частоту и позволяет выявить их стохастические характеристики.

Однако разделение суток в двоичных моделях на два типа - «солнечный» день и «дождливый» день (отсутствие границы между незначительными осадками и природными «катаклизмами») - ограничивает возможности количественного анализа и прогнозирования уровня выпадения осадков.

Увеличение числа состояний в марковской последовательности позволяет проводить более точный анализ результатов наблюдений. В частности, в исследованиях суточных уровней осадков разделение дождливых дней на два типа: день с незначительными осадками и день с осадками, превышающими среднесуточный уровень, дает возможность по числу дней каждого типа находить средний уровень выпавших дождей за рассматриваемый период.

Цель данной работы состоит в разработке схемы построения троичной марковской модели, позволяющей анализировать суточные уровни осадков с учетом взаимосвязи и величины их значений.

В статье рассмотрены троичные однородные марковские цепи, описана схема построения марковской последовательности по данным суточного слоя осадков в летний период. В качестве примеров представлены стохастические модели для четырех регионов РФ, позволяющие анализировать уровень осадков по этим регионам в разные годы.

Пусть имеется троичная однородная марковская последовательность случайных величин

^ .....^n^ (1)

со значениями из множества X = (х1( х2, х3). Матрица переходных вероятностей PU = Pfo = Xy^-i = *t) (î = 1,2,3;) = 1,2,3)

для данной цепи Маркова имеет следующий вид:

/Р11 Р12 Pl3\ Р = ( Р21 Р22 Р23 ).

\Р31 Р32 Р33/

Введем обозначение для распределения ^ :

P(Çn = xi)=ffi,i = 1,2,3 .

Будем считать, что распределение вероятностей ^ (n G N) для данной цепи Маркова является стационарным, то есть л^ не зависит от номера шага n и распределение вероятностей для всех случайных величин последовательности (1) имеет вид

7Г = (^1,^2,^з).

Моделирование на основе троичной марковской последовательности, в которой разделяются дни с незначительными осадками и осадками выше средней суточной нормы, позволяет более точно анализировать динамику этого показателя, исследовать колебания среднего уровня дождей за период в разные годы и проверять климатическую однородность (неоднородность) различных регионов по количеству осадков за сезон.

Приведем пример построения стохастической модели с применением троичных марковских цепей. Для расчетов были использованы статистические данные метеорологических наблюдений за суточным слоем осадков летних периодов в городах Курск, Воронеж, Волгоград и Астрахань за 13 лет (2005-2017 гг.) [4].

Разделим дни летних месяцев по количеству выпавших осадков на три типа:

I-й тип: день без осадков (^ = хг = 0);

II-й тип: день c незначительными осадками (осадков выпало менее средней суточной нормы, ^ = х2 - средний уровень в дни незначительных осадков);

Ш-й тип: дождливый день (суточное количество осадков превышает среднесуточную норму летнего периода, ^ = х3 - средний уровень суточного уровня в дождливые дни), i - номер суток в исследуемом периоде, хг, х2, х3 вычисляются для каждого региона отдельно.

Таким образом, для каждого летнего периода с 2005 по 2017 г. получаем марковскую цепь, число членов в которой п=92 (количество летних дней):

^2' ■"' ^92"

Далее, для каждой последовательности находим п^ - частоты значений х^., к = 1,2,3 и количество случаев в последовательности, когда после х^.-го значения следует:

> значение х1 = 0 (день без осадков) (п^1); ^ значение х2 (день с незначительными осадками) (п^2); ^ значение х3 (дождливый день) (п^3).

Так как

"и + "и + "^3 = к е {1'2'3},

то, составляя матрицу из относительных частот, получим стохастическую матрицу:

/"11 "12 "13 \

П1 "1 "1

"22 "23

"2 "2

"31 "32 "33

\Пз "з "3 )

Для летних периодов разных лет стохастические матрицы относительных частот, описывающие динамику суточных сумм осадков в городе Курске, приведены ниже.

