CC BY
155
АРИДНЫЕ ЭКОСИСТЕМЫ, 2012, том 18, № 4 (53), с. 28-34
——— ОТРАСЛЕВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ОСВОЕНИЯ ЗАСУШЛИВЫХ ЗЕМЕЛЬ ——
УДК 551.577.38
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОГНОЗА РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЙ УВЛАЖНЕНИЯ В ВЕГЕТАЦИОННЫЙ ПЕРИОД НА ПРИМЕРЕ ВОРОНЕЖА
Воронежский государственный университет Россия, 394020 Воронеж, ул. Хользунова, д. 40. E-mail: akl63@bk.ru, geoecolog@mail.ru
Поступила 13.09.2011 г.
Предложен методический подход к оценке вероятности появления различных условий увлажнения в отдельные месяцы вегетационного периода для территории Воронежа с использованием цепей А.А. Маркова по данным многолетних наблюдений за температурой воздуха и осадками.
Ключевые слова: увлажнение, осадки, температура воздуха, повторяемость, вероятность, вегетационный период, гидротермический коэффициент, цепи А.А. Маркова.
Для многих случайных процессов характерно некоторое влияние предшествующих событий на последующие события. Такие процессы называют Марковскими по имени А. А. Маркова, в работах которого они были впервые описаны (Марков, 1906). Математические модели, использующие цепи А. А. Маркова, являются переходными между детерминированными и чисто стохастическими моделями (Кельберт, 2009).
Марковский процесс - это процесс, для которого вероятность находиться в данном состоянии, в данный момент времени, и которую можно вывести из сведений о предшествующем состоянии.
Цепь А. А. Маркова - последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что при фиксированном настоящем, будущее независимо от прошлого. Для такой цепи число состояний конечно, а вероятности, соответствующие переходам из одного состояния в другое, называют стационарными, имея в виду то, что они не зависят от времени. Таким образом, в простейшем случае условное распределение последующего состояния цепи А.А. Маркова зависит только от текущего состояния и не зависит от всех предыдущих состояний. Многие природные процессы, в том числе и условия увлажнения, можно считать Марковскими.
Случайный механизм, вызывающий изменение состояния, описывается матрицей перехода Р с элементами pij. Элемент pij равен вероятности, с которой система перейдет из состояния i в состояние j за единицу времени. Таким образом, pij - это условная вероятность того, что система будет находиться в состоянии j в следующий момент, при условии, что в данный момент она находится в состоянии i. Значит, все элементы Р неотрицательны, но не превышают 1, и сумма элементов в любой строке равна 1. Матрица Р, обладающая такими свойствами, называется стохастической, то есть:
© 2012 г. Л.М. Акимов
0 < pj < 1 Vi, j е I и YP (n) = 1, Vn е N
(1).
где Xn - последовательность случайных величин, а n - номер шага.
Таким образом, состояние в момент п+1 есть j, при условии, что заданы состояния i0 ..., in-1 и in = i в моменты времени 0 ..., п-1, п. Случайное состояние Хп в момент п рассматривается как случайная величина со значениями I. Последовательность случайных дискретных величин Хп со значениями в конечном или счетном множестве I образует простую цепь А.А. Маркова с начальным распределением X0 и матрицей перехода Р, если совместное распределение Р(Х0 =io, Х1 =i1 ..., Хп = in) нахождения системы в состояниях io, ii ..., ..., in в моменты времени 0, 1, ..., п определяется условными вероятностями:
P( Хп+1 = У Xn = in , Xn_1 = in_1 ,• • •, X0 = /0) = P( Xn+1 = Xn = ln ) (3).
Марковские модели - один из типов стохастических моделей, в которой будущее развитие системы определяется ее текущим состоянием и не зависит от того, каким путем система пришла в это состояние. Они состоят в близком родстве с матричными моделями, т.к. их основная конструкция - матрицы, но элементами этих матриц являются не детерминированные, а вероятностные переходы из одного состояния в другое. Последовательность результатов, получаемых из такой модели, часто называют Марковской цепью. Применение такой модели к практическим ситуациям требует выполнения трех основных условий:
1) система должна допускать классификацию на конечное число состояний;
2) переходы должны происходить в дискретные моменты времени, правда, они должны быть достаточно близкими, чтобы для моделируемой системы время можно было бы считать непрерывным;
3) вероятности не должны меняться во времени.
Матрицы вероятностей перехода являются средством описания поведения Марковской цепи. Каждый элемент этой матрицы представляет собой вероятность перехода из заданного состояния (которому соответствует строка) к следующему состоянию (которому соответствует столбец). В этой матрице предусмотрены все возможные переходы данного множества состояний. Условно такую матрицу записывают в общем виде следующим образом:
Р=
s21 s22 s23
sil p11 p12 p13
s12 p21 p22 p23
s13 p31 p32 p33
(5),
где P - матрица переходных вероятностей, p¡, j - вероятность перехода из состояний sil, s12, s13, соответствующих строкам матрицы, в состояния s21, s22, s23, соответствующие столбцам.
Отметим еще раз, что в данном случае имеется в виду цепь первого порядка, т.е. такая форма Марковского процесса, для которой каждое конкретное состояние зависит только непосредственно от предшествующего состояния.
Целью данного исследования является разработка методики долгосрочного вероятностного прогнозирования различных условий увлажнения в вегетационный период с использованием цепей А.А. Маркова.
Длительность вегетационного периода в данной работе определяется, периодом активных температур воздуха (1>10оС) и оценивалась гидротермическим коэффициентом Г. Т. Селянинова (Селянинов, 1928):
гтк = --(6),
0.1Е t > 10 с
где ГТК - гидротермический коэффициент, ХЯ - сумма осадков в мм, за период со среднесуточными температурами воздуха выше 10°С и Х >10°С - сумма средних суточных температур воздуха выше 10°С за этот же период.
Простота вычисления гидротермического коэффициента ГТК стала причиной включения его в стандартный перечень индексов аридности (Чернышева и др., 2009; Шашко, 1985).
Материалы и методы
Расчет ГТК проводился для метеостанции Воронеж (№№ 34123 в ВМО) за период с 1918 по 2010 гг., для каждого календарного месяца с мая по сентябрь, после чего проведена его классификация. С этой целью вся исследуемая выборка ГТК разбита на равновероятные 20% интервалы. При этом классы выделялись не для каждого месяца отдельно, а для всего исследуемого периода (май-сентябрь) в целом. Это позволило анализировать колебания данного показателя за исследуемый промежуток времени в единой системе и оценить вероятность проявления того или иного класса в каждом из месяцев с июня по сентябрь в завмсимости от состояния ГТК в мае.
В результате для Воронежа получены следующие классы ГТК:
1 класс <0.45 - «Сухой»;
2 класс 0.46-0.75 - «Засушливый»;
3 класс 0.76-1.09 - «Норма»;
4 класс 1.10-1.65 - «Увлажненный»;
5 класс >1.66 - «Влажный».
Таким образом, сделана попытка использования Марковских цепей для выявления внутренних временных закономерностей развития процессов увлажнения исследуемой территории.
Результаты и их обсуждение
Проанализируем закономерности в переходах различных классов ГТК от исходного месяца «Май» в последующие месяцы рассматриваемого периода с использованием матриц переходных вероятностей, представленных в таблицах 1-4.
Таблица 1. Матрица переходных вероятностей ГТК состояния на май-июнь. Table 1. A matrix of transitive probabilities of parameters of humidifying May - June.