2005

0,763 0,051 0,186

0,429 0,286 0,285

0,462 0,077 0,462

2009

0,754 0,098 0,148

0,6 0,1 0,3

0,429 0,143 0,428

2013

0,685 0,167 0,148

0,45 0,35 0,2

0,444 0,222 0,334

2006

0,679 0,178 0,143

0,562 0,063 0,375

0,450 0,250 0,300

2010

0,803 0,127 0,070

0,769 0,154 0,077

0,625 0,250 0,125

2014

0,848 0,121 0,031

0,467 0,20 0,333

0,364 0,364 0,272

2007

0,704 0,098 0,197

0,667 0167 0,166

0,526 0,211 0,262

2011

0,746 0,068 0,186

0,454 0,364 0,182

0,455 0,136 0,409

2015

0,806 0,081 0,113

0,429 0,286 0,215

0,375 0,313 0,312

2008

0,810 0,111 0,079

0,50 0,25 0,25

0,308 0,385 0,307

2012

0,714 0,089 0,197

0,384 0,231 0,385

0,478 0,217 0,305

2016

0,661 0,125 0,214

0,714 0,072 0,214

0,409 0,273 0,318

Далее по критерию Смирнова была выполнена попарная проверка на однородность условных распределений в приведенных стохастических матрицах [1]. В результате проверки однородность стохастических моделей подтвердилась более чем в 80% случаев. Годы, для которых гипотеза однородности была отвергнута, можно

условно назвать «аномальными». К таким годам за исследованный период относятся 2005 и 2014 гг. Цикличность таких лет может быть предметом дополнительных исследований.

Аналогичные исследования измерений суточного уровня осадков за летние периоды разных лет были выполнены авторами для городов Волгоград, Воронеж, Астрахань. На основании статистических данных по количеству выпавших дождей были построены модели Маркова для описания динамики суточных осадков летнего периода этих городов. Полученные матрицы переходных вероятностей представлены в таблице 1.

Таблица 1

Матрицы переходных вероятностей для описания динамики суточных осадков летнего периода различных городов РФ

Курск Волгоград Воронеж Астрахань

/ 0,76 0,07 0,17 \ ( 0,50 0,25 0,25 ) \0,272 0,364 0,364/ /0,85 0,07 0,08\ ( 0,67 0,11 0,22 ) V0,63 0,20 0,17/ 0,78 0,12 0,10 ( 0,58 0,17 0,25 ) \0,47 0,19 0,34/ 0,89 0,04 0,07 ( 0,85 0,03 0,12 ) \0,64 0,16 0,20/

Стационарные распределения вероятностей для этих регионов приведены в таблице 2.

Таблица 2

Стационарные распределения для суточного уровня осадков летнего периода

различных городов РФ

Курск Волгоград Воронеж Астрахань

(0,6; 0,17; 0,23) (0,81; 0,09; 0,1) (0,7; 0,14; 0,16) (0,87; 0,05; 0,08)

Сравнительный анализ полученных стационарных распределений с соответствующими эмпирическими частотами подтвердил гипотезу, что в годы, не являющиеся аномальными, распределение величины, характеризующей выпадение дождей за сутки в летний период, имеет стационарное распределение.

Таким образом, в результате проведенных исследований авторами предложена схема для построения моделей на основе троичных марковских цепей, учитывающая не только наличие осадков, но и их количество. Стохастические модели, построенные с учетом взаимосвязи между показателями уровней осадков за ближайшие сутки, позволяют выявлять статистические закономерности в разные годы и проводить сравнительный анализ метеорологических измерений в различных регионах, а также выявлять «аномальные» года по количеству выпадения дождей.

Приведенные примеры марковских моделей, построенных для территорий достаточно однородных по рельефу и климатическим условиям (Курск-Воронеж, Волгоград-Астрахань), отличаются друг от друга существенно меньше, чем для районов, имеющих существенные различия в погодных характеристиках (Курск-Волгоград, Курск-Астрахань, Воронеж-Волгоград, Воронеж-Астрахань).

Библиографический список

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.

2. Савельев Л.Я. Распределения числа состояний в двоичных марковских стохастических моделях // Сиб. журн. вычислительной математики. 2015. Т. 18. №2. С. 191-200.

3. Самнер Г. Математика для географов. М.: Прогресс, 1981. 296 с.

4. Погода и климат [Электронный ресурс]: URL:http://www.pogodaiklimat.ru/ (дата обращения: 15.04.2018).

5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1984. 527 с.