Исходное состояние ГТК, классы (май) Прогнозируемое состояние ГТК, классы (июнь)
1 - «Сухой» 2 - «Засушливый» 3 -«Норма» 4 - «Увлажненный» 5 - «Влажный»
1 - «Сухой» 19 10 14 38 19
2 - «Засушливый» 0 23 23 39 15
3 - «Норма» 9 31 26 17 17
4 - «Увлажненный» 14 30 21 21 14
5 - «Влажный» 25 20 20 5 30
Анализируя таблицу 1, можно сделать вывод, что при исходном ГТК в мае 1 классе «Сухой», в июне с вероятностью 38% можно наблюдать появление 4 класса ГТК «Увлажненный». Вероятность появления остальных классов невелика и составляет соответственно: 19% - для
экстремальных классов «Сухой» и «Влажный»; 14% - 3 класса ГТК «Норма» и наименьшая вероятность появления в июне у 2 класса ГТК «Засушливый» - 10%.
Таблица 2. Матрица переходных вероятностей ГТК состояния на май - июль. Table 2. A matrix of transitive probabilities of parameters of humidifying May - July.
Исходное состояние ГТК, классы (май) Прогнозируемое состояние ГТК, классы (июль)
1 - «Сухой» 2 - «Засушливый» 3 -«Норма» 4 - «Увлажненный» 5 - «Влажный»
1 - «Сухой» 5 38 14 29 14
2 - «Засушливый» 9 37 18 18 18
3 - «Норма» 16 8 24 28 24
4 - «Увлажненный» 0 8 16 24 52
5 - «Влажный» 20 25 30 20 5
Таблица 3. Матрица переходных вероятностей ГТК состояния на май - август. Table 3. A matrix of transitive probabilities of parameters of humidifying May - August.
Исходное состояние ГТК, классы (май) Прогнозируемое состояние ГТК, классы (август)
1 - «Сухой» 2 - «Засушливый» 3 -«Норма» 4 - «Увлажненный» 5 - «Влажный»
1 - «Сухой» 29 24 19 19 9
2 - «Засушливый» 0 50 17 33 0
3 - «Норма» 17 25 21 25 12
4 - «Увлажненный» 15 15 23 32 15
5 - «Влажный» 11 26 11 41 11
Таблица 4. Матрица переходных вероятностей ГТК состояния на май - сентябрь. Table 4. A matrix of transitive probabilities of parameters of humidifying May - September.
Исходное состояние ГТК, классы (май) Прогнозируемое состояние ГТК, классы (сентябрь)
1 - «Сухой» 2 - «Засушливый » 3 -«Норма» 4 - «Увлажненный» 5 - «Влажный»
1 - «Сухой» 19 33 5 19 24
2 - «Засушливый» 25 17 0 17 41
3 - «Норма» 4 21 21 21 33
4 - «Увлажненный» 27 27 0 19 27
5 - «Влажный» 15 15 25 15 30
В случае исходного 2 класса ГТК «Засушливый» в мае так же, как и для 1 класса, с наибольшей вероятностью (39%) можно ожидать появление 4 класса «Увлажненный».
Появление классов «Засушливый» и «Норма» равновероятно и составляет 23%. Невелика вероятность появления 5 класса - 15%. Однозначно можно утверждать, что при исходном 2 классе ГТК в мае, нельзя ожидать появление 1 класса ГТК «Сухой» в июне, вероятность такого события равна нулю.
Для исходного в мае 3 класса «Норма» наиболее вероятно событие перехода в июне во 2-ой класс (31%) или сохранение 3 класса (26%). Вероятность появления 4 и 5 классов незначительна и составляет 17%. Наименьшая вероятность перехода (9%) исходного в мае 3 класса «Норма» в 1 класс «Сухой» в июне.
Исходный 4 класс ГТК «Увлажненный» в мае, с вероятностью 30% может перейти в июне во 2 класс «Засушливый» и вероятностью 21% в классы «Норма» и «Увлажненный». При исходном 4 классе ГТК «Увлажненный» в мае, вероятность появления экстремальных классов ГТК «Сухой» и «Влажный» в июне составляет 14%.
Для исходного 5 класса ГТК «Влажный» в мае, характерно сохранение данного класса в июне (30%). При этом велика вероятность перехода в 1 класс «Сухой» (25%) или 2 и 3 классы - с вероятностью 20% для каждого класса. Наименее вероятным событием (5%) является переход в 4 класс ГТК.
В случае наблюдения в мае 1 класса ГТК «Сухой», с максимальной вероятностью для данного класса ГТК (3 8%) можно ожидать появление в июле 2 класса ГТК «Засушливый» и с вероятностью 29% - класса «Увлажненный» (табл. 2). Появление классов «Норма» и экстремального «Влажный» является равновероятным событием, с вероятностью 14%. С наименьшей вероятностью (5%) можно ожидать в июле появление класса «Сухой», если данный класс ГТК наблюдался в мае.
Особенности появления различных классов ГТК в июле, в случае наблюдения в мае 2 класса ГТК «Засушливый», схожи с распределением вероятностей для 1 класса «Сухой», а именно, максимальной вероятностью (37%) обладает появление в июле 2 класса ГТК «Засушливый». Появление классов «Норма», «Увлажненный» и «Влажный» - является равновероятным событием, с вероятностью для каждого класса ГТК - 18%. Наименее вероятным событием, в случае наблюдения в мае 2 класса ГТК «Засушливый», является появление в июле с вероятностью 9% - 1 класса ГТК «Сухой».
Для исходного в мае класса «Норма», с наименьшей вероятностью для данного класса, следует ожидать появление засушливой погоды в июле. Вероятность появления в июле 1 класса «Сухой» составляет 16%, а появление в июле 2 класса ГТК «Засушливый» следует ожидать с вероятностью 8%. Наиболее вероятным событием (28%), для исходного 3 класса ГТК «Норма» в мае, является появление в июле 4 класса ГТК «Увлажненный», а вероятность появления классов «Норма» и «Влажный» в данном случае составляет (24%).
С наименьшей вероятностью (8%), в случае наблюдения в мае 4 класса ГТК «Увлажненный», следует ожидать появления 2 класса ГТК, а случаи появления экстремального 1 класса «Сухой» за исследуемый промежуток времени зафиксированы не были. С вероятностью 52%, для исходного в мае 4 класса ГТК «Увлажненный», можно ожидать появление в июле 5 класса ГТК «Влажный». Вероятность появления остальных классов значительно меньше и составляет для 4 класса ГТК «Увлажненный» - 24%, класса «Норма» - 16%.
Для исходного в мае 5 класса «Влажный», в июле с наименьшей вероятностью (5%) следует ожидать появление этого класса. Наиболее вероятностным событием (30%) в данном случае, следует ожидать появление 3 класса «Норма». Вероятности появления остальных классов велики и колеблются в пределах 20 - 25%, а именно: 1 класс - 20%, 2 класс - 25%, 4 класс - 20%. В данной ситуации, в июле, уверенно прогнозировать можно только отсутствие экстремального «Влажного» класса ГТК.
При исходном 1 классе ГТК в мае, в августе (табл. 3) также следует ожидать появления 1
класса ГТК «Сухой» с вероятностью в 29%, а вероятность появления 2 класса «Засушливый» - 24%. С наименьшей вероятностью (9%) следует ожидать появление экстремального класса «Влажный». Появление 3 и 4 классов ГТК является равновероятным событием с вероятностью 19%.
В случае наблюдения в мае 2 класса ГТК «Засушливый», прогностические состояния в августе более выражены, а именно:
• однозначно можно сказать, что в августе не будут наблюдаться экстремальные «Сухой» и «Влажный» классы ГТК, т. к. вероятность данных событий равна нулю;
• наиболее вероятно появление в августе 2 класса ГТК «Засушливый». Вероятность данного события в данном случае максимальна и составляет 50%. Также с большой вероятностью (33%) следует ожидать появление 4 класса ГТК «Увлажненный»;
• вероятность появления 3 класса ГТК «Норма» незначительна и составляет 17%.
Выработать прогностические решения в случае наблюдения в мае 3 класса ГТК «Норма»
сложно, т.к. распределение вероятностей практически равномерно. В основном следует ожидать либо сохранение класса «Норма» с вероятностью 21%, либо появление соседних классов «Засушливый» или «Увлажненный» с равной вероятностью для обоих случаев 25%. Вероятность появления экстремальных «Сухой» и «Влажный» классов невелика и составляет соответственно 17% и 12%.
Для класса «Увлажненный» в мае, с вероятностью 32%, характерно сохранение данного класса в августе, либо переход в класс «Норма» (23%). Появление остальных классов равновероятно мало и составляет 15%.
Для исходного в мае 5 класса, с наибольшей вероятностью (41%) в августе следует ожидать появление 4 класса ГТК. С вероятностью 26% следует ожидать появление 2 класса «Засушливый». Вероятность появления остальных классов равновероятно мало и составляет 11%.
Выработка прогностических решений для сентября относительно исходного состояния ГТК в мае, также имеет свои особенности (табл. 4). Для исходного 1 класса, в сентябре наиболее вероятным событием с вероятностью 33% будет появление 2 класса и наименее вероятным (5%) - 3 класса «Норма». Вероятность появления 5 класса «Влажный» составляет 24%. Появление 1 и 4 классов равновероятно мало и составляет 19%.
В случае исходного «Засушливого» класса однозначно не следует ожидать появление класса «Норма». Наиболее вероятно (41%) появление экстремального 5 класса «Влажный». Вероятность появления экстремального 1 класса «Сухой» также велика и составляет 25%. Появление 2 и 4 классов равновероятно и составляет 17%.
Для исходного в мае 3 класса «Норма», в сентябре наиболее вероятным событием (с вероятностью 33%) будет появление 5 класса «Влажный» и наименее вероятным (4%) - 1 класса «Сухой». Появление остальных классов является равновероятным событием, с вероятностью 21%.
В случае в мае исходного 4 класса ГТК «Увлажненный», для сентября довольно сложно выработать прогностические решения. Однозначно можно утверждать отсутствие класса «Норма». Появление остальных классов является практически равновероятным событием с вероятностью 27%, лишь вероятность появления 4 класса составляет 19%.
Для исходного 5 класса с вероятностью 30% характерно сохранение данного класса в сентябре, либо с вероятностью 25% появление класса «Норма». Появление остальных классов является равновероятно малым событием, с вероятностью 15%.
Выводы
Проведенные исследования показали целесообразность использования цепей А. А. Маркова к оценке вероятности появления различных условий увлажнения в отдельные месяцы вегетационного периода (с мая по сентябрь) для территории Воронежа. Данный подход является универсальным для любой территории, т.к. рассматривается конечное состояние объекта (условие увлажнения «класс ГТК») вне физических особенностей его появления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. 2009. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. II. Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. М.: МЦНМО. 152 с.
Марков А.А. 1906. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга // Известия физико-математического общества при Казанском университете. 2-я серия. Т. 15. С. 135-156.
Селянинов Г.Т. 1928. О сельскохозяйственной оценке климата // Труды по сельскохозяйственной
метеорологии. Вып. 20. С. 165-177. Чернышева Л.С. Платонова В.А. 2009. Расчет и интерпретация основных климатических показателей отдельных метеорологических величин. Учебно-методическое пособие. Владивосток: Изд-во Дальневосточного ун-та. 88 с. Шашко Д.И. 1985. Агроклиматические ресурсы СССР. Л.: Гидрометеоиздат. 247 с.
THE IMPLEMENT OF MARKOV CHAINS FOR PROBABILISTIC FORECAST OF THE DIFFERENT CONDITIONS OF MOISTENING IN THE VEGETATION PERIOD ON THE
EXAMPLE OF VORONEZH
© 2012. L.M. Akimov
Voronezh State University Russia, 394020 Voronezh, Kholsunova str., 40. E-mail: akl63@bk.ru, geoecolog@mail.ru
We propose a methodological approach to assessing the probability of occurrence of different moisture conditions in individual months of the growing season for the territory of the Voronezh using Markov chains, according to long-term observations of air temperature and precipitation. Keywords: moisture, precipitation, air temperature, frequency, probability, vegetation period, hydrothermal coefficient, Markov chain.